Універсальні алгоритми швидких дискретних ортогональних перетворень для паралельних інформаційних технологій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Державний комітет зв'язку та інформатизації України

Національна академія наук України

Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

УНІВЕРСАЛЬНІ АЛГОРИТМИ ШВИДКИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ ДЛЯ ПАРАЛЕЛЬНИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Спеціальність: Автоматизовані системи управління та прогресивні інформаційні технології

ЛІСКЕВИЧ РОСТИСЛАВ ІГОРОВИЧ

Львів, 2001 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний стан розвитку суспільства характеризується стрімким та глобальним переходом від індустріального суспільства до інформаційного. Інформаційне суспільство ставить принципово нову комплексну задачу, що полягає у потребі автоматизації розумової праці. Необхідно розробити нові інформаційні технології цифрової обробки даних, котрі би звільнили людину від рутинної роботи збору, обробки, передачі та зберігання інформації. На технології швидкого доступу до інформаційних ресурсів з довільної точки планети покладаються великі надії при розв'язуванні економічних, наукових та соціальних проблем. При цьому слід наголосити на дві особливості. По-перше, постійну тенденцію до збільшення обсягів даних, що передаються через глобальні інформаційні мережі і використовуються в процесі обробки. По-друге, різко зростають вимоги до оперативності - вартість інформації, отриманої після обробки даних, суттєво залежить від часу.

Таким чином, динаміка переходу від індустріального до інформаційного суспільства у значні мірі визначається досягненнями у галузі побудови інтелектуальних методів та високопродуктивних паралельних засобів цифрової обробки сигналів. Серед основних операцій обробки сигналів особлива роль відводиться дискретним ортогональним перетворенням (ДОП): Фур'є, Хартлі, косинусним та синусним другого-четвертого виду, Уолша-Адамара. Загалом вони є математичною основою процедур фільтрації сигналів, що застосовуються при аналізі, компресії та класифікації даних.

При цьому спостерігається тенденція до збільшення кількості використовуваних перетворень, а, значить, і ростуть затрати на розробку ефективних засобів їх реалізації. Тому гостро повстає задача розробки універсальних швидких алгоритмів, які би охоплювали основні види ДОП і одночасно добре узгоджувалися з особливостями архітектури паралельних НВІС-процесорів, які, в свою чергу, є одним із основних напрямків підвищення оперативності інформаційних технологій.

Сучасна теорія швидких алгоритмів цифрової обробки сигналів (ЦОС) будується на принципах скорочення кількості елементарних арифметичних операцій і передбачає уніфікацію засобів виконання операцій ЦОС за рахунок використання невеликої кількості базових обчислювальних блоків. Відсутність універсальних паралельних швидких алгоритмів ДОП, суттєво стримує розвиток новітніх інформаційних технологій.

У зв'язку з сказаним актуальною є наукова задача, яка полягає в розробці універсальних алгоритмів швидких ортогональних перетворень, орієнтованих на застосування в паралельних інформаційних технологіях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках Державної науково-технічної програми 6.02.02 з пріоритетного напрямку “Перспективні інформаційні технології і системи”, затвердженої ДКНТ України (1992 р.), таких науково-дослідних робіт: “Дослідження та розроблення високоефективних методів і алгоритмів відбору, обробки та збереження інформаційних параметрів з метою аналізу, оцінки та прогнозування складних явищ, процесів, об'єктів і управління” 2000-2001 р., Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури НАН України, “Синтез, оптимізація функціонування та нові застосування нейронних мереж” Договір №2/441 з Міністерством науки України по проекту 06.05/00099 (1999-2000 р.), ДКР “Розробка інформаційно-керуючої системи”, шифр “ТИУС” (державний реєстраційний номер 0197U017576) Львівський науково-дослідний радіотехнічний інститут.

Мета і задачі дисертаційної роботи. Мета роботи полягає в розробці нових універсальних швидких алгоритмів обчислення дискретних ортогональних перетворень, орієнтованих на паралельні обчислювальні архітектури та паралельні інформаційні технології.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі:

1. Удосконалити методи синтезу швидких алгоритмів ортогональних перетворень з метою отримання універсальних структурно інваріантних алгоритмів;

2. Синтезувати універсальні двокаскадні структурно інваріантні швидкі алгоритми обчислення ортогональних перетворень;

3. Розробити структуру штучної нейронної мережі фільтрації сигналів з прискореним навчанням;

4. Продемонструвати ефективність отриманих універсальних алгоритмів та штучної нейронної мережі на модельних задачах стиску зображень;

5. Дослідити можливості високоефективного використання універсальних швидких алгоритмів дискретних ортогональних перетворень при побудові паралельних потокових та матричних процесорів.

