Таблица 1.3 - Значения аргумента спектральной плотности U1()

Рисунок 1.3 - График аргумента спектральной плотности сигнала

Таблица 1.5 - Значения модуля спектральной плотности U2()

Полная энергия сигнала рассчитывается по выражению:

(1.7)

Для прямоугольного импульса нижний придел интегрирования равен нулю, верхний придел равен значению длительности импульса.

Подставив временные выражения сигналов в (1.7) и используя ЭВМ, найдем значения полной энергии.

Значение полной энергии для первого заданного сигнала определяется через табличный интеграл:

1.4410^-4, Дж.

Значение полной энергии для второго заданного сигнала:

1.33310^-8 Дж.

1.3 Граничные частоты спектров сигналов

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства 3.

(1.8)

где:

W^/- энергия сигнала с ограниченным по верху спектром;

- процент от полной энергии сигнала при ограничении спектра

Значение W^/ определяется на основе известной спектральной плотности

(1.9)

где:

_с - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Используем MatCad для определения _с и расчета энергии из спектральной плотности.

Для заданных сигналов при = 97 , W^/ равна

₁ = 1.39710^-4 Дж;

2 = 1.293?10-8 Дж.

Соответственно:

_C1 = 7850 с^-1;

_С2 = 276000 с^-1.

Значение _с определяется путем подбора при расчетах (1.7) и (1.9) до выполнения неравенства (1.8).

График энергии первого сигнала приведён на рисунке 1.7, второго на рисунке 1.8.

Рисунок 1.7 - Графики зависимости энергии первого сигнала от частоты

Выберем сигнал с наименьшей _с. Первый сигнал имеет наименьшее значение _с. Все последующие преобразования проведем для него.

2. Расчет технических характеристик АЦП

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству (2.1):

(2.1)

где:

-интервал дискретизации, с;

-верхнее значение частоты спектра сигнала, определяемое в соответствии с разделом 1.4.

После расчета значения интервала дискретизации необходимо построить график дискретизированного во времени сигнала. Длительность импульсных отсчетов принять равной половине интервала.

Следующими этапами преобразования сигнала является квантования импульсных отсчётов по уровню и кодирование. Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

Нижняя граница диапазона определяется по (2.2)

(2.2)

где:

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

(2.3)

где:

P_Ш.КВ - мощность шумов квантования при размерной шкале квантования, Вт.

Известно, что:

(2.4)

где:

- шаг шкалы квантования.

В свою очередь:

где:

- шаг шкалы квантования;

n_КВ - число уровней квантования;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

С учетом этого:

где:

n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Из (2.4) получаем:

(2.5)

где:

n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:

(2.6)

где:

m - разрядность кодовых комбинаций.

Отсюда:

(2.7)

Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода по выражению

,с. (2.8)

Так как _с для первого импульса минимальна, то выполняем расчеты для U₁(t).

Из уравнения сигнала (1.5) найдём верхнее значение границы динамического диапазона, при h=0,6 В, =0,8 мс, U_MAX = h = 0,6 В.

Определим верхнее значение частоты спектра сигнала:

Гц.

По (1.12) находим, t = 133.4 мкс. Запас составляет 3.

Для расчета нижней границы диапазона подставим в (2.2) К=24, U_MAX = 0,6 В и найдём В.

Подставив в (2.6) значения =45, U_MAX = 0.6 В, U_MIN = 0.02 В, таким образом получим:

.

Затем по (2.3) найдем шаг шкалы квантовании:

.

Найдём мощности шумов квантования по (2.4):

Вт.

Найдём по (2.7) разрядность кодовых комбинаций:

.

Найдем длительность элементарного кодового импульса по (2.8):

с.

График дискретизированного по времени сигнала приведён на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - График дискретизированного по времени сигнала

3.1 Функция корреляции

Для разработки математической модели цифрового сигнала примем четыре кодовых слова (коды четырех отсчетов). Числовые константы сигнала определяются по формулам (3.1) и (3.2). Формулы взяты из [1].

Определим математическое ожидание сигнала:

Определим дисперсию сигнала:

где U_i - напряжение логического нуля (единицы).

Для выбора кодовых слов нужно рассчитать отношение .

Таблица 3.1 - Выбор кодовой последовательности

Выбранная кодовая последовательность:001101100010101110101110. Рассчитаем вероятности появления нулей и единиц:

вероятность нуля: ,

вероятность единицы:.

По выбранному АЦП напряжение логической единицы - 2,4 В, а логического нуля - 0,4 В. Рассчитаем математическое ожидание сигнала по (3.1), а дисперсию по (3.2).

В,

Вт.

Рассчитаем функцию автокорреляции. Для проведения расчетов воспользуемся методами MathCAD. Поступим следующим образом. Выпишем четыре последовательности кодов, которыми представляется дискретизированный сигнал - это будет последовательность нулей и единиц.

В среде MathCAD создадим два вектора V_x и V_y. Далее воспользуемся функцией corr(V_x,V_y). После каждого расчета будем сдвигать кодовую последовательность вектора V_y на один знак. Проведём пять расчётов. Результаты занесём в таблицу 4.1.

