В качестве рабочего вещества в квантовых усилителях диапазона СВЧ используются примесные парамагнитные кристаллы. Их применение обусловлено тем, что парамагнитные частицы во внешнем магнитном поле обладают удобной системой энергетических уровней, позволяющей создавать перестраиваемые усилители для различных участков диапазона СВЧ.

В примесных парамагнитных кристаллах кристаллическая решетка состоит, в основном из диамагнитных ионов. Парамагнитные ионы, с которыми взаимодействует усиливаемый сигнал, входят в кристалл как примесь, замещающая небольшую часть диамагнитных ионов. Концентрация парамагнетика в кристалле обычно составляет сотые доли процента. Большие концентрации недопустимы из-за возрастания сил взаимодействия между парамагнитными ионами, что приводит к ухудшению параметров КПУ. Типичным и наиболее часто используемым в КПУ рабочим веществом является рубин, который представляет собой окись алюминия Al₂O₃ с небольшой примесью (~0,05 %) трехкратно ионизированных атомов хрома Cr³⁺.

Рассмотрим особенности энергетического спектра парамагнитных ионов во внешнем магнитном поле, а также процессы их взаимодействия со своим окружением и электромагнитным полем, имеющие большое значение в работе КПУ.

2.1.1 Энергетические уровни парамагнитных ионов

Парамагнитные частицы в отличие от диамагнитных обладают постоянным дипольным магнитным моментом, который обусловлен орбитальным движением и спином электронов. Если парамагнитную частицу поместить во внешнее магнитное поле, то она получит дополнительную энергию, определяемую так же, как и для макроскопического магнитного диполя

(2.1)

где магнитный момент диполя; магнитная проницаемость среды; напряженность магнитного поля; проекция момента магнитного диполя на направление магнитного поля.

Знак минус показывает, что энергия взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полем максимальна при антипараллельной ориентации векторов и и минимальна при параллельной.

В случае атомного магнитного диполя его момент и проекция момента на направление внешнего магнитного поля являются величинами квантованными, т.е. могут принимать только ряд дискретных значений. В частности, проекция магнитного момента квантуется по закону

(2.2)

где g - безразмерный коэффициент, учитывающий строение атома и принимающий значение от 1 до 2; единица измерения электронных магнитных моментов, называемая магнетоном Бора; магнитное квантовое число, определяющее разрешенные значения проекции на направление поля . Его численные значения выражаются через квантовое число момента количества движения (J - это момент количества движения частицы в единицах ).

Используя (2.1) и (2.2), можно записать следующее выражение для энергии парамагнитной частицы во внешнем магнитном поле

(2.3)

где W_J - энергия частицы в отсутствии поля.

Таким образом, каждый энергетический уровень парамагнитных частиц с квантовым числом J расщепляется во внешнем магнитном поле на (2J+1) подуровней по числу разрешенных значений магнитного квантового числа . Магнитное поле снимает вырождение, связанное с возможностью различных ориентаций магнитного момента частицы, т.е. вырождение по квантовому числу . Это явление называется эффектом Зеемана, а образующиеся при расщеплении подуровни именуются магнитными или зеемановскими подуровнями.

В случае свободных парамагнитных частиц согласно (2.3) интервалы между соседними магнитными подуровнями одинаковы и пропорциональны напряженности магнитного поля .

На рис.2.1, а показано, как расщепляется энергетический уровень свободных парамагнитных частиц с J = 3/2 в зависимости от напряженности магнитного поля.

Так как при J = 3/2 магнитное квантовое число может принимать значения = 3/2, 1/2, 1/2, 3/2, то энергетический уровень расщепляется на четыре подуровня.

Рис.2.1 Расщепление энергетического уровня парамагнитных частиц

Магнитные подуровни парамагнитных ионов, входящих в кристаллическую решетку, существенно отличаются от соответствующих подуровней свободных частиц. В кристалле на парамагнитные ионы действует сильное электрическое поле, создаваемое другими ионами решетки. Оно изменяет энергию парамагнитных ионов и искажает картину энергетических уровней.

На рис.2.1, б приведены магнитные подуровни ионов хрома Cr³⁺ в рубине в зависимости от напряженности внешнего магнитного поля H для случая когда угол между направлением поля и осью кристалла ??= 54^о. Магнитные подуровни обозначены цифрами 1, 2, 3, 4 без указания соответствующих квантовых чисел m_J. Воздействие внутрикристаллического поля приводит к частичному расщеплению энергетических уровней парамагнитных ионов при отсутствии внешнего магнитного поля и к нарушению линейной зависимости между энергией определенного энергетического состояния и напряженностью внешнего магнитного поля.

