Моделювання нелінійних систем з імпульсними впливами

Размещено на http://www.allbest.ru

Дніпропетровський державний університет

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового

кандидата фізико-математичних наук

Моделювання нелінійних систем з імпульсними впливами

Волкова Світлана Анатоліївна

Дніпропетровськ - 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українському державному хіміко-технологічному університеті, Міністерство освіти України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор,

Пилипчук Валерій Миколайович

Український державний хіміко-технологічний університет,

зав. каф. вищої математики

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор,

Міхлін Юрій Володимирович

Харківський державний політехнічний університет,

професор кафедри прикладної математики

доктор технічних наук, професор,

Ободан Наталія Іллівна

Дніпропетровський державний університет,

професор кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики

Провідна установа: Київський державний університет імені Тараса Шевченка, кафедра моделювання складаних систем, факультет кібернетики, Міністерство освіти України, м. Київ.

Захист відбудеться «9» вересня 1999 р. о 930 години на засіданні спеціалізованої вченої ради

К 08.051.09 при Дніпропетровському державному університеті за адресою: 320010, м. Дніпропетровськ, пр. Карла Маркса, 35, корп. 3, ауд. 42.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського державного університету,

320050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий «6» серпня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої заради Турчина В. А

.Размещено на http://www.allbest.ru

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема дослідження нелінійних систем з імпульсними впливами, займає одне з центральних місць у динаміці систем. Її розв'язання важливе для практики в зв'язку з широким використанням таких систем у теорії зв'язку, автоматизованих системах керування, медицині та ін.

Проблемі створення моделей та методів розрахунку систем з імпульсними впливами присвячено богато наукових праць. Ще Пуанкаре було запропоновано методи математичного моделювання, у яких використовуються природні та штучно введені малі параметри, що присутні у формулюванні відповідної задачі. Далі Крилов М.М., Боголюбов М.М. та Митропольский Ю.О. показали придатність асимптотичних методів нелінійної механіки для дослідження систем з імпульсними впливами. Першими роботами, присвяченими питанню стійкості систем з імпульсними впливами, очевидно були праці Мільмана В.Д. та Мишкіса А.Д.

Широко подані в літературі методи моделювання складних систем з імпульсними впливами шляхом прямого чисельного аналізу ( Халанай O., Ободан Н.І., Векслер Д.) та методи дослідження стійкості нелінійних систем (Рожко В.Ф., Хусаїнов Д.Я., Аматов М.О.).

Складність математичного формулювання проблеми для аналітичного дослідження обумовлена негладкістю відповідних динамічних процесів. Це призводить до необхідності розглядати замість однієї системи цілу серію систем (у проміжках між імпульсами) (Самойленко А. М., Перестюк М. О., Ахметов М.У.). Альтернативний шлях складається у введенні в рівняння сингулярних функцій, що моделюють імпульси, і розгляду рівнянь як інтегральних тотожностей у рамках теорії розподілу. А це потребує додаткових математичних обгрунтувань у нелінійному випадку (Владимиров В.С., Маслов В.П., Омельянов Г. А., Іванов В.К.).

Однак, незважаючи на великі дослідження, проведені в цій області, залишилися не розглянутими ряд важливих проблем. Одна з них - це моделювання і розрахунок нелінійних динамічних систем з одним та двома ступенями волі при імпульсних впливах, з метою можливості одержання єдиного аналітичного розв'язку на всьому числовому інтервалі.

Таким чином, як із практичної, так і теоретичної точок зору є актуальною розробка нових моделей, що враховують тимчасову локалізацію впливів різного типу шляхом використання негладкого перетворення аргументу, а також аналіз цих моделей та дослідження залежності між параметрами моделі.

У даній роботі для розв'язку поставленої задачі застосовується метод негладкого перетворення аргументу (часу), що раніше з успіхом використовувався для моделювання гладких сильно нелінійних коливальних процесів і просторових періодичних структур (Маневич Л.І., Міхлін Ю.В., Вакакис А.Ф., Саленжер Г.Д., Старушенко Г.А., Андріанов І.В.). В основі цього методу лежить спеціальне представлення розв'язку диференційні рівнянь, яке використовує пилкоподібну функцію та враховує групові властивості симетрії періодичних процесів. Присутність негладкого аргументу виявилася також дуже корисною при моделюванні режимів з локалізованими особливостями часової форми. Метод негладкого перетворення аргументу сформульовано Пилипчуком В.М.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності з планами держбюджетних тем кафедри вищої математики Українського державного хіміко-технологічного університету: «Розробка методів дослідження нелінійних явищ фізико-математичних та механічних систем » (№ 10970390/47), «Дослідження в динаміці, кінематиці та стійкості лінійних та нелінійних систем» (№ 47920190).

Мета і задачі дослідження. Головною метою дослідження є розробка й аналіз нелінійних математичних моделей для систем з імпульсними впливами, створення й обгрунтування методів аналітичного і чисельного дослідження поводження зазначених систем у залежності від характеру імпульсного впливу та типу нелінійності.

