Теория активной модуляции добротности

Размещено на http://allbest.ru/

Белорусский национальный технический университет

Приборостроительный факультет

Кафедра «Лазерная техника и технология»

«Теория активной модуляции добротности»

по дисциплине «Лазеры и управление характеристиками лазерного излучения»

Выполнил: Синцов П.В.

Проверил: Юмашев

Минск 2009

Содержание

Введение

Метод модуляции добротности позволяет получать лазерную генерацию в виде коротких импульсов (длительностью от нескольких наносекунд до нескольких десятков наносекунд) с высокой пиковой мощностью (от нескольких мегаватт до нескольких десятков мегаватт). Основная идея метода состоит в следующем. Предположим, что в резонатор лазера помещен затвор. Если затвор закрыт, то генерация возникнуть не может и инверсия населенностей может достичь значения, которое намного превышает пороговое, имеющее место в отсутствие затвора. Если теперь резко открыть затвор, то усиление в лазере существенно превысит потери и накопленная энергия выделится в виде короткого и интенсивного светового импульса. Поскольку при этом происходит переключение добротности резонатора от низкого к высокому значению, то данный метод называется модуляцией добротности.

Теория активной модуляции добротности

Активной называется модуляция добротности, когда оптический затвор открывается посредством сигнала из вне или механического открытия затвора оператором.

Для простоты ограничимся рассмотрением лишь активной модуляции добротности и в дальнейшем будем считать, что переключение добротности происходит мгновенно (быстрое переключение). С целью описания происходящих в лазере процессов можно снова воспользоваться следующими уравнениями соответственно для четырех- и трехуровневых лазеров:

N = W_p(N_t - N) - BqN - N/ф,(1а)

q = (V_aBN - 1/ф_c)q.(1б)

N = W_p (N_t -N) - 2BqN - (N_t + N)/ф,(2а)

q = (V_aBN-1/ф_e)q.(2б)

Четырёхуровневый лазер

Рассмотрим сначала импульсный четырехуровневый лазер (рис. 1) и предположим, что при t < 0 потери столь велики, что лазер находится в условиях ниже пороговых (т. е. q = 0 при t<0).

Рис.1. Развитие импульса в лазере с модуляцией добротности, работающем в импульсном режиме.

лазерный генерация импульс модуляция добротность

На рисунке показаны временные зависимости скорости накачки Wp, потерь резонатора г, инверсии населенностей N и числа фотонов q.

Если модуляция добротности происходит в момент времени, когда N(t) достигает максимального значения, то соответствующую начальную инверсию можно получить из уравнения (1а), полагая в его левой части N = 0. Тогда, предполагая N << N_t и учитывая, что q = 0, получаем

N_i = фW_p(0)N_t,(3)

где W_p(0) -- значение скорости накачки в момент времени t = 0.

Предположим теперь, что временная зависимость W_p(t) имеет всего один и тот же вид независимо от величины интеграла ?W_pdt, т. е. от энергии накачки.

Тогда можно положить W_p(0) ~ ?W_pdt, так что, например, если удваивается ?W_pdt, то удваивается также и W_p(0).

Таким образом, если Е_р -- энергия накачки, соответствующая данной скорости накачки (E_р ~ ?W_pdt), то из соотношения (3) и последующего обсуждения вытекает, что N_i ~ Е_р.

Следовательно, обозначив начальную инверсию при работе лазера на пороге генерации как N_ic, а соответствующую энергию накачки как E_cp, мы можем написать

N_i/N_ic = (E_p/E_cp) = x,(4)

где х = Е_р/Е_ср. Поскольку N_iс -- это попросту критическая инверсия для данного лазера (в режиме модулированной добротности), ее значение можно получить из уравнения (1б), полагая q = 0. Таким образом мы находим, что N_ic = г/уl.

Если известна N_ic, т. е. известны г, у и l, и если также известно отношение х энергии накачки и пороговой энергии накачки, то выражение (4) позволяет найти начальную инверсию N_i.

После того как мы вычислили N_i, эволюцию системы во времени после включения добротности (т. е. при t > 0) можно описать уравнением (1) с начальными условиями N(0)=N_i и q(0)=q_i. Здесь вновь q_i -- небольшое число фотонов, необходимое для того, чтобы началась лазерная генерация. Впрочем, уравнения можно существенно упростить, поскольку мы ожидаем, что изменения во времени величин N(t) и q(t) происходят за столь короткие промежутки времени, что в уравнении (1а) можно пренебречь членом W_p(Nt -- N), отвечающим за накачку, и членом N/ф, отвечающим за релаксацию. Тогда уравнения (1) сводятся к следующим:

N = -- BqN,(5а)

q = (V_aBN - 1/ф_с)q.(5б)

Рис. .2. Последовательность событий в лазере с модулированной добротностью (быстрое включение), а -- временные зависимости скорости накачки Wp и потерь в резонаторе г; б -- временные зависимости инверсии населенностей N(t) и числа фотонов q(t)