Наукова новизна отриманих результатів:

1. Удосконалено метод синтезу і синтезовано нові двокаскадні алгоритми швидкого синусного перетворення другого виду, швидкого косинусного та синусного перетворень четвертого виду, швидкого перетворення Фур'є та Хартлі дійсної послідовності;

2. Отримано універсальні алгоритми швидкого обчислення ортогональних тригонометричних перетворень, в котрих вид перетворення задається тільки значеннями фазових множників базової операції та видами перестановок елементів вхідної та вихідної послідовностей;

3. Запропоновано та досліджено варіант декомпозиції структури універсальних двокаскадних алгоритмів через універсальний блок, який реалізує обчислення тільки на одному каскаді і дає можливість суттєвого скорочення затрат обладнання при реалізації паралельних НВІС-процесорів;

4. Проведено структурне удосконалення алгоритмів сортування даних, що використовуються при обчисленнях ортогональних тригонометричних перетворень. Розроблено ефективні швидкі алгоритми реалізації вхідних та вихідних перестановок в отриманих універсальних алгоритмах;

5. Розвинуто алгоритмічний підхід до побудови нейронних мереж цифрової обробки сигналів, при якому структура мережі реалізує універсальний швидкий (а не безпосередній) алгоритм вирішення задачі, що зменшує кількість її ваг і прискорює процес навчання;

6. Розроблено і обґрунтовано структури нейронних мереж фільтрації сигналів, що ґрунтуються на швидких універсальних алгоритмах ортогональних перетворень, і забезпечують автоматичний вибір найкращого (серед структурно інваріантних) за заданим формалізованим критерієм перетворення та швидко навчаються. Експериментально показано їх переваги у швидкості навчання при побудові нейронної мережі стиску зображень.

Практичне значення отриманих результатів. Основна практична цінність синтезованих у роботі універсальних алгоритмів обчислення ДОП полягає у спрощенні розробки паралельних обчислювальних засобів цифрової обробки сигналів, включаючи штучні нейронні мережі (ШНМ). Зведення цілого класу перетворень до однієї структурно-однорідної обчислювальної структури з простою двох точковою базовою операцією, де вибір перетворення задається тільки вибором значень фазових множників базової операції повороту вектора, дозволяє спростити синтез пристроїв ЦОС. Впровадження універсального блоку, що має структуру графу алгоритму швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) за основою два і спрощену базову операцію повороту вектора, в 1.2-1.6 раз скорочує затрати обладнання при паралельній реалізації універсальних алгоритмів та дозволяє в 1.5-2.0 рази скоротити час розробки процесорів фільтрації сигналів. При синтезі ШНМ суттєво (в десятки-сотні) раз зменшується загальна кількість її ваг, затрати обладнання на реалізацію та час навчання.

Розроблені у дисертаційній роботі алгоритми знайшли застосування при побудові паралельних інформаційних технологій обробки сигналів та зображень: у засобах аналізу мовних сигналів та зображень, у системах розпізнавання та класифікації об'єктів, при побудові засобів стиску сигналів та зображень, у засобах фільтрації сигналів інформаційно-керуючої системи.

Публікації.

По темі дисертації опубліковано дев'ять наукових робіт: сім статей у фахових наукових виданнях (1-7), дві публікації в матеріалах міжнародних конференцій (8, 9).

Особистий внесок пошукувача.

Всі теоретичні і практичні результати, що виносяться на захист, виконані автором самостійно. У роботах, що опубліковані в співавторстві, пошукувачу належать:

- розробка алгоритмів швидкої перестановки даних;

- синтез та структурне удосконалення універсальних двокаскадних алгоритмів дискретних ортогональних перетворень;

- розробка структури нейронної мережі;

- розробка універсального алгоритму і загальної структури процесора, участь в формулюванні проблеми (задачі) в усіх наведених роботах.

Апробація роботи.

Основні теоретичні і практичні результати дисертації доповідалися і обговорювалися на: Міжнародній науково-технічній конференції “Інформаційні технології та системи” (Львів, 1999), Міжнародному конгресі “Проблеми інформатизації рекреаційної та туристичної діяльності в Україні: Перспективи культурного та економічного розвитку” (Львів-Трускавець, 2000), Міжнародній конференції з автоматичного управління “Автоматика - 2000 (Львів, 2000), Міжнародній конференції “Друкотех” (Львів, 2000), наукових семінарах Державного науково-дослідного інституту інформаційної інфраструктури (Львів, 1998-2001).

Структура роботи.

Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, списку літературних джерел з 164 найменувань, висновків і одного додатку.

Зміст роботи викладений на 152 сторінках. Робота ілюструється 47 малюнками і 5 таблицями.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведена загальна характеристика роботи, обґрунтована її актуальність, сформульована мета і задачі досліджень, а також наукова новизна і практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі наведено особливості застосування ДОП у типових процедурах цифрової обробки сигналів. Одновимірні ДОП: Фур'є, Хартлі, косинусні-синусні різних видів описуються виразом:

Для всіх цих видів перетворень виконується умова сепарабельності (роздільності), котра дозволяє звести двовимірні перетворення до системи одновимірних.

