Основные законы электрических цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ДГТУ)

Кафедра «Радиоэлектроника»

ЛЕКЦИЯ

Тема лекции: «Основные законы электрических цепей»

по дисциплине Основы теории цепей

Руденко Н.В.

Ростов-на-Дону 2013

1. Основные понятия топологии электрических цепей

При расчете электрической цепи важную роль играет изучение и учет ее геометрической структуры, геометрического образа цепи. Они основаны на топологии.

Топология - раздел математики, в котором исследуются геометрические свойства фигур, не зависящие от их размеров и прямолинейности. К числу основных геометрических, топологических понятий, используемых в теории цепей, относятся ветвь, узел, контур, граф.

Ветвь - участок электрической цепи, состоящий из одного или нескольких последовательно соединенных элементов, через которые в любой момент времени проходит один и тот же ток (рис. 2.1, а)

Рис. 2.1

Узел электрической цепи -место соединения ее ветвей. На схемах узлы изображаются точкой (рис. 2.1, б)

Контуром электрической цепи называется любой замкнутый путь в цепи.

Пример топологических элементов схемы приведен на рис. 2.2.

Рис. 2.2 где имеется семь ветвей (1-2, 1-3, 2-3, 1-4, 2-4, 3-4 через L₂ и 3-4 через R₂), четыре узла (1, 2, 3, 4) и 11 контуров.

Узел цепи является независимым, если к нему присоединена хотя бы одна новая ветвь, не подходящая к ранее рассматриваемым узлам. Для цепи с q узлами число независимых узлов будет равно m=q-1.

Контур цепи является независимым, если он содержит хотя бы одну новую ветвь, не входящую в ранее рассматриваемые контуры. Из теории графов известно, что число независимых контуров в графе, состоящем из p ветвей и m независимых узлов равно разности n=p-m=p-(q-1).

Для схемы (рис. 2.2), где р=7 и q=4: m=4-1=3 и п=7-3=4.

При необходимости на схеме указывают положительные направления токов и напряжений.

В зависимости от характера соединения идеализированных элементов различают разветвленные и неразветвленные цепи. В неразветвленной цепи через все элементы протекает один и тот же ток (рис. 2.1, а).

В разветвленной цепи токи через различные элементы могут быть неодинаковыми (рис. 2.2).

Соединение группы элементов, при котором через них протекает один и тот же ток, называется последовательным.

Соединение группы элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным.

2. Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа

2.1 Понятие о компонентных и топологических уравнениях

Математические описания процессов в электрических цепях базируются на уравнениях двух типов: компонентных и топологических.

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) - это математические модели соответствующих ветвей и выражают ток или напряжение каждой ветви через параметры элементов этой ветви.

Число компонентных уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т.е. входящих в нее идеализированных двухполюсных элементов.

При записи компонентных уравнений используются следующие уравнения, связывающие между собой ток и напряжение на зажимах идеализированных активных и пассивных элементов:

а) уравнения, составленные на основании закона Ома и представляющие собой математическую модель идеализированного резистивного элемента:

u_R = Ri_R ,

i_R = Gu_R , ; (2.1)

, (2.10)

где п - число элементов, входящих в контур.

Вторая формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре цепи в любой момент времени равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура:

, (2.11)

где т - число источников ЭДС, а п - число пассивных элементов, включенных в контур.

В уравнениях (2.10) и (2.11) напряжения на элементах контура и ЭДС записывают со знаком плюс, если выбранное направление обхода контура (например, по ходу часовой стрелки, рис. 1.25) совпадает с направлением напряжений (токов) на этих элементах. При этом направление обхода и направления токов в ветвях могут быть выбраны произвольно.

Пример1. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи, изображенной на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров:

N₂ = p - (q - 1), (2.12)

где р - число ветвей с независимыми токами (без ветвей с источниками тока);

q - число всех узлов.

Пример 2. Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 2.6). На этот двухполюсник воздействует ЭДС e(t).

Рис. 2.6

.

Поскольку через все элементы протекает один и тот же ток, то можно записать:

Zi = e,

где оператор имеет смысл сопротивления и характеризует цепь, где действует возмущение e(t), т.е. оператор Z отражает собственные свойства цепи.

Совокупность топологических и компонентных уравнений, решение которых позволяет определить неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, называется уравнениями электрического равновесия.

Как было показано ранее, уравнения (2.10) и (2.11) являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных элементов могут быть как алгебраическими (2.1), так и дифференциальными (2.2), (2.3).

Следовательно, уравнения электрического равновесия цепи, составленные любым методом, представляют собой в общем случае систему интегро-дифференциальных уравнений.

3. Основные задачи теории цепей

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами (рис. 1.7)

Рис. 2.7

Если к входам цепи приложить внешнее воздействие

,

то на выходах цепи можно получить реакцию или отклик:

,

где п, т - число входов и выходов.

В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.

Задачи анализа цепи - это задачи, в которых по известным внешнему воздействию x(t), конфигурации и параметрам цепи определяют реакцию цепи S(t).

Задачи синтеза - это задачи, в которых требуется определить структуру и параметры цепи по заданной реакции цепи S(t) на некоторое внешнее воздействие x(t). электрическая цепь передача информация

Исходными данными в задаче анализа является схема замещения цепи с параметрами всех входящих в нее элементов и описание внешнего воздействия x(t), задаваемого в виде совокупности токов и напряжений идеальных неуправляемых источников тока и напряжения, соответственно. В результате анализа определяется отклик S(t) в виде совокупности токов и напряжений всех или некоторых ветвей цепи. В частном случае задача анализа может сводиться к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах S_J(t) и воздействиями x_i(t), приложенными к определенным входам. Такие соотношения называются характеристиками (системными функциями) цепи. В зависимости от того, какая величина - частота или время - являются аргументом в выражениях, описывающих соотношение между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики цепи.

Определение и исследование частотных характеристик представляет собой задачу анализа цепи, в частной области; нахождение временных характеристик - задачу анализа цепи во временной области.

Синтез является обратной задачей по отношению к анализу. Исходными данными в задаче синтеза являются описания внешнего воздействия на цепь x(t) и ее отклика S(t). В результате синтеза необходимо определить схему замещения цепи и параметры всех входящих в нее элементов. В частном случае задача синтеза может сводиться к нахождению цепи, обеспечивающей заданные соотношения между внешним воздействием на цепь x_i(t) и ее реакций S_J(t), т.е. к расчету цепи по ее характеристикам.

Анализ и синтез электрических цепей взаимосвязаны, в частности методы синтеза базируется на использовании общих свойств характеристик различных классов цепей, которые изучаются в процессе анализа.

Размещено на Allbest.ru