Прежде чем продолжить наше рассмотрение, следует заметить, что в соответствии с (5б) населенность N_p, отвечающая максимуму светового импульса (см. рис. 2б), т. е. когда q = 0, дается выражением

N_p=1/V_aBф_с = г/уl,(6)

которое в точности совпадает с выражением для критической инверсии N_ic. Этот результат с учетом выражения (4) позволяет записать отношение N_i/N_p в виде, полезном для дальнейшего рассмотрения:

N_i/N_p = x.(7)

Сделав эти предварительные замечания, можно перейти к вычислению пиковой мощности импульса, выходящего из лазера через, скажем, зеркало 2. Согласно P₂ = (г₂c_o/2L')hvq, мы имеем

P₂ = (г₂c_o/2L')hvq_p;(8)

здесь q_P -- число фотонов в резонаторе в тот момент времени, когда лазерный импульс достигает пикового значения. Для вычисления q_p разделим уравнение (5б) на (5а). Учитывая также соотношение (6), получаем уравнение

dq/dN = - V_a(1 - N_p/N),(9)

которое нетрудно проинтегрировать, и мы имеем выражение:

q = V_a[N_i-N-N_pln(N_i/N)],(10)

где для простоты мы пренебрегли небольшим числом q_i Тогда в максимуме импульса получаем:

q_p = V_aN_p[N_i/N_p - ln(N_i/N_P) - 1].(11)

Из этого выражения можно сразу получить q_p, если известны N_p [из (6)] и отношение Ni/N_p [из (7)]. Теперь из формул (8) и (11) можно вычислить пиковую выходную мощность:

Р_2р = (г₂/2)(A_e/у)(hv/ф_c)[N_i/N_p - ln(N_i/N_p) - 1].(12)

Следует заметить, что в данном выражении мы использовали формулу

V_a = A_el.(13)

Вычислим теперь выходную энергию Е. Для этого сначала заметим, что

Е=?P₂(t)dt =(г₂c₀/2L')hv?qdt,(14)

где P₂(t) -- выходная мощность как функция времени и где мы использовали формулу (13). Интегрирование в выражении (14) нетрудно выполнить, если проинтегрировать обе части уравнения (5б) и заметить, что q(0) = q(?) = 0. При этом получаем ?qdt = V_aф_c ?BqNdt. Интеграл ?BqNdt можно теперь вычислить, интегрируя обе части уравнения (5а), откуда находим ?BqNdt = N_i -- N_f, где N_f -- конечная инверсия населенностей (см. рис. 2). Таким образом, получаем ?qdt = V_aф_c(N_i -- N_f), и выражение (14) принимает вид:

Е = (г₂/2г)(N_i - N_f)(V_ahv).(15)

Смысл этого выражения нетрудно понять, если заметить, что величина

N_i --N_f -- это имеющаяся в наличии инверсия, которая дает число фотонов (N_i -- N_f)V_a. Из этого числа фотонов, испущенных средой, лишь г₂/2г фотонов дает выходную энергию. Чтобы вычислить Е с помощью (15), необходимо знать N_f. Эту величину можно получить из выражения (10), полагая в нем t = ?. Поскольку q(?) = 0, получаем:

(N_i - N_f)/N_i = (N_p/N_i)ln(N_i/N_f). (16)

Из этого соотношения находим N_f/N_i как функцию величины N_p/N_i. Стоящая слева в (16) величина (N_i -- N_f)/N_i = з_E называется коэффициентом использования инверсии (или энергии). Действительно, хотя начальная инверсия равна N_i, фактически используется лишь разность N_i -- N_f. Соотношение (16) можно переписать через з_E следующим образом:

(N_i/N_p)з_E = - ln(l-з_E).(17)

Рис.3 Коэффициент использования энергии зE в зависимости от отношения Ni/Np начальной инверсии к пиковой.

На рис. 3 построена кривая зависимости коэффициента использования энергии з_E от N_i/N_p, полученная вычислением (17). Заметим, что при больших значениях N_i/N_p, т. е. когда энергия накачки намного превосходит пороговую энергию накачки, коэффициент использования энергии стремится к единице.

Заметим также, что переписывая (15) через з_E и учитывая формулы (13) и (6), это выражение можно представить в более простом и наглядном виде:

Е = (г₂/2)(N_i/N_P)з_E(A_e/у)hv.(18)

Если известны выходная энергия и пиковая мощность, то можно найти приближенное значение длительности импульсов Дф_Р, определив его с помощью соотношения Дф_Р = Е/Р_2р. Из выражений (18) и (12) получаем:

(19)

Заметим, что в зависимости от значения N_i/N_p величина примерно в 2--8 раз больше времени жизни фотона в резонаторе . Например, выбрав N_i/N_p = х = 2,5, из рис. 3 получаем з_E = 0,89, а из (19) имеем 3,81ф_с. Однако следует заметить, что выражение (19) дает лишь приближенное значение , поэтому необходимо также помнить, что импульс является несимметричным, поскольку длительность его переднего фронта ф_r всегда меньше длительности заднего фронта ф_f.

