Теоретичні основі ідентифікації та моделювання

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Основні поняття, визначення та завдання ідентифікації

Теорія ідентифікації та моделювання - це науково-технічна дисципліна, що займається питаннями побудови моделей об'єктів керування та систем керування і вирішує проблему оцінки параметрів цих моделей.

При розгляді проблеми ідентифікації розрізняють статичний підхід, сутність якого полягає в наступному: ставляться експериментальні дослідження, одержують експериментальну вибірку, що характеризує динаміку моделі, на підставі апріорних даних про фізичні процеси в моделі визначається структура самої моделі, а по експериментальній вибірці визначаються налагоджуючі параметри моделі.

Існує також динамічний підхід до проблеми ідентифікації: є деяка замкнута система, у цій системі спеціальним чином вводиться додатковий контур ідентифікації, що відслідковує зміну параметрів моделі в процесі реального функціонування системи, на підставі деякого критерію робимо оцінку моделі і при необхідності змінюємо налагоджуючі параметри об'єкта, або системи в цілому.

1.1 Основні поняття теорії ідентифікації

Перед детальним оглядом основних понять та задач ідентифікації, слід виділити основне завдання, що складає основу.

Проблеми, пов'язані зі створенням математичних моделей об'єктів технологічних процесів, економіки й живої природи, формують один з основних напрямків науки й техніки - моделювання.

Це пояснюється тим, що математичні моделі об'єктів широко застосовуються як при створенні систем керування цими об'єктами, так і при їх експлуатації.

Далі будуть розглядатись тільки моделі технічних об'єктів і систем. Об'єкти й системи являють собою сукупність матеріальних тіл, що перебувають у безперервній взаємодії між собою й з навколишнім середовищем.

Побудова математичної моделі об'єкта може проводитися декількома методами: аналітичним, експериментальним і експериментально-аналітичним.

Аналітичний метод передбачає одержання математичного опису об'єкта на основі законів фізики, механіки, хімії і т.д. Такий підхід дає позитивний результат, якщо розглянутий об'єкт досить простий за структурою й добре вивчений. Якщо ж об'єкт вивчений недостатньо або ж настільки складний, що аналітичний опис його математичною моделлю практично неможливий, звертаються до експериментальних методів, суть яких зводиться до статистичної обробки технологічних даних. При експериментально-аналітичному методі апріорна модель, отримана аналітичним шляхом, уточнюється у відповідних експериментах.

Взаємодію об'єкта з навколишнім середовищем пояснимо за допомогою найпростішої схеми (рис. 1.1). Вплив зовнішнього середовища на об'єкт в узагальненому виді зображено стрілками, спрямованими до об'єкта й позначеними через u(t) і f(t). Об'єкт, у свою чергу, впливає на навколишнє середовище. Цей вплив показаний стрілкою, спрямованою від об'єкта й позначеною через y(t). Величину y прийнято називати вихідним впливом або вихідною величиною об'єкта.

Рис. 1.1

Розглянемо більш детальний вплив середовища на об'єкт. Сукупність таких впливів навколишнього світу на об'єкт можна розділити на дві групи відповідно до характеру впливу середовища на змінні стани (фазові координати) об'єкта. У першу групу входять ті впливи, які в місці прикладання дії змінюють змінні стани адитивно. Це означає, що сигнали, пропорційні цим впливам, підсумовуються із сигналами, пропорційними відповідним змінним стану.

Ці впливи називають вхідними, або зовнішніми, впливами. Надалі будемо називати ці впливи вхідними.

Друга група впливів зовнішнього середовища змінює змінні стани об'єкта побічно, зазвичай не адитивно. Ці впливи призводять до зміни оператора об'єкта (системи), під яким розуміють закон перетворення вхідних впливів у вихідні змінні об'єкта. Другу групу впливів будемо називати операторною, а впливи - операторними.

Так, наприклад, підвищення температури електродвигуна призводить до падіння потужності й навіть виходу його з ладу.

