Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ

ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ

Книшев Іван Петрович

УДК 621.391

ТЕОРІЯ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПЕРЕТВОРЮВАННЯ СИГНАЛІВ ТА ОЦІНКА ПОХИБОК

Спеціальність 05.12.02 - Телекомунікаційні системи та мережі

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Харків - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківськії державнії академії залізничного транспорту Міністерства транспорту України.

Науковий консультант: професор, доктор технічних наук Поляков Петро Федорович завідуючий кафедри Транспортний зв'язок ХарДАЗТ.

Офіційні опоненти:

професор, доктор технічних наук Горєлов Георгій Володимирович, директор інституту систем управління, телекомунікації та електрофікаціі Московського державного університету шляхів сполучення МШС РФ м. Москва;

професор, доктор технічних наук Печенін Валерій Васильович, професор кафедри авіаційно-космічних радіоелектронних систем Харківського державного аерокосмічного універсітету Міністерства освіти і науки України м. Харків.

професор, доктор технічних наук Рогоза Валерій Станіславович, професор кафедри конструювання та виробнитсьтва ЕВА, Національного технічного універсітету України (КПІ) Міністерства освіти і науки України м. Київ

Провідна установа: Українська державна академія зв'язку імені О.С.Попова, кафедра Телебачення та радіомовлення, Державний комітет зв'язку України, м. Одеса.

Захист відбудеться "27" червня 2001р. о 13³⁰ годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради Д 64.820.01 у Харківській державній академії залізничного транспорту (61050, м. Харків, пл. Фейєрбаха, 7, ауд.417).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Харківської державної академії залізничного транспорту.

Автореферат розісланий "25" травня 2001р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Книгавко М.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний стан і перспективи розвитку суспільства характеризуються широким впровадженням цифрових методів і апаратури практично в усі сфери людської діяльності: науку, техніку, економіку, культуру, побут.

Повідомлення в телекомунікаційних і інформаційно-вимірювальних системах від первинних джерел надходять, як правило, у виді аналогових сигналів Подальша обробка, передача по лініях зв'язку, збереження сигналів можуть здійснюватися з використанням аналогових чи цифрових методів і пристроїв. Успіхи мікроелектроніки в розробці і промисловому освоєнні мікропроцесорів, пристроїв, що запам'ятовують, і інших елементів цифрової техніки, дозволили реалізувати складні й ефективні алгоритми обробки сигналів, системи передачі й обробки інформації з високою надійністю, ефективністю, захищеністю, дальністю зв'язку і ін. показниками, недосяжними для аналогових систем.

Формування, обробка, передача і збереження аналогових сигналів у цифрових системах і пристроях можлива після їхнього перетворювання з аналогової форми в цифрову. Цю функцію виконують аналого-цифрові перетворювачі (АЦП), які є складовою частиною цифрових систем телекомунікацій, інформаційно-вимірювальних і керуючих систем. Як первинний перетворювач, АЦП значною мірою визначає складність і ефективність усієї системи.

Проблема аналізу та оптимізації аналого-цифрового перетворювача сигналів у телекомунікаційних і інформаційно-вимірювальних системах у цілому не вирішена. Це зв'язано з відсутністю єдиного теоретичного обґрунтування аналізу процесів часової дискретизації і амплітудного квантування, розходженнями в методах аналізу перетворювання детермінованих і випадкових сигналів, різними методиками оцінки виникаючих похибок.

У переважній більшості публікацій розглядається або тільки одна з процедур аналого-цифрового перетворювання, або кожна з процедур аналізується незалежно. При цьому використовуються різні математичні апарати, методи апроксимації і критерії.

Розширення областей застосування цифрових методів і апаратури неминуче приводить до розширення спектра вимог до характеристик і параметрів перетворювачів по точності, швидкодії, видам перетворюємих сигналів, складності пристроїв і т.п. Виникають проблеми аналізу і оптимізації АЦП, застосованості отриманих раніше результатів у нових умовах і областях, придатності використовуємих критеріїв і розробка їх нових видів, у більшій мірі відповідаючих вимогам окремих застосувань.

Широке застосування в цифрових системах адаптивних алгоритмів, у тому числі і при аналого-цифровому перетворювані сигналів, вимагають, з одного боку, глибокого розуміння процесів перетворювання і граничних співвідношень і, з іншого боку, наявності досить простих оцінок похибок. Особливе значення оцінки похибок здобувають при розробці адаптивних систем для реального масштабу часу, з обмеженнями по вантажогабарітних показниках, споживаній потужності і т.п.

Дисертаційна робота присвячена проблемі створення єдиної теорії часової дискретизації і амплітудного квантування при аналізі і оптимізації АЦП і оцінці виникаючих похибок.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи входила, як складова частина, у ряд науково-дослідних робіт, виконаних по держбюджетній і госпдоговірної тематиці в Харківській державній академії залізничного транспорту.

- “Повышение эффективности и надежности систем связи”, Харьков, 1984 - 1986, ГР № 01830055151.

- “Разработка и исследование методов и систем автоматического контроля и управления сложных радиоэлектронных комплексов”, Харьков, 1985, ГР № 01840015777.

- “Разработка и внедрение систем спутниковой связи в общем комплексе единой структуры связи МПС”, Харьков, 1988, ГР № 01880028494. Дисертант був відповідаючим виконавцем теми.

- “Исследование возможностей создания системы радиосвязи для контроля и управления объектами нефтяной промышленности”, Харьков, 1989, ГР № 01890083224.

“Розробка та дослідження спеціалізованих систем передачі аналогових та дискретних сигналів у цифрових мережах зв'язку залізничного транспорту”, 1997, ГР № 0197U003555. Дисертант був відповідаючим виконавцем теми, виконаної у межах галузевої програми інформатизації на залізничному транспорті України.

