Расчет спектра различных сигналов и их энергетических характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчетно-пояснительная записка к курсовой работе

“Расчет спектра различных сигналов и их энергетических характеристик”

Реферат

Цель работы: Рассмотреть основы теории сигналов, произвести расчет различных величин, характеризующих сигналы, изучить теорию передачи информации в канале.

В курсовой работе “Расчет спектра различных сигналов и их энергетических характеристик” рассматриваются методы расчета характеристик сигналов и каналов связи. Курсовая работа содержит основные сведения о характеристиках и параметрах сигналов и каналов связи, их расчет; графики характеристик сигналов.

Введение

На современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят задачи по увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и пассажирских перевозок, уменьшению времени оборотов вагонов и повышению производительности труда. Эти задачи решаются по двум основным направлениям: техническим перевооружением транспортных средств и совершенствованием системы управления перевозочным процессом.

Значительную роль в деле совершенствования системы управления эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет развитие всех видов связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной автоматизированной системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ). Комплекс технических средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры Министерства путей сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое целое сетью передачи данных.

Управление территориально разобщенными объектами на всех уровнях осуществляется передачей сообщений разнообразными электрическими сигналами с широким использованием систем передачи информации, то есть систем связи, работающих по проводным и радиоканалам. А также по волоконно-оптическим линиям связи.

Совершенствование управления в условиях интенсификации производственных процессов ведет к росту общего объема информации, передаваемой по каналам связи между управляющими органами и управляемыми объектами.

Передача информации на железнодорожном транспорте ведется в условиях воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что связано с безопасностью движения. К системам связи предъявляют также требования высокой эффективности при относительной простоте технической реализации и эксплуатации.

Проблема эффективности системы передачи информации состоит в том, чтобы передать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее экономически выгодным образом (с точки зрения затрат энергии и полосы частот) в заданное время. Перечисленные проблемы тесно связанны между собой.

Рассмотрим некоторые определения, необходимые нам в теории.

Информация - совокупность сведений о каком-либо предмете, явлении.

Сообщение - та же информация, выраженная в знаковой форме. Любая система связи предназначена для передачи информации, которая должна иметь некоторую неопределенность, иначе передавать ее не имело смысла.

Сигнал - материальный переносчик сообщений. Между сообщением и сигналом должна быть жесткая функциональная связь.

Канал связи - набор технических средств для передачи сигналов. Разберем его состав в общем виде. На рисунке показан канал для передачи непрерывных сообщений.

Разберем назначение блоков приведенного канала связи.

П-1, П1 - преобразователи сообщения в сигнал и наоборот - сигнала в сообщение.

Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит название - квантования.

Кодер сообщения формирует первичный код, каждое сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного представления. Декодер сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований сигнал можно передавать до потребителя, но в таком виде он будет не защищен от помех, и достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования, направленные на повышения помехоустойчивости канала.

Кодер канала по первичному коду формирует помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная избыточность, что позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при передачи.

Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному сигналу.

Линия связи - это материальная среда для передачи сигналов (кабель, радио эфир). Именно здесь (в основном) к полезному сигналу добавляется непрогнозируемые помехи. Строя модулятор, демодулятор (модем), необходимо принять меры для борьбы с помехами.

Цифровой преобразователь (ЦАП) служит для восстановления сообщения.

Интерполятор позволяет по сигналу с ЦАП сформировать непрерывный сигнал.

Рисунок 1.1-Структура канала связи для непрерывных сообщений

1. Расчет характеристик сигнала и разрядности кода

1.1 Расчёт спектра сигнала

Под спектром непериодического сигнала U(t) понимают функцию частоты U(j), которую получают на основе прямого преобразования Фурье вида:

(1.1)

Для обратного перехода из частотной во временную область используют обратное преобразование Фурье:

(1.2)

Аналитическая запись первого заданного сигнала во временной (1.3) и частотной (1.4) областях, имеет вид:

(1.3)

(1.4)

Подставим в (1.3) и (1.4) h=0,06В, w=40000 рад/с. Значения функции U1(t) сведены в таблицу1.1. Значения функции S1 () сведены в таблицу1.2.

