Логические основы цифровой техники

Размещено на http://www.allbest.ru/

Логические основы цифровой техники



1. Понятие о логической функции и логическом устройстве

Для обозначения различной информации -- предметов, понятий, действий -- мы пользуемся словами. Запись слов производится с помощью букв из некоторого их набора, называемого алфавитом.

В цифровой технике для тех же целей пользуются кодовыми словами. Особенность этих слов заключается в том, что все они имеют чаще всего одинаковую длину (т.е. состоят из одного и того же количества букв) и для их построения используется простейший алфавит из двух букв. Эти буквы принято обозначать символами 0 и 1. Таким образом, кодовое слово в цифровой технике есть определенной длины последовательность символов 0 и 1, например 10111011. Такими кодовыми словами могут представляться и числа, в этом случае 0 и 1 совпадают по смыслу с обычными арабскими цифрами. При представлении кодовым словом ^--- некоторой нечисловой информации, чтобы отличать символы 0 и 1 от арабских цифр, будем эти символы называть логическим нулем и логической единицей и обозначать далее лог 0 и лог I.

Если длина кодовых слов составляет п разрядов, то можно построить 2ⁿ различных комбинаций -- кодовых слов. Например, при п = 3 можно построить 2³=8 слов: 000, 001,010, 011, 100,101,110,111

Информация, которая передается между отдельными узлами (блоками) сложного цифрового устройства, представляется в виде кодовых слов. Таким образом, на входы каждого узла поступают кодовые слова, на выходе узла образуется новое кодовое слово, представляющее собой результат обработки входных слов. Выходное слово зависит от того, какие слова поступают на входы узла Поэтому можно говорить, что выходное слово есть функция, для которой аргументами являются входные слова. Для того чтобы подчеркнуть особенность таких функций, состоящую в том, что функция и ее аргументы могут принимать значения лог 0 и лог /, будем эти функции называть функциями алгебры логики (ФАЛ).

Устройства, предназначенные для формирования функций алгебры логики, называются логическими устройствами или цифровыми устройствами.Цифровые устройства (либо их узлы) можно делить на типы по различным признакам.

По способу ввода и вывода кодовых слов различают логические устройства последовательного, параллельного и смешанного действия.

На входы устройства последовательного действия символы кодовых слов поступают не одновременно, а последовательно во времени, символ за символом (в так называемой последовательной форме). В такой же последовательной форме выдается выходное слово. Пример такого устройства показан на рис. 3.1 ,а. Как нетрудно сообразить, устройство на рисунке выявляет несовпадение символов на входах, выдавая лог 1 при несовпадении илог 0 при совпадении символов (действительно, при несовпадении входных символов, когда Вх₁ = 1 и Вх₂ = 0 или Вх₁ = 0 и Вх₂

== 1, на выходе устройства Вых = 1, при совпадении входных символов, когда Вх₁=1 и Вх₂=1 или Вх₁=0 и Вх₂=0, на выходе Вых = 0).

На входы устройства параллельного действия все п символов каждого входного кодового слова подаются одновременно (в так называемой параллельной форме) В такой же форме образуется на выходе выходное слово. Очевидно, при параллельной форме приема и выдачи кодовых слов в устройстве необходимо иметь для каждого разряда входного (выходного) слова отдельный вход (выход). Пример такого устройства показан на рис. 3.1,б. Устройство выполняет над разрядами входных слов ту же логическую операцию (выявляя несовпадение символов соответствующих разрядов входных слов), что и устройство, показанное на рис. 3.1 ,а, но в параллельной форме. Входы устройства разделены на две группы (I и II), каждая из которых предназначена для приема трехразрядного входного кодового слова в параллельной форме. На выходах устройства также в параллельной форме получается трехразрядное выходное слово.

В устройствах смешанного действия входные и выходные кодовые слова представляются в разных формах- Например, входные слова -- в последовательной форме, выходные -- в параллельной. Устройства смешанного действия могут использоваться для преобразования кодовых слов из одной формы представления в другую (из последовательной формы в параллельную или наоборот).