Мети і задачі дослідження. Об'єктом дослідження є процеси аналого-цифрового і цифро-аналогового перетворювання сигналів у телекомунікаційних і інформаційно-вимірювальних системах. Предметом дослідження є умови і вимоги ідеальних процедур квантування і дискретизації, методологія їхнього опису та оптимізації параметрів, а також помилки, що виникають у реальних умовах і системах. Ціль дисертаційних досліджень полягає в розробці єдиної теорії аналізу часової дискретизації й амплітудного квантування, єдиного теоретичного апарата оптимізації АЦП детермінованих і випадкових сигналів, систематизації методологічних вимог ідеального перетворювання і оцінка похибок, що виникають у реальних пристроях.

Для досягнення поставлених цілей вирішувались наступні задачі.

- Формулювання єдиної теорії аналізу процесів часової дискретизації й амплітудного квантування сигналів.

- Систематизація, уточнення і формулювання вимог ідеальної дискретизації і квантування.

- Обґрунтування найбільш ефективних критеріїв аналізу АЦП в умовах реальних застосувань.

- Узагальнення імовірнісних методів аналізу на детерміновані сигнали.

- Одержання оцінок похибок перетворювання для реальних умов, застосовних в інженерній практиці.

- Розробка методів визначення параметрів оптимальних і квазиоптимальних АЦП по мінімуму похибок перетворювання для детермінованих і випадкових сигналів.

Основу методів дослідження складають класична теорія сигналів, апарат перетворювання Фур'є (спектральний аналіз) і теорія імовірності.

Показано можливість і ефективність застосування імовірнісних методів для аналізу детермінованих сигналів (крім кореляційного аналізу), при використанні введених автором інтегральної і диференціальної функцій розподілу детермінованих сигналів по рівнях.

Методи умовної і безумовної одномірної і багатомірної оптимізації використовувалися при оптимізації АЦП детермінованих і випадкових сигналів.

Одержання оцінок похибок часової дискретизації і амплітудного квантування базувалося на використанні методів наближення сигналів чи їхніх спектрів степеневими функціями. Погрішності відновлення сигналів по відлікам реальними фільтрами засновані на теорії фільтрів.

При перевірці отриманих теоретичних положень і результатів використовувалися методи статистичних іспитів і моделювання на ЕОМ.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному.

- Уперше сформульовані умови ідеального квантування, що узагальнюють теорему Котельникова на випадок амплітудного квантування.

- Запропоновано кореляційний критерій, що враховує кореляційні зв'язки і є ефективним при аналізі амплітудного квантування сигналів.

- Уперше для аналізу процесів амплітудного квантування детермінованих сигналів запропоновано використовувати інтегральну і диференціальну функції розподілу сигналу за значеннями. Установлено властивості та отримані аналітичні вирази цих функцій для ряду сигналів.

- Сформульовано єдину теорію аналізу процесів часової дискретизації та амплітудного квантування сигналів.

- Показано вплив початкової фази дискретизуючії послідовності імпульсів на результати дискретизації. Отримано співвідношення фаз вхідного сигналу і дискретизуючії послідовності, при якому спотворення відсутні.

- Показано перетворювання детермінованого сигналу в нестаціонарний випадковий процес при амплітудному квантуванні на фоні шуму.

- Отримано аналітичні вирази взаємозв'язку інтервалів часової дискретизації і амплітудного квантування, що враховують кореляційні функції сигналу і шуму.

Практичне значення отриманих результатів полягає в наступному.

- Отримано оцінки середньоквадратичних похибок часової дискретизації, що виникають при обмеженому числі відліків, необмеженості спектра сигналу, неідеальності характеристик фільтрів, що відновлюють, дискретизації на фоні шумів, а також у схемі вибірки і збереження АЦП, придатні для інженерної практики.

- Отримано вирази цільових функцій для оптимізації АЦП детермінованих і випадкових сигналів, що дозволяють застосувати стандартні методи оптимізації.

- Показано можливість здійснення в процесі часової дискретизації когерентного детектування чи перетворювання частоти.

- Отримано умови неспотвореного частотного перетворювання спектрів смугових сигналів при дискретизації.

- Показано, що в результаті оптимізації можливе зменшення рівня шумів квантування для гауссового сигналу на (1,5...2)дБ, для гармонійного коливання - на величину ~1дБ.

- Отримано вирази для функції розподілу і параметрів випадкового сигналу, що є результатом амплітудного квантування детермінованого сигналу на фоні шуму.

Апробація роботи. Результати дисертаційних досліджень доповідалися на наступних науково-технічних конференціях, семінарах, школах.

- VIII Всесоюзная конференция по теории кодирования и передачи информации. Куйбышев, КАИ, 1981.

- Всесоюзна науково-технічна конференція (ВНТК) “Измерение параметров и формы спектра радиотехнических сигналов”. Харьков, НПО “Метрология”, 1981.

- Школа фахівців на ВДНГ СРСР “Помехи и борьба с ними”. Москва, ЦП НТОРЭС им. А.С. Попова, 1982.

- Науково-технічна конференція (НТК) “Повышение эффективности систем передачи и обработки информации”. Севастополь, Севастопольский приборостроительный институт, 1982.

- Всесоюзна школа-семінар “Микропроцессоры в системах связи и управления”. Харьков-Алушта, ХИИТ, 1986.

- ВНТК “Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования”. Тамбов, ТВАИИУ, 1991.

- IV Всеросійска конференція “Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования”. Тамбов, ТВАИИУ, 1995.

- Школа-семінар “Микропроцессорные системы связи и управления на железнодорожном транспорте”. Харьков-Алушта, ХарГАЖТ, 1994, 1995.

- Українська НТК ”Метрологія та вимірювальна техніка” (Метрологія-95). Харків, ДНВО “Метрологія”, 1995.

- НТК Харківського військового університету. Харків, ХВУ, 1999.

- XLIV, XLV, 46 - 49, 51, 52 НТК кафедр института и специалистов железнодорожного транспорта. Харьков, ХИИТ, 1982 - 1987, 1989, 1990г.г.

- 56-62 НТК кафедр академії та спеціалістів залізничного транспорту за міжнародною участю. Харків, ХарДАЗТ, 1994-2000р.р.