Таблица 1.1 - Значения функции U1(t)

t, с	-110-3	-0.0099	0	0.0099	110-3
U1(t), В	0.0001	0	0,6	0	0.0001

Таблица 1.2 - Значения функции S1()

, с-1	1	50000	100000	150000
S1(), В/Гц	7.510-7	7.510-7	7.5 10-7	7.510-7

График сигнала приведён на рисунке 1.2.

График спектра сигнала приведен на рисунке 1.3.

Спектром данного сигнала будет являться только спектр его амплитуд, спектр начальных фаз отсутствует, так как в записи спектра сигнала отсутствует мнимая часть.

Рисунок 1.2-График сигнала 1



Рисунок 1.3 - График спектра амплитуд сигнала 1

Аналитическая запись второго заданного сигнала во временной (1.5) и частотной (1.6) областях, имеет вид:

(1.5)

(1.6)

Подставим в (1.5) и (1.6) h=0,6 В, ф=0.07 мc. Значения функции U2(t) приведены в таблице1.3. Значения функции S2 () приведены в таблице1.4.

Таблица 1.3 - Значения функции U2(t)

t, с	-0.00003	-0.00002	-0.00001	0	0.00001
U2(t), В	0.134	0.374	0.541	0.6	0.134

Таблица 1.4 - Значения функции S2()

, с-1	0	1000	2000	3000	4000	5000
S2(), В/Гц	2.610-5	2.610-5	2.610-5	2.610-5	2.510-5	2.5 10

График сигнала приведен на рисунке 1.4.

График спектра сигнала приведен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.4 - График сигнала 2

Рисунок 1.5 - Спектр амплитуд сигнала 2

Спектр начальных фаз не приводится, так как в записи спектральной плотности для данного сигнала отсутствует мнимая часть.

Аналитическая часть третьего заданного сигнала во временной (1.7) и частотной (1.8) областях, имеет вид:

(1.7)

(1.8)

Подставим в (1.5) и (1.6) h=1.2 В.

Значения функции U3(t) сведены в таблицу 1.5.

Значения функции S() сведены в таблицу 1.6.

Таблица 1.5 - Значения функции U3(t)

t, с	-310-	0	0.00096	0.00098	0.0031
U3(t), В	0	1.2	0.27	0	-0.12

Таблица 1.6 - Значения функции S3()

, с-1	0	1800	2000	4000
S3(), В/Гц	0.0012	0.0009	0.0004	0.0013

График сигнала приведён на рисунке 1.6.

Графики спектров сигнала приведен на рисунках 1.7 и 1.8.



Рисунок 1.6 - График третьего сигнала

Рисунок 1.7 - График спектра амплитуд сигнала 3



Рисунок 1.8 - График спектра фаз сигнала 3

1.2 Расчет полной энергии сигналов

Полная энергия одиночного сигнала рассчитывается через временную функцию по формуле:

(1.9)

Бесконечные пределы в интеграле записаны для общего случая и должны быть уточнены для конкретного сигнала.

Подставив временные выражения сигналов в (1.9) и используя ЭВМ, найдем значения полной энергии.

Значение полной энергии для первого заданного сигнала равно:

(1.9.1)

Значение полной энергии для второго заданного сигнала равно:

(1.9.2)

Значение полной энергии для третьего заданного сигнала равно:

(1.9.3)

1.3 Определение практической ширины спектра сигнала

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства 3.

, (1.10)

где: W/- энергия сигнала с ограниченным по верху спектром; - процент от полной энергии сигнала при ограничении спектра.

Значение W/ определяется на основе известной спектральной плотности

, (1.11)

где: с - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Используем MathCad для определения с и расчета энергии из спектральной плотности. Для заданных сигналов при = 98,6, W/ равна:

1 = 4.43710-8Дж;

2 = 1.24210-5 Дж;

3 = 7.94710-4Дж;

Соответственно:

C1 = 247000с-1;

С2 = 43000 с-1;

С3 = 98000с-1;

Значение с определяется путем подбора при расчетах (1.10) и (1.11) до выполнения неравенства (1.10).

