Размещено на http://www.allbest.ru/

1 Характеристики сигналов

1.1 Расчёт спектральных характеристик сигналов

В соответствии с заданием необходимо выбрать из трёх данных сигналов для исследования сигнал с самым узким спектром.

Рассмотрим сигнал U₁(t) и его спектр соответственно:

U1(t) =	(1.1)
	(1.2)

где h = 0.04 B; с^-1; рад/с

График сигнала изображён на рисунке 1.1. График спектральной характеристики на рисунке 1.2. В таблицах 1.1, 1.2 соответственно приведены значения сигнала U₁(t) и его спектральной характеристики.

Рисунок 1.1 - График сигнала U₁(t)

Таблица 1.1 - Значения сигнала U₁(t) в различные моменты времен

t, c	-0,00005	-0,00004	-0,00003	-0,00002	-0,00001	0
U, В	-0,001317	-0,001509,	-0,001669	-0,001789	-0,001863	0,04

Рисунок 1.2 - График модуля спектральной плотности S₁(щ)

Таблица 1.2 - Значения модуля спектральной плотности |S₁(jщ)|

105,рад/с	0	1	2	3	4	5	6
|S (j)|10-7	2,094	2,094	2,094	0	0	0	0

Фаза спектральной плотности первого сигнала S₁(jщ) на всём промежутке равна 0.

Рассмотрим сигнал U₂(t) и его спектр соответственно:

	(1.3)
,	(1.4)

где h = 0,65 B и в = 6 • 10³ с^-1.

График сигнала изображён на рисунке 1.4. График спектральной характеристики на рисунке 1.5. В таблицах 1.3 и 1.4 соответственно приведены значения сигнала U₂(t) и его спектральной характеристики.

Рисунок 1.4 - График сигнала U₂(t)

Таблица 1.3 - Значения сигнала U₂(t) в различные моменты времени

t, c	-0,001	-0,0008	-0,0006	-0,0004	-0,0002	0
U, В	0,001611	0,005349	0,018	0,059	0,196	0,65

Рисунок 1.5 - График модуля спектральной плотности S₂(jщ)

Таблица 1.4 - Значения модуля спектральной плотности S₂(jщ)

103, рад/с	-32	-24	-16	-8	0
S(jщ) 10-6	7,358	12,75	26,71	78	216,7

Фаза спектральной плотности сигнала S₂(jщ) на всём промежутке равна 0.

Рассмотрим сигнал U₃(t) и его спектр соответственно:

U3(t) =	(1.5)
S3(jщ) =	(1.6)

где h = 0,8 B и б = 10 ⁴ с.

График сигнала изображён на рисунке 1.7. График спектральной характеристики на рисунке 1.8. В таблицах 1.5 и 1.6 соответственно приведены значения сигнала U₃(t) и его спектральной характеристики.

Рисунок 1.7 - График сигнала U₃(t)

Таблица 1.5 - Значения сигнала U₃(t) в различные моменты времени

t, c	-0,00025	-0,0002	-0,00015	-0,0001	-0,00005	0
U, В	0,001544	0,015	0,084	0,294	0,623	0,8



Рисунок 1.8 - График модуля спектральной плотности S₃(jщ)

Таблица 1.6 Значения модуля спектральной плотности S₃(jщ)

щ104, рад/с	-5	-4	-3	-2	-1	0
S(jщ) 10-7	2,737	25,97	149,5	521,6	1104	1418

Фаза спектральной плотности сигнала S₃(jщ) на всём промежутке равна 0.

1.2 Расчёт энергетических характеристик сигналов

Полная энергия одиночного сигнала рассчитывается по формуле:

	(1.7)

Бесконечные пределы в интеграле записаны для общего случая и должны быть уточнены для конкретного сигнала. Если функция, задающая сигнал является четной, то мы будем считать интеграл по формуле:



	(1.8)

Рассчитаем энергию исходных сигналов:

Для первого сигнала U₁(t) имеем:

	(1.9)

Если выбрать верхний предел интегрирования равным 110⁴ с, то результатом решения интеграла (1.9) будет значение энергии для первого сигнала: W₁ = 8.37810^-9 Дж.