Таблица 4.1 - Результаты расчета функции автокорреляции кодового сигнала

В среде MathCAD по этой таблице сформируем два вектора Vt и Vk:

С помощью функции cspline(Vt, Vk) вычислим вектор VS вторых производных при приближении к кубическому полиному.

Далее вычисляем функцию, аппроксимирующую АКФ кубическим сплайн-полиномом: kor(т)= interp (VS, V_t, Vk, т).

График функции автокорреляции показан на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Функция автокорреляции

3.2 Спектр сигнала ИКМ

Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет следующий вид [1]:

где К() - нормированная функция kor(), определенная выше;

Т - последнее рассчитанное значение .

Рисунок 3.2 - Спектральная характеристика

Вывод: в данном разделе мы рассчитали вероятности символов источника информации, функцию автокорреляции и ее спектральную характеристику.

4. Характеристики модулированного сигнала

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости системы. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят от полезного сигнала и от вида сигнала - переносчика.

Распространенным видом аналоговой модуляции является амплитудная модуляция (АМ). Под действием полезного сигнала изменяется амплитуда гармонического переносчика. Аналитическая форма записи сигнала АМ следующая:

(4.1)

где A₀ - амплитуда несущей, В;

m - коэффициент глубины модуляции;

₀ - начальная фаза;

₀ - частота.

При этом фаза сигнала меняется по закону: А₀ + А₀mU(t).

Под U(t) понимается полезный сигнал, изображенный на рисунке 4.1, в нашем случае - регулярная импульсная последовательность.

Рисунок 4.1 - График немодулированного сигнала

Далее формулой (4.1) зададим уравнение модулированного сигнала, график которого приведен на рисунке 4.2

Рисунок 4.2 - График модулированного сигнала

Спектр модулированного сигнала будет представлять из себя несущую частоту с боковыми полосами, и описываться выражениями (4.2)

(4.2)

При расчётах боковых полос ограничимся пятью гармониками с каждой стороны. Амплитуды боковых гармоник рассчитаем по формуле (4.3)

(4.3)

Графическое представление спектра модулированного сигнала приведено на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 - Спектр модулированного сигнала

5. Расчет информационных характеристик канала

Рассмотрим канал связи с несколько других позиций. Заданный сигнал мы представили отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов. Для ограниченного по времени, например треугольного, оно определяется длительностью сигнала; для бесконечного, например экспоненциального, их число должно быть назначено 510. Если задать вопрос, какая выборка сейчас создается, то последует очевидный ответ: эта вероятность равна 1/N, где N - число выборок.

Таким образом, выборки это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле(28) , где - энтропия алфавита источника, - среднее время генерации одного знака алфавита.

(5.1)

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный.

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Эта величина () была определена нами в разделе 4.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Теорема Шеннона. Дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает вероятность ошибки Р_ош может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи - нормальные законы с соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.

Пропускная способность гауссова канала равна:

(5.2)

где F - частота дискретизации, определенная в разделе 3. Рп - мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала .

. (5.3)

По этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона , надлежит определить Рс, обеспечивающую передачу по каналу. Отсюда:

Pc=Pn(n-1) (5.4)

По формулам (5.1)-(5.4) получаем:

Мощность помехи:

Мощность сигнала:

6. Расчет вероятности ошибки оптимального демодулятора

Вероятность ошибки P₀ зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае

(6.1)

гдe - функция Лапласа.

Е - энергия разностного сигнала;

(6.2)

N₀ - односторонняя плотность мощности белого шума .

Дж.

При вычислении (6.1) получаем, что .

Рисунок 6.1 - Схема демодулятора при амплитудной модуляции

Заключение

Рассмотрены основные положения теории сигналов, теории информации, теории оптимального приема и модуляции сигналов, способы повышения верности передаваемой информации, произведен расчет характеристик модулированных сигналов и вероятности ошибки в канале с помехой.

В данной курсовой работе был произведен расчет спектральных и энергетических характеристик для двух исходных сигналов. По заданному проценту =97% произведен расчет неполной энергии. При сопоставлении полной и неполной энергий выявлена предельная частота для каждого из сигналов. Для сигнала, имеющего наименьшую граничную частоту =7850 рад/с, произведен расчет параметров АЦП: шаг дискретизации =133.4 мкс, шаг квантования = 47, в соответствии с которыми выбрана микросхема: КП1107ПВ1. для разработки математической модели цифрового сигнала приняты четыре кодовых слова (коды четырех отсчетов). Для кодовых отсчетов проведен расчет АКФ с использованием MathCad.

Библиографический список

1. Баженов Н.Н. Характеристики сигналов в каналах связи. - Омск, 2009, 47 с.

2. Баженов Н.Н., Картавцев А.С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи. - Омск, 1990, 24 с.

3. Каллер М.Я., Фомин А.Ф. Теоретические основы транспортной связи. - М. Транспорт, 2009,384 с.

4. Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др., Теория передачи сигналов: Учебник для ВУЗов. - М., “Радио и связь”, 1986,304 с.

Размещено на Allbest.ru