Методы цифровой фильтрации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Казанский Государственный Энергетический Университет

Курсовой проект

по дисциплине: «Теория и применение цифровой обработки сигналов»

Выполнил студент группы ИИТ-1-08

Севастьянов И.В.

Принял преподаватель:

Ишмуратов Р.А.

2012

1. Методы, применяемые для цифровой фильтрации

1.1 Дискретные преобразования Фурье

Спектральные характеристики аналоговых сигналов определяются рядом Фурье (для периодических сигналов) или преобразованием Фурье (для непериодических сигналов). Рассмотрим ряд Фурье в его комплексном виде

Ряд Фурье предполагает, что сигнал полностью задан на конечном интервале [-T/2,T/2] или [0,T]. Коэффициенты Сk представляют собой спектральное представление сигнала s(t). Примем следующее:

1) цифровой сигнал в отличии от аналогового является не функцией, а последовательностью чисел (дискретных отсчетов), то в формуле для спектральных коэффициентов интегрирование должно быть заменено на суммирование.

2) любой цифровой сигнал на практике всегда задан не бесконечной, а конечной последовательностью N отсчетов взятых в интервале времени от 0 до Т. С формальной математической точки зрения мы можем разложить цифровой сигнал в ряд Фурье. При этом в формуле для спектральных коэффициентов суммирование должно производиться по N отсчетам, т.е. от 0 до N-1.

Запишем дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для цифровой последовательности N отсчетов:



Основные свойства ДПФ

1) ДПФ есть линейное преобразование, т.е. сумма сигналов соответствует сумме их ДПФ.

2) Число различных спектральных коэффициентов ДПФ равно числу временных отсчетов N: С0, С1, С2,…. СN-1.

3) Коэффициент C0 является средним значением всех отсчетов:

4) Информацию о спектре несут только первые N/2 значений:

С1,С2,….СN/2. Вторая половина коэффициентов С(N/2)+1,….СN-1 является комплексным сопряжением коэффициентов первой половины (за исключением последнего коэффициента СN/2, который соответствует границе частотного спектра, т.е. частоте Найквиста и поэтому относится и к первой и ко второй половине коэффициентов). При этом комплексно-сопряженные пары располагаются симметрично относительно N/2:

Коэффициенты С(N/2)+1,…..,CN-1 образуют зеркальную копию коэффициентов С1,С2,….С(N/2)-1, можно считать, что эти коэффициенты соответствуют отрицательным частотам спектрального представления сигнала. Они не содержат в себе никакой новой информации.

Практическая реализация вычисления ДПФ

Численные расчеты ДПФ можно производить следующими способами:

1) составлением программы с использованием операторов на алгоритмических языках программирования.

2) Вычислением с применением встроенных функций готовых прикладных пакетов - универсальных математических пакетов (MathCAD, MATLAB и др.) и специализированных инженерных пакетов (LabVIEW и др.).

В курсовой работе рассмотрен первый способ.

Для построения алгоритма вычислений средствами языков программирования нам необходимо получить формулу ДПФ не с комплексными, а с вещественными числами.

,

где n=0,1,2,….N/2.

Используя формулу Эйлера разложим коэффициенты CN на вещественную и мнимую части.

,

где an и bn равны соответственно:



Отсюда модуль и аргумент N равны

По вычисленным значениям коэффициентов СN можно восстановить дискретную последовательность {xk}:

Из этого формально следует, что xk - это комплексная последовательность чисел. Однако, мнимая часть xk равна нулю.

Получим окончательную формулу для вычисления отсчетов дискретного сигнала по его спектральным коэффициентам:

Соответствие числовых значений физических величин времени и частоты и номеров дискретной последовательностей k и n.

Временное представление сигнала - это последовательность отсчетов {xk}=(x0,x1,x2,…,xN-1). Представим дискретную последовательность графически - сначала на физической оси времени t=k, а затем на оси времени, нормированной к шагу дискретизации . На второй оси изменение времени будет определяться безразмерным номером k, поэтому сама ось будет являться безразмерным временем.

Количество независимых коэффициентов ДПФ равно N/2. Частота Найквиста , которая является верхней границей частотного интервала спектра ДПФ равна

Соответственно частотный дискрет , т.е. шаг следования N/2 коэффициентов ДПФ по оси частот, определяется из равенства:

Отсюда следует, что частотный дискрет будет равен

1.2 Метод дискретной свертки

Нерекурсивный цифровой фильтр

Для нерекурсивных фильтров все коэффициенты bi = 0. Следовательно, из формулы алгоритма цифровой фильтрации (2.11) сразу следует формула преобразования для нерекурсивного фильтра:

,(2.14)

где m - определяет количество используемых (для вычисления текущего выходного отсчета) входных отсчетов и называется порядком фильтра.