Для второго сигнала U₂(t) получаем:

	(1.10)

Если выбрать верхний предел интегрирования равным 410⁴ с, то результатом интегрирования будет значение энергии для второго сигнала равное: W₂ = 7.04210^-5 Дж.

Для третьего сигнала U₃(t) получаем:

	(1.11)

Если принять верхний предел интегрирования равным 410^-4 с, то результатом интегрирования будет значение энергии для третьего сигнала равное: W₃=8.02110^-5 Дж.

1.3 Расчёт практической ширины спектров сигналов

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты щ_c, по заданному энергетическому критерию д осуществляется на основе неравенства:

	(1.12)

W^/ = 0.965•W,

где W^/ - энергия сигнала с ограничением по верху спектром. Значение W^/ определяется на основе известной спектральной плотности:

	(1.13)

где щ_с - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение щ_с определяется путём подбора до выполнения равенства (1.13). Это можно сделать путем нахождения точки пересечения графика энергии сигнала, рассчитанной через спектральную плотность, и графика энергии W^/.

Для первого сигнала:

W^/₁ = 0.965W = 8.08410^-9 Дж.

Граничную частоту определяем по рисунку 1.10:

щ_с1 = 9.321·10⁴ рад/с.

Для второго сигнала:

W^/₂ = 6,79510^-5 Дж.

Граничную частоту определяем по рисунку 1.11:

щ_с2 = 12.9·10³ рад/с.

Таким образом, дальнейшие вычисления производим для второго сигнала, так как он имеет наименьшую верхнюю граничную частоту.

Рисунок 1.10 - График полной энергии первого сигнала

Taблица 1.7 - Значение энергии первого сигнала

щc105, рад/с	0	1	2	3	4	5	6
W110-9, Дж	0	1,396	2,793	4,189	5,585	6,981	8,378

Рисунок 1.11 - График полной энергии второго сигнала

Taблица 1.8 - Значение энергии второго сигнала

щc•103, рад/с	0	7	14	21	28	35
W210-5, Дж	0	6,08	6,85	6,978	7,014	7,027

Рисунок 1.12 - График полной энергии третьего сигнала

Taблица 1.9 - Значение энергии третьего сигнала

щc103, рад/с	0	7	14	21	28	35
W310-5, Дж	0	4,14	6,726	7,735	7,98	8,017

2. Расчет технических характеристик АЦП

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству (2.1):

	(2.1)

где - интервал дискретизации, с,

Верхнее значение частоты спектра сигнала:

После расчета значения интервала дискретизации необходимо построить график дискретизированного во времени сигнала. Длительность импульсных отсчетов принять равной половине интервала.

Следующими этапами преобразования сигнала является квантования импульсных отсчётов по уровню и кодирование. Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

	(2.2)

где U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:



	(2.3)

где P_Ш.КВ - мощность шумов квантования при размерной шкале квантования, Вт.

Известно, что:

	(2.4)

где - шаг шкалы квантования.

В свою очередь:

	(2.5)

где - шаг шкалы квантования;

n_КВ - число уровней квантования;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

С учетом этого:

	(2.6)

где n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Из (2.6) получаем:



	(2.7)

где n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:

	(2.8)

где m - разрядность кодовых комбинаций.

Отсюда:

	(2.9)

Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода:

	(2.8)

Из уравнения (2.2) найдём верхнее значение границы динамического диапазона. Определим верхнее значение частоты спектра сигнала:

Гц.

По (2.1) находим, t = 6,08810^-5 с.

Для расчета нижней границы диапазона подставим в (2.2) К=32, U_MAX = 0,06 В и найдём

, В.

Подставим в (2.7) значения = 50, U_MAX = 0,65 В, U_MIN = 0.033В, таким образом получим:

Затем по (2.5) найдем шаг шкалы квантования:

.

Найдём мощности шумов квантования по (2.4):

Вт.

Найдём по (2.9) разрядность кодовых комбинаций:

.

