Исследование линейной части системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные сведения

Решение задачи для следующих исходных данных:

- постоянная времени объекта =20 с,

- коэффициент усиления объекта и регулирующего органа k₀ =30 град/рад,

- коэффициент усиления чувствительного элемента k₁=0,25 А-в/град,

- коэффициент усиления двигателя k₂=2,5 рад/(В*с),

- передаточное отношение редуктора i=1000,

- коэффициент усиления цепи обратной связи k_ос=4,5 А-в/рад,

- ампер-витки срабатывания реле =0,7,

- максимальное напряжение на выходе релейного усилителя U_max=125 В.

Описание САУ

Составление уравнений элементов САУ.

Для заданной принципиальной схемы составим дифференциальные уравнения звеньев системы.

Уравнение регулируемого объекта

(1.1)

где - фактическое значение температуры объекта, - угол поворота регулирующего органа.

Уравнение чувствительного элемента.

(1.2)

где - заданное значение температуры объекта, - ошибка рассогласования системы.

Уравнение релейного усилителя.

(1.3)

где - нелинейная функция, заданная статической характеристикой (см. рис. 2).

Уравнение двигателя постоянного тока.

(1.4)

где - угол поворота вала двигателя.

Уравнение редуктора.

(1.5)

где - коэффициент передачи редуктора.

Уравнение цепи обратной связи

(1.6)

где - ампер-витки обмотки обратной связи.

Составление структурно-математической схемы САУ

Структурно-математическая схемы системы автоматического регулирования температуры изображена на рис. 3.

В соответствии со структурно - математической схемой дифференциальное уравнение линейной части системы можно записать в следующем виде:

(1.7)

Подставим в уравнение (1.7) численные значения параметров и получим

(1.8)

Уравнение нелинейной части (1.7) дополняется уравнением нелинейного звена (1.3)

(1.9)

2. Метод фазовых траекторий

Исследуем устойчивость САУ температуры методом фазового пространства при отключенной местной обратной связи (см. рис. 1).

В режиме стабилизации температуры можно принять . При этом уравнения звеньев системы можно записать в следующем виде:

1) Уравнение объекта регулирования

2) Уравнение чувствительного элемента

3) Уравнение усилителя (при k_ос=0)

4) Уравнение двигателя постоянного тока



5) Уравнение редуктора

Учитывая, что ток в обмотке поляризованного реле пропорционален отклонению температуры , а скорость отклонения регулирующего органа пропорциональна напряжению , в качестве входной величины нелинейного звена (поляризованного реле) можно принять , а в качестве выходной-величину (см. рис. 1).

Рис. 1. Статическая характеристика нелинейного звена

На этом рисунке

В соответствии с уравнением объекта регулирования (2.1) и статической характеристикой нелинейого звена (см. рис. 1) уравнения всей системы можно записать в следующем виде:

(2.6)

Подставив в уравнения (2.14) - (2.16) численные значения, получим:

По данным уравнениям построим фазовый портрет всей системы.

3. Метод Ляпунова

Согласно структурно-математической схеме САУ температуры описывается следующими дифференциальными и алгебраическими уравнениями:

Введем обозначения:

Получим:

(3.2)

Общий вид системы нелинейных уравнений 2-го порядка, заданных в нормальной форме, представлен ниже:

(3.3)

Откуда следует:

Запишем уравнения в канонической форме. Для этого из коэффициентов уравнения составим определитель.

(3.4)

Для нашего случая определитель имеет вид:

Определим корни характеристического уравнения

(3.5)

Ввиду того, что в характеристическом уравнении имеется один нулевой корень, канонические уравнения записываются в следующем виде:

(3.6)

Определим постоянные

:

(3.7)

где D_ik(л) обозначает алгебраическое дополнение элемента i - той строки и k-го столбца определителя D(л).