График зависимости энергии первого сигнала от частоты приведён на рисунке 1.9, второго - на рисунке 1.10, третьего сигнала -на рисунке 1.11.

Выберем сигнал с наименьшей с. Наименьшую с. имеет сигнал, представленный на рисунке 1.6. Для него и будут проведены дальнейшие преобразования.

Рисунок 1.9 - Зависимость энергии первого сигнала от частоты

Рисунок 1.10 - Зависимость энергии второго сигнала от частоты



Рисунок 1.11 - Зависимость энергии третьего сигнала от частоты

1.4 Определение интервала дискретизации сигнала и разрядности кода

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству (1.12):

, (1.12)

где: - интервал дискретизации, с; -верхнее значение частоты спектра сигнала, определяемое в соответствии с разделом 1.3.

После расчета значения интервала дискретизации необходимо построить график дискретизированного во времени сигнала. Длительность импульсных отсчетов принять равной половине интервала.

Следующими этапами преобразования сигнала является квантования импульсных отсчётов по уровню и кодирование. Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

Нижняя граница диапазона определяется по (1.13)

, (1.13)

где: UMIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

UMAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

, (1.14)

где: PШ.КВ - мощность шумов квантования при размерной шкале квантования, Вт. Известно, что:

, (1.15)

где: - шаг шкалы квантования.

В свою очередь:

, (1.16)

где: - шаг шкалы квантования; nКВ - число уровней квантования; UMAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

С учетом этого:

, (1.17)

где: nКВ - число уровней квантования; UMIN - нижняя граница динамического диапазона, В; UMAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Из (1.17) получаем:

, (1.18)

где: nКВ - число уровней квантования; UMIN - нижняя граница динамического диапазона, В; UMAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:

, (1.19)

где: m - разрядность кодовых комбинаций. Отсюда:

. (1.20)

Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода по выражению

,с. (1.21)

Так как с для экспоненциального импульса минимальна, то выполняем расчеты для U3(t).

Определим верхнее значение частоты спектра сигнала:

По (1.12) находим

t =7.306*10-5

Для расчета нижней границы диапазона подставим в (1.13)

К=24

UMAX = 1,2В

Найдём В.

Подставив в (1.18) значения =35, UMAX =1,2 В, UMIN = 0,05B.

Получим:

.

Затем по (1.16) найдем шаг шкалы квантовании:

.

Найдём мощности шумов квантования по (1.15):

Вт.

Найдём по (1.20) разрядность кодовых комбинаций:

.

Найдем длительность элементарного кодового импульса по (1.21):

с.

График дискретизированного по времени сигнала приведён на рисунке 1.12.

Рисунок 1.12 - График дискретизированного по времени сигнала

На основании полученного значения разрядности кода и интервала дискретизации выберем АЦП. Полученным значениям удовлетворяет микросхема К1107ПВ1. Характеристики микросхемы приведены в таблице 1.7

Таблица 1.7 - Технические характеристики АЦП

Серия	Разрядность выхода	Тип логики	Уровень 1, В	Уровень 0, В	Fт, преобраз.
К1107ПВ1	6	ТТЛ	2.4	0.4	6.5 МГц

1.5 Разработка математической модели цифрового сигнала

Для разработки математической модели цифрового сигнала примем четыре кодовых слова (коды четырех отсчетов). Числовые константы сигнала определяются по формулам (1.22) и (1.23). Математическое ожидание:

. (1.22)

Дисперсия:

. (1.23)

Рассчитаем их:

= 0.9

=1.35

1.6 Расчет автокорреляционной функции кодового сигнала

Расчет автокорреляционной функции АКФ кодового сигнала зависит от возможностей применяемых в каналах связи микросхем. Кодовый сигнал представляется последовательностью “0” и “1”. Эти два значения могут передаваться двумя способами.



Рисунок 1.13 - Способы образования кодовой последовательности

Последовательность кодов с АЦП имеет вид 11100011111000111100 Длительность импульса элементарной посылки 8 мкс.

