Активные RC-фильтры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 19. АКТИВНЫЕ RC-ФИЛЬТРЫ

1. Характеристики и параметры фильтров

В общем случае электрический фильтр - это цепь с заданной реакцией на данное воздействие. Под частотным фильтром понимается устройство, пропускающее сигналы одних частот и задерживающее сигналы других частот. Область частот, в которой сигналы пропускаются фильтром, называется полосой пропускания, а в которой задерживаются - полосой режекции. Между полосой пропускания и полосой режекции расположена переходная область.

Взаимное положение полос пропускания и режекции является классификационным признаком различных типов фильтров. По этому признаку фильтры подразделяются на ФНЧ - фильтры нижних частот, ФВЧ - фильтры верхних частот, ПФ - полосовые фильтры и РФ - режекторные фильтры. Общий вид их амплитудно-частотных характеристик показан на рис. 5.1. Они могут быть как колебательными (в частности, равноволновыми), так и монотонными (на рис. 5.1 изображены равноволновые АЧХ), причем не обязательно одинаковой формы в полосах пропускания и режекции. Нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания () и полосы режекции () являются параметрами фильтра (у полосового фильтра две полосы режекции, а у режекторного - две полосы пропускания). В пределах полосы пропускания модуль функции передачи фильтра должен быть постоянен с заданной величиной ошибки , а в пределах полосы режекции не должен превышать некоторого малого значения . Параметр

называется неравномерностью амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания, а

- гарантированным затуханием в полосе режекции ( измеряются в децибелах). Чем уже переходная область между полосой пропускания и полосой режекции, тем выше селективность (избирательность) фильтра, т.е. тем меньше (ближе к единице) коэффициент прямоугольности (), который для разных типов фильтров имеет следующие выражения:

Стабильность (неизменность) амплитудно-частотной характеристики фильтра зависит как от стабильности параметров схемных элементов, так и степени их влияния на АЧХ, что оценивается коэффициентами параметрической чувствительности АЧХ в полосе пропускания и полосе режекции

,

где - относительная чувствительность АЧХ в полосе пропускания; - полуотносительная чувствительность АЧХ в полосе режекции; - приращение модуля функции передачи при бесконечно малом относительном приращении () параметра i-го схемного элемента; - номинальный (максимальный) коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания.

Чтобы оценить дестабилизирующее действие всех элементов схемы используется или матрица чувствительностей, или коэффициенты многопараметрической чувствительности в полосе пропускания и полосе режекции:

; ,

фильтр сигнал стабильность чувствительность

где и - чувствительности АЧХ на частоте к i-у схемному элементу соответственно в полосе пропускания и полосе режекции; - число дестабилизирующих элементов; - число точек частотного диапазона анализа.

Перечисленные меры чувствительности удобно использовать на этапе синтеза различных структур фильтров и их вариантов. На этапе проектирования промышленных образцов используются статистические меры оценки стабильности характеристик фильтров, в частности многопараметрическая статистическая чувствительность. Статистические характеристики спроектированного изделия определяются методом Монте-Карло.

По характеру влияния на стабильность активного RC-фильтра все его пассивные элементы можно разделить на две группы. К первой группе относятся элементы, в основном определяющие положение нулей и полюсов передаточной функции фильтра и характеризующие значения постоянных времени звеньев. Эти элементы оказывают доминирующее влияние на стабильность фильтра, причем тем большее, чем выше его селективность. Ко второй группе относятся элементы, определяющие коэффициенты передачи звеньев с различных входов. Поскольку коэффициенты передачи звеньев характеризуются отношением параметров однотипных элементов (резисторов) и чувствительность АЧХ к этим элементам не зависит от селективных свойств фильтра, степень их влияния на стабильность АЧХ вторична и при оптимизации чувствительности чаще всего не учитывается.

Активный RC-фильтр, как и другие линейные электронные устройства, может работать только в определенном диапазоне входных (выходных) напряжений, т.е. в определенном динамическом диапазоне

,

нижний уровень () которого ограничен величиной шумов электронных компонентов, а верхний уровень () - допустимыми нелинейными искажениями сигнала, возникающими в результате перегрузки усилителей, являющихся компонентами активного RC-фильтра. Динамический диапазон уменьшается, если ограничение сигнала (динамические перегрузки) наступает во внутренних узлах схемы раньше, чем на выходе фильтра. Поэтому при разработке фильтра производится оптимизация максимальных коэффициентов передачи с входа фильтра в критические узлы его схемы.

2. Конструирование функций передачи фильтров

На начальном этапе синтеза фильтра решается задача аппроксимации его амплитудно-частотной характеристики, заданной в виде требований к рабочим параметрам и, реже, к форме АЧХ. Решением задачи аппроксимации является функция передачи некоторой цепи минимального порядка, удовлетворяющей заданным требованиям и условиям физической реализуемости. Передаточные функции могут конструироваться как аналитическим, так и численными методами в зависимости от наличия или отсутствия дополнительных требований к форме АЧХ, например, таких как многополосность или ограниченность полосы (полос) пропускания (режекции), что отличает эти АЧХ от стандартных, показанных на рис. 5.1. При наличии дополнительных требований к форме АЧХ задача аппроксимации решается численными методами, обладающими большими возможностями, а при их отсутствии (на практике это наиболее часто встречающийся случай) - аналитическим методом.

