Расчет электрических фильтров

Размещено на http://allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Сибирский государственный университет телекоммуникации и информатики

Курсовая работа

по дисциплине: «Основы теории цепей»

на тему: «Расчет электрических фильтров»

Выполнила: Олейникова Д.Г.

Новосибирск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. РАСЧЕТ ПОЛОСОВОГО LC-ФИЛЬТРА

1.1 Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов

1.2. Формирование требований к полосовому фильтру

1.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

1.4 Реализация LC-прототипа

1.5 Реализация пассивного полосового фильтра

2. РАСЧЕТ АКТИВНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА

2.1 Расчет полюсов ARC-фильтра

2.2 Формирование передаточной функции

2.3 Расчет элементов схемы фильтра

3. ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Электрические фильтры - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ).

Обычно выделяют следующие четыре типа фильтра:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), пропускающий все частоты ниже выбранного значения w_c и подавляющий высшие частоты

- фильтр верхних частот (ФВЧ), пропускающий все частоты выше выбранного значения и подавляющий нижние частоты

- полосовой фильтр (ПФ), пропускающий выбранную полосу частот и подавляющий нижние и верхние частоты.

В соответствии с элементной базой можно выделить различные типы фильтров. Пассивные фильтры, содержащие элементы L и C. Они носят название LC-фильтры.

Требования микроминиатюризации аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах. Появились активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов).

Расчет активного фильтра включает в себя два этапа - этап аппроксимации и этап реализации. На первом этапе по заданному максимальному и минимальному ослаблению в полосе пропускания и в полосе непропускания формируется передаточная функция фильтра, т.е. математическое описание цепи. На втором этапе создают схему цепи и определяют значение ее элементов по полученной передаточной функции.

1. РАСЧЕТ ПОЛОСОВОГО LC-ФИЛЬТРА

На входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рисунок 1) с параметрами: период следования импульсов Tи = 160 мкс; длительность импульсов tи = 40 мкс; период несущей частоты Tн = 10 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты Um.н = 11 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания Аmax = ДA = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания Апол = 21 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа Rг =Rн = 600 кОм. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рисунок 1. Периодические радиоимпульсы, действующие на вход фильтра.

1.1 Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов

радиоимпульс фильтр полосовой прототип

Прежде чем приступать непосредственно к расчету фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов.

Вначале находится несущая частота:

кГц.

Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

кГц

кГц

кГц

кГц

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте fн, находится по формуле:

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, можно построить огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов.

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами fi, где i - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле

.

Учитывая, что

?_и = 1/Т_и = 1/(160*10⁶ ) = 6,25 кГц

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от fн:

кГц

кГц

кГц

кГц кГц

Частоты гармоник, лежащих слева от fн, будут:

кГц

кГц

кГц

кГц кГц

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:

где K = tи/Tн - количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе. В нашем примере К = 4.

В

В

В

В

В

В

В

В

В

В

Если скважность q, т.е. отношение периода следования импульсов Т_и к длительности импульсов t_и, равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. Так как здесь q=4, поэтому в спектре будут отсутствовать 4,8,12 и т.д. гармоники слева и справа от несущей частоты. Поэтому спектр имеет вид (рисунок 2):



Рисунок 2. Модуль спектральной функции радиоимпульса

1.2 Формирование требований к полосовому фильтру

Эффективная часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 81,25 кГц до 118,75 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно. Граничную частоту полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (f_н + 1/t_и) = 125 кГц. Этой частотой является частота f₅ =131,25 кГц. Следовательно, f_з2 = f₅ = 131,25 кГц.

Найдем центральную частоту ПП:

кГц

Тогда граничная частота f_з.1 полосы непропускания будет

кГц

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f₃ и f₅ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол - полного ослабления:

 дБ ,

Где

дБ

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

кГц

кГц

кГц

кГц

дБ

дБ

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

1.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа.

кГц

кГц

По формулам получаем значения нормированных частот (_н)



?_з

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 3.

Рисунок 3. Требования к НЧ-прототипу

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из формулы:

А(?)=10lg[1+е²ш²(?)]

при A = ?A и ? = 1, когда ш(1) = Тm(1) = 1:

Порядок фильтра Чебышева находится также из формулы А(?)=10lg[1+е²ш²(?)], но при A = A_min и ? = ?_з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПП полином Чебышева Т_m(?) = ch(m arch?), поэтому



Для вычисления функции arch х рекомендуется соотношение

По формуле вычисляем значение m. m = 2,63. Расчетное значение m необходимо округлить в бoльшую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.