По формуле (3.7) определим:



Определим D(л):

(3.8)

Поскольку л₁=0, то и

(3.9)

Для класса нелинейных систем, к которому принадлежит рассматриваемая система, достаточные условия устойчивости имеют вид:

Это условие приводит к следующему достаточному условию устойчивости рассматриваемой системы:

4. Частотный метод Попова при отключенной местной обратной связи

В режиме стабилизации температуры можно принять .

Коэффициент усиления линейной части системы равен

Коэффициент усиления нелинейного звена системы равен

Коэффициент усиления линейной части системы и нелинейного звена условно отнесем к нелинейному звену.

Необходимо определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного звена расположена в секторе (0, k)

Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:

(4.1)

Её вещественная и мнимая части соответственно равны:

(4.2)

Введем некоторые функции следующим образом:

(4.3)

По данным выражениям построим характеристику и через точку (-1/k, j0) проведем прямую Попова так, чтобы построенная характеристика целиком лежала справа от этой прямой.

??????

w	U	V
0	-0,5	-1
0,01	-0,49999	-0,99998
0,1	-0,49875	-0,99751
0,2	-0,49505	-0,9901
0,3	-0,489	-0,978
0,4	-0,48077	-0,96154
0,5	-0,47059	-0,94118
0,6	-0,45872	-0,91743
0,7	-0,44543	-0,89087
0,8	-0,43103	-0,86207
0,9	-0,4158	-0,8316
1	-0,4	-0,8
10	-0,01923	-0,03846
19	-0,00548	-0,01096
28	-0,00254	-0,00508
37	-0,00146	-0,00291
82	-0,0003	-0,00059
91	-0,00024	-0,00048
100	-0,0002	-0,0004
127	-0,00012	-0,00025
136	-0,00011	-0,00022
172	-6,8E-05	-0,00014
181	-6,1E-05	-0,00012
199	-5E-05	-0,0001
208	-4,6E-05	-9,2E-05
217	-4,2E-05	-8,5E-05
235	-3,6E-05	-7,2E-05
262	-2,9E-05	-5,8E-05
289	-2,4E-05	-4,8E-05
298	-2,3E-05	-4,5E-05
307	-2,1E-05	-4,2E-05
1000	-2E-06	-4E-06
5000	-8E-08	-1,6E-07
9000	-2,5E-08	-4,9E-08
13000	-1,2E-08	-2,4E-08
17000	-6,9E-09	-1,4E-08
21000	-4,5E-09	-9,1E-09
25000	-3,2E-09	-6,4E-09
29000	-2,4E-09	-4,8E-09
33000	-1,8E-09	-3,7E-09
37000	-1,5E-09	-2,9E-09
41000	-1,2E-09	-2,4E-09
45000	-9,9E-10	-2E-09
49000	-8,3E-10	-1,7E-09
100000	-2E-10	-4E-10
100000000	-2E-16	-4E-16

Рис. 2. Характеристика V*(щ)=? (U*(щ)) и прямая Попова

Расчетное значение разомкнутой системы равно

Система абсолютна устойчива для всех нелинейных характеристик, лежащих в секторе 0<k<3.35 и, в частности, для характеристики релейного типа.

5. Алгебраический метод

По структурно-математической схеме определяем дифференциальное уравнение линейной части системы при отключенной местной обратной связи и :

(5.1)

Для линейного звена запишем гармонически линеаризованное выражение:

(5.2)

где для нелинейности

(5.3)

Подставляя значение u из уравнения (5.2) в уравнение (5.1), получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы

(5.4)

где - коэффициент усиления линейной части системы.