По способу функционирования логические устройства (и их схемы) делят на два класса: комбинационные устройства (и соответственно комбинационные схемы) и последовательностные устройства (последовательностные схемы).

В комбинационном устройстве (называемом также автоматом без памяти) каждый символ на выходе (лог. О или лог. 1) определяется лишь символами (лог.О или лог.1), действующими в данный момент времени на входах устройства, и не зависит от того, какие символы ранее действовали на этих входах. В этом смысле комбинационные устройства лишены памяти (они не хранят сведений о прошлом работы устройства).

В последовательностных устройствах (или автоматах с памятью) выходной сигнал определяется не только набором символов, действующих на входах в данный момент времени, но и внутренним состоянием устройства, а последнее зависит от того, какие наборы символов действовали на входах во все предшествующие моменты времени в процессе работы устройства. Поэтому можно говорить, что последовательностные устройства обладают памятью (они хранят сведения о прошлом работы устройства).

Рассмотрим примеры комбинационного и последовательностного устройства. Пусть устройство (рис. 3.2,а) предназначено для формирования на выходе сигнала, определяющего совпадение сигналов на входах: на выходе формируется лог. 1 в случаях, когда на обоих входах действует либо лог. 1, либо лог.О; если на одном из входов действует лог. 1, а на другом --лог.О, то на выходе устройства образуется лог. 0.

Такое устройство является комбинационным, в котором значение формируемой на выходе логической функции определяется лишь значениями ее аргументов в данный момент времени. Рассмотрим другой пример. Счетчик на рис. 3.2,6 подсчитывает импульсы. В каждый момент времени его состояние соответствует числу поступивших на вход импульсов. Выходная информация определяется тем, каково было состояние счетчика до данного интервала времени и поступает или нет на вход импульс в данном интервале времени. Таким образом, данное устройство является последовательностным устройством.

2. Способы задания логических функций

логический цифровой шифратор

В классической математике для задания функции обычно используются два способа: аналитический (запись формулой) и табличный (таблицами значений функции, какие приводятся, например, в справочниках). Подобными же способами могут задаваться логические функции.

При табличном способе строится так называемая таблица истинности, в которой приводятся все возможные сочетания значений аргументов и соответствующие им значения логической функции. Так как число таких сочетаний конечно, таблица истинности позволяет определять значение функции для любых значений аргументов (в отличие от таблиц математических функций, которые позволяют задавать значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргументов).

Таблица истинности для логических функций одного аргумента приведена в табл.1. Существуют всего четыре функции одного аргумента.

Таблица 1

Аргумент x	Функции
	f0(x)	f1(x)	f2(x)	f3(x)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1



Если число аргументов функции равно п, то число различных сочетаний (наборов) значений аргументов составляет 2ⁿ , а число различных функций паргументов 2²ⁿ . Так, при п = 2 число наборов значений аргументов равно 2² = 4, число функций 2⁴ = 16. Таблица истинности функций двух аргументов представлена табл. 2.

Возможен и аналитический способ записи логической функции. В обычной математике аналитический способ представления функции предполагает запись функции в виде математического выражения, в котором аргументы функции связываются определенными математическими операциями. Подобно этому аналитический способ задания логической функции предусматривает запись функции в форме логического выражения, показывающего, какие и в какой последовательности должны выполняться логические операции над аргументами функции.

Таблица 2

Аргументы	Функции
X1	X2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

В табл. 3 приведен перечень логических операций, используемых при записи логических выражений.

Функции одного аргумента (табл. 1) представляются следующими выражениями:

Устройства, реализующие функции f₀(х),f₁(х) и f₃(x), оказываются тривиальными. Как видно из рис. 4.3, формирование функции f₀(х) требует разрыва между входом и выходом с подключением выхода к общей точке схемы, формирование функции f₁(х) -- соединения входа с выходом, формирование функции f₃(х) -- подключения выхода к источнику напряжения, соответствующего лог.1 Таким образом, из всех функций одного аргумента практический интерес может представлять лишь функция f₂(x)=x (логическое НЕ).

Из сравнения таблиц истинности функций f₀...f₁₅ (табл. 4.2) с таблицами истинности логических операций (табл. 4.3) следует:

Таблица 4.3.