Пользуясь таблицей 1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

Таблица 1.Полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

?A, дБ	Порядок m=3
0,2 0,5 1,0 3,0	-0,814634; -0,407317±j1,11701 -0,626457; -0,313228±j1,021928 -0,494171; -0,247085±j0,965999 -0,29862; -0,14931±j0,903813

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

где v(р) - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

1.4 Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра составляется выражение для входного сопротивления

.

Подставляя в формулу значение v(р) и значение h(p), получим

Данная формула описывает входное сопротивление двухполюсника. А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Z_вх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, получим:



после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение

можно записать в виде цепной дроби:



По данной формуле составляем схему (рисунок 4), на которой С_1н = 3,349; L_2н = 0,712; С_3н = 3,349;

R_г.н = R_н.н = R_нор.

Рисунок 4. Схема ФНЧ-прототипа

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

где - нормирующая частота;

R_г - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения и значения щ_н и R_г получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

нФ

мГн

нФ

1.5 Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотами щ_пф полосового фильтра существует соотношение:

где щ₀ находится по формуле щ₀₌2П?₀

На основании формулы щ₀ индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами

а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами

Тогда, на основании схемы ФНЧ-прототипа (рисунок 4) может быть построена схема полосового фильтра (рисунок 5).

Рисунок 5. Схема полосового фильтра

Элементы этой схемы рассчитываются по формулам:

мГн

нФ

1,81мГн

нФ

2. РАСЧЕТ АКТИВНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА

2.1 Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра. Причем, не самой нормированной передаточной функцией, а только ее полюсами и согласно формуле

найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ. Вначале находим:

117750 рад/с

Таблица 2. Полюса нормированной передаточной функции НЧ-прототипа.

Номера полюсов	Полюсы H(p)
1	р = -35180,34+j616193,83
2	р = -35180,34-j616193,83
3	р = -20581,77+j732552,71
4	р = -14598,57-j519596,79
5	р = -14598,57+j519596,79
6	р = -20581,77-j732552,71

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной.

2.2 Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле

Коэффициенты в знаменателе находятся по формулам:

где - значение полюсов (таблица 2).

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 3.

Таблица 3. Значение коэффициентов

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1	148548	70361	380932498147
2	148548	41164	537057079747
3	148548	29197	270193939558

Подставляя найденные коэффициенты в формулу Н(р) получим:

2.3 Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рисунок 6).

Рисунок 6. Простейшая схема ПФ на одном операционном усилителе.

Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 6, в виде



Из формулы видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции Н(р) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах Н(р).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя:

В системе пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема. Поэтому задаемся значениями С3 = С4 = 2 нФ, решим систему, получим:

R1 = 3,4 кОм, R5 = 14,2 кОм, R2 = 46,7 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же С3 = С4 = 2 нФ, получим:

R1 = 3,4 кОм, R5 = 24,3 кОм, R2 = 19,2 Ом.

Аналогично для третьего звена:

R1 = 3,4 кОм, R5 = 34,25 кОм, R2 = 27,2 Ом.

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R5 в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

3. ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант - проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант - проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходным требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра. Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула Н(р) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в Н(р) производится замена переменной вида р = jщ, в результате чего получают выражение:

Находится модуль H(jщ) в виде

Зная H(щ), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

Полученные значения занесем в таблицу 4.

Таблица 4. Значения зависимости А(щ) и Н(щ)

F, кГц	fз1	fп1	f0	fп2	fз2
	73,52	81,25	98,23	118,75	131,25
H1(щ)	0,4	0,6	2,11	0,6	0,4
H2(щ)	0,21	0,27	0,58	3,04	0,83
H3(щ)	1,18	4,28	0,82	0,39	0,3
H(щ)	0,1	0,71	1,0	0,71	0,1
A1(щ)	7,91	4,38	-6,49	4,38	7,92
A2(щ)	13,49	11,26	4,74	-9,66	1,58
A3(щ)	-1,4	-12,63	1,75	8,27	10,51
A(щ)	20	3,0	-0,00	2,99	20

График зависимости ослабления от частоты показан на рисунке 7.



Рисунок 7. График зависимости ослабления фильтра от частоты

Принципиальная схема активного полосового фильтра приведена на рисунке 8.

Рисунок 8. Принципиальная схема активного полосового фильтра

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы была рассчитана ожидаемая характеристика ослабления фильтра, осуществлена его реализация и приведена принципиальная схема. Рассчитанный фильтр полностью удовлетворяет поставленным условиям.

ЛИТЕРАТУРА

1) Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 2000. - 589с.

2) Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 1998. - 444с.

3) Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 1986. - 544с.

4) Зааль Р. Справочник по расчёту фильтров.- М.: Радио и связь, 1983. - 752с.

Размещено на Allbest.ru

...