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение

(5.5)

Условие существования в уравнении (5.4) периодического решения

(5.6)

Будем отыскивать с помощью критерия Михайлова. Для этого в характеристический полином

(5.7)

Подставим , выделим вещественную и мнимую части и приравняем их нулю:

(5.8)

Из второго уравнения системы (5.8) найдем искомую частоту периодического решения

Подставим это решение в первое уравнение (5.8) и найдем выражение, связывающее амплитуду периодического решения a=A с параметрами системы:

(5.9)

Отсюда получим:

Для исследования устойчивости найденного периодического решения воспользуемся приближенным аналитическим условием, согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство:

(5.10)

Из выражений (5.8) находим

Подставим выражения для частных производных в (5.10) и одновременно произведем замену

Получим условие устойчивости периодического решения в виде

(5.11)

В данном случае условие существования периодического решения имеет вид: Следовательно, автоколебания отсутствуют, состояние равновесия системы устойчиво.

6. Метод гармонической линеаризации

Введем следующие обозначения:

- коэффициент усиления линейно части системы.

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы и годограф гармонически линеаризованного нелинейного звена . Согласно структурно-математической схеме частотная передаточная функция линейной части системы равна:

,

ее модуль

и фаза

Её вещественная и мнимая части соответственно равны:

(6.2)

Задаваясь значениями от 0 до , по формулам (3.1) и (3.2) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы



Рис. 3. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена равна:

После подстановки численных значений параметров нелинейного звена получим:

(6.3)

Задаемся значениями от и строим годограф нелинейного звена (см. рис. 3). Минимальное значение модуля функции :



достигается при 0,837. Годографы и не пересекаются. Это означает, что состояние равновесия системы устойчиво, автоколебания отсутствуют.

7. Аналитический метод

Построим диаграмму качества переходного процесса по коэффициенту усиления разомкнутой системы при отключенной местной ОС ().

Согласно структурно-математической схеме (см. рис. 3) передаточная функция гармонически линеализованной разомкнутой системы равна:

где

- коэффициент гармонической линеализации для релейной характеристики с зоной нечувствительности. По передаточной функции (7.1) определяем характеристический полином замкнутой нелинейной системы

Для построения диаграммы качества в полиноме (7.2) произведём подстановку Эту подстановку удобно выполнять путем разложения полинома D (p, a) в ряд по степеням :



где индекс означает, что в выражения для производных необходимо подставить вместо p.

Из (7.2) находим

Подставим выражения (7.4) и (7.3), и выделим в последнем вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю. Получим

Из второго уравнения (7.5) находим . Подставим это значение в первое уравнение системы (7.5) и решим его относительно k:

В выражение (7.6) подставим численные значения параметров. Получим:

Задаемся различными значениями колебаний a и при выбранных постоянных значениях показателей затухания строим кривые (см. рис. 5). Кривые соответствуют расходящимся колебаниям, а кривые - затухающим колебаниям. Область, лежащая правее штриховой прямой, проходящей через точку k₁, является областью существования автоколебаний. Область, расположенная левее этой прямой, является областью устойчивого равновесного состояния системы.

8. Частотный метод

Коэффициент затухания и частоту колебаний переходного процесса в САУ температуры будет отыскивать путем решения гармонически линеаризованного уравнения.

где получается из передаточной функции линейной части системы подстановкой а гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена - подстановкой в выражение

в результате которой получаем:

Уравнение (4.1) будем решать графически. Для этого в передаточной функции линейной части системы:

произведем подстановку . Получим

Модуль этой функции

и фаза

Подставив в выражения (8.7) и (8.8) приведенные в исходных данных значения параметров и, задаваясь различными постоянными значениями показателя затухания , построим серию кривых как функции от частоты колебаний при (см. рис 6).

На этом же графике нанесем обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена при заданных параметрах b и с. Для нелинейной характеристики релейного типа с зоной нечувствительности имеем



Рис. 6. Частотные характеристики линейной части системы

релейный ляпунов попов фазовый

Рис. 7. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена САУ температуры

Как видно из графиков, точка пересечения годографов линейной части системы и нелинейного звена отсутствует. Следовательно, САУ температуры находится в устойчивом равновесном состоянии.

Размещено на Allbest.ru

...