Обозначение логических операций	Таблица истинности	Как читается	Название операции
	X1	0	0	1	1
Основное	Дополнительные	X2	0	1	0	1
X1 * X2		X1*X2	0	0	0	1	X1 и X2	Конъюнкция: логическое И; логическое произведение
X1 v X2	X1 + X2	X1v 2	0	1	1	1	X1 или X2	Дизъюнкция: логическое ИЛИ; логическая сумма
X1 > X2		X1>X2	1	1	0	1	если X1 то X2; X1 влечёт X2; X1 имплицирует X2	Импликация
		X1 X2	1	0	0	1	X1 эквивалентно X2	Эквивалентность; равнозначность
		X1 X2	0	1	1	0	либо X1 либо X2; X1неэквивалентноX2	Сумма по модулю; неравнозначность; исключающее ИЛИ
X1 ? X2		X1? X2	0	0	1	0	X1 запрет по X2; X1 но не X2	Запрет; отрицание импликации
X1 ¦ X2	--	X1¦ X2	1	1	1	0	X1 и X2 несовместны	Логическое И-НЕ; элемент (штрих) Шеффера; отрицание конъюнкции
X1v X2	--	X1 v X2	1	0	0	0	ни X1 ни X2	Логическое ИЛИ-НЕ; стрелка Пирса; функция Вебба; отрицание дизъюнкции
	ю X	X	0	1	не X	Логическое НЕ; инверсия; логическое отрицание
			1	0

В дальнейшем функции одного и двух аргументов будем называть элементарными логическими функциями, имея в виду, что логические выражения этих функций, содержащие не более одной логической операции, элементарны.

Рассмотрим способ построения таблиц истинности для сложных функций многих переменных.

В таблице истинности отображается значение функции для каждого набора (комбинации) значений аргументов. Для представления всей совокупности этих наборов удобно пользоваться последовательностью чисел в так называемой двоичной системе счисления. В этой системе счисления в разрядах числа .используются лишь две цифры: 0 и 1. Веса единиц в отдельных разрядах: 1,2,4,8 и т.д., т.е. вес возрастает в два раза в каждом следующем разряде.(Обратите внимание на отличие от обычной десятичной системы счисления, где веса разрядов равны 1,10,100,1000 и т.д.). Таким образом, запись 1101 в двоичной системе счисления означает следующее количество: 1*1+0*2+1*4+1*8=13. В табл. 4 приведена последовательность десятичных чисел и соответствующие им представления в двоичной системе счисления в форме четырехразрядных чисел.

Таблица 4

Десятичные числа	0	1	2	3	4	5	6	7
Соответствующее представление в двоичной системе счисления	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
Десятичные числа	8	9	10	11	12	13	14	15
Соответствующее представление в двоичной системе счисления	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

В табл. 5 представлена одна из форм таблицы истинности некоторой сложной функции четырех аргументов. При п аргументах число наборов их значений составляет 2ⁿ и с ростом п быстро увеличивается число столбцов в таблице. При больших п таблица становится весьма громоздкой и неудобной для использования.



Таблица 5

X1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
X2	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
X3	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
X4	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
f(x1x2x3x4)	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	1	1	0	1	1

Для обеспечения большей компактности часто отдают предпочтение другой форме таблицы истинности (показана в табл. 6 для функции четырех аргументов).

Таблица 6

	X1X2
X3X4		00	01	10	11
	00	1	0	0	1
	01	0	1	0	0
	10	0	1	0	1
	11	1	0	1	1

Таблица строится следующим образом. Все аргументы функции делятся на две группы. Столбцам и строкам таблицы приписывают комбинации значений аргументов одной и другой группы. В клетках, расположенных на пересечении столбцов и строк, записываются соответствующие значения функции. В дальнейшем при рассмотрении методов минимизации логических функций мы столкнемся с представлением функции в форме таких таблиц истинности, в которых последовательности комбинаций значений аргументов, приписываемых столбцам и строкам таблицы, соответствуют последовательности чисел в так называемом коде Грея. Числа в коде Грея можно получить из двоичных чисел путем их сложения по модулю 2 (mod 2) с теми же числами, сдвинутыми на один разряд вправо. Например, представление двоичного числа 1101 в коде Грея получается следующим образом:

В табл. 7 приведена форма таблицы истинности для функций пяти аргументов. В ней комбинации значений аргументов, приписанные столбцам и строкам таблицы, соответствуют последовательности чисел в коде Грея.