Положение магнитных подуровней зависит от ориентации внешнего магнитного поля относительно осей симметрии кристалла. Изменяя напряженность внешнего магнитного поля, а также угол между направлением поля и осью кристалла, можно изменять расстояние между магнитными подуровнями парамагнитных ионов и получать необходимую для работы КПУ частоту переходов.

2.1.2 Релаксационные процессы в парамагнитных кристаллах

Парамагнитные ионы в кристалле взаимодействуют с кристаллической решеткой и другими парамагнитными ионами. Взаимодействие магнитных моментов парамагнитных ионов с кристаллической решеткой называется спин-решеточным взаимодействием, а взаимодействие магнитных моментов ионов друг с другом - спин-спиновым. Оба вида взаимодействия вызывают безызлучательные релаксационные переходы парамагнитных ионов между магнитными подуровнями.

Спин-решеточное взаимодействие может осуществляться следующим образом. Тепловые колебания ионов решетки модулируют внутрикристаллическое электрическое поле, создаваемое в местах расположения парамагнитных ионов. Эта модуляция возмущает орбитальное движение электронов парамагнитных ионов и тем самым воздействует на орбитальный магнитный момент. Взаимодействие орбитального и спинового магнитных моментов (спин-орбитальная связь) приводит к переориентации спинов, т.е. к переходу парамагнитных ионов с одного магнитного подуровня на другой. При каждом таком безызлучательном переходе квант энергии передается от парамагнитного иона тепловым колебаниям кристаллической решетки или наоборот.

Таким образом, спин-решетчатая релаксация сопровождается обменом энергией между спиновой системой и кристаллической решеткой. Обмен энергией способствует установлению и поддержанию теплового равновесия между ними, т.е. восстановлению равновесного распределения населенностей, если по какой-либо причине оно было нарушено.

При спин-спиновых взаимодействиях парамагнитные ионы обмениваются энергией друг с другом, но энергия спиновой системы в целом не изменяется. В двухуровневой системе спин-спиновая релаксация не сопровождается изменением населенностей уровней, так как число переходов с верхнего уровня на нижний равно числу встречных переходов с нижнего уровня на верхний. В многоуровневых системах встречные переходы могут осуществляться между различными парами энергетических уровней, что приводит к изменению населенностей уровней. Этот процесс, называемый кросс-релаксацией, затрудняет создание инверсии населенностей на двух выбранных рабочих уровнях. Чтобы уменьшить влияние кросс-релаксации, приходится уменьшать концентрацию парамагнитных ионов в кристалле.

2.1.3 Электронный парамагнитный резонанс

Явление, связанное с поглощением или с излучением электромагнитной энергии в результате вынужденных переходов парамагнитных ионов между магнитными подуровнями, называется электронным парамагнитным резонансом (ЭПР). Классическое описание ЭПР аналогично описанию ферромагнитного резонанса.

При квантомеханическом описании ЭПР известное соотношение между резонансной частотой и напряженностью подмагничивающего поля следует из уравнения (2.3), согласно которому расстояние между соседними магнитными подуровнями свободных парамагнитных частиц равно и частота перехода . Влияние поляризации магнитного вектора высокочастотного поля учитывается тем, что от нее зависят вероятности вынужденных переходов парамагнитных частиц между магнитными подуровнями.

Естественная ширина спектральных линий ЭПР, обусловленная спонтанными переходами, пренебрежимо мала из-за малой вероятности спонтанных переходов в диапазоне СВЧ. Основными причинами уширения линий ЭПР в парамагнитных кристаллах являются взаимодействия спинов друг с другом и с решеткой, а также неоднородности внутрикристаллического электрического поля и внешнего магнитного поля.

Спин-спиновые взаимодействия влияют на ширину линий двумя путями. Во-первых, спин-спиновая релаксация укорачивает время жизни парамагнитных ионов в определенном энергетическом состоянии. Во-вторых, магнитные поля, создаваемые парамагнитными ионами в месте расположения соседних ионов, векторно складываются с внешним магнитным полем и изменяют резонансную частоту переходов. Различие локальных магнитных полей в разных точках кристалла и флуктуация их во времени приводят к появлению полосы резонансных частот, т.е. к уширению линии. При очень малых концентрациях парамагнетика в кристалле, взаимодействия между парамагнитными ионами слабы и большее влияние на ширину линии оказывают взаимодействия парамагнитных ионов с ядерными спиновыми магнитными моментами диамагнитных ионов решетки.