Расчет автокорреляционной функции дал следующие результаты (см. таблицу 1.8)

Таблица 1.8 - АКФ кодового сигнала

, мкс	0	5.98	11.96	17.94	23.92	29.9	35.88
corr	1	0.289	-0.244	0.289	-0.244	-0.244	0.289

Для выяснения статистических связей вполне достаточно взять 6 значений векторов и corr.

В среде МС по таблице 1.8 сформируем два вектора Vt и Vk:

С помощью функции cspline(Vt, Vk) вычислим вектор VS вторых производных при приближении к кубическому полиному:

VS : = cspline (Vt, Vk)

Далее вычисляем функцию аппроксимирующую АКФ сплайн кубическим полиномом:

kor() : = interp (VS, Vt, Vk, )

Если необходимо произвести кусочную аппроксимацию отрезками прямых, что дает уже ранее примененную функцию corr(), можно воспользоваться еще одной встроенной функцией МС, а именно

linterp (Vt, Vk, ): korl () : = linterp (Vt, Vk, )

На рисунке 1.14 приведены обе рассчитанные зависимости, сравнивая ход кривых, можно сделать вывод о степени приближения кубического сплайн - полинома и расчетных значений.

Рисунок 1.13 - Функции АКФ при различных способах аппроксимации

1.7 Расчет энергетического спектра кодового сигнала

Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет следующий вид:

. (1.24)

Здесь K() выше рассчитанная нормированная функция kor(), верхний предел T - последнее рассчитанное значение .

Спектральную характеристику необходимо получить в диапазоне частот, дающем полное представление о его закономерностях.

Решение интеграла производится в среде МС.

График энергетического спектра кодового сигнала приведен на рисунке 1.14.

Рисунок 1.14 - График энергетического спектра кодового сигнала

2. Характеристики модулированных сигналов

2.1 Общие сведения

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра канала. При гармоническом сигнале - переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят от полезного сигнала и от вида сигнала-переносчика.

К основным характеристикам модулированных сигналов относятся энергетические показатели и спектральный состав. Первые определяют помехоустойчивость связи, вторые, прежде всего, полосу частот, занимаемую сигналом. Классический модулятор имеет два входа. На один подается гармонический сигнал - переносчик, на другой - полезный сигнал с кодера. Ранее мы подробно познакомились с характеристиками последнего , представляя его случайной двоичной последовательностью. Сейчас же введем для него другую математическую модель. Предположим, что полезный сигнал представлен двоичной последовательностью 0, 1, 0, 1 и т.д. Вид такого сигнала и соответствующих ему модулированных сигналов показан на рисунке 2.1. Перейдем к спектрам модулированных колебаний. Так как мы предположили, что полезный сигнал регулярная импульсная последовательность, её можно представить рядом Фурье [47]:

 (2.1)

где постоянная составляющая полезного сигнала; , амплитуда и фаза соответствующей n-ой гармоники. Именно под действием этого сигнала и меняются параметры переносчика.

Модулированный сигнал

Рисунок 2.1 - Модулированный сигнал при фазовой модуляции

При фазовой модуляции частотный состав колебаний определяется по следующей формуле:

(2.2)

где - индекс модуляции; 1 - частота первой гармоники полезного сигнала.

2.2 Спектр модулированного сигнала

Внешний вид спектра колебания, модулированного по фазе, представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2- Спектр колебания, модулированного по фазе

Итоговый спектр ФМ сигнала состоит из несущей и двух боковых полос с частотами . Данное соотношение можно вывести из (2.2), для чего в выражениях сумм под знаком синуса нужно вынести за скобку время. Из выражения (2.2) видно, что амплитуды боковых составляющих можно определить по формуле:

. (2.3)

Так как по заданию , то в спектре будут отсутствовать составляющая 0 и чётные гармоники.

Для практического использования спектр необходимо ограничить полосой . Ограничение проведем по пяти крайним боковым составляющим. Расчёт полосы частот спектра проведём по формуле:

. (2.3)

где n количество боковых составляющих.