Публікації. Матеріали дисертаційних досліджень опубліковані в 13 статтях у науково-технічних журналах, 10 статтях у науково-технічних збірниках праць, 9 тезах доповідей на науково-технічних конференціях, семінарах, школах і т.п.

У статті [31] автору належить аналіз процесів перетворювання спектрів сигналів при зсуві з несущої на нульову частоту.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновку, 4-х додатків, списку використаних джерел з 132 найменувань. Дисертація містить 273 стор. машинописного тексту, 89 малюнків і 5 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі розглянуті основні процедури, які виконуються при аналого-цифровому перетворювані сигналів: часова дискретизація і амплітудне квантування, у результаті виконання яких із сигналу u(t) виходить сигнал u_в(t); методи їхнього виконання та опису, а також виникаюча проблематика і аналіз наявних публікацій. У цьому розділі розглянуті також методи представлення сигналів і вводяться інтегральна Fd(x) і диференційна Wd(x) функції розподілу сигналу по рівнях x:

(1)

(2)

Фізично функція Fd(x) являє собою сумарну відносну частку інтервалу Т₀ на якій значення сигналу не перевищують x. Функція Wd(x) являє собою граничне значення сумарної відносної частки інтервалу Т₀, на якій значення сигналу u(t) лежать в інтервалі [x; x+Д_x], при Д_x > 0.

У випадку періодичного сигналу інтегрування в (1) і (2) здійснюється на інтервалі періоду Т_п (Т₀ = Т_п). У неперіодичного сигналу інтегрування здійснюється на інтервалі його існування, чи формування (обробки), що, зокрема, може визначатися необхідною точністю. Цей інтервал повинний бути істотно більше ефективної тривалості сигналу Т_эфф.

Зв'язок між функціями виражається співвідношеннями:

(3)

У цьому розділі розглянуті також основні види критеріїв, які використовуються при аналізі АЦП. Основна увага приділена середньоквадратичному критерію і запропоновано його розширення на корельовані сигнали у виді кореляційного критерію:

, (4)

де R(ф) і R_в(ф) - автокорреляційні функції сигналів u(t) і u_в(t), відповідно.

У розділі 2 розглянуті вимоги теореми Котельникова і величини виникаючих помилок. У теоремі розглядається ідеальна дискретизація сигналу, коли погрішність відновлення відсутня (дорівнює нулю). Це можливо при виконанні цілого ряду умов.

Дискретизація сигналів з фінітним спектром при частоті f_g = 2F_m вимагає виконання визначених фазових співвідношень, що забезпечують точне відновлення сигналу.

У загальному спектрі U(j) початкового сигналу u(t) існує спектральна складова з частотою _m = 2F_m :

U(j_m) U_m(_m)cos(_mt + _c) = A_m(_m)cos(_mt) + jB_m(_m)sin(_mt), (6)

де U_m(_m) - амплітуда спектральної складової; A_m(_m) і B_m(_m) - амплітуди її дійсної і мнимої частини; _з - початкова фаза.

У спектрі дискретизированного сигналу в результаті згортки на частоті _m крім складової (6) з'явиться складова першого парціального спектру з мінімальною частотою

U[j(_gt - _mt + _g - _c)] = U[j(_mt + _g - _c)]. (7)

Амплітуди спектральних складових (6) і (7) однакові і результат їхнього підсумовування залежить від співвідношення фаз _c і _g . При _g = 0 зникає мнима частина складової (6), а при _g = /2 - дійсна частина. Для неспотвореного відновлення сигналу необхідно виконати умову:

_g = 2_c . (8)

При дискретизації сигналів з необмеженим спектром величину середньоквадратичної погрішності в частотній області можна представити у виді

, (9)

де U_в(j) - спектр відновленого по відлікам сигналу u_в(t).

Якщо апроксимувати спектр сигналу u(t), те оцінка середньовадратичної помилки буде мати вид:

. (10)

Розбіжність точних значень (9) і оцінок (10) відрізняються, у гіршому випадку, на величину ~1дБ. амплітудний апарат сигнал

При відновленні сигналів по кінцевому числу відліків можливі два випадки. По-перше маються сигнали з кінцевим числом ненульових відліків. Відновлення таких сигналів без помилок можливо, якщо виконується фазове співвідношення (8). При наявності зсуву оД_t, |о|<0,5, з'являється помилка.

, (11)

де б = f_g/2F_m .

Другий випадок відповідає виключенню всіх відліків з |k|>N. У цьому випадку для симетричного сигналу середньоквадратична помилка дорівнює

,

де ;T₀=(2N+1)Д_t.

Вплив відносної нестабільності частоти дискретизації д_f на відновлення сигналу можна оцінити середньоквадратичним значенням помилки

(12)

де - коефіцієнти, обумовлені відношенням енергій сигналу і його першої похідної.

Для ряду сигналів (u_s(t), u_э(t)=exp(-t²/2в²) ) були проведені розрахунки помилок (12). Результати розрахунків для сигналів практично збіглися (відмінності в значеннях не перевищують 1,5дБ), що свідчить про слабкий вплив форми сигналу (швидкості спадання спектру) на рівень погрішності. Для інженерної практики замість співвідношення (17) можна використовувати оцінку

придатну для будь-якого сигналу.

При дискретизації імпульсами кінцевої тривалості в схемі вибірки і збереження (СВХ) виникають погрішності, зв'язані з неповною зарядкою запам'ятовуючої ємності З за час тривалості імпульсу дискретизації t_g і його розрядкою за час Д_t - t_g. Визначено окремі складові і сумарну величину среднеквадратической погрішності СВХ, що дорівнює

(13)

де м = t_g/ф_з; г = Д_t/ф_р; ф_з = CR_i (t_g>>ф_з); ф_р = CR_ут (ф_р >>Д_t);

P₁=exp(-м)/Q-[1-exp(-м)]/Qм; Р₂=exp[-г(1-1/Q)];

r'(Д_t)=R'(Д_t)/Э_с - похідна нормованої кореляційної функції;

R_i, R_ут - внутрішній опір джерела сигналу і вхідний опір схеми зчитування.