Поставлена мета визначила такі задачі дослідження:

розробку методики моделювання нелінійних систем при імпульсних впливах з локалізованими особливостями різного типу;

створення нових математичних моделей нелінійних динамічних систем, що адекватно описують їхнє поводження при імпульсному впливі;

створення чисельного та аналітичного методу розв'язання задач, що виникли в результаті побудови моделей які описують періодичний, квазіперіодичний та хаотичний рух;

аналіз параметрів загальної нелінійної моделі динамічної системи при імпульсному впливі з метою побудови локальних моделей, що характеризують поведінку досліджуваних систем;

адаптацію асимптотичних процедур методів Пуанкаре й осереднення для дослідження нелінійних математичних моделей систем при імпульсних впливах. моделювання нелінійний імпульсний асимптотичний

Наукова новизна одержаних результатів полягає:

у створені методики моделювання динамічних нелінійних систем з однією та двома ступенями волі при імпульсних впливах. Запропонований підхід дозволяє моделювати як еквідистантні, так і нееквідистантні імпульси;

у побудові математичних моделей у вигляді крайових задач, які не містять функцій Дірака, що дає можливість аналітичним методом вивчити динаміку системи на всьому тимчасовому інтервалі. Побудова моделей грунтується на методі негладкого перетворення аргументу;

у виявленні можливих динамічних режимів та побудуванні локальних моделей запропонованим чисельно-аналітичним засобом;

у побудові локальних моделей, що описують якісно різні типи поводження систем та визначенні їхніх динамічних характеристик;

у аналізі математичних моделей систем з імпульсними впливами методом Пуанкаре та осереднення. Обгрунтована можливість їх застосування.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в роботі результати можуть використовуватись при моделюванні нелінійних систем з локалізованими часовими особливостями різного роду, при розв'язанні задач динамічної стійкості та аналізу коливальних режимів нелінійних механічних систем з однією та двома ступенями волі під дією імпульсного навантаження. Запропоновані розв'язки можуть бути корисними при дослідженні можливих динамічних ефектів у частково заповнених рідиною структурах, що рухаються, а також розрахунку елементів пружних конструкцій, моделюванні нейродинамічних процесів та електронних систем.

Особистий внесок здобувача. Під керівництвом доктора фізико - математичних наук, професора Пилипчука В.М. і при особистій участі дисертанта отримано основні теоретичні результати та проведено чисельний розрахунок можливих типів розв'язків нелінійних систем з періодичними імпульсними впливами. В працях [1], [2], [4], [5] дисертантові належить побудова локальних моделей; в працях [6] - [8] - чисельний аналіз системи.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались та обговорювалися на наукових семінарах кафедри вищої математики Українського державного хіміко - технологічного університету (м. Дніпропетровськ, 1995-1999 р.), на міжнародній конференції ICBM'96 " Строительные материалы и строительные конструкции" (м. Дніпропетровськ, 1996 р.), міжнародному симпозіумі "Geomechanica" (м. Устронь, Польська республіка, 1997), на міжнародному симпозіумі "Modelowanie w mechanice" (м. Вісла, Польська республіка, 1998 р.), на міжнародному симпозіумі "Theoretical foundation of civil engineering" (м. Варшава, Польська республіка, 1998 р.), на науковому семінарі кафедри прикладної математики Харківського державного політехнічного університету (м. Харків, 1998 р.), на науковому семінарі Дніпропетровського державного університету (м. Дніпропетровськ, 1999 р.), на розширеному науковому семінарі факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 1999 р.).

Публікації. За результатами виконаних досліджень опубліковано 8 наукових праць. З них: 3 статті в наукових журналах, затверджених ВАК; 2 статті опубліковані в матеріалах конференцій; 1 депонована стаття та 2 тези.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, п'ятьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи складає 145 сторінок. Список використаних літературних джерел містить 215 найменувань. Текст дисертації містить 20 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність теми дослідження, сформульовані мета, основні задачі роботи, наукова новизна отриманих результатів і їхня практична цінність. Дана загальна характеристика роботи.

Перший розділ присвячено аналізу існуючих методів дослідження поводження систем з імпульсними впливами та їхньої стійкості.

Показано, що моделювання систем з імпульсними впливами проводиться в двох аспектах. Відповідно до першого, імпульсні впливи моделюються так, що координати або швидкості задовольняють додатковим умовам в околах точок локалізації імпульсів, наприклад, заданням стрибків швидкостей у момент дії імпульсів.

Другий напрямок грунтується на теорії узагальнених функцій. Тут імпульсні впливи моделюються за допомогою введення у рівняння сингулярних членів типу d - функцій Дірака.