Аппаратную реализацию нерекурсивного ЦФ можно представить следующей структурной схемой (рис. 2.6):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.6. Аппаратная реализация нерекурсивного ЦФ

Блок - это элемент задержки отсчета на один такт (согласно свойству z-преобразования (см. п.1.20), задержке дискретной последовательности соответствует умножение на множитель z -1).

Вследствие отсутствия обратной связи, очевидно, что любой нерекурсивный ЦФ является устойчивым: каковы бы ни были коэффициенты ai, выходные отсчеты всегда будут иметь конечное значение (не будут лавинообразно нарастать).

Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами ее импульсной характеристики и абсолютная устойчивость, привели к тому, что нерекурсивные ЦФ широко применяются на практике. Недостатком таких фильтров является то, что для получения хороших частотных характеристик (с повышенными требованиями форме АЧХ) необходимо увеличение порядка фильтра, который может достигать нескольких сотен и даже тысяч. Это в свою очередь усложняет вычисления (которые необходимо проводить, как правило, в реальном масштабе времени) и увеличивает величину задержки получения текущего выходного отсчета.

Для уменьшения порядка фильтра, применяют фильтры с использованием обратных связей - рекурсивные фильтры.

Рекурсивный цифровой фильтр

Формула преобразования для рекурсивного фильтра повторяет формулу алгоритма цифровой фильтрации.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Цифровые фильтры

2.1 Цифровая фильтрация методом ДПФ

Основные моменты способа цифровой фильтрации методом ДПФ:

1. ДПФ означает переход от временных дискретных отсчетов (x0,..,xN-1) к совокупности частотных дискретных значений (C0,..,CN/2). При этом спектральные коэффициенты {Сn} содержат полностью всю информацию, которая содержится в дискретной последовательности {xk}. Это позволяет осуществить обратный переход от коэффициентов {Сn} с помощью ОДПФ к отсчетам {xk}, и далее восстановить, при условии выполнения теоремы Котельникова, исходный аналоговый сигнал.

2. Основной характеристикой системы, которая осуществляет фильтрации сигнала, является его АЧХ и ФЧХ. Вид АЧХ определяет тип фильтрации: ФНЧ, ФВЧ, ПФ, режекторный (заградительный) фильтры. Коэффициенты {Сn} имеют смысл вклада в сигнал различных спектральных составляющих - от нижних частот к высоким. Если эти коэффициенты умножить на некоторую весовую функцию, имеющую вид конкретной избирательной АЧХ, то тем самым после ОДПФ, мы осуществим фильтрацию сигнала.

2.2 Цифровая фильтрация методом дискретной сверстки

Фильтрация определяется с помощью свертки, представляющей в теории аналоговых сигналов

Это выражение представляет собой формулу цифровой фильтрации методом дискретной свертки.

3. Применение цифровой фильтрации

цифровой фильтрация дискретный фурье

3.1 Фильтрация методом ДПФ в Visual Basic 6.0

Dim sim1 As Single

Dim xk(500) As Single

Dim C(250) As Single

Dim a(250) As Single

Dim b(250) As Single

Dim yk(500) As Single

Const pi = 3.14159

Private Sub Exit_Click()

End

End Sub

Private Sub Read_Click()

Open "filekr3.dat" For Random As #1 Len = Len(sim1)

'чтение из файла

i = 1

Do While Not EOF(1)

Get #1, i, sim1

If EOF(1) Then Exit Do

xk(i) = sim1

i = i + 1

Loop

Close #1

For i = 1 To 500

List1.AddItem Str(i) + " " + Str(xk(i))

Next i

End Sub

Private Sub signal_Click()

Picture1.ScaleMode = 0

ymax = 6: ymin = -6: xmin = 0: xmax = 520

Picture1.Scale (xmin - 5, ymax)-(xmax + 5, ymin)

Picture1.Line (0, 0)-(500, 0)

Picture1.Line (0, -2)-(0, 2)

Picture1.PSet (0, 0)

For i = 1 To 500

Picture1.Line -(i, xk(i))

Next i

End Sub

Private Sub spektr_Click()

Picture2.ScaleMode = 0

ymax = 0.4: ymin = -0.05: xmin = 0: xmax = 250

Picture2.Scale (xmin - 5, ymax)-(xmax + 5, ymin)

Picture2.Line (0, 0)-(250, 0)

Picture2.Line (0, -0.4)-(0, 0.4)

Picture2.PSet (0, 0)