У результаті дискретизації відлік видається з затримкою щодо фактичного значення на величину t_з. Це приводить, при рівноімовінії затримці на інтервалі t_g, до появи погрішності виду

.

У розділі 3 розглянуті особливості дискретизації випадкових сигналів.

У роботі показано, що розкладання в ряд Котельникова справедливо для двовимірної й умовної функцій розподілу випадкового процесу, що має обмежений енергетичний спектр.

Дискретизація випадкових процесів з необмеженим енергетичним спектром G(щ) приводить до появи помилки (перешкоди). Ця помилка має дві некорельовані складові: "високочастотну" похибку з дисперсією

, (14)

(на цю величину зменшується дисперсія вихідного сигналу при дискретизації) і "низькочастотну" погрішність, дисперсія якої дорівнює

(15)

(на цю величину збільшується дисперсія вихідного сигналу при відновленні). Очевидно, що у_нч² = =у_вч² і, тому, відновлений сигнал має таку ж дисперсію у_д², що і вихідний у_д²= у_02.

При дискретизації випадкових процесів імпульсами кінцевої тривалості у СВХ виникають погрішності, зв'язані з неповною зарядкою і розрядкою запам'ятовуючої ємності. Визначено окремі складові і сумарну величину середньоквадратичної погрішності СВХ при корельованих вибірках і нестаціонарному випадковому процесі. Зокрема, якщо вибірки випадкового процесу некорельовані, то дисперсія помилки дискретизації для стаціонарного процесу буде дорівнює:

у_е²(kД_t) = у₀²P₂²exp(-2м) + [1-P₂(1+exp(-м))]².

де у₀(t) і у₀?(t) - дисперсія випадкового процесу і її похідна

У параметрів м, г і Q існують граничні значення. Для систем з невисокою точністю необхідно забезпечити м > 5...6, г < 0,05...0.01 і Q > 10...20. У прецизійних системах вимоги до параметрів СВХ більш високі: м > 50, г < 0,01 і Q > 50. Невиконання цих умов приводить до різкого зростання погрішності.

Для перевірки отриманих співвідношень було здійснене моделювання процесу дискретизації некорельованого випадкового сигналу з рівномірною щільністю імовірності. На мал. 6 колами відзначені результати моделювання, що відрізняються від теоретичних менш ніж на 1дБ.

У розділі 4 розглянуте амплітудне квантування детермінованих сигналів. Для них процес перетворювання завжди супроводжується помилками квантування. Вибором параметрів АЦП помилку можна зробити менш допустимого значення, для чого повинні бути некорельованими її окремі значення.

При рівномірній часової дискретизації з кроком Д_t і квантуванні з кроком Д_u усереднена умова некорельованості відліків помилки прийме вид

,

де Р_ср - середня потужність сигналу.

У точках экстремума, де похідна u'(t)=0, помилка квантування буде найбільшою мірою корельованою. Тоді, для найгіршої ситуації умова некорельованності шумів квантування приймає вид:

,

де N_н - число рівнів квантування;

в_пс і в_вп - коефіцієнти.

При квантуванні сигналів великого рівня і (чи) при вимогах малого рівня шуму квантування, може знадобитися надмірно велика розрядність АЦП. У такому випадку доцільно перейти до нерівномірного розташування рівнів порівняння, що забезпечує менший рівень шумів квантування.

У загальному випадку, при квантуванні сигналу н-розрядним АЦП із довільним розташуванням _н+2 вхідних рівнів порівняння U={u_i, i } і N_н+1 вихідних рівнів стану V={v_i, i }, величини дисперсій помилок квантування на кожнім інтервалі Д_ui=u_i+1-u_i, , будуть різними.

Розіб'ємо часовий інтервал [-T_ан/2; T_ан/2], що аналізуеться, на підінтервали и_im, , m, у яких значення сигналу u(t) попадають у відповідні підінтервали рівнів u_i; u_i+1], а вихідне значення АЦП дорівнює v_i і не змінюється при будь-якому m. Тут К_i - це число відрізків сигналу u(t), коли його значення попадають в інтервал u_i; u_i+1].

Приватна помилка дорівнює е_i(t) = u(t)-v_i для всієї сукупності значень m. Це дозволяє розглядати загальну помилку е(t) як суму

.

Дисперсія приватної i-ої помилки постійна при різних m і, при некорельованих відліках u(t_k), визначається співвідношенням:

.

Тоді, дисперсію загальної помилки е(t) можна знайти як суму приватних дисперсій з вагами, обумовленими інтегральної (1) чи диференційної (2) функціями розподілу сигналу по рівнях:

. (17)

Відповідно до загальних принципів пошуку мінімумів, для функціонала (17) варто знайти такі значення рівнів u_i , i , при яких стають рівними нулю його часткові похідні по u_i . Для детермінованого сигналу значення двох крайніх рівнів порівняння визначають максимальне і мінімальне значення сигналу: u₀ = M^[0]- і u_н =M^[0]₊ . Тоді з функціонала (17), з огляду на, що кожен рівень входить у верхній і нижній межі інтегрування, можна знайти:

(18)

Дорівнюючи нулю часткові похідні (18), одержуємо систему з N_н-1 нелінійних рівнянь

Використовуючи відомий математичний апарат і програмне забезпечення рішення систем нелінійних рівнянь можна визначити оптимальний вектор рівнів порівняння U_опт для конкретних сигналів.

Вибором елементів вектора вихідних рівнів стану V можна забезпечити незміщеність помилки е(t). Ця умова забезпечується, якщо елементи вектора V знаходяться з умови

,

де - сумарний відносний час перебування сигналу в інтервалі [u_i; u_i+1].

Результати оптимізації АЦП для неперіодичних сигналів (наприклад, гауссового, експоненційного) залежать від вибору області аналізу (формування) Т_ан і початкового рівня u₁ . Область Т_ан визначається необхідною точністю формування сигналу х₀ чи може бути задана з інших розумінь. Існує оптимальний інтервал аналізу (формування), що забезпечує мінімум погрішності е²_опт.