Основна перевага першого засобу моделювання полягає в тому, що диференційні рівняння, які описують систему, такі ж, як і при відсутності імпульсів. Проте ці рівняння необхідно розглядати окремо на кожному з інтервалів між імпульсами, і таким чином замість однієї системи аналізується ціла послідовність систем. Другий спосіб моделювання дає єдину систему рівнянь на усьому часовому інтервалі без введення згаданих вище умов на змінні, але відповідний аналіз повинен бути коректним в рамках теорії узагальнених функцій. А це потребує у нелінійних випадках додаткового математичного обгрунтування.

У даній роботі для моделювання імпульсних процесів використовується метод, сформульований Пилипчуком В.М. та заснований на негладкому перетворенні часу. Такий підхід дозволяє, з одного боку, побудувати математичну модель, що не містить d - функцій Дірака, а з іншого - одержати її розв'язок у вигляді єдиного аналітичного виразу на усьому часовому інтервалі.

Слід зазначити, що виняток "внутрішніх" ударів за допомогою негладких перетворень просторових координат застосовував Журавльов В.Ф. Однак цей метод, скоріше за все, безпосередньо використовується тільки до віброударних систем та систем з однобічними не утримуючими зв'язками. При цьому перетворенню піддається просторова координата, а не час. У використовуваному тут методі основний об'єкт перетворення - час, а не шукана функція.

В другому розділі ставиться загальна задача моделювання нелінійних систем з локалізованими часовими особливостями, викладаються принципи реалізації таких моделей, а також проводиться побудова математичних моделей без сингулярностей.

Моделювання систем з локалізованими часовими особливостями засновано на перетворенні часу, у результаті чого просторова координата набуває структуру алгебри без розподілу

, symbol 116 \f "Arial" \s 12tsymbol 174 \f "Symbol" \s 12?symbol 116 \f "Symbol" \s 12? symbol 125 \f "Arial" \s 12, (1)

де - кусково-лінійна періодична по t, з періодом T=4 пилкоподібна функція

- її перша похідна. Параметр Q, характеризує тип імпульсного впливу. При Q№0 функція t(t;Q) є кососиметричною, імпульси діють парами. При Q = 0 функція t(t;Q) - симетрична, імпульси діють через рівні проміжки часу.

Необхідне співвідношення

отримано формальним диференціюванням обох частин рівності (1).

Показано, що негладке перетворення часу {t®t} є ефективним засобом моделювання систем з імпульсними впливами, яке дозволяє побудувати загальну модель у вигляді крайової задачі на стандартному інтервалі (-1ЈtЈ1) без d - функцій. Базуючись на періодичності функції t(t;Q) розв'язок, отриманий на півперіоді, можна продовжити на всю числову вісь.

Дія імпульсних порушень на модель описується за допомогою другої узагальненої похідної функції t(t;Q).

Перша похідна функції x(t) містить сингулярний член . У випадку неперервного розв'язку x(t) він буде виключений за рахунок умови YЅt=±1=0.

Наявність функції у виразі для другої похідної дозволяє виключити сингулярні члени з вихідного диференційного рівняння, яке описує модель, що розглядається.

Показано можливість моделювання імпульсних впливів різного типу, тобто моделювання не тільки еквідистантних, але й нееквідистантних імпульсних впливів, що значно розширює коло розв'язаних задач.

Основні етапи моделювання ілюструються на трьох типових системах.

Нелінійна модель коливань деформованого тіла. Вивчено поперечні коливання деформованого твердого тіла при імпульсних впливах, напрямок яких не збігається з напрямком коливань. Як приклад розглянута пластина, стиснута в напрямку вісі OZ, навантаженням , що передається через абсолютно жорстку навантажувальну балку. Поводження пластини описується рівнянням

де D - диференціальний оператор;

D - циліндрична жорсткість;

m - маса пластини, віднесена до одиниці площі;

Ny, Nz, Nyz - зусилля в серединній поверхні.

Апроксимація модою з наступним застосуванням методу Гальоркіна призводить до нелінійної моделі у вигляді диференційного рівняння другого порядку типу Дуфінга з періодичними імпульсними впливами

(2)

де , p і q - параметри;

e - параметр нелінійності.

До аналогічного вигляду можуть бути зведені і задачі динаміки імпульсних стійких систем.

Негладке перетворення часу (1) дозволило розробити загальну модель у вигляді системи диференційних рівнянь

(1-Q 2)XІ - 2QYІ +(1-Q2)2pX = -e (1-Q2)2Rf , (3)

(1+3Q2)YІ - 2Q(1-Q2)XІ+(1-Q2)2pY = -e (1-Q2)2If,

з крайовими умовами

(X'+qX)Ѕt=±1= [2QY'+Q2(X'+qX)]Ѕt=±1,

YЅt=±1=0. (4)

Незважаючи на формально більш складний вигляд, отримана модель (3)-(4) не містить сингулярних членів. У цьому її основна перевага. Дія імпульсного впливу виявляється в крайових умовах з параметром q. При q=0 імпульсні впливи на систему не діють.