3. Согласование источника информации с каналом связи

3.1 Источник информации

Выборки передаваемого сигнала это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле:

, (3.1)

де энтропия алфавита источника, среднее время генерации одного знака алфавита.

Для введённого источника энтропия определяется при условии равенства вероятностей знаков алфавита, а среднее время равно интервалу между выборками.

Подставим значения в (3.1).

.

3.2 Согласование источника с каналом

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный.

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Пропускная способность гауссова канала равна:

, (3.2)

где FД - частота дискретизации, определенная выше. Рп мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N0 (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала :

. (3.3)

По этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона , определим РС, обеспечивающую передачу по каналу.

Выделим из (3.2) Рс.

, Вт. (3.4)

сигнал код спектр шум

4. Расчёт вероятности ошибки в канале с аддитивным белым шумом

4.1 Определение вероятности ошибки

Вероятность ошибки P0 зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. Расчёт вероятности ошибки, прежде всего, необходим при оптимальной схеме приёмника, т.е. наилучшей в смысле заданного критерия. В технике связи критерием является критерий Котельникова (оптимального наблюдателя). Согласно его требованиям полная вероятность ошибки должна быть минимальной.

Для реализации такого критерия служит оптимальная решающая схема. При авновероятных и взаимонезависимых сигналах решающая схема поэлементного приёма принимает решение независимо от решения относительно других символов и имеет вид:

(4.1)

Символ Si над неравенством указывает на то, что решение принимается в пользу сигнала Si. Из второй общей формулы можно получить простые записи с оговоркой тех или иных условий. Будем считать, что отсчёт времени начинается с началом k-го элемента сигнала, что C(t)=S(t) - приходящий полезный сигнал, и тогда условие правильной регистрации сигнала Si(t) имеет вид:

. (4.2)

где Ei, Ej - энергии i-, j-й реализации сигнала.

Реализовать данное неравенство можно двумя способами.

Первая оптимальная решающая схема получила название корреляционного приёмника. При условии равенства энергий Ei и Ej (такой случай будет, в частности, в двоичном канале с ЧМ и ФМ) и двух сигналах S1, S2:

. (4.3)

Структурная схема оптимального приёмника сигнала с ФМ приведена ниже.

Рисунок 4.1 - Схема оптимального приёмника

В оптимальном приёмнике, показанном на рисунке 4.1, на основании сравнения функций взаимной корреляции принимается решение о наличии сигнала S1 или S0.

В общем случае вероятность ошибки:

, (4.4)

гдe функция Лапласа;

- энергия разностного сигнала;

;

N0 - односторонняя плотность мощности белого шума; множитель характеризует ослабление передаваемых сигналов S1(t) и S2(t).

Формула для расчёта P0 может быть существенно упрощена для конкретного вида сигналов. Для сигнала с фазовой модуляцией:

, (4.5)

где . Рассчитаем вероятность ошибки.

В программе MathCAD функция Лапласа эквивалентна функции erf(x). Вычислим данную функцию:

.

Следовательно, вероятность ошибки равна нулю.

.

Из проделанных расчетов можно сделать вывод, что принятая приемником информация полностью соответствует переданной.

Заключение

В ходе работы был произведен расчет спектра различных сигналов и их энергетических характеристик, была вычислена практическая ширина спектра каждого сигнала и выбран сигнал с наименьшей шириной спектра. Рассчитана разрядность кода, которым может быть представлен сигнал. Рассчитаны спектральные характеристики кодового сигнала и фазомодулированного сигнала. Рассчитана вероятность ошибки при приеме сообщения при воздействии белого шума.

Список использованных источников

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. - 512 с.

2. Баженов Н.Н. Характеристики сигналов в каналах связи: методические указания к курсовому проекту по дисциплине "Теория передачи сигнала". Омск, 2001.

3. Баженов Н.Н., Картавцев А.С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи: Методические указания к курсовой работе по дисциплине "Теоретические основы транспортной связи" / Омский ин-т инж. ж.-д. транспорта. - Омск, 1990.-24 с.

Размещено на Allbest.ru

...