Минимальная разрядность кодовых комбинаций принимается за 6.

Найдем длительность элементарного кодового импульса по (2.10):

с.

График дискретизированного по времени сигнала приведён на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - График дискретизированного по времени сигнала

Таблица 2.1 - Зависимость дискретизированного сигнала от времени

	0	0,6088	1,21	1,827	2,435	3,044	3,653	4,262	4,871
, В	0,65	0,451	0,313	0,217	0,151	0,105	0,073	0,05	0,035

3. Расчёт характеристик импульсно-кодовой модуляции

3.1 Определение кодовой последовательности

Для вычисления функции автокорреляции понадобятся 4 значения выборки дискретизированного сигнала, которые получены путем выбора из таблицы 1.1 значений напряжения и деления их на значение , полученное по формуле (2.5). Полученные результаты округлены до целого:

;

;

;

;

Приравниваем к меньшему, целому значению:

Затем полученные значения выборки переводятся из десятичной в двоичную систему исчисления:

;

;

;

;

После этого из полученных последовательностей складывается кодовая последовательность, которая будет использоваться для построения функции автокорреляции. Она примет вид:

Полученная кодовая последовательность содержит:

«0» - 13;

«1» - 11.

Выбор микросхемы производим по ранее рассчитанному значению m. Так как m = 6, то подходит К1108ПВ1, она имеет разрядность выхода 10/8, и способна работать на частотах до 1 МГц; тип логики - ТТЛ; уровень 1: 2,4.

3.2 Построение функции автокорреляции

Построение функции автокорреляции начнем с построения вектора , который будет представлять собой кодовую последовательность, полученную в параграфе 3.1. Затем, при сдвиге вектора на один разряд последовательно 7 раз, записывая полученные векторы, получается 7 векторов . Вектора и наглядно отражены при помощи таблицы 3.1.

Таблица 3.1 - Вектора и

	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	1
	1	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1	1
	1	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1
	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0
	0	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	0
	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1
	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1

Затем находятся корреляции между вектором и каждым из векторов . При этом получается 7 значений корреляции, из которых составляется вектор . Из значений длительности импульса сигнала получен вектор путем умножения времени на номер строки, начиная с 0. Вектора и сведены в таблицу 3.2. Полученный результат есть табличный способ представления функции автокорреляции.

Таблица 3.2 - Табличный способ представления функции автокорреляции

10-5	0	0,5074	1.015	1.522	2.029	2.537	3.044
	1	-6.99310-3	-0.343	-6.99310-3	-6.99310-3	-0.175	-0.175

При помощи встроенных функций вычислительной среды Mathsoft MathCAD можно получить также и графическое представление функции автокорреляции. Для этого сначала нужно составить вектор вторых производных для приближения к кубическому полиному при помощи векторов и взятых из таблицы 3.2.

	(3.1)

Затем составляется функция, аппроксимирующая автокорреляционную функцию кубическим сплайн-полиномом:

	(3.2)

Для проверки результатов вычисления составляется функция, реализующая кусочную аппроксимацию отрезками прямых:

	(3.3)

Полученные графики полинома и аппроксимирующих его отрезков прямых изображены на рисунке 3.1.



Рисунок 3.1 - Автокорреляционная функция

В таблице 3.3 отражены значения функций аппроксимации kor(t) и korl(t).

Таблица 3.3 - Значения функций аппроксимации kor(t) и korl(t).

Kor1 (фи)	1	0,00762	-0,333	-0,022	-6.99310-3	-0,163	-0,175	-0,175
Kor(фи)	1	0,00368	-0,346	-0,019	0,00203	-0,165	-0,189	0,198
фи, с·10-5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5

Также автокорреляционную функцию можно записать через вероятности встречаемости символов в коде. Рассмотрим вероятности появления «0» и «1» в сигнале, пользуясь данными, полученными в параграфе 4.1.