Після моделювання нееквідистантної системи проведено моделювання еквідистантного (Q=0) процесу. Мова йде про розробку математичної моделі для випадку рівновіддалених імпульсів. При цьому імпульси моделюються за допомогою симетричної пилкоподібної функції t(t). Строго кажучи, така задача є окремим випадком нееквідистантного процесу. Проте задача є цікавою, оскільки реалізація математичної моделі без функцій Дірака можлива за допомогою перетворення, що містить тільки X - компоненту (Y=0). Результатом негладкого перетворення є математична модель у вигляді крайової задачі, що припускає точний розв'язок рішення в еліптичних функціях.

2. Нелінійна модель системи з двома ступенями волі типу рідина - абсолютно тверде тіло. Проведено дослідження моделі, побудованої Пилипчуком В.М. та Ібрагімом Р.А., що описує взаємодію рідини з динамічною структурою.

Передбачається, що оболонка є абсолютно жорсткою. Моделлю рідини, що вільно коливається , є маятник довжини L. Маятник досягає стінки оболонки, коли кут з вертикальною складовою дорівнює q = ±q0. Удари маятника об стінки тіла описані феноменологічно потенційним полем, слабким в області зqз<q0 і швидко зростаючим в околі точок q = ±q0. При цьому, сила взаємодії визначається статечною функцією кута q з високим показником.

У результаті взаємодії маятника з тілом відбувається розсіювання енергії. Передбачається, що горизонтальна компонента впливу дорівнює нулю, а вертикальна є періодичною серією імпульсів. За період на систему діють два позитивних імпульси. Математичною моделлю системи структура-рідина є диференційне рівняння другого порядку в матричній формі

, (5)

де імпульсні навантаження виражено через другу узагальнену похідну пилко

подібної функції t(/а);

2a - відстань між двома сусідніми імпульсами;

2p їхня амплітуда.

Параметр a дорівнює чверті періоду, розтягнутої уздовж вісі абсцис пилкоподібної функції t(/а) і вводиться з метою можливого варіювання періоду імпульсного впливу; B, K, Q( ), N(x) - задані матриці, що характеризують відповідно інерційні, пружні властивості моделі, а також зовнішні впливи і фізичну нелінійність; b - постійний розмір; x - матриця-стовпчик безрозмірних кутів (у частках q0).

У результаті негладкого перетворення часу вихідна система розпадається на дві незв'язані між собою задачі на власні значення.

(6)

Отримана модель (6) не містить d - функцій. Дія імпульсних впливів на модель виявляється в крайових умовах з параметром р.

Система типу Ван-дер-Поля під дією періодичного імпульсного навантаження. Цікаву в практичному та теоретичному плані задачу являє собою дослідження шаруватого середовища з урахуванням поверхневих зарядів на межах поділу прошарків в електродинаміці, рівняння якої має вигляд

, (7)

де а - чверть періоду зовнішнього впливу;

e - малий параметр;

параметр x характеризує розлад між власною частотою коливань і частотою зовнішнього навантаження;

p - постійний параметр.

Вважаємо, що частота основного тону зовнішнього впливу дорівнює одиниці, тобто а=p¤ 2. Реалізація моделі без d - функцій для автоколивальної системи (7) заснована на застосуванні комплексного підходу, що включає метод негладких перетворень аргументу та метод двохмасштабних розкладань. Введено дві часові змінні: роль швидкого часу грає змінна t, повільний час введено звичайним чином: t0 =e t.

Розроблено модель, що описується системою рівнянь у частинних похідних

,

(8)

з крайовими умовами

За рахунок крайових умов виключені сингулярні члени в перетвореній системі. Розв'язок отриманої задачі можна знайти методом осереднення.

У третьому розділі проведено чисельний аналіз можливих типів розв'язків, у залежності від параметрів e, Q та p моделі типу Дуфінга (2) з імпульсними впливами, з метою виділення локальних моделей.

Для цього попередньо проведено аналітичне перетворення між імпульсами. Такий підхід дає наочність, зменшує кількість стандартних обчислень і заощаджує машинний час.

Зазначимо, що в точках дії імпульсів функція x(t) неперервна, а її похідна є розривною. Для реалізації математичної моделі, що описує поводження системи між імпульсами, вводимо змінні дія-кут {I,j}. Усередненні по j рівняння щодо та припускають аналітичне інтегрування. Змінна дії I між імпульсами залишається постійною, у той час як зміни кут j змінюється.

Нехай {I, j} і {I, j} - змінні дія-кут, що обчисляються відповідно після дії позитивного і негативного імпульсу. Умови переходу розв'язків через негативний та позитивний імпульс мають вигляд

Тут (2±2q) - відстань між двома сусідніми імпульсам, D±I, D±j - розмір стрибка при переході розв'язка через імпульс.