У загальному випадку вхідні й вихідні впливи можуть описуватися певними функціями (звичайно функціями часу). Математично відповідність між вхідною і вихідною функціями можна записати у вигляді виразу:

,

де A(f) - оператор, що залежить від збурювань (операторних впливів); y(t) - вектор вихідних координат об'єкта; u(t) - вектор керування (входу).

Оператор об'єкта є його математичною характеристикою, тобто математичною моделлю об'єкта.

Прикладами операторів можуть бути:

оператор диференціювання p:

;

диференціальний оператор D(y) :

;

оператор звичайного лінійного диференціального рівняння n-го порядку L(y):

;

лінійний інтегральний оператор:

,

де щ(t) - функція ваги об'єкта.

Математично оператори визначаються у відповідних просторах, тобто на безлічі елементів, над якими відбуваються перетворення. Прикладами таких просторів є простори: безперервних функцій; безперервних функцій, що мають безперервні похідні до n-го порядку (n>0); функцій із доданим квадратом і т.д. Безлічі вхідних і вихідних сигналів об'єктів і систем можуть розглядатися як ті або інші метричні простори.

Формально оператор характеризується структурою й параметрами. Так, структура диференціального оператора визначається його порядком n. Для оператора диференціального рівняння структура задається його порядком n, а параметрами служать величини a_i(t), [i = 0,n]. Таким чином, завдання ідентифікації в загальному виді можна ставити як завдання визначення оператора об'єкта, що перетворить вхідні впливи у вихідні.

Отже завдання ідентифікації полягає у встановленні математичних співвідношень між вимірюваними входами і виходами при заданих їхніх вимірах у часі (ідентифікація в широкому змісті).

Визначення параметрів заданої математичної моделі за результатами вимірів вхід-вихід також називають завданням ідентифікації (ідентифікація у вузькому змісті).

1.2 Загальна постановка задачі ідентифікації

ідентифікація моделювання сигнал

Нехай задано вектор z(t), збурений шумом, варіант вектора стану системи x(t), вхідний сигнал u(t) і зовнішнє збурювання w(t), причому:

z(t)=h[x(t), u(t), w(t), p(t), v(t), t]

де p(t) - невідомі параметри системи; v(t) - вектор помилок вимірів.

Передбачається, що вектор стану описується стохастичним диференціальним рівнянням (рис. 1.2):

dx(t)/dt = f [x(t), u(t), w(t), p(t), t]

Порядок системи звичайно відомий заздалегідь. Рішення завдання ідентифікації повинно включати визначення оцінки вектора невідомих параметрів p(t). В якості невідомих параметрів можуть виступати коефіцієнти диференціальних рівнянь, середні значення, дисперсії вхідного шуму w(t) і помилки вимірювань v(t).

Виділимо деякі підкласи загального завдання ідентифікації:

- Ідентифікація без перешкод (відсутні шуми w(t) і v(t)). Відомий вхід u(t) і точні спостереження вектора стану x(t).

- Моделі спостережень і системи приймаються лінійними.

- Вхідний шум w(t) - не спостерігаємо.



Рис. 1.2

При класичному підході до створення системи рівнянь ідентифікація здійснюється ще на етапі проектування системи.

Звичайно у високоорганізованих системах рівнянь необхідна повторна або безперервна в реальному масштабі часу ідентифікація, щоб забезпечити адаптацію системи в умовах зміни зовнішніх впливів і параметрів системи.

Таким чином, існує два підходи до рішення проблеми ідентифікації:

- у реальному масштабі часу (по кожному виміру)

- поза контуром керування (пакетне подання інформації).

1.3 Основні завдання ідентифікації

Розглянемо різні постановки завдання ідентифікації. Як ми вже відзначали вище, у загальному вигляді завдання ідентифікації полягає у визначенні оператора об'єкта, що перетворить вхідні впливи у вихідні. У зв'язку із цим виділяють завдання структурної й параметричної ідентифікації.

