Анализ системы автоматичного регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ системы автоматичного регулирования

1. Построение переходных процессов

При нормальных условиях эксплуатации вся система регулирования находится в установившемся режиме. При этом все регулируемые величины соответствуют своим номинальным значениям, а регулирующие органы неподвижны. Такой режим работы АСР называют статическим.

Если в какой-то момент времени к системе приложено какое-то возмущение (f(t)), то это приведет к отклонению регулируемых величин от заданных значений и, как следствие, к работе регулирующих устройств с целью устранения причин возмущения и возвращения регулируемых величин к своим номинальным или близким к ним значениям.

Изменение регулируемых величин во времени в течение всего процесса регулирования называют переходным процессом.

Такой режим работы системы называют динамическим режимом (динамикой).

Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления в целом могут быть описаны дифференциальными уравнениями и передаточными функциями, а также с помощью временных и частотных характеристик. Временная характеристика представляет собой функцию времени, описывающую выходной сигнал звена (или системы) при подаче на вход звена определенного тестирующего сигнала. Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе.

Указанные характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена.

Переходная функция звена представляет собой сигнал на выходе звена (реакцию звена), вызванный подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчатое воздействие (единичная ступенчатая функция, функция Хевисайда) - это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным.

С помощью системы моделирования ПК МВТУ строим переходные процессы:

Рис. 1. - Переходная характеристика разомкнутой САР:

Рис. 2. - Переходная характеристика замкнутой системы по задающему воздействию:

В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т. е., определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем.

При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САР (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик. Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.

Если задана передаточная Функция W(S), то путём подставки S=jw получаем частотную передаточную функцию W(jw), которая является комплексным выражением т. е.:

Где:

А(w) - вещественная составляющая, а К(w) мнимая составляющая.

Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:

Где:

- модуль;

- аргумент частотной передаточной функции.

Функция М(w), представленная при изменении частоты от 0 до ? получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).

Функция j(w), представленная при изменении частоты от 0 до ? называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Частотная передаточная функция W(jw) может быть представлена на комплексной плоскости. В этом случае для каждой из частот в диапазоне от 0 до ? производится определение вектора на комплексной плоскости и строится годограф вектора.

Годограф будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Таким образом, для определенной частоты имеем вектор на комплексной плоскости, который характеризуется модулем М и аргументом j. Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного.

Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выходного сигнала по отношению к входному. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.

Для упрощения графического представления частотных характеристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ.) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧК) При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо w откладывается lg w и единицей измерения является декада. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частота в 10 раз. При построений ЛАЧХ. на оси ординат единицей измерения является децибел, который представляет собой соотношение:

L = 20 ? lg M(w)

Для ЛФЧК. на оси частот используется логарифмический масштаб, а для углов - натуральный масштаб.

На практике логарифмические частотные характеристики строятся на совмещённой системе координат.

С помощью системы моделирования ПК МВТУ строим частотные характеристики:

Рис. 3. - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой системы:

При этом единицей измерения частоты является декада. Декадой называется частотный интервал, граничные значения которого соотносятся в десять раз.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду не зависит от частоты и имеет длину, равную единице.

При решении практических задач на оси абсцисс указываются не значения lgщ, а, что более удобно, значения самой частоты щ.

Очевидно, что при использовании логарифмического масштаба точка на оси абсцисс, соответствующая щ = 0, находится слева в бесконечности, т. е., логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от некоторого значения, которое определяется данными конкретной задачи.

2. Оценка устойчивости САР по корням характеристического уравнения системы

Устойчивость - это свойство САУ возвращаться в состояния покоя или установившегося движения, из которого система была выведена каким-либо воздействием после устранения этого воздействия.

Исследование устойчивости САУ имеет огромное значение, так как САУ в замкнутом виде обычно склонны к неустойчивой работе.

Устойчивость линейной системы определяется ее параметрами и не зависит от внешних воздействий.

Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

Решение уравнения представляет собой сумму слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения:

Если система представлена в виде передаточной функции, то для анализа устойчивости используется ее собственный оператор (знаменатель передаточной фикции).

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработано ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные и графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость.

Определим устойчивость по корням характеристического уравнения САР напряжения синхронного генератора, для этого воспользуемся характеристическим уравнением системы:

В этом случае:

Если вещественная часть комплексных корней отрицательна, то - затухающая функция - необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления.

Рассчитаем корни разомкнутой системы в ПК МВТУ:

Рис. 4. - Корни разомкнутой системы:

Для того, чтобы линейная САР была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми (отрицательными). В нашем случае корни левые, следовательно, система устойчива.

3. Оценка устойчивости САР с помощью критерия Михайлова

Критерий Михайлова - это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по поведению ее характеристического вектора на комплексной плоскости.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы, которая имеет вид:

Заменим в данном уравнение p=jщ получим характеристический полином Михайлова:

Выделим вещественную U(щ) и мнимую jV(щ) составляющие:

Построим годограф Михайлова:

Рис. 5. - Годограф Михайлова:

Сформулируем критерий Михайлова: для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы кривая или годограф Михайлова при изменении щ от 0 до +? начинаясь при щ = 0 на вещественной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n-квадрантов комплексной плоскости, нигде не обращаясь в нуль (n - степень характеристического полинома (уравнения)).

Так как порядок системы равен 4 и годограф Михайлова при изменении щ от 0 до ? охватывает 4 квадрантов, то система устойчива.

4. Оценка устойчивости САР с помощью критерия Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой системы.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении щ от 0 до ? не охватывала точку с координатами (-1, j0).

Построим годограф Найквиста, который выглядит следующим образом:

Рис 6. - Годограф Найквиста:

Где:

?L - запас по усилению = 1 дБ;

?ц - запас по фазе = 0,1?.

При устойчивой разомкнутой системе годограф Найквиста не охватывает точку (-1, j0), поэтому замкнутая система устойчива.

5. Критический коэффициент САР. Критерий Гурвица

Под критическим (граничным) коэффициентом ККР системы автоматического регулирование понимается то значение коэффициента разомкнутой системы КРС, когда САР в замкнутом состоянии является нейтральной. Для определения значения критического коэффициента ККР системы можно использовать любой из критериев устойчивости. В данном случае рассмотрим использование критерия Гурвица для определения ККР. Для этого воспользуемся характеристическим уравнением замкнутой САР:

Из коэффициентов характеристического уравнения строим определитель Гурвица ? по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули:

автоматический логарифмический связь

Определяем критический коэффициент усиления замкнутой по управлению системы по формуле:

Заключение

В входе создания проектирования выполнено следующие: САР была исследована на устойчивость по корням характеристического уравнения системы, по критериям Михайлова, Найквиста, Гурвица, и выяснилось что система устойчива.

Список использованных источников

1. Куропаткин П.В. Теория автоматического управления: Учебное пособие для технических специальностей вузов. - М.: Высшая школа, 2007. - 528 с.

2. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. Часть I / Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1981. - 367 с.

3. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы / И.В. Мирошник. - СПб.: Питер, 2005. - 336 с.

4. Востриков А.С. Теория автоматического управления: учебное пособие / А.С. Востриков, Г.А. Французова. - СПб.: НГТУ, 2006. - 368 с.

5. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т1. Линейные системы / Д.П. Ким. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с.

Размещено на Allbest.ru