На основі чисельного аналізу побудовано біфуркаційні діаграми, що демонструють різні динамічні режими (періодичні, регулярні квазіперіодичні та нерегулярні стохастичні). Проведено аналіз типів розв'язків у залежності від параметра моделі Q для різних значень нелінійності (e = 0.5, e = 1.5). Показано, що для випадку невеличкої нелінійності (e = 0.5) існують періодичні (Q =0.01; Q =0.5; Q =1.0), квазіперіодичні (0.01 < Q < 0.5) та складні (0.5 < Q < 1.0) режими.

Після класифікації локальних моделей проведено аналітичне дослідження моделі у випадку періодичних розв'язків. Розглянуто випадок малої нелінійності e і малої еквідистантності імпульсів (Q ~ e ). Наявність малого параметра e дозволила скористатися схемою Пуанкаре.

Такий підхід призвів до розпаду вихідної задачі на послідовність крайових задач на проміжку (-1Ј t Ј 1). Породжуючою є лінійна (e = 0) незв'язана щодо X, Y - компонент крайова задача на власні значення

X0І + l2 X0 =0, (X0ў+ qX0)Ѕt=±1 = 0,

Y0І + l2 Y0 =0, Y0Ѕt=±1 = 0.

У залежності від значень l існують два різних типи власних форм коливань. У першому наближенні отримана нелінійна пов'язана щодо X, Y - компонент крайова задача. Встановлено співвідношення між параметрами моделі, що забезпечують стійкість періодичних розв'язків

, (9)

де A - амплітуда коливань;

l2j - власні значення.

Рівність (9) показує, що перша поправка залежить від параметра моделі Q і нелінійно від величини імпульсного впливу q. Дві гілки (9) поділяють площину параметрів p - q на області стійкості і нестійкості. Відзначимо, що з ростом параметра моделі p зони нестійкості звужаються, а з ростом q - розширюються. Криві (9) відповідають стійким періодичним рухам. У лінійному випадку (e = 0) зони нестійкості "стягаються" у пряму .

У випадку моделювання нееквідистантних (Q№ 0) імпульсів побудовані періодичні розв'язки з точністю до членів порядку e. Визначення наступних членів розкладання не містить принципових труднощів.

Далі розглянуто випадок еквідистантних імпульсів (7). Оскільки імпульси діють через рівні проміжки часу, то моделювання процесу можливо за допомогою симетричної (Q = 0) функції t(t). Показано, що в цьому випадку вихідна задача припускає точний розв'язок в еліптичних функціях. Одержано точний розв'язок у функціях Якобі для еквідистантної (Q = 0) нелінійної (e № 0) моделі.

Проведено порівняння результатів точного й асимптотичного та чисельного розв'язку. Для амплітуди A=1 точний й асимптотичний розв'язок збігаються, що говорить про достатньо гарну точність запропонованого підходу. При A=4 є невеличкі розбіжності (»1.1%).

У четвертому розділі проведене чисельне дослідження процесу взаємодії рідини з динамічною структурою. Для змінних дія-кут {Ij, jj} побудована спрощена модель, яка характеризує різні стани системи з двома ступенями волі при параметричному імпульсному впливі. Поводження системи описується системою двох диференційних рівнянь першого порядку щодо змінних {Ij, jj}

(10)

та умовами переходу розв'язків через позитивний імпульс

де DIj, Djj стрибки змінних дія - кут {Ij, jj} при миттєвих впливах.

У системі (10) праві частини осереднені по швидких фазових змінних jj у припущенні відсутності внутрішнього резонансу. Між імпульсами змінна дії Ij залишається постійною, а кут jj змінюється і залежить від відстані 2а між імпульсами.

Виділено випадки резонансів 3j1 - j2 = y. Для цього випадку у виразі для змінних Ij та jj присутня функція повільної фази y. Поводження фази y описується диференційним рівнянням першого порядку. Показано, що це рівняння не має точного розв`язку.

На основі чисельного аналізу побудовані біфуркаційні діаграми, що демонструють різні динамічні режими системи (періодичні, регулярні квазіперіодичні та нерегулярні стохастичні). Досліджено еволюцію структури розв'язку при зміні параметра нелінійності b від 0.5 до 2.0.

Вивчено основні характеристики поведінки системи в залежності від амплітуди імпульсного впливу р. При нульовому значенні параметра р моделі на систему не діють імпульсні впливи. Коливання системи носять стійкий періодичний характер. З ростом p величина Ij швидко росте, періодичні режими зникають, поступаючись місцем квазіперіодичним (0 < p Ј 0.4) і далі ще більш складним режимам (0.4 < p Ј 1). Також вивчено особливості поведінки в залежності від відстані р між імпульсами та значення нелінійності b.

На діаграмі періодичний рух відповідає «вузлам», квазіперіодичний - суцільним лініям, хаотичний - безпорядковій множині точок.

Таким чином, за допомогою чисельного розрахунку досліджено параметри процесу та їхній вплив на динаміку системи, виділені періодичні розв'яки, для яких аналітичним засобом побудовано локальну модель.