При использовании аналитического метода задача аппроксимации решается не для конкретного типа фильтра, а для некоторого ФНЧ-прототипа, переход к которому осуществляется путем частотного преобразования вида

где - текущая частота АЧХ реального фильтра; - текущая нормированная частота АЧХ ФНЧ-прототипа; - центральная частота ПФ (РФ); - относительная ширина полосы пропускания ПФ (РФ).

При переходе к ФНЧ-прототипу от полосового или режекторного фильтра предполагается, что у последних амплитудно-частотная характеристика симметрична в геометрическом смысле, т.е. у такой характеристики любая пара частот и , на которых коэффициенты передачи одинаковы, подчиняется закону (на практике тип симметрии АЧХ часто не имеет значения, поэтому выбирается геометрическая симметрия, при которой получается более простая реализация).

В результате указанного частотного преобразования АЧХ любого типа фильтра (см. рис. 5.1) приводится к нормированной АЧХ, показанной на рис. 5.2, где . При этом как форма АЧХ (колебательная или монотонная), так и значения параметров исходного фильтра не изменяются. Чтобы решить задачу аппроксимации, математическое выражение АЧХ ФНЧ-прототипа записывается в такой форме:

, (5.1)

где - аппроксимирующая функция n-го порядка (полином или дробь), нормированная таким образом, чтобы на частоте она равнялась единице, т.е. ; - параметр, характеризующий неравномерность АЧХ на границе полосы пропускания: .

В качестве используются специальные функции, наилучшим образом приближающиеся к нулю на интервале и резко возрастающие (по модулю) вне этого интервала, что важно, поскольку такие свойства определяют высокую селективность синтезируемого фильтра. Среди полиномиальных функций этим требованиям в наибольшей степени отвечает полином Чебышева

при , при ,

а среди дробных функций - дробь Золотарева, являющаяся наилучшей по критерию селективности. Дробь Золотарева - это частный случай дроби Чебышева

, (5.2)

,

полюсы которой выбраны из условия изоэкстремальности характеристики дроби в диапазоне переменной ( при n четном, при n нечетном). Оптимальные в этом смысле значения полюсов обычно вычисляются через эллиптические функции Якоби, однако их можно определить и методом последовательных приближений. В последнем случае процедура отыскания выглядит следующим образом: вначале задаются большие значения и вычисляются нули функции (5.2), затем принимается и вновь определяются нули функции (5.2), и так до тех пор, пока последующие значения не будут отличаться от предыдущих на величину допустимой ошибки. У фильтров с аппроксимацией дробью Золотарева (фильтров Золотарева-Кауэра) амплитудно-частотная характеристика является равноволновой как в полосе пропускания, так и в полосе режекции, а у фильтров с аппроксимацией полиномом Чебышева (фильтров Чебышева) - равноволновой в полосе пропускания и монотонной в полосе режекции.

При четном порядке n фильтра Золотарева асимптотическое значение его коэффициента передачи при не стремится к нулю, что является недостатком такой аппроксимации и объясняется наличием у дроби Золотарева полного набора конечных полюсов ( при i=1, 2, … , n/2). Поэтому с целью уменьшения на единицу числа полюсов функции (5.2), т.е. числа нулей функции (5.1), используется преобразование вида

,

где - новое и прежнее значения полюса дроби Золотарева (при этом ); - прежний первый (наибольший) полюс дроби Золотарева. Чтобы сохранить равноволновый характер АЧХ в полосе пропускания и полосе режекции, необходимо преобразовать и нули функции (5.2):

.

В результате решения задачи аппроксимации становятся известными порядок фильтра n, а также значения корней полиномов числителя и знаменателя передаточной функции ФНЧ-прототипа

, (5.3)

где ; - степень (четная) полинома числителя (при полиномиальной аппроксимации ); n - степень полинома знаменателя, являющегося полиномом Гурвица. Степень полинома числителя определяет число нулей передачи, а степень полинома знаменателя - число экстремумов АЧХ в полосе пропускания (при равноволновом характере АЧХ). Для перехода от функции передачи ФНЧ-прототипа (5.3) к функции передачи реального фильтра используется соответствующее стандартное частотное преобразование

(5.4)

Значения корней полиномов числителя и знаменателя функции при различных аппроксимирующих функциях табулированы и приведены в справочниках по расчету фильтров. При конструировании активных RC-фильтров после этапа аппроксимации АЧХ проводится этап синтеза структурной и (или) принципиальной схемы фильтра одним из известных методов, к числу которых, прежде всего, относятся метод каскадной реализации и методы имитации лестничных LC-фильтров.

Размещено на Allbest.ru