Таблица 7

	X1X2 X3
X4Х5		000	001	010	110	111	101	100
	00
	01
	11
	10

3. Синтез комбинационных устройств

Канонические формы представления логических функций

Синтез логического устройства распадается на несколько этапов. На первом этапе функцию, заданную в словесной, табличной или других формах требуется представить в виде логического выражения с использованием некоторого базиса. Дальнейшие этапы сводятся к получению минимальных форм функций, обеспечивающих при синтезе наименьшее количество электронного оборудования и рациональное построение функциональной схемы устройства. Для первого этапа обычно используется базис И, ИЛИ, НЕ независимо от базиса, который будет использован для построения логического устройства.

Для удобства последующих преобразований приняты следующие две исходные канонические формы представления функций: совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется такая форма представления функции, при которой логическое выражение функции строится в виде дизъюнкции ряда членов, каждый из которых является простой конъюнкцией аргументов или их инверсий. Примером ДНФ может служить выражение

Приведем форму представления функции, не являющуюся ДНФ. Например, функция

представлена не в ДНФ, так как последний член не является простой конъюнкцией аргументов. Также не является ДНФ следующая форма представления функции:

Если в каждом члене ДНФ представлены все аргументы (или их инверсии) функции, то такая форма называется СДНФ. Выражение (1) не является СДНФ, так как в нем лишь третий член содержит все аргументы функции.

Если исходная функция задана в табличной форме, то СДНФ может быть получена непосредственно.

Таблица 1

X1	0	0	0	0	1	1	1	1
X2	0	0	1	1	0	0	1	1
X3	0	1	0	1	0	1	0	1
f(x1x2x3x4)	0	0	1	1	0	1	0	1

Пусть задана функция в форме табл.1. Для этой функции СДНФ имеет вид

Каждый член в (2) соответствует некоторому набору значений аргументов, при котором f(x₁,x₂,x₃) равна 1. Каждый из наборов аргументов, при которых f(x₁,x₂,x₃) равна 1 (3-, 4-, б-, 8-й столбцы наборов), обращает в единицу соответствующий член выражения (2), вследствие чего и вся функция оказывается равной единице.

Можно сформулировать следующее правило записи СДНФ функции, заданной таблицей истинности. Необходимо записать столько членов в виде конъюнкций всех аргументов, сколько единиц содержит функция в таблице. Каждая конъюнкция должна соответствовать определенному набору значений аргументов, обращающему функцию в единицу, и если в. этом наборе значение аргумента равно нулю, то в конъюнкцию входит инверсия данного аргумента. Следует отметить, что любая функция имеет единственную СДНФ.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ). Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется форма представления функции в виде конъюнкции ряда членов, каждый из которых является простой дизъюнкцией аргументов (или их инверсий).

Примером КНФ может служить следующая форма представления функции:

Приведем форму представления функций, не являющейся КНФ:

эта форма не является КНФ, так как в ней первый член не связан с остальными операцией конъюнкции).

В СКНФ в каждом члене КНФ должны быть представлены все аргументы. Для перехода от КНФ к СКНФ необходимо добавить к каждому члену, не содержащему всех аргументов, члены вида х_i *х_i , где аргумент, не представленный в члене. Так как х_i *х =0, то такая операция не может повлиять на значение функции. Добавление х_i *х, к некоторому члену Y образует выражение вида Yvх_i *х , которое можно привести к виду

Справедливость данного равенства вытекает из распределительного закона, она может быть показана также путем раскрытия скобок в правой части выражения рассмотрим переход от КНФ к СКНФ:

Подставив сюда значения z₁ и z₂, получим соответствующие члены приведенного выше выражения при переходе от КНФ к СКНФ.

Совершенная КНФ функции легко строится по таблице истинности. Рассмотрим в качестве примера функцию, приведенную в табл 1.