Пользуясь вероятностями появления «0» и «1» в сигнале, а также самими значениями напряжения при «0» и «1», можно вычислить математическое ожидание по формуле:



	(3.4)

= 1,099;

Зная вероятности и напряжения «0» и «1» с помощью математического ожидания можно вычислить дисперсию по формуле:

	(3.5)

= 1,47;

Сглаженная АКФ более объективно отражает статистические связи в цифровом сигнале. Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной имеет вид:

	(3.6)

- функция корреляции.

График зависимости спектральной плотности от частоты приведён на рис 3.2.



Рисунок 3.2 - Энергетический спектр кодового сигнала

Таблица 3.4 - Энергетический спектр кодового сигнала

	0	1	2	3	4	6	7	8	9	10
	1,756	4,038	4,303	7,901	5,601	4,663	1,975	0,237	1,605	0,135

4. Характеристики модулированного сигнала

4.1 Общие сведения о частотной модуляции

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляция зависят от полезного сигнала и вида сигнала-переносчика.

При расчете частотной модуляции следует руководствоваться тем, что частота меняется по закону сигнала-переносчика.

4.2 Расчет модулированного сигнала

Первоначально необходимо построить функцию, реализующую кодовую последовательность для шести временных интервалов длительностью каждый. Значения напряжения логических «0» и «1» взяты исходя из результатов, полученных в параграфе 4.1.

	(4.1)

где В-значение напряжения логического «0»;

В-значение напряжения логической «1».

Затем записывается функция, реализующая колебания с частотой логической «1» модулированного сигнала:

	(4.2)

где , рад/с - частота, взятая по заданию к проекту.

Далее записывается функция, реализующая колебания функции единицы, когда это требуется в соответствии с кодовой последовательностью. Ее график изображен на рисунке 4.1.

	(4.3)

Рисунок 4.1 - Единичная составляющая частотной модуляции

Затем записывается функция, реализующая колебания с частотой логической «0» модулированного сигнала:



	(4.4)

где , рад/с - частота, взятая по заданию к проекту

Затее записывается функция, реализующая колебания функции нуля, когда это требуется в соответствии с кодовой последовательностью. Ее график изображен на рисунке 4.2.

	(4.5)

Рисунок 4.2 - Нулевая составляющая частотной модуляции

В итоге модулированный сигнал в виде кодовой последовательности будет представлять собой арифметическую сумму единичной и нулевой составляющих модуляции. Итоговый модулированный сигнал изображен на рисунке 4.3.



Рисунок 4.3 - Частотно-модулированный сигнал

4.3 Спектр модулированного сигнала

Частотная модуляция относится к одному из видов гармонических модуляций, что и определяет ее аналитический вид:

	(4.6)
	(4.7)
	(4.8)

где - частота первой гармоники

с.

, с^-1

Расчет спектра сигнала сводится к расчету гармоник двух составляющих модуляции. Амплитуды гармоник рассчитываются исходя из формулы:



	(4.9)

Расчет частот нижней боковой полосы для первой составляющей модуляции проводится по формуле:

	(4.10)

Расчет частот верхней боковой полосы для первой составляющей модуляции проводится по формуле:

	(4.11)

Расчет частот нижней боковой полосы для второй составляющей модуляции проводится по формуле:

	(4.12)

Расчет частот верхней боковой полосы для второй составляющей модуляции проводится по формуле:

	(4.13)

Рассчитанные значения амплитуд и частот боковых полос сведены в таблицу 4.1. Расчет проведен для пяти гармоник.

Таблица 4.1 - Гармоники боковых полос

№ гармоники	1	2	3	4	5
, В	0.064	0,032	0,021	0,016	0.013
, рад/с	8,177·106	7,558·106	6,939·106	6, 32·106	5,701·106
, рад/с	9,416·106	1,003·107	1,065·107	1,127·107	1,189·107
, рад/с	1,886·107	1,824·107	1,762·107	1,7·107	1,638·107
, рад/с	2,01·107	2,072·107	2,134·107	2,195·107	2,257·107

По данным таблицы строится график спектра модулированного сигнала, изображенный на рисунке 4.5.