Например, если определить ф_r и ф_f как интервалы времени от пиковой мощности импульса до моментов времени, соответствующих половине пиковой мощности, то численный расчет для рассмотренного выше примера дает значения ф_r = 1,45ф_с и ф_f = 2,06ф_с. Мы видим, что в данном примере вычисленное при помощи соотношения (19) приближенное значение примерно на 9% превышает расчетное значение ф_r + ф_f. Полученное соотношение приближенно выполняется для любого N_i/N_p.

Время задержки между максимумом импульса и моментом включения добротности резонатора ф_d (см. рис. 1) можно считать приближенно равным времени, которое необходимо для того, чтобы число фотонов достигло определенной величины относительно максимального числа фотонов.

Если выбрать, например, эту долю равной 1/10, то до этого момента времени не произойдет сколько-нибудь заметного насыщения инверсии и в уравнении (5б) можно воспользоваться приближением N(t) =N_i. Тогда это уравнение с учетом соотношений (6) и (7) принимает вид q = (х -- 1)q/ ф_c, и после интегрирования мы имеем

q = q_i ехр[(х-1)t/ф_с].(20)

Подставляя сюда q -- q_p/10, находим время задержки ф_d.Таким образом, полагая q_i = 1, получаем

ф_d = [ф_c/(х - 1)] ln(q_p/10);(21)

здесь q_p дается выражением (11). Заметим, что, поскольку q_p очень большое число (~ 10¹⁷ в примере, рассматриваемом в следующем разделе), величина ф_d не изменилась бы существенно, если бы в выражении (21) под знаком логарифма вместо q_p/10 мы выбрали q_p/20.

Трёхуровневый лазер

Вычисления проводятся аналогичным образом, только исходят из уравнений (2). В случае активной модуляции добротности для четырёхуровневого лазера они сводятся к следующим:

N = -- 2BqN,(22а)

q = (V_aBN - 1/ф_e)q.(22б)

уравнение (7) будет справедливо и в этом случае, так как уравнения для числа фотонов одинаковы для обоих лазеров. Найдём q_p:

q_p = (V_aN_p/2)[N_i/N_p - ln(N_i/N_P) - 1].(23)

Выражение для мощности:

Р_2р = (г₂/4)(A_e/у)(hv/ф_e)[N_i/N_p - ln(N_i/N_p) - 1].(24)

Е = (г₂/4г)(N_i - N_f)(V_ahv).(25)

Пользуясь формулой (17), а она справедлива и в этом случае, поскольку её можно вывести как из (10), так и из (23), получим

Е = (г₂/4)(N_i/N_P)з_E(A_e/у)hv.(26)

(27)

Заключение

При расчёте выходных характеристик обнаружил, что энергия и мощность генерации излучения в четырёхуровневом лазере больше в два раза, чем в трёхуровневом. Время длительности импульса одинаковое.

Литература

1. Kogelnik Н. -- In: Applied Optics and Optical Engineering (eds. R. Shannon, J. C. Wynant), Academic Press, New York, 1979, vol. VII, pp. 156-- 190.

2. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 6th edn., Pergamon Press, Oxford, 1980, Sec. 7.6. [Имеется перевод 2-го издания: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. -- М.: Наука, 1970.1

3. Ritter Е. -- In: Laser Handbook (eds. F. Т. Arecchi, E. O. Schulz-Dubois), North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1972, v. 1, pp. 897--921.

4. Baumeister P. -- In: Applied Optics and Optical Engineering (ed. R. Kings-lake), Academic Press, New York, 1965, v. I, pp. 285--323.

5. Schawlow A. L., Townes С. H., Phys. Rev., 112, 1940 (1958).

6. Fox A. G., Li Т., Bell System Tech. J., 40, 453 (1961).

7. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 6th end., Pergamon Press, London, 1980, pp. 370--382. [Имеется перевод 2-го издания: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. -- М.: Наука, 1970.1

8. Kogelnik Я., Li Т., Appl. Opt., 5, 1550 (1966).

9. Boyd G. D., Gordon J. P., Bell System Tech. J., 40, 489 (1961).

10. Slepian D., Pollack H. O., Bell System Tech. J., 40, 43 (1961).

11. Siegman A. E., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, Sec. 20.2

12. Li Т., Bell System Tech. J., 44, 917 (1965).

13. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 4th edn., Pergamon Press, London, 1970, sec. 1.6.5. [Имеется перевод 2-го издания: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. -- М.: Наука, 1970.]

14. Siegman А. Е., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, chap. 22

15. Steier W. H. -- In: Laser Handbook (ed. M. L. Stitch), North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1979, v. 3, pp. 3--39.

16. Siegman A. ?., Proc. IEEE, 53, 277--287 (1965).

17. Rensch D. В., Chester A. N., Appl. Opt., 12, 997 (1973).

Размещено на Allbest.ru