При структурній ідентифікації визначають структуру й вид оператора об'єкта, або іншими словами вид математичної моделі об'єкта.

Після того як математична модель об'єкта визначена, проводять параметричну ідентифікацію, що полягає у визначенні числових параметрів математичної моделі.

Завданням структурної ідентифікації є представлення реального об'єкта керування у вигляді математичної моделі. Конкретний вибір математичної моделі залежить від типу об'єкта.

Для опису більших систем і об'єктів, таких як соціальні, виробничі, фінансово-економічні, використовуються семіотичні (знакові) і лінгвістичні моделі, що базуються на теорії множин і абстрактної алгебри.

У якості математичних моделей технічних систем застосовуються диференціальні рівняння у звичайних і часткових похідних. Причому при рішенні завдань керування перевага віддається моделям у просторі станів і структурованим моделям, описуваним диференціальними рівняннями у звичайних похідних.

Завдання параметричної ідентифікації можна сформулювати таким чином. Нехай є повністю спостережуваний і повністю керований об'єкт, що задається рівняннями стану:

;

;

;

де B - n-мірний вектор - стовпець, а C - n-мірний вектор - рядок, А - квадратна матриця розміром nЧn.

Елементи цих векторів А В та С невідомі числа. Метою ідентифікації є визначення цих чисел.

Під ідентифікацією надалі будемо розуміти знаходження параметрів моделей об'єктів, припускаючи, що рівняння моделей заздалегідь відомі й задаються за допомогою узагальненої структурної схеми об'єкта (рис. 1.3), тобто будемо розглядати питання параметричної ідентифікації.



Рис. 1.3

На схемі прийняті наступні позначення:

u і y - спостережувані вхідний і вихідний сигнали;

x - не спостережувана (схована) змінна, оцінювана побічно по сигналах u і y, одержуваним у результаті перетворення в системі операторами А В та H;

е1 і е2 - не спостережувані перешкоди (випадкові процеси типу білого шуму);

f і v - не спостережувані перешкоди (кореляційні в часі випадкові сигнали, у деяких випадках утримуючі детерміновані складові);

A, B, C, E, G, H - оператори, вид яких відомий, але невідомі параметри.

Основними постановками завдань ідентифікації є:

- ідентифікація, або визначення характеристик об'єкта ( за значеннями u і y визначити оператори А, В та C);

- генерація випадкових сигналів із заданими характеристиками, або визначення характеристик сигналів ( за значеннями f або v визначити оператор E або G, H);

- спостереження за схованими змінними, або визначення змінних стану (по спостережуваним u і y, відомим операторам A, B, C, E, G, H визначити x).

Рішення вищезгаданих завдань ідентифікації здійснюється методами параметричної й непараметричної ідентифікації. При використанні методів параметричної ідентифікації відразу визначаються коефіцієнти передатної функції або рівняння об'єкта. Друга група методів використовується для визначення тимчасових або частотних характеристик об'єктів, а також характеристик випадкових процесів генерованих об'єктами. По отриманих характеристиках потім визначаються передатна функція або рівняння об'єкта. У цей час більш широке поширення отримали методи параметричної ідентифікації.

Нижче приведемо методи параметричної та непараметричної ідентифікації:

Серед них виділяють основні методи по виду процесу ідентифікації:

- активні;

- пасивні;

За виглядом об'єкта:

- статичні;

- динамічні;

- лінійні;

- нелінійні;

- одномірні;

- багатомірні;

- стаціонарні;

- нестаціонарні;

За формою подання моделі:

- з диференціальними рівняннями;

- у вигляді передатних функцій;

- у вигляді функцій розкладання;

За виглядом інформації, використовуваної в методі ідентифікації:

- прямій;

- непрямий;

Залежно від прийнятого критерію:

- ті що використовують мінімальне СКО виходу об'єкта й моделі;

- з використанням МНК і його модифікацій;

- з використанням критерію максимальної правдоподібності;

- з мінімальним середнім ризиком;

У літературі є й інші способи класифікації.