Рисунок 4.5 - Спектр модулированного сигнала

5. Согласование источника информации с каналом связи

Рассмотрим канал связи с несколько других позиций. Заданный сигнал мы представили отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов. Для ограниченного по времени, например треугольного, оно определяется длительностью сигнала; для бесконечного, например экспоненциального, их число должно быть назначено 510. Если задать вопрос, какая выборка сейчас создается, то последует очевидный ответ: эта вероятность равна 1/N, где N - число выборок.

Таким образом, выборки - это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле (5.1), где - энтропия алфавита источника, - среднее время генерации одного знака алфавита.

	(5.1)

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный.

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Эта величина () была определена нами в разделе 5.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Теорема Шеннона. Дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает вероятность ошибки Р_ош может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи - нормальные законы с соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.

Пропускная способность гауссова канала равна:

	(5.2)

где F - частота дискретизации, определенная в разделе 3. Рп - мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала .

	(5.3)

По этим формула, пользуясь неравенством Шеннона , надлежит определить Рс, обеспечивающую передачу по каналу. Отсюда:

По формулам (5.1) - (5.3) получаем:

, бит/с

Известно, что t = 6,08810^-5, следовательно:

, бит/с

Полоса частот, занимаемая сигналом:

, Рад/с

, Гц

По заданию спектральная плотность мощности шума N₀ = , вычисляем мощность помехи:

, Вт

Мощность сигнала:

, Вт

Заключение

В данном курсовом проекте были выполнены расчёты спектральных характеристик, ширины спектра, интервалы дискретизации и разрядности кода, расчёт автокорреляционной функции кодового сигнала и его энергетического спектра, спектральных характеристик модулированного сигнала, мощности модулированного сигнала, вероятности ошибки при воздействии «белого шума».

Были определены характеристики сигналов, построены их временные зависимости, амплитудночастотные и фазочастотные спектры. Для каждого из сигналов, исходя из критерия передачи 96,5% мощности, по равенству Парсеваля была найдена граничная частота: щ_с1 = 9,321·10⁴ рад/с, щ_с2 = 12,9·10³ рад/с, щ_с3 = 2,1·10⁴ рад/с.

Для дальнейшего исследования из трех сигналов был выбран второй, так как он обладает самой низкой граничной частотой, а значит, его легче обрабатывать и передавать по каналу связи.

Сигнал U₂(t) был дискретизирован по теореме Котельникова. При этом частота следования выборки , а шаг дискретизации .

После дискретизации по времени, сигнал был квантован по уровню, n_кв = 40. После квантования сигнал был закодирован в виде двоичной последовательности, где m = 6 число разрядов двоичного кода необходимых для представления одного кванта.

Полученный цифровой сигнал имел следующие характеристики:

t_и = с - длительность импульса цифрового сигнала,

H(p) = 2,585 бит - количество информации в одной выборке,

4,246•10⁴ бит/с - производительность источника цифрового сигнала.

По заданию для передачи сигнала по каналу связи используется ЧМ.

ЧМ сигнал передается по каналу связи с мощностью P_C = 3,114·10^-9 Вт,

В канале связи присутствует помеха с мощностью P_П = 2,148·10^-9 Вт,

Мощность разностного сигнала при данном виде модуляции E= 1,896·10^-13 Вт.

Вероятность ошибки при воздействии «белого шума» равна 1.029·10^-10.

Библиографический список

модулированный сигнал цифровой спектральный

1. Баженов Н.Н., Картавцев А.С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи. - Омск, 1990, 24 с.

2. Теоретические основы транспортной связи. / М.Я. Каллер., А.Я. Фомин. Москва. Транспорт, 1989.

3. Телекоммуникационные технологи на железнодорожном транспорте. / Под ред. Г.В. Горелова. Москва. УМК МПС. 1999. 576 с.

4. Характеристики сигналов в каналах связи: Методические указания к курсовому проекту по дисциплине «Теория передачи сигналов» / Н.Н. Баженов. Омск. Омский государственный университет путей сообщения. 2002. 48 с.

Размещено на Allbest.ru

...