Выражение содержит столько членов, связанных операцией конъюнкции, сколько нулей имеется среди значений функции f(x₁,x₂,x₃) в таблице истинности. Таким образом, каждому набору значений аргументов, на котором функция равна нулю, соответствует определенный член СКНФ, принимающий на этом наборе значений нуль. Так как члены СКНФ связаны операцией конъюнкции, то при обращении в нуль одного из членов функция оказывается равной нулю.

Таким образом, можно сформулировать правило записи СКНФ функции, заданной таблицей истинности. Следует записать столько конъюнктивных членов, представляющих собой дизъюнкции всех аргументов, при скольких наборах значений аргументов функция равна нулю и если в наборе значение аргумента равно единице, то в дизъюнкцию входит инверсия этого аргумента. Любая функция имеет единственную СКНФ.

Структурная схема логического устройства может быть построена непосредственно по канонической форме (СДНФ или СКНФ) реализуемой функции. Получающиеся при этом схемы для функций (5.2) и (5.3) показаны на рис. 5.1,а и б.

Недостаток такого метода построения структурных схем. обеспечивающего в общем правильное функционирование устройства, состоит в том, что получающиеся схемы чаще всего неоправданно сложные, требуют использования большого числа логических элементов, имеют низкие экономичность и надежность. Во многих случаях удается так упростить логическое выражение, не изменив функции, что соответствующая структурная схема оказывается существенно более простой. Методы такого упрощения функции называются методами минимизации функции.

5. Минимизация функций с использованием карт Карно

В таблице 6.1 приведена иллюстрация карты Карно для функций трех и четырех аргументов.

Аргументы функции делятся на две группы, комбинации значении аргументов одной группы приписываются столбцам таблицы, комбинации значений аргументов другой группы -- строкам таблицы. Столбцы и строки обозначаются комбинациями, соответствующими последовательности чисел в коде Грея (это сделано для того, чтобы склеивающиеся клетки находились рядом). Обозначения столбца и строки, на пересечении которых находится клетка таблицы, образуют набор, значение функции на этом наборе записывается в клетку.

Для получения минимизированной функции охватываются областями клетки таблицы, содержащие 1. Как и в случае минимизации с помощью карт Вейча, области должны быть прямоугольной формы и содержать 2^К клеток (при целочисленном значении к). Для каждой области составляется набор из двух комбинаций: приписанных столбцам и приписанных строкам, на пересечении которых расположена область. При этом если области соответствуют несколько комбинаций кода Грея, приписанных столбцам или строкам, то при составлении набора области записывается общая часть этих комбинаций, а на месте различающихся разрядов комбинаций ставятся звездочки. Например, для функции, представленной табл. 6.3, области I будет соответствовать набор 1.00 или член

Для получения минимальной КНФ (МКНФ) областями охватываются клетки, содержащие 0, и члены МКНФ записываются через инверсии цифр, получаемых для наборов отдельных областей.

6. Логические элементы. Физическое представление логических значений

Логические функции и их аргументы принимают значения лог.О и лог. 1. При этом следует иметь в виду, что в устройствах логическим уровням (лог.Ои лог. I) соответствуют напряжения определенного уровня (или формы). Наиболее часто встречается так называемый потенциальный способпредставления логических уровней. В этом случае используется напряжение двух уровней (рис. 7.1,а,б):

высокий (по значению модуля) уровень соответствует лог. 1 (уровень лог. 1), низкий уровень -- лог. О (уровень лог.О).

Такой способ представления логических величин называется положительной логикой. Относительно редко применяется так называемаяотрицательная логика, при которой лог. I соответствует низкий уровень напряжения, а лог.О-- высокий уровень. В дальнейшем, если это не оговаривается особо, будем пользоваться только положительной логикой.