Вирішено проблему динамічної стійкості рівноважного положення аналізованої системи. Аналіз моделі (6) при р=0 дозволив одержати співвідношення для синфазної та антифазної лінійної моди. Аналіз моделі (6) при р№ 0 проведено у термінах головних координат q1, q2. Відносно головних координат отримана зв'язна крайова задача, яка містить головні координати у крайових умовах. Побудовано періодичні розв'язки вихідної системи й умови їх існування. Згадані умови являють собою систему двох алгебраїчних рівнянь, у процесі розв'язку котрих отримана залежність a=a(p) періоду коливань від величини імпульсного впливу, глибини наповнення оболонки та маси рідини. Криві a=a(p) розбивають площину параметрів р-а на області стійкості та нестійкості. При p=0 крайові умови (6) стають однорідними, криві a=a(p) перетворюються в прямі.

У п'ятому розділі проведено чисельний аналіз автоколивальної системи (8) типу Ван-дер-Поля, у результаті чого виділені локальні моделі, що відповідають динамічному руху трьох типів, у залежності від параметрів моделі x і e. Попередньо для опису поводження системи між імпульсами були введені змінні Ван-дер-Поля

,

де амплітуда A(t) та фаза j(t) є функціями часу t.

За допомогою змінних Ван-дер-Поля побудована спрощена модель, що описується системою диференційних рівнянь першого порядку

(11)

Система (11) значно простіше вихідної, оскільки в моделі (11) швидкі і повільні прямування розділені. Причому перше рівняння припускає інтегрування незалежно від другого і показує, що амплітуда A(t) змінюється повільно, тому що її похідна має порядок e. Роль швидкого змінного грає фаза j(t). При переході через точки локалізації імпульсів фаза j(t) та амплітуда A(t) зазнають зміни. Отримано умови переходу системи через точки локалізації імпульсів. Проведено чисельний аналіз моделі (8), з метою визначення впливу імпульсних навантажень на розвиток динамічного процесу при варіюванні параметрів моделі x і e, а також для виявлення основних особливостей цього розвитку.

Вивчено характерні риси динаміки моделі типу автоколивальної системи Ван-дер-Поля з періодичним імпульсним навантаженням. Побудовано локальні моделі для трьох різних типів прямувань, побудовані біфуркаційні діаграми, що розкривають характер динамічного процесу. Досліджена еволюція структури розв'язку для різних значень нелінійності. Показано, що для невеличких значень нелінійності (e=0.5) та зовнішнього навантаження (p=0.01) періодичні режими існують для x=0.05 та x=1.32.

Далі проведене аналітичне дослідження моделі, що відповідає періодичним прямуванням. Розв'язок задачі, що виникла при побудові локальної моделі, знайдено методом осереднення. Породжуючою є лінійна однорідна крайова задача, особливість рішення якої полягає в тому, що воно містить невизначені функції повільного часу. Ці функції визначаються на наступному кроці асимптотичної процедури. Задача в першому наближенні містить резонансні члени, що призводить до появи секулярних членів у розв'язку. Проте оскільки новий параметр t обмежений (-1 Ј t Ј 1) і є періодичною функцією вихідного часу t, ці секулярні члени зберігаємо. Волю , що залишилася , при виборі функцій повільного часу A0, D0 використовують не для виключення резонансних членів, а для задовільнення крайовим умовам. В результаті отримана система диференційних рівнянь для визначення функцій повільного часу.

Показано, що ця осереднена система має точний розв'язок. Спрощення в порівнянні з вихідною моделлю полягає в тому, що нова система хоча і нелінійна, але не містить сингулярних членів і описує тільки повільну складову.

Потім для моделі, що описує періодичні розв'язки, розглянуто режим синхронізації (захоплення частоти). Визначено параметри синхронізації та її межу. Оскільки в режимі захоплення частоти змінні A0, D0 повинні залишатися постійними, рівняння резонансної кривої має вигляд

r(1-r)2 + rx2=p2, r = . (12)

Співвідношення (12) зв'язує розлад x, амплітуду зовнішнього впливу p та амплітуду коливань на частоті зовнішнього впливу. Показано, що при деякому виборі розладу частот x та величини імпульсного навантаження р існують періодичні, квазіперіодичні та нерегулярні хаотичні прямування системи.

Співвідношення (12) задає залежність амплітуди r коливань від амплітуди р зовнішнього впливу та «розладу» x.

a b с Рис. 1. Результати обчислень для значень параметрів p=0.8 і x =1.5. а) проекція фазового простору системи на площину (x,y); b) відображення Пуанкаре; c) графіки x(t) для аналітичного (тонка лінія) та чисельного (товста лінія) розв'язків.	Періодичні розв'язки відповідають позитивним кореням кубічного рівняння (12) відносно r. При значеннях параметрів p і x з області існування одного дійсного позитивного кореня (x =0.2; p=0.8) установлюється граничний цикл (періодичний розв'язок). При цьому чисельний та аналітичний розв'язок збігаються один з одним, відображення Пуанкаре збігається до точки. Якщо параметри p і x належать області, де не існує дійсного позитивного кореня рівняння (12), наприклад, p=0.8 і x =1.5, то граничний цикл не

встановлюється, між аналітичними та чисельними розв'язками системи є помітні розбіжності при великих значеннях t (рис. 1.c), а відображення Пуанкаре (рис. 1.b) не має характерної граничної точки.