Таким чином, для того, щоб вирішити завдання ідентифікації потрібно:

- визначити клас об'єкта;

- вибрати модель;

- вибрати критерій близькості об'єкта й моделі;

- сформулювати алгоритм.

2. Поняття про моделювання та сигнали

2.1 Основні поняття моделювання

Моделювання можна розглядати як заміщення досліджуваного об'єкта (оригіналу) описом чи іншим об'єктом, що називається моделлю і забезпечує адекватну з оригіналом поведінку в рамках деяких припущень і прийнятних похибок. Моделювання зазвичай виконується з метою пізнання властивостей оригіналу шляхом дослідження його моделі, а не самого об'єкта. Зрозуміло, що моделювання виправдано в тому випадку, коли воно є простішим за створення самого оригіналу або коли останній з якихось причин краще взагалі не створювати.

З моделями та моделюванням ми стикаємося в житті щодня. У дитинстві людину оточують іграшки: машинки, ляльки, конструктори і т.д. - Моделі, що повторюють окремі властивості реально існуючих предметів. Граючи, дитина отримує важливі знання про них і, виростаючи, починає грамотно застосовувати вже реальні об'єкти. У процесі мислення людина оперує образами об'єктів навколишнього світу, які є різновидами моделей - когнітивними (уявними) моделями. По суті твори живопису, скульптури і літератури теж можна вважати моделями реальних об'єктів.

Проте не тільки такі показові приклади демонструють роль математичного (і комп'ютерного) моделювання. В дійсності моделювання навіть найпростіших і широко розповсюджених пристроїв, наприклад роботи зливного бачка в туалеті або електричної праски, веде до величезної економії коштів та поліпшення якості виробів. Чим складніше проектований об'єкт, тим, як правило, важливіше роль моделювання в його вивченні і створенні. Широке застосування моделювання знаходить в радіотехніці і електроніці, у техніці обробки сигналів і комунікацій. У свою чергу успіхи в цьому напрямку сприяють створенню апаратних і програмних засобів математичного моделювання.

Важко переоцінити роль моделювання в освіті, де нерідко реальні лабораторні роботи замінюються їх комп'ютерним моделюванням.

Не можна не відзначити, що сучасні програми моделювання настільки добре моделюють реальні процеси, пристрої та системи, що з'являється ілюзія і насправді роботи з пристроями. І це широко використовується на практиці. Досить згадати тренажери для космонавтів, льотчиків і танкістів, широко використовуються при навчанні військовій майстерності. Але, мабуть, головне полягає в тому, що математичне моделювання дозволяє зрозуміти фізичну і математичну сутність модельованих явищ і обґрунтувати оптимальні підходи до проектування різних виробів.

Реальна користь від моделювання може бути отримана при виконанні двох головних умов:

1) Модель повинна бути адекватною оригіналу в тому сенсі, що вона повинна з достатньою точністю відображати характеристики оригіналу, які цікавлять дослідника;

2) Модель повинна усувати проблеми, пов'язані з фізичним вимірюванням тих чи інших сигналів або характеристик оригіналу.

Слід зазначити, що в більшості випадків моделювання зовсім не замінює реальний об'єкт і не скасовує необхідності в його розробці та реальному випробуванні. Воно просто значно зменшує обсяг робіт з проектування і дослідженню об'єктів. У тих же випадках, коли це не так, вартість моделювання може виявитися зрівняною з вартістю розробок і натурних випробувань виробів.

2.2 Основні види моделей

Залежно від способу реалізації всі моделі можна розділити на два великих класи.

Фізичні моделі. Вони припускають, як правило, реальне втілення тих фізичних властивостей оригіналу, які цікавлять дослідника. Спрощені фізичні моделі, нерідко зменшених габаритів, називаються макетами. Тому фізичне моделювання часто іменують макетуванням.