При перетворювані в АЦП детермінованих сигналів на фоні аддитивного шуму в широкому діапазоні відносин q=P_c/у_ш² квантується сума y(t)=u(t)+о(t). Розглянемо процес квантування в рівномірному АЦП із динамічним діапазоном u_н - u₁ = му_ш = (N_н-1)Д_u. Якщо сигнал приймає значення u(kД_t) = u_с , те в результаті квантування його можна представити у виді

uс = sgn[u(kДt)]lkДu + Осk ,

де l_k = int[|u_с |/Д_u] - ціле число, |О_сk| < Д_u і sgn(?) - функція знака.

Шум о(kД_t) описується функцією розподілу щільності імовірності W_ш(x) з нульовим середнім значенням і дисперсією . Деяке значення шуму о(kД_t) = u_ш також можна представити у виді

uш = sgn[о(kДt)]mkДu + Ошk ,

де m_k = int[|u_ш |/Д_u] - випадкове ціле число, |О_шk| < Д_u .

Результат квантування y(kД_t) = u_с + u_ш залежить від суми двох залишків О_сk і О_шk :

y(kД_t) = sgn[u(kД_t)]l_kД_u+ sgn[о(kД_t)]m_kД_u + О_сk + О_шk .

У випадку гіпотетичного АЦП із нескінченно великими значеннями числа рівнів порівняння і динамічного діапазону при постійному кроці Д_u квантований сигнал буде приймати тільки два значення, рівні по модулі l_kД_u , якщо |О_сk + О_шk| < Д_u , і (l_k+1)Д_u, якщо |О_сk + О_шk| ? Д_u.

У загальному випадку, при обмеженому динамічному діапазоні АЦП квантований сигнал дорівнює u_кв(kД_t) = j_kД_u , |j_k| 1 2; , l_k+1} і sgn(j_k) = sgn[u(kД_t)].

Розподіл імовірності квантованого сигналу можна визначити як

, (19)

де інтервал інтегрування визначається як перетинання двох інтервалів

[uнi+j; uвi+j] = [ui-1; ui] ? [ui+j-1 - u(kДt); uj+i - u(kДt)].

По розподілі (19) можна визначити параметри квантованого сигналу: середнє значення і дисперсію:

, (20)

, (21)

а також імовірність проходження сигналу через АЦП

. (22)

Таким чином, при квантуванні на фоні перешкоди в АЦП детермінований сигнал перетворюється в дискретний нестаціонарний випадковий процес з розподілом (19). Вид розподілу і його параметри (20) і (21) залежать від виду розподілу перешкоди, миттєвого значення сигналу і характеристики АЦП.

Умова некорельованості шуму квантування має вид:

, (23)

де r_ш(ф) і r_с(ф) - нормовані автокореляційні функції сигналу і шуму.

Умова (23) показує, що у випадку сигналу сильно корельованого на інтервалі Д_t, коли q[1-r_с(Дt)]<<1, наявність слабкого корельованого шуму дозволяє знизити вимоги до розрядності АЦП. Ця особливість евристично використана в роботах ряду авторів.

Узагальненим параметром якості перетворювання можуть служити втрати у вихідному відношенні сигнал/шум АЦП:

, (24)

де у_шкв² - дисперсія квантованого шуму;

. (25)

У загальному випадку, при модулі сигналу, що змінюється, у вирази (24) повинні використовуватися усереднені значення г(kД_t) і у_кв²(kД_t).

Для деяких сигналів (пачки прямокутних імпульсів з постійною амплітудою, сигнали з кутовою модуляцією і т.п.) вирази (24) і (25) справедливі для сигналу в цілому.

При квантуванні аналітичних сигналів перетворенню піддаються дійсна і квадратурна складові. При цьому необхідно забезпечити не тільки необхідну точність формування окремих складових, але і задані системні параметри. Зокрема це може бути ступінь придушення неробочих складових у спектрі сигналу з однією бічною смугою.

Показано, що ступінь подавлення неробочої бічної смуги при н-розрядної рівномірної дискретизації визначається співвідношенням

.

У системах зв'язку з однополосною модуляцією вимоги до подавлення неробочої бічної смуги звичайно складають 60дБ і більш. Це означає, що АЦП повинно бути 10...12-розрядним і більш.

У розділі 5 розглянута теорія квантування випадкових сигналів.

Вихідний процес о(t) описується функцією розподілу щільності імовірності W_о(x) і характеристичною функцією и_о(jл).

У результаті дискретизації і квантування в н-розрядному АЦП одержуємо випадковий процес т(kД_t), значення якого визначаються безліччю V вихідних рівнів стану. Розподіл імовірності процесу т(kД_t) по елементах безлічі V можуть бути знайдені як вектор

P_т , (26)

де u_? - вхідні рівні порівняння АЦП.

При використанні гіпотетичного АЦП із нескінченно великим числом вхідних рівнів порівняння N_н> ? і рівномірним кроком Д_u, рівні стану відповідають v_? =?Д_u, |?| . Тоді, при досить малому Д_u, вектор (26) можна представити у виді “безперервної” функції

, (27)

де д(x-?Д_u) - дельта-функція в точці x = ?Д_u.

Характеристичну функцію випадкового процесу з розподілом (27) - и_т(jл) можна знайти як згортку характеристичних функцій вихідного процесу и_о(jл) і періодичної послідовності д-функцій з періодом Д_u - и_д(л) = и_д(2р?/Д_u).

При дискретному характері и_д(л) згортка буде мати вид:

. (28)

Якщо характеристична функція и_о(jл) не містить складових зі значеннями вище Л_m:

а інтервал Д_u обраний з умови

Д_u ?р/Л_m, (29)

де парціальні складові в сумі (28) не перекриваються і характеристична функція являє собою нескінченну послідовність характеристичних функцій и_о(jл), зміщених по осі л на величини 2р?/Д_u.

Вихідний випадковий процес о(kД_t) можна відновити, якщо квантований процес т(kД_t) просумувати з незалежним випадковим процесом з_у(t), що має характеристичну функцію виду

(30)

Після підсумовування т(kДt)+з(kДt) = одержуємо характеристичну функцію и_у(jл)= и_т(jл)+ и_з(jл), якій відповідає функція розподілення щільності імовірності W_в(x) = W_о(x).