Преобразователи кодов

В цифровых устройствах часто возникает необходимость преобразования числовой информации из одной двоичной системы в другую (из одного двоичного кода в другой). Примером такого преобразования может служить преобразование чисел из двоичного кода 8421, в котором выполняются арифметические операции, в двоичный код 2 из 5 для передачи по линии связи. Эта задача выполняется устройствами, называемымипреобразователями кодов. Для преобразования кодов можно пользоваться двумя методами:

методом, основанным на преобразовании исходного двоичного кода в десятичный и последующем преобразовании десятичного представления в требуемый двоичный код;

методом, основанным на использовании логического устройства комбинационного типа, непосредственно реализующего данное преобразование.

Первый метод структурно реализуется соединением дешифратора и шифратора и удобен в тех случаях, когда можно использовать стандартные дешифраторы и шифраторы в интегральном исполнении.

Рассмотрим подробнее второй метод на конкретных примерах преобразования двоичных кодов.

Преобразование кода 8421 в код 2421. Обозначим переменные, соответствующие отдельным разрядам кода 8421,x₄,x₃,x₂,_x1; то же для кода 2421:y₄,y₃,y₂,y1 В табл. 1 приведено соответствие комбинаций обоих кодов.



Таблица 1

Код 8421	Код 2421
Х4	Х3	Х2	Х1	Y4	Y3	Y2	Y1
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	1	1	1

Каждая из переменных у₄,y_з,y₂,y₁ может рассматриваться функцией аргументов x₄,x₃,x₂,x₁ и, следовательно, представлена через эти аргументы соответствующим логическим выражением. Для получения указанных логических выражении представим переменные у₄,y_з,y₂,y₁ таблицами истинности в форме карты Карно (табл.7.2).Получим минимальную форму логических выражений, представленных через операции И, ИЛИ, НЕ и через операцию И-НЕ:

Преобразование кода 2421 в код 842}. Для реализации данного преобразования (обратного по отношению к рассмотренному выше) требуется получить логические выражения для переменных x₄,x₃,x₂,x₁ используя в качестве аргументов переменные у₄,y_з,y₂,y₁ карты Карно для переменных x₄,x₃,x₂,x₁ представлены табл.7.3.

Логические выражения для переменных x₄,x₃,x₂,x₁

х^У^-Уг ^-^У^У-г

^ ⁼^ *У2^\/^ *УЗ' -^ ⁼ Оз \У^ 1 ^ \У^.

^2 ^ У 4 - Уг ^\? ^ * ^2- ^г = 1>41 ?а) I (Л I ^), ^[ =У\- ^1 ^/г



7. Преобразователь кода для цифровой индикации.

Один из способов цифровой индикации состоит в следующем. Имеется семь элементов, расположенных так, как показано на рис. 8.1,а. Каждый может светиться либо не светиться, в зависимости от значения соответствующей логической переменной, управляющей его свечением. Вызывая свечение элементов в определенных комбинациях, можно получить изображение десятичных цифр О, 1,..., 9 (рис. 8.1,6),

Десятичные цифры, отображение которых необходимо вызвать, задаются обычно в двоичном коде. При этом возникает задача формирования логических переменных у₂....у₇ для управления отдельными элементами в устройстве индикации. Таблица истинности для этих переменных представлена в табл. 8.1.

При построении таблицы были приняты следующие условия: если элемент индикатора светится, то это означает, что он находится в состоянии 1, если погашен -- то в состоянии 0, управление элементом осуществляется таким образом, что лог.1 на некотором входе индикатора вызывает гашение соответствующего элемента (т.е. чтобы i-й элемент был погашен и z_i ==0, необходимо подать на i-й вход индикатора управляющий сигнал у_i = 1). Таким образом у_i ==z_i, Например, для высвечивания цифры 0 необходимо погасить седьмой элемент (z₇ = 0), оставив остальные элементы в состоянии свечения; следовательно, при этом управляющий сигнал у₇=1, остальные управляющие сигналы y₁...y₆ должны иметь уровень лог. 0.