Неоднородность магнитного поля вызывает уширение линии вследствие того, что резонансные частоты в разных частях кристалла оказываются разными. Неоднородность внутри кристаллического поля также влияет на расщепление магнитных подуровней, в частности на нулевое расщепление (при Н = 0). Случайные изменения расщепления, вызванные изменениями внутри кристаллического поля, приводят к уширению линии. Типичные значения ширины линии ЭПР в кристаллах, используемых в КПУ, - несколько десятков мегагерц, в некоторых случаях - до сотен мегагерц.

2.2 Анализ работы КПУ

2.2.1 Принцип работы трехуровневой схемы

Необходимым условием для квантового усиления является создание инверсии населенностей на двух используемых уровнях рабочего вещества. В КПУ инверсия населенностей достигается за счет воздействия на парамагнитный кристалл вспомогательного излучения СВЧ, так называемой "накачки". Работа КПУ обычно осуществляется по трехуровневой схеме, в которой используются переходы парамагнитных ионов между тремя магнитными подуровнями.

Рассмотрим работу трехуровневой схемы усиления. При отсутствии накачки парамагнитное вещество находится в состоянии термодинамического равновесия и населенности энергетических уровней распределены по закону Больцмана (рис.2.2, а).

Рис.2.2 Трехуровневая система усиления

Для создания инверсии населенностей кристалл облучают сравнительно мощным сигналом накачки, частота которого равна частоте перехода . Сигнал накачки индуцирует переходы парамагнитных ионов между уровнями 1 и 3. Так как вероятности вынужденных переходов вверх и вниз одинаковы, а населенность уровня 1 больше, чем на уровне 3, то количество переходов вверх в единицу времени будет больше, чем вниз. Населенность уровня 3 начнет увеличиваться, а уровня 1 - уменьшаться. Процессу выравнивания населенностей n₁ и n₃ препятствуют релаксационные переходы, стремящиеся возвратить систему в состояние равновесия. Однако при достаточной мощности накачки населенности уровней 1 и 3 (n₁ и n₃) становятся почти равными (рис.2.2, б). Следует заметить, что при любой мощности накачки населенность n₃ не может стать больше n₁, так как уже при число вынужденных переходов вверх и вниз одинаково. Выравнивание населенностей двух энергетических уровней называют "насыщением" соответствующего перехода.

В трехуровневой схеме насыщение перехода 1 3 приводит к инверсии населенностей уровней 3 2 или 2 1. Ниже будут рассмотрены условия, определяющие, для какой именно пары уровней достигается инверсия населенностей. В простейшем случае, когда населенность уровня 2 не изменяется () и инвертированными оказываются населенности тех двух уровней, которые расположены ближе друг к другу. Из рис.2.2, б видно, что при инвертированными оказываются населенности уровней 3 и 2 .

Таким образом, в результате воздействия накачки для одного из переходов трехуровневой системы выполняется условие квантового усиления и если в систему поступит сигнал с частотой, соответствующей частоте этого перехода (в рассмотренном случае с частотой f₃₂), то он будет усилен. Усиление происходит за счет энергии, потребляемой от генератора накачки, часть этой энергии передается усиливаемому сигналу, часть преобразуется в тепло при релаксационных переходах.

2.2.2 Расчет инверсной разности населенностей

Рассмотрим трехуровневую квантовую систему (рис.2.3), на которую одновременно воздействуют накачка на частоте f₁₃ и усиливаемый сигнал на частоте f_32. Определим условия создания инверсии населенностей уровней 3 2 и вычислим инверсную разность населенностей в стационарном режиме, полагая, что полное число микрочастиц в системе остается постоянным, т.е. N =const.

Возможные направления вынужденных переходов и релаксационных переходов, обусловленных спин-решеточными взаимодействиями, показаны на рис.2.3 стрелками. Через p_ij, как и ранее, обозначены вероятности вынужденных переходов в 1 секунду, а через _ij - вероятности релаксационных переходов в 1 секунду. Кросс-релаксация при этом не учитывается.