Таким чином, теорема Котельникова узагальнюється на процедуру амплітудного квантування випадкових процесів у наступному формулюванні.

Якщо характеристична функція и(jл) випадкового процесу не має складових вище Л_m , те його функція розподілу щільності імовірності цілком визначається своїми значеннями W(?Д_u), ? , отриманими з інтервалом Д_u?р/Л_m. Для відновлення вихідного розподілу необхідно просумувати квантований випадковий процес і незалежний випадковий процес з характеристичною функцією виду (30).

Теорема буде справедлива при виконанні ряду умов.

Характеристична функція и(jл) повинна дорівнюмати нулю поза інтервалом [?Л_m; Л_m].

При обмеженій характеристичній функції число значень (відліків) повинне бути нескінченно великим. Це означає, що квантуватель повинен мати нескінченно велике число рівнів порівняння (нескінченно велику розрядність).

Відліки функції W(?Д_u) повинні бути отримані для нескінченно малих околиць точок ?Д_u , ? (у виді д-функцій).

Інтервали квантування Д_u? = u_? - u_?-₁, ? , повинні бути однаковими і дорівнюватись Д_u ? р/Л_m.

Випадковий процес, що відновлює, повинний бути незалежним з характеристичною функцією виду (30).

Усі ці умови фізично реалізувати неможливо, тому амплітудне квантування в реальних системах також супроводжується помилками (погрішностями) відновлення. Сумарна помилка буде складатися з помилки кінцевого числа рівнів квантування (помилка обмеження), помилки через нескінченність характеристичної функції квантуємого сигналу, помилки через неідеальність характеристичної функції процесу, що відновлює. Вибором параметрів квантувателя і процесу, що відновлює, величину сумарної помилки можна зробити як завгодно малою, наближаючи до вимог ідеального квантування.

По розподілу імовірності (26) квантованого випадкового процесу на виході АЦП можна визначити числові характеристики: середнє значення і дисперсію

x_ср = (V, P_кв) ,

у_ку² = (V₂, P_кв) ,

де V₂ = і (V, P) - скалярний добуток векторів V і P.

Незміщеність квантованого сигналу при будь-якій розрядності АЦП забезпечується умовою

V , (31)

Результати оцінок величини помилки, при використанні кореляційного і середньоквадратичного критеріїв, будуть різними.

Нехай на АЦП надходить стаціонарний сигнал з нульовим середнім значенням, дисперсією у_н² і двовимірною щільністю імовірності W₂(x,y,ф).

У цьому випадку погрішність за кореляційним критерієм буде дорівнювати

(32)

де W_у(y/x,ф) - умовна щільність імовірності ( W₂(x,y,ф)=W(x)W_у(y/x,ф) ).

При підсумовуванні по m можна обмежитися кінцевим числом елементів, що складаються, M=int(1+1/2F_вД_t), тому що далі відліки практично некорельовані,

Тоді верхню межу погрішності (32) можна визначити у виді

, (33)

де - погрішність, що визначена по середньоквадратичному критерію.

Для зменшення помилок необхідно забезпечити визначене співвідношення між інтервалами Д_t і Д_?:

,

де у_н² -дисперсія вихідного сигналу.

Оптимізація АЦП проводиться на основі будь-якого критерію, обумовленого системною задачею. У системах, інформаційним параметром яких є середнє значення сигналу, в якості критерію може бути використаний мінімум відмінності середніх значень вихідного- x₀ і квантованого - x_ср сигналів. Цю погрішність можна представити у виді

.

Якщо елементи v_? безлічі V вибрати з умови

, (34)

де р_? - ?-й елемент вектора Р (див. (26)), те значення інтеграла буде дорівнює нулю і, таким чином, буде досягнутий абсолютний мінімум погрішності. Це умова аналогічна умові незміщеності квантованих детермінованих і випадкових сигналів. Розрядність АЦП у цьому випадку не впливає на якість оптимізації, тому що умова (34) може бути виконане при будь-якому значенні ? і довільному векторі U вхідних рівнів порівняння АЦП.

У дисертації показано, що процедура оптимізації по будь-якому енергетичному критерію зводиться до знаходження вектора-рядка U, мінімізуючого цільову функцію

J(U) (35)

за умови, що вектор-рядок V₀ визначається співвідношенням (34).

Задача оптимізації АЦП по цільовій функції (35) може бути вирішена методом перебування экстремума функції N_н+1 перемінних. Вирішити цю задачу в загальному виді важко. Для одержання оцінок можливих результатів оптимізації можна здійснити апроксимацію розподілу W(x). Найбільш простою є східчаста апроксимація. Для неї цільова функція рівномірного АЦП залежить тільки від двох параметрів: початкового рівня u_н = u₁ і інтервалу між рівнями Д_u=Д_v=Д.

При лінійній апроксимації вихідного розподілу цільова функція (35) може бути представлена в наступному виді:

де Rн_? = W(u_?)(3u_?-4u_?-1+v_?)+W(u_?-1)(u_?-1-v_?), Rв_? = W(u_?)(u_?-1-v_?)+W(u_?-1)(4u_?-3u_?-1-v_?).

Важливим класом випадкових сигналів є марківскі процеси. При амплітудному квантуванні на виході АЦП може бути отриман марківський ланцюг, який нескінченно ускладнюється. Однак, для цілком регулярних процесів вибором інтервалу дискретизації Д_t і кроку квантування Д_u можна забезпечити невисоку ускладність (х = 0; 1; 2).

Марківський ланцюг, що формується на виході АЦП, приймає значення елементів вектора V у моменти часу t_n=t₀+nД_t, n0; 1; 2; …, кратні інтервалу Д_t . У початковий момент часу t₀ імовірність появи одного із значень v_i визначається вектором-стовпцем початкових імовірностей

P₀(t₀) .