Формирование управляющих сигналов производится логическим устройством, для синтеза которого в табл. 8.2 построены таблицы истинности в форме карт Карно отдельно для каждой переменной у₁...у₇. Синтезируемое устройство является устройством с несколькими выходами, и для получения минимальной схемы необходимо в таблицах Вейча построить минимальное число областей, обеспечивающих покрытие клеток, содержащих 1 во всех семи таблицах. Построение этих областей имеет следующие особенности. В таблицах переменных y₅ и y₆ использованы области I и V, которые входят в таблицы других переменных. Если вместо этих областей в таблицах переменных у₅ и у₆ построить области с большим охватом клеток, это вызовет увеличение общего количества областей и, следовательно, увеличится количество логических элементов, требуемых для формирования соответствующих им логических выражений. Выделенным областям соответствуют следующие логические выражения:

Таблица 8

Десятичная цифра	Код 8421	Состояние элементов Z1…..Z7и значение управляющих сигналов y1…..y7
	Х4	Х3	Х2	Х1	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
					Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	1	1
2	0	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0
3	0	0	1	1	0	0	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0
5	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	0
6	0	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0
7	0	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0

Теперь нетрудно записать логические выражения для выходных величин Y₁,…..,Y

Построенная в соответствии с этими выражениями схема преобразователя приведена на рис. 8.1 .в.

Определим количество микросхем, необходимых для построения преобразователя. При этом следует учитывать, что в корпусе выпускаемых промышленностью микросхем может содержаться несколько логических элементов. В табл.8.3. приведен расчет количества корпусов микросхем.



Таблица 8.3

Тип логического элемента	Число элементов в корпусе микросхемы	Число элементов в преобразователе	Число корпусов микросхем
Инвертор	6	6	1
Двухвходной элемент И-НЕ	4	5	5/4
Трехвходной элемент И-НЕ	3	8	8/3
Четырёхвходовый элемент И-НЕ	2	1	1/2
Общее количество корпусов микросхем 55/12

8. Мультиплексоры и демультиплексоры

Мультиплексоры

Назначение и принцип работы. Устройство, которое осуществляет выборку одного из нескольких входов и подключает его к своему выходу, называется мультиплексором. Мультиплексор имеет несколько информационных входов (D₀,D₁...), адресные входы (А_о,А₁,...), вход для подачи стробирующего сигнала С и один выход Q. На рис. 9.1, а показано символическое изображение мультиплексора с четырьмя информационными входами.

Каждому информационному входу мультиплексора присваивается номер, называемый адресом. При подаче стробирующего сигнала на вход Смультиплексор выбирает один из входов, адрес которого задается двоичным кодом на адресных входах, и подключает его к выходу.

Таким образом, подавая на адресные входы адреса различных информационных входов, можно передавать цифровые сигналы с этих входов на выход Q. Очевидно, число информационных входов n_i и число адресных входов n_a связаны соотношением п_i =2^na .Функционирование мультиплексора определяется табл. 9.



Таблица 9

Адресные входы	Стробирующий сигнал	Выходы
А1	А0	С	Q
X	X	0	0
0	0	1	D0
0	1	1	D1
1	0	1	D2
1	1	1	D3

При отсутствии стробирующего сигнала (С =0) связь между информационными входами и выходом отсутствует (Q = 0). При подаче стробирующего сигнала (С = I) на выход передается логический уровень того из информационных входов Z),, номер которого i в двоичной форме задан на адресных входах. Так, при задании адреса А₁A₀=11₂=3₁₀ на выход Q будет передаваться сигнал информационного входа с адресом З₁₀ , т.е. D_з.

По этой таблице можно записать следующее логическое выражение для выхода Q:

Построенная по этому выражению принципиальная схема мультиплексора приведена на рис. 9.1,6.

В тех случаях, когда требуется передавать на выходы многоразрядные входные данные в параллельной форме, используется параллельное включение мультиплексоров по числу разрядов передаваемых данных.

Мультиплексорное дерево. Максимальное число информационных входов мультиплексоров, выполненных в виде интегральных схем, равно 16. Если требуется построить мультиплексорное устройство с большим числом входов, можно объединить мультиплексоры в схему так называемогомультиплексорного дерева. Такое мультиплексорное дерево, построенное на четырехвходовых мультиплексорах, показано на рис. 9.2. Схема состоит из четырех мультиплексоров первого уровня с адресными переменными х₁ х₂ и мультиплексора второго уровня с адресными переменными Х₃ Х₄ . Мультиплексорное устройство имеет 16 входов, разбитых на четверки, которые подключены к отдельным муль-типлексорам первого уровня. Мультиплексор второго уровня, подключая к общему выходу устройства выходы отдельных мультиплексоров первого уровня, переключает четверки входов. Внутри четверки требуе-мый вход выбирается мультиплексором первого уровня. По такой схеме, используя восьмивходовые мультиплексоры, можно построить мультиплексорное устройство, имеющее 64 входа.