ВИСНОВКИ

Запропоновано методику моделювання нелінійних систем з локалізованими особливостями часової форми. Досліджено клас систем - нелінійних осциляторів з однією та двома ступенями волі при імпульсному впливі. Показано, що в рамках пилкоподібного перетворення можна коректно описати дію миттєвих навантажень на систему і провести детальний аналіз можливих коливальних процесів.

Розроблено математичні моделі нелінійних систем типу Дуфінга, автоколивальної системи та системи з двома ступенями волі, які знаходяться під дією імпульсних впливів.

Проведено аналіз особливостей моделювання складних систем з імпульсними впливами. Відзначено переваги та недоліки кожного з засобів моделювання миттєвих впливів.

Проведено адаптацію методів осереднення та Пуанкаре для розв'язків задач, що виникли при побудові вищевказаних моделей.

Для вивчення динаміки моделей та виявлення характерних ознак руху на великих інтервалах часу застосовано метод точкових відображень. Виділено три типи локальних моделей (періодичні, квазіперіодичні та хаотичні). Побудовано моделі сильно нелінійних систем, проведена класифікація біфуркаційних діаграм.

Для дослідження нерегулярних процесів у системі типу Ван-дер-Поля застосовано метод точкових відображень Пуанкаре, вивчена проекція на фазову площину.

Для періодичних розв'язків систем типу Дуфінга, Ван-дер-Поля та системи з двома ступенями волі аналітичним засобом побудовані локальні моделі, знайдені залежності між параметрами моделі, що забезпечує існування стійких періодичних режимів. Реалізація моделі, що не містить сингулярних членів, заснована на негладкому перетворенні часу. Встановлено граничні значення виникнення складних розв'язків. Показано, що при деяких значеннях параметрів системи області нестійкості зменшуються.

Встановлено залежність характеру руху системи Дуфінга від типу імпульсного впливу. Показана можливість моделювання нееквідистантних та еквідистантних імпульсних процесів. Вивчено вплив параметра асиметрії на стійкість системи.

Проаналізовано вплив величини нелінійності та величини імпульсного впливу на поводження досліджуваних систем.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦIЇ ОПУБЛІКОВАНІ У ТАКИХ ПРАЦЯХ

Пилипчук В.Н., Волкова С.А. Исследование периодических структур с импульсным изменением параметров // Вiсник Днiпропетровського унiверситету. - 1998. - Вип. 4. - С. 107 - 117.

Pilipchuk V., Volkova S., Starushenko G. Study of a Non-Linear Oscillator under Parametric impulsive Excitation using a Non-Smooth Temporal transformation // Journal of Sound and Vibration. - 1999. - Vol. 222, No. 2. - P. 307 - 328.

Пилипчук В.Н., Волкова С.А. Негладкое преобразование динамической системы с двумя степенями свободы под действием параметрической импульсной нагрузки // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. - 1998. - Т. 4. - С. 111 - 121.

Пилипчук В.Н., Волкова С.А. Анализ автоколебательной системы с периодической импульсной нагрузкой посредством негладкого преобразования аргумента // Polish-Ukrainian seminar «Theoretical foundations of civil engineering». Vol. 6. - Варшава. - 1998. - P. 529 - 532.

Pilipchuk V., Volkova S. An analytical technique for modeling of processes generated by a pulse forcing // XXXVII Sympozjon «Modelowanie w mechanice». - Vol. 7. - Висла. - 1998. - P. 289-293.

Осреднение системы Ван-дер-Поля с периодическим импульсным возбуждением при помощи негладкого преобразования аргумента / Пилипчук В.Н., Волкова С. А. - Киев, 1995. - 15 с. - Рус. - Деп. в ГНТБ Украины 01.12.95, № 2537. - УК 96.

Пилипчук В.Н., Волкова С.А. Влияние внешней периодической импульсной силы на самовозбудимый осциллятор // Тез. IV международной конференции «Строительные материалы и строительные конструкции». - Том 1. -Днепропетровск. - 1995. - с. 51.

Пилипчук В.Н., Волкова С.А. Исследование нелинейных осцилляторов // Тез. IV международной конференции «Строительные материалы и строительные конструкции». - Днепропетровск. - 1995. - с. 95.

АНОТАЦІЇ

Волкова С.А. Моделювання нелінійних систем з імпульсними впливами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Дніпропетровський державний університет, Дніпропетровськ, 1999 р.