Початкова величина переходить з одного v_i в інше v_j стан, що відповідають моментам часу t₁=t₀+nД_t і t₂=t₀+(n+m)Д_t, з імовірністю, обумовленої стохастичною матрицею перехідних імовірностей

Р.

При стаціонарному вхідному сигналі на виході АЦП буде формуватися однорідний марківський ланцюг з матрицею безумовних перехідних імовірностей

Р_v.

Якщо випадковий процес має енергетичний спектр шириною F_экв, то інтервал кореляції ф₀?1/2F_экв . Для одержання нуль-ускладненого ланцюга (х = 0) необхідно мати некорельовані відліки і, отже, інтервал дискретизації Д_t>ф_0. На практиці, для одержання малих похибок часової дискретизації забезпечують малу величину інтервалу Д_t =1/2бF_экв (б >1), що дає Д_t < ф_0. Результати амплітудного квантування будь-яких сусідніх відліків u(nД_t) і u[(n+1)Д_t] збережуть усі властивості вихідного сигналу, якщо ефективне збільшення за час Д_t буде відповідати умові

. (36)

Отримана умова (36) відбиває взаємозалежність інтервалів часової дискретизації і амплітудного квантування.

ВИСНОВОК

При оптимізації параметрів АЦП необхідно знати граничні співвідношення параметрів сигналів і пристроїв (ідеальне перетворювання), усі джерела помилок, мати оцінки виникаючих похибок. Для цього необхідний єдиний теоретичний апарат аналізу процедур дискретизації і квантування перетворених сигналів. Аналіз літературних джерел показує, що часова дискретизація і амплітудне квантування розглядаються практично незалежно і з різних позицій. Для амплітудного квантування немає теоретичного обґрунтування, подібного до теореми Котельникова. Це визначає різнорідність методик аналізу процедур перетворювання, оцінок величин виникаючих похибок і процедур оптимізації.

Також істотно відрізняються підходи до аналізу та оптимізації АЦП для детермінованих і випадкових сигналів.

У цілому, проблема аналого-цифрового перетворювання сигналів вимагає узагальнення і формування єдиної теоретичної бази.

Для створення єдиної теорії аналізу та оптимізації АЦП була здійснена систематизація і уточнення вимог теореми Котельникова для часової дискретизації (визначено, зокрема, вплив початкових фаз сигналу і дискретизуючії послідовності) і її узагальнення для випадку амплітудного квантування. При цьому вперше були сформульовані вимоги до квантуемого сигналу, квантувателю і пристрою, що відновлює, подібні до вимог при часової дискретизації. Тим самим було введене поняття ідеального амплітудного квантувателя. При переході від ідеальних процедур до реальних були виявлені джерела помилок квантування і шляхи їхнього зменшення.

Таким чином, була розроблена теоретична база ідеального АЦП, що містить ідеальний часовий дискретизатор (обумовлений класичною теоремою Котельникова) і ідеальний амплітудний квантуватель (обумовлений узагальненням теореми Котельникова на процедуру квантування).

Для обліку часових зв'язків у преутвореному сигналі як основу аналізу та оптимізації був запропонований і використаний кореляційний критерій, що представляє середньоквадратичну різницю кореляційних функцій вхідного і перетвореного сигналів.

Проведений аналіз з використанням кореляційного критерію дозволив установити взаємозв'язок кроку часової дискретизації Д_t і інтервалу амплітудного квантування Д_u, що визначається кореляційною функцією сигналу, наявністю шуму і його властивостей.

Отримані теоретичні передумови дозволили провести оптимізацію АЦП по мінімуму середньоквадратичної погрішності (помилки) добре розробленими класичними методами. При цьому показано, що вихідні рівні АЦП повинні вибиратися з умови незміщеності оцінки сигналу. Це, одночасно, є однією з умов мінімуму середньоквадратичної помилки. З іншої умови випливає нерівномірність розташування вхідних рівнів порівняння АЦП.

Для випадкових і детермінованих сигналів може бути використана єдина методика оптимізації, якщо на детерміновані сигнали поширити імовірнісні методи аналізу. Для цього введені інтегральна Fd(x) і диференційна Wd(x) функції розподілу детермінованого сигналу по рівнях. Визначено властивості і взаємозв'язок цих функцій, отримані їхні вирази для ряду сигналів.

Цільові функції, на основі яких здійснюється оптимізація АЦП класичними методами, були отримані за єдиною методикою для детермінованих і випадкових сигналів з використанням функцій розподілу.

Використовуючи східчасту і лінійну інтерполяцію функцій розподілу, були отримані цільові функції для квазіоптимальних АЦП, що спрощують процедуру оптимізації. При цьому погіршення помилки квантування, що допускається, не перевищує 3...6 дБ для східчастої і 1...2 дБ для лінійної апроксимації при нормальному випадковому процесі.

У роботі показано, що квантування детермінованих сигналів на фоні шуму приводить до їхнього перетворювання в нестаціонарний випадковий процес, середнє значення якого визначається початковим сигналом. Дисперсія нестаціонарного процесу (шум квантування) залежить від параметрів АЦП і значення квантуємого сигналу.

Для помилок, що виникають у реальних пристроях часової дискретизації, отримані середньоквадратичні значення і їхні оцінки (при степеневої апроксимації), що є подальшим розвитком і узагальненням оцінок, що існували. Аналіз отриманих залежностей показує, що:

- при кінцевому числі ненульових відліків сигналу помилка залежить від фазового співвідношення сигналу і дискретизуючої послідовності;

- помилка, внесена СВЗ, має граничну залежність від параметрів схеми;

- при нестабільності частоти дискретизирующих імпульсів менш 10-⁵ величина помилки нестабільності не перевищить -70дБ;

- при дискретизації сигналу на фоні шуму пристрою дискретизації повинний передувати аналоговий фільтр, що значно знижує (на 5...10 і більш дБ) програш у відношенні сигнал/шум навіть при найпростішому типі.

Для випадку амплітудного квантування отримані середньоквадратичні помилки, що виникають при перетворювані детермінованого сигналу, аналітичного сигналу, розглянуті особливості перетворювання марковських випадкових процесів.