На первом и втором уровнях мультиплексорного дерева можно использовать мультиплексоры с разным числом входов. Если на первом уровне такого дерева используются мультиплексоры с числом адресных переменных п_а1 на втором -- с числом переменных n_а2 то общее число входов мультиплексорного дерева п₁ = 2 ^na1+na2 , а число мультиплексоров в схеме составит 2 ^nа2 + 1.

Демультиплексор

Демультиплексор имеет один информационный вход и несколько выходов и осуществляет коммутацию входа к одному из выходов, имеющему заданный адрес (номер). На рис. 3.25 показана структура демультиплексора. Она включает в себя дешифратор, выходы которого управляют ключами. В зависимости от поданной на адресные входы кодовой комбинации, определяющей номер выходной цепи, дешифратор открывает соответствующий ключ, и вход демультиплексора подключается к определенному его выходу.

Объединяя мультиплексор с демультиплексором, можно построить устройство, в котором по заданным адресам один из входов подключается к одному из выходов (рис. 3.26). Таким образом может быть выполнена любая комбинация соединений входов с выходами. Например, при комбинации значений адресных переменных х₁ = I, Х₂ == 0, Х₃ = О, Х₄ ⁼ О вход D₂ окажется подключенным к выходу Уо.

Если требуется большое число выходов, может быть построено демультиплексорное дерево.



9. Шифраторы

Шифратор (называемый также кодером) осуществляет преобразование десятичных чисел в двоичную систему счисления. Пусть в шифраторе имеется m входов, последовательно пронумерованных десятичными числами (0,1,2,. ..,т-1), и п выходов. Подача сигнала на один из входов приводит к появлению на выходах n-разрядного двоичного числа, соответствующего номеру возбужденного входа.

Очевидно, трудно строить шифраторы с очень большим числом входов т, поэтому они используются для преобразования в двоичную систему счисления относительно небольших десятичных чисел.

Шифраторы широко используются в разнообразных устройствах ввода информации в цифровые системы. Такие устройства могут снабжаться клавиатурой, каждая клавиша которой связана с определенным входом шифратора. При нажатии выбранной клавиши подается сигнал на соответствующий вход шифратора, и на его выходе возникает двоичное число, соответствующее выгравированному на клавише символу.

На рис. 10.1 приведено символическое изображение шифратора, преобразующего десятичные числа О, 1, 2,...,9 в двоичное представление в коде 8421.Символ СD образован из букв, входящих в английское слово Сос1ег. Слева показаны 10 входов, обозначенных десятичными цифрами О, 1, 2,...,9, справа--выходы шифратора; цифрами 1, 2, 4,8 обозначены весовые коэффициенты двоичных разрядов, соответствующих отдельным выходам.

Из приведенного в табл.10.1 соответствия десятичного и двоичного кодов следует, что переменная х_i на выходе, обозначенном цифрой 1, равна лог.1, если это значение имеет одна из входных переменных У₁,У₃,У₅,У₇,У₉. Следовательно,

x₁=y₁vy₃vy₇vу₉



Для остальных выходов

х₂=y₂vy₃vy₆vy₇

х₄= y₄vy₅vy₆vy₇

х₈=y₈vy₉

Этой системе логических выражений соответствует схема на рис

Таблица 10.1

Номер входа (в десятичной системе)	Выходной код 8421
	Х8	Х4	Х3	X1
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
	1	0	0	1

На рис. 10.2.6 изображена схема шифратора на элементах ИЛИ-НЕ. Шифратор построен в соответствии со следующими выражениями:

При этом шифратор имеет инверсные выходы.

При выполнении шифратора на элементах И-НЕ следует пользоваться следующей системой логических выражений:

В этом...