Дисертаційна робота присвячена моделюванню та аналізу динаміки механічних та фізичних систем з періодичними імпульсними впливами. Дослідження грунтується на негладкому перетворені часу. Перетворення дозволяє виключити сингулярні члени з рівняння руху.

Метод демонструється на таких практично важливих системах як система коливань пластинки, система с двома степенями волі та ін.

Метод може бути використаним для вивчання поведінки моделі автоколивальної системи Ван-дер-Поля під дією періодичної серії імпульсів Дірака. В результаті дослідження динаміці систем в дуже нелінійному випадку встановлено періодичні, регулярні квазіперіодичні та нерегулярні стохастичні режими.

Ключеві слова: моделювання імпульсних впливів, негладке перетворення аргументу, локальні моделі.

Волкова С.А. Моделирование нелинейных систем с импульсными возбуждениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Днепропетровский государственный университет, Днепропетровск, 1999 г.

В диссертационной работе рассматривается задача моделирования динамики нелинейных механических систем с периодическими импульсными возбуждениями. Соответствующие динамически режимы важны с точки зрения инженерной практики, а также часто оказываются предметом теоретического рассмотрения в механике, радиоэлектронике, динамике нейронных сетей и других областях.

В диссертационной работе решается проблема адекватного выбора способа моделирования импульсных воздействий на систему в нелинейном случае. При этом одновременный учет нелинейности и обобщенных функций, моделирующих мгновенные воздействия, в рамках единой системы нередко противоречат традиционной трактовке обобщенных функций как линейных непрерывных функционалов и требует индивидуального математического обоснования каждой такой модели. Кроме того, присутствие сингулярных функций значительно ограничивает выбор средств анализа полученных дифференциальных уравнений движения.

В работе импульсные возбуждения на систему моделируются с помощью второй обобщенной производной пилообразной функции. Для решения поставленной задачи применен метод негладкого преобразования аргумента, сформулированный Пилипчуком В.Н.. При этом, пространственная координата приобретает структуру алгебры без деления. Представление для периодического решения содержит пилообразный синус и прямоугольный косинус. Такой подход позволяет построить математическую модель, не содержащую сингулярностей. Сингулярные члены исключаются за счет краевых условий. Показана возможность моделирования процессов двух типов: неэквидистантных и эквидистантных.

Основные этапы моделирования иллюстрируются на трех типовых система:

нелинейная модель колебаний деформированного тела;

нелинейная модель системы с двумя степенями свободы;

нелинейная модель типа автоколебательной системы.

На примере модели типа Дуффинга показана возможность корректного описания эквидистантных и неэквидистантных импульсных воздействий и исследованы типы возможных колебаний в зависимости от характера импульсного воздействия и «величины» импульса.

Вторая модель описывает взаимодействие жидкости с движущейся оболочкой. Оболочка частично заполнена жидкостью. Проведен анализ динамической линейной устойчивости системы. Получены практические рекомендации относительно устойчивости исследуемой системы.

Исследование автоколебательной системы показало, что в рамках негладкого преобразования аргумента возможно аналитическое изучение не только периодических колебательных режимов, но и более сложных (кразипериодических) процессов. Проведен численный анализ системы. Изучены условия возникновения предельного цикла.

Получены условия существования устойчивых периодических решений и построены зависимости между параметрами модели, обеспечивающие эту устойчивость движений. Проведено сопоставление результатов численного и асимптотического исследования.

Для анализа сложных колебательных режимов применяется численный расчет с предварительными аналитическими преобразованиями между импульсами. Такой подход дает наглядность и позволяет сократить количество стандартных операций. Учитывается, что координата в точках действия импульсов постоянная, а скорость имеет скачок. Построены бифуркационные диаграммы, демонстрирующие качественно различные поведения исследуемых систем.

Ключевые слова: моделирование импульсных воздействий, негладкое преобразование аргумента, локальные модели.

Volkova S.А Modeling of non-linear systems with pulse excitations. - Manuscript.

Thesis for a scientific degree of the candidate phisic - mathematical sciences on a specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computing methods. - Dnepropetrovsk state university, Dnepropetrovsk, 1999.

The thesis deals with dynamics of nonlinear mechanical and physical systems under periodic impulse excitation. A preliminary stage of study is based on the special non-smooth (saw-tooth) transformation of the time parameter. The transformation eliminates discontinuous terms from the differential equations of motion and hence significantly improves its structure for both analytical and numerical analysis of the models. The technique is implemented for different practically important systems such as parametrically excited moved of Duff'ing system, a double-pendulum model of the liquid sloshing phenomenon in moving tanks subjected to the periodic impulsive loading, etc. It has been shown that the technique can be applied to study the self-excited oscillation of the Van-der-Paul's model under external series of the Dirac's impulses. The results show that the dynamics related strongly depends on the systems parameters and can perform periodic, quasi-periodic and quite complicated irregular stochastic-like regimes.

Key words: Modeling of impulsive excitations, non-smooth transformation of argument, local models.

Размещено на Allbest.ru

...