Вірогідність отриманих результатів базується на використанні при аналізі класичних методів теорії сигналів, математичного аналізу і теорії випадкових процесів. Найважливіші отримані результати є логічними і несуперечливим розвитком існуючих теорій і представлень сигналів і процесів їхнього перетворювання. Це відноситься до поширення теореми Котельникова на амплітудне квантування, імовірних методів аналізу на детерміновані сигнали, середньоквадратичного критерію на корельовані сигнали (кореляційний критерій). При апроксимації сигналів і їхніх спектрів використовувалося наближення степеневими функціями, які широко використовують при аналізі сигналів.

У необхідних випадках теоретичні результати перевірялися моделюванням на ЕОМ. Так, вплив початкових фаз сигналу і дискретизуючії послідовності імпульсів на помилку відновлення підтверджені прямими розрахунками і моделюванням на ЕОМ при випадковій величині фазового зрушення. Статистичним моделюванням перевірялися також теоретичні результати визначення погрішності, внесеною схемою вибірки і збереження (відмінності менш 1дБ), результатів оптимізації АЦП при східчастій і лінійній апроксимації функцій розподілу.

Підтвердженням вірогідності отриманих результатів по встановленню залежності між інтервалами часової дискретизації та амплітудного квантування є теоретичне обґрунтування методу зменшення розрядності АЦП при введенні додаткового випадкового сигналу, що випливає з них и розглянутого кількістю авторів .

Отримані результати являють собою подальший розвиток теорії сигналів і можуть бути використані при виборі параметрів і оптимізації АЦП для систем обробки сигналів в інформаційно-вимірювальних системах різного призначення. Насамперед, це відноситься до систем з високими вимогами по вантажногабаритних параметрах і енергоспоживанню, де особливо гостра проблема мінімізації розрядності цифрових пристроїв. До них відносяться також системи з високими точнісним вимогами, де необхідно враховувати всі складові помилок і забезпечити їхній малий рівень.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кнышев И.П. Теорема отсчетов в амплитудном квантовании // Системи обробки інформації. -Харків: НАНУ, ПАНМ, ХВУ. -2000. -Вип. 3(9). -С.32-36.

2. Кнышев И.П. Оптимизация АЦП детерминированных сигналов // Информационно-управляющие системы на ж. д. транспорте. 2000, №6. -С.46-49.

3. Книшев І.П. Розширення теореми Котельникова на амплитудне квантування // Зб. наук. праць. Харків, ХарДАЗТ, 2000, вип. 44. -С.17-22.

4. Кнышев И.П. Дискретизация случайных сигналов с неограниченным спектром // Информационно-управляющие системы на ж. д. транспорте. 2000, №5. -С.24-27.

5. Кнышев И.П. Квантование аналитических сигналов. // Информационно-управляющие системы на ж. д. транспорте. 2000, №2. -С.80-82.

6. Кнышев И.П. Функции распределения детерминированных сигналов // Системи обробки інформації. -Харків: НАНУ, ПАНМ, ХВУ. -1999. -Вип. 2(6). -С.176-180.

7. Кнышев И.П. Аналого-цифровое преобразование марковских сигналов. // Системи обробки інформації. -Харків: НАНУ, ПАНМ, ХВУ. -1999. -Вип. 1(5). -С.154-157.

8. Кнышев И.П. Фазовые соотношения в теореме Котельникова // Информационно-управляющие системы на ж. д. транспорте. 1999, №3. -С.21-23.

9. Кнышев И.П. Дискретизация случайных сигналов с неограниченным спектром. Тезисы доклада. // Науково-технічна конференція Харківського військового універсітету. Тези доповідей, вип.3. Харків, 1999. -С.29.

10. Кнышев И.П. Корреляционный критерий анализа в информационных системах. // Информационно-управляющие системы на ж. д. транспорте. 1999, №2. -С.60-61.

11. Книшев І.П. Вимоги до стабільності частоти дискретизації сигналів. // Мережі і системи телекомунікації на залізничному транспорті. Міжвуз. сб. наук. праць. ХарДАЗТ, 1999, вип. 35. -С.110-116.

12. Книшев І.П. Ідеальна дискретизація сигналів і фазові співвідношення в теоремі Котельнікова. // Мережі і системи телекомунікації на залізничному транспорті. Міжвуз. сб. наук. праць. ХарДАЗТ, 1999, вип. 35. -С.106-110.

13. Кнышев И.П. Погрешность дискретизации сигналов при ограниченном числе отсчетов. // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1999, т.42, №2. -С.3-9.

14. Кнышев И.П. Дискретизация сигналов на фоне шума. // Информационно-управляющие системы на ж. д. транспорте. 1999, №1. -С.40-41.

15. Кнышев И.П. Ошибка, вносимая устройством выборки и хранения в случайный сигнал. // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1998, т.41, №2. -С.67-73.

16. Кнышев И.П. Анализ погрешности схемы выборки и хранения АЦП. // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997, т.40, №4. -С.23-28.

17. Кнышев И.П. Особенности дискретизации узкополосных сигналов // Компьютеризованные системы контроля и управления на ж.д. транспорте. Сб. трудов. Харьков, ХарГАЖТ, 1997, вып.28. -С.49-52.

18. Кнышев И.П. Погрешность восстановления дискретизированных сигналов реальными фильтрами. // Компьютеризованные системы контроля и управления на ж.д. транспорте. Сб. трудов. Харьков, ХарГАЖТ, 1997, вып.28. -С.36-39.

19. Кнышев И.П. Погрешность дискретизации сигналов с неограниченным спектром. // Применение микропроцессоров в системах ж.д. автоматики. Межвуз. сб. тр. Вып.27. Харьков, ХарГАЖТ, 1995. -С.24-28.

20. Кнышев И.П. Погрешности схемы выборки и хранения АЦП. // Применение микропроцессоров в системах ж.д. автоматики. Межвуз. Сб. тр. Вып.27. Харьков, ХарГАЖТ, 1995. -С.28-33.

...