For n = 1 To 250

a(n) = 0

b(n) = 0

For k = 1 To 500

a(n) = a(n) + (1 / 500) * xk(k) * Cos(2 * pi * n * k / 500)

b(n) = b(n) + (1 / 500) * xk(k) * Sin(2 * pi * n * k / 500)

Next k

C(n) = Sqr(a(n) ^ 2 + b(n) ^ 2)

List2.AddItem Str(n) + " " + Str(C(n))

Picture2.Line (n, 0)-(n, C(n))

Next n

End Sub

Private Sub filter_Click()

For k = 1 To 500

For n = 25 To 35

yk(k) = yk(k) + a(n) * Cos(2 * pi * n * k / 500) + b(n) * Sin(2 * pi * n * k / 500)

Next n

Next k

Picture3.ScaleMode = 0

ymax = 1: ymin = -1: xmin = 0: xmax = 520

Picture3.Scale (xmin - 5, ymax)-(xmax + 5, ymin)

Picture3.Line (0, 0)-(500, 0)

Picture3.Line (0, -2)-(0, 2)

Picture3.PSet (0, 0)

For k = 1 To 500

Picture3.Line -(k, yk(k))

Next k

End Sub



3.2 Фильтрация методом дискретной свертки в Visual Basic

Dim M As Integer

Dim sim1 As Single

Dim xk(500) As Single

Dim yk(500) As Single

Dim h(500) As Single

Dim i As Integer

Dim N0 As Integer

Const pi = 3.14159

Private Sub Exit_Click()

End

End Sub

Private Sub Form_Load()

M = 65

N0 = 500

End Sub

Private Sub signal_Click()

Open "filekr3.dat" For Random As #1 Len = Len(sim1)

'чтение из файла

i = 1

Do While Not EOF(1)

Get #1, i, sim1

If EOF(1) Then Exit Do

xk(i) = sim1

i = i + 1

Loop

Close #1

For i = 1 To 500

List1.AddItem Str(i) + " " + Str(xk(i))

Next i

Picture1.ScaleMode = 0

ymax = 6: ymin = -6: xmin = 0: xmax = 520

Picture1.Scale (xmin - 5, ymax)-(xmax + 5, ymin)

Picture1.Line (0, 0)-(500, 0)

Picture1.Line (0, -5)-(0, 5)

For i = 0 To 500 Step 50

Picture1.Line (i, 0)-(i, 0.5)

Next i

For y = -5 To 5 Step 1

Picture1.Line (0, y)-(4, y)

Next y

Picture1.PSet (0, 0)

For i = 1 To 500

Picture1.Line -(i, xk(i))

Next i

End Sub

Private Sub spektr_Click()

Picture2.ScaleMode = 0

ymax = 0.05: ymin = -0.05: xmin = 0: xmax = M

Picture2.Scale (xmin - 0.6, ymax)-(xmax + 0.6, ymin)

Picture2.Line (0, 0)-(250, 0)

Picture2.Line (0, -0.4)-(0, 0.4)

For y = -0.05 To 0.05 Step 0.01

Picture2.Line (0, y)-(0.5, y)

Next y

Picture2.PSet (0, 0)

For k = 1 To M

If k <> (M \ 2 + 1) Then

h(k) = (1 / (pi * (k - M \ 2 - 1))) * (Sin(140 / 1000 * pi * (k - M \ 2 - 1)) - Sin(100 / 1000 * pi * (k - M \ 2 - 1)))

Else

h(k) = 40 / 1000

End If

List2.AddItem Str(k) + " " + Str(h(k))

Next k

For k = 1 To M

Picture2.Line (k, 0)-(k, h(k))

Next k

End Sub

Private Sub filter_Click()

Picture3.ScaleMode = 0

ymax = 3: ymin = -3: xmin = 0: xmax = 520

Picture3.Scale (xmin - 5, ymax)-(xmax + 5, ymin)

Picture3.Line (0, 0)-(500, 0)

Picture3.Line (0, -2)-(0, 2)

For k = 0 To 500 Step 100

Picture3.Line (k, -5)-(k, 5), QBColor(9)

Next k

For y = -3 To 3 Step 1

Picture3.Line (0, y)-(3, y)

Next y

Picture3.PSet (0, 0)

For k = M \ 2 To N0 - M \ 2 - 1

yk(k) = 0

For i = 1 To M

yk(k) = yk(k) + xk(k - M \ 2 + i) * h(i)

Next i

Next k

For k = M \ 2 To N0 - M \ 2 - 1

List3.AddItem Str(k) + " " + Str(yk(k))

Picture3.Line -(k, yk(k))

Next k

End Sub

Размещено на Allbest.ru

...