Математичні моделі. Вони являють собою формалізований опис об'єкту або системи за допомогою деякої абстрактної мови, наприклад у вигляді сукупності математичних співвідношень або схеми алгоритму. Розрізняють такі види математичного моделювання: вербальні (словесні), графічні, табличні, аналітичні та алгоритмічні. Нерідко математичні моделі виявляються придатними для опису безлічі систем і явищ в самих різних галузях науки, техніки та економіки.

Іноді математична модель описується рівняннями, які явно випливають з розгляду фізичної сутності моделювання явища або системи. Прикладом може служити експоненціальний вираз для вольт-амперної характеристики напівпровідникового діода (теорія передбачає саме такий її вид). Однак частіше опис модельованих об'єктів і систем носить чисто формальний характер і базується на тому, що багато явищ часом самої різної природи описуються рівняннями (алгебраїчними, диференціальними та іншими) одного і того ж виду. У цьому випадку говорять про формальні моделі. Наприклад, формальною моделлю діода служить модель у вигляді відрізків двох прямих - один задає опір діода у відкритому, а інший в закритому стані.

Якщо математична модель служить для імітації поведінки будь-якого реального об'єкта в часі, то вона називається імітаційної моделлю. В англомовній літературі це відповідає терміну Simulation Modeling (в смислі симуляції поведінки). До уточнення поняття імітаційної моделі ми ще повернемося.

Крім того, явища, системи та їхні моделі можуть бути нестаціонарними і стаціонарними.

Нестаціонарні моделі характеризуються залежністю їх параметрів від часу. У стаціонарних моделей такої залежності немає. Природно, що моделювання нестаціонарних явищ набагато складніше, ніж стаціонарних.

2.3 Основні властивості моделей

Моделі мають ряд властивостей, від яких залежить успіх їх застосування в практиці моделювання. Відзначимо лише деякі з них, найбільш важливі.

Адекватність - це ступінь відповідності моделі досліджуваному реальному об'єкту. Вона ніколи не може бути повною. На практиці модель вважають адекватною, якщо вона з задовільною точністю дозволяє досягти цілей дослідження.

Простота (складність) - чим більша кількість властивостей об'єкта описує модель, тим складнішою вона виявляється. Не завжди чим складніша модель, тим вище її адекватність. Треба прагнути знайти найбільш просту модель, що дозволяє досягти необхідних результатів вивчення.

Потенційність (передбачення) - здатність моделі дати нові знання про досліджуваний об'єкт, спрогнозувати його поведінку або властивості. На основі вивчення математичних моделей, що описують рух планет Сонячної системи з урахування закону всесвітнього тяжіння, теоретично були передбачені існування і орбіти планет Нептун і Плутон.

Є й інші властивості моделей, але вони не настільки важливі, як зазначені.

2.4 Цілі моделювання

Існує безліч конкретних цілей моделювання. Відзначимо цілі узагальнюючого значення: вивчення механізму явищ (пізнавальна мета); керування об'єктами й системами з метою створення по заданій моделі оптимальних керованих впливів і характеристик системи.

В обох випадках модель створюється для визначення й прогнозу характеристик або сигналів об'єкта, що цікавлять дослідника.

2.5 Поняття про сигнали

У багатьох випадках метою моделювання є вивчення реакції системи або пристроїв на деякі впливи, у якості яких звичайно використовуються сигнали. Іноді їх називають стандартними або тестовими сигналами.

Слово «сигнал» походить від латинського слова «сигнум» - знак. У фізико-математичному поданні під сигналом можна мати на увазі залежність деякого параметра (наприклад, напруги, струму, зусилля, відстані й т.д.) від іншого параметра (наприклад, часу, інтенсивності світла й т.д.). Однак ототожнювати сигнал просто з функцією не зовсім вірно.

Сигнали правильно розглядати як носії інформації тієї або іншої фізичної природи. Це можуть бути напруги й струми (електричні сигнали), коливання повітря при звуках (звукові сигнали), електромагнітні хвилі й світло (оптичні сигнали) і т.д.

Сигнали можна розглядати так само як форму, в яку була вибрана, передана, збережена або перероблена інформація, тощо.