В стационарном режиме населенности уровней остаются неизменными и, следовательно, на каждый уровень поступает и уходит с него одинаковое число частиц в 1 секунду. Поэтому можно записать

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Рис.2.3 Трехуровневая квантовая система, на которую одновременно воздействуют накачка на частоте f₁₃ и усиливаемый сигнал на частоте f₃₂

Первые три слагаемых в уравнении (2.4) учитывают релаксационные переходы, последнее слагаемое - вынужденные. Аналогичный смысл имеет уравнение (2.5) для уровня 2. Уравнение (2.6) выражает закон сохранения числа частиц в рассматриваемой системе.

Однако общее решение получается довольно громоздким. Чтобы его упростить, учтем, что мощность накачки обычно достаточно велика и переход 1 3 насыщен. Тогда n₁ n₃ и уравнение (2.5) принимает следующий вид:

(2.7)

Решая (2.7) совместно с (2.6) при условии n₁ = n₃, легко найти стационарные значения n₁, n₂, n₃, а затем и инверсную разность населенностей

(2.8)

В диапазоне СВЧ почти всегда выполняется условие hf kT, поэтому соотношение (1.13) между вероятностями релаксационных переходов можно записать так

Подставляя эти соотношения в (2.8) и пренебрегая в знаменателе величинами по сравнению с единицей, находим окончательное выражение для инверсной разности населенностей

(2.9)

Анализируя полученную формулу, можно отметить следующее. Инверсия населенностей достигается при выполнении условия . Если , то инвертированными оказываются населенности уровней 2 и 1. Для увеличения необходимо усиливать неравенство , которое с учетом можно переписать в виде . Смысл этого требования состоит в следующем.

Уменьшение отношения вероятностей релаксационных переходов приводит к более эффективному обеднению нижнего уровня сигнального перехода 3 2 за счет релаксационных процессов и к росту . Увеличение отношения частот накачки и сигнала соответствует увеличению отношения равновесных разностей населенностей , что приводит к возрастанию при насыщении вспомогательного перехода 1 3. Напротив, увеличение температуры кристалла способствует выравниванию равновесных населенностей уровней (см. рис.1.1) и, следовательно, уменьшает .

2.2.3 Мощность, излучаемая активным веществом

Согласно (1.19), (1.6) и (2.9) мощность, излучаемая элементарным объемом dV активного вещества, равна

(2.10)

Полная излучаемая мощность определяется интегрированием (2.10) по объему парамагнитного кристалла.

При малых уровнях сигнала р_{32 32}+₁₂ и в знаменателе (2.10) величиной р₃₂ можно пренебречь. В этом случае n₃₂=const и излучаемая мощность пропорциональна плотности электромагнитной энергии в кристалле, так как p₃₂ = B₃₂₃₂. При увеличении уровня сигнала линейная зависимость между излучаемой мощностью и энергией поля в кристалле нарушается, так как перестает выполняться условие р_{32 32}+₁₂ и начинает уменьшаться инверсная разность населенностей n₃₂, т.е. наступает насыщение сигнального перехода. Условие ненасыщенного режима работы имеет вид р_{32 32}+₁₂. Отсюда следует, что увеличение скорости релаксационных процессов способствует увеличению максимально допустимого уровня усиливаемого сигнала. Однако при этом необходимо увеличивать мощность накачки, чтобы не нарушались условия p₁₃ >> _ij, p₁₃ >> p₃₂, обязательные для насыщения вспомогательного перехода 1 3.

Максимальное значение излучаемой мощности можно найти, полагая, что при больших уровнях сигнала вероятность вынужденных переходов р₃₂ становится больше вероятности релаксационных переходов. Тогда, пренебрегая в знаменателе уравнения (2.10) суммой (w₃₂+w₁₂) по сравнению с р₃₂, получаем выражение для максимальной излучаемой мощности Р_{изл макс}

(2.11)

Оценим величину максимальной излучаемой мощности для практической конструкции КПУ со следующими данными: активное вещество - рубин; f₃₂ = 2800 МГц; f₂₁ = 6600 МГц; w₂₁ @ w₃₂ @ 2,5 ; V = 1 см³; Т = 1,25^°К. Подстановка этих величин в (2.11) дает Р_{изл макс} @ 8,7 мкВт.

Экспериментально в таком усилителе было получено Р_{изл макс} 4 мкВт. По порядку величины приведенные значения Р_{изл макс} типичны для КПУ.

2.3 Параметры и характеристики КПУ