Сигнали можуть бути перетворені з одного виду в іншій (наприклад, електричні сигнали можна перетворити в оптичні, і навпаки) при збереженні наявної в сигналі інформації.

За допомогою джерел сигналів можна оцінювати поведінку різних пристроїв і систем.

Прикладом можуть бути, найважливіші характеристики лінійних підсилювачів, які розглядаються як його реакція на гармонійний (синусоїдальний) сигнал:

де U_m - амплітуда сигналу, - кругова частота (у рад/с), f - частота (у Герцах), ц - фаза (у частках періоду Т=1/f або градусах).

Синусоїдальний сигнал є періодичною функцією часу t, що відповідає рівності:

u(t) = u(t ± k Т),

де k - ціле число.

Синусоїдальний сигнал стаціонарний - це означає, що його параметри (амплітуда, частота й фаза) не змінюються в часі. Такий сигнал визначений в інтервалі часу від - до +, тобто, власне кажучи, він є теоретичною абстракцією (досить відзначити, що енергія такого сигналу дорівнює нескінченності). Природно, що на практиці сигнал такого виду розглядається в кінцевому інтервалі часу. Метою моделювання імпульсних систем і пристроїв часто є оцінка їхнього впливу на імпульсні сигнали. У теоретичному аспекті особливий інтерес представляють два імпульсних сигнали: одиничний імпульс й одиничний стрибок.

Одиничний імпульс або функція визначається співвідношеннями:

.

Фізично цей сигнал не реалізований, але теоретично реакція на нього лінійної системи визначає її імпульсну характеристику. Графік дельта-функції зображено на рис. 2.1.

Одиничний стрибок (функція Хевісайда) визначається виразом:

Одиничний стрибок легко реалізується фізично, а реакція системи на нього є її перехідна характеристика. Іноді застосовуються трохи відмінні вирази для одиничного стрибка, наприклад вважають його значення рівним 1 при t > 0. Графік функції Хевісайда, похідна від якої - дельта-функція зображено на рис. 2.2.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Існує безліч імпульсних сигналів всілякої форми. Наприклад, прямокутний імпульс одиничної амплітуди й заданої тривалості t_n неважко одержати, склавши з одиничним стрибком інший стрибок (з 0 на -l) із затримкою t_n. Імпульсні сигнали різної форми (прямокутної, трикутної, пилоподібної й іншої) створюються джерелами сигналів, блоки яких є в програмах математичного моделювання.

Реакція системи або пристрою на вхідні сигнали в свою чергу може бути представлена вихідними сигналами. Таким чином, цілком правомірно вважати, що системи моделювання відносяться до інформаційних систем, завдання яких полягає в обробці деякої безлічі вхідних сигналів з метою одержання безлічі вихідних сигналів. Останні можуть використатися для керування об'єктами або просто для одержання інформації про закономірності роботи тих або інших систем і пристроїв.

Література

1. Л. Льюнг Идентификация систем - М.: Наука, 2001 г., - 430 с.

2. Р. Гонсалес, Р. Вудс, С. Єддинс Цифровая обработка изображений в бреде Matlab - М.: Техносфера, 2006 г, - 614 с.

3. С. Карлин, В. Стадден Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике - М.: Наука, 1976 г., - 566 с.

4. В. Дьяконов VisSim+Matchcad+Matlab визуальное математическое моделирование - М.: СОЛОН-Пресс, 2004 г., - 370 с.

5. А.И. Солонина, С.М. Арбузов Цифровая обработка сигналов и моделирование в Matlab - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2008 г., - 798 с.

6. В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов Матрицы и вычисления - М.: Наука, 1984 г., 480 с.

7. V. Ingle, J. Proakis Digital Signal Processing Using MATLAB. Second Edition - Thomson.

8. Web-ресурс: http://www.exponenta.ru/

9. Web-ресурс: http://matlab.exponenta.ru/index.php

Размещено на Allbest.ru

...