Загалом в задачах ЦОС вибір виду перетворення є достатньо складною задачею. Його здійснюють, виходячи з необхідності забезпечення двох, суперечливих між собою вимог.

По-перше, перетворення повинно забезпечувати найкраще за заданим критерієм подання сигналу в просторі образу сигналу. Наприклад, в задачах класифікації чи розпізнавання воно повинно виділяти (підкреслювати) характерні ознаки деякого об'єкту.

По-друге, практична вартість перетворення визначається існуванням швидких алгоритмів та засобів виконання як прямого, так і оберненого перетворень. Окрім того, перетворення виду (1) застосовують як основний математичний апарат типових процедур ЦОС: лінійної фільтрації сигналів, обчислення кореляційних функцій, узагальненої фільтрації сигналів (кепстральний аналіз).

Відзначено, що відомі методи побудови універсальних та уніфікованих швидких алгоритмів ДОП мають недоліки. Вони не забезпечують отримання обчислювальної структури, котра би була структурно однорідною і охоплювала основні види перетворень. Підкреслено, що паралельна організація обчислень має принципово важливе значення при побудові новітніх інформаційних технологій обробки даних, зокрема, технологій з використанням штучних нейронних мереж.

У другому розділі розвинуто методи побудови структурно однорідних швидких алгоритмів ДОП. З цією метою як базовий для подальшого розвитку вибраний метод, що застосовувався при синтезі відомих двокаскадних алгоритмів швидкого косинусного перетворення (ШКП) другого та третього видів, котрі складаються з двох точкових базових операцій двох типів, об'єднаних між собою за двома правилами.

Тут, що і відображає назва двокаскадні, в першій частині (каскаді) містяться тільки етапи простих базових операцій першого типу, що об'єднуються за першим правилом і не потребують виконання операцій множення. Базові операції другого ж типу, котрі в загальному випадку передбачають виконання операцій множення на деякі фазові множники і, об'єднуються за другим правилом і містяться на етапах другого каскаду.

Для взаємно обернених дискретних синусних перетворень (ДСП) другого та третього видів матриці в (1) відповідно задаються виразами:

За схемою синтезу відомого алгоритму ШКП одержаний двокаскадний алгоритм швидкого синусного перетворення (ШСП) другого (ШСП2) та третього (ШСП3) видів. Порівняння графів отриманих алгоритмів ШСП2-ШСП3 і відомих двокаскадних алгоритмів ШКП2-ШКП3 засвідчило їх структурну подібність.

Дискретне косинусне перетворення (ДКП) і ДСП четвертого виду мають в (1) матриці, котрі відповідно задаються виразами:

Для побудови двокаскадних алгоритмів ШПФ дійсної послідовності (ШПФд), ШПФ ермітової послідовності (ШПФе) і швидкого перетворення Хартлі (ШПХ) використано непрямий метод, в котрому відповідні перетворення обчислюються на основі алгоритмів ШКП2 чи ШКП3 за допомогою введення двох додаткових етапів. На одному з них виконуються перестановки елементів перетворюваної послідовності x (n) за законом:

Показано, що інвертування графів (зміна напрямку обчислень) двох останніх алгоритмів дає ще два двокаскадні алгоритми цього типу: ШПХ на основі ШКП3 і ШПФе на основі ШКП3, в котрих, як і попередніх, скорочений допоміжний етап поворотів вектора. Тут додаткові перестановки елементів перетворюваної послідовності Xr(n) є оберненими до (2) і здійснюються за виразом:

Аналіз етапів першого каскаду алгоритмів ШКП2 і ШСП2 показав, що цей каскад відповідає N точковому алгоритму швидкого перетворення Уолша-Адамара (ШАУА) з упорядкуванням елементів за Уолшем. Таким чином, отримані двокаскадні алгоритми ШКП2, ШСП2, ШПФд і ШПХ можна розглядати як непрямі алгоритми обчислення тригонометричних перетворень на основі алгоритму ШАУА.

У третьому розділі запропоновано та досліджено універсальні швидкі алгоритми (УША) ДОП. З огляду на необхідність поєднання вимог універсальності виділено п'ять варіантів побудови УША ДОП.

У них відповідно реалізуються двокаскадні алгоритми:

а) ШКП2, ШСП2, ШПХ і ШПФд (УША1);

б) ШКП3, ШСП3, ШПХ і ШПФе (УША2);

в) ШКП2, ШСП2, ШКП4, ШСП4, ШПХ і ШПФд (УША3);

г) ШКП3, ШСП3, ШКП4, ШСП4, ШПХ і ШПФд (УША4);

д) ШКП2, ШСП3, ШКП3, ШСП3, ШКП4, ШСП4, ШПХ і ШПФд (УША5).

Показано, що двокаскадні алгоритми ШКП2, ШСП2, ШПХ і ШПФд можна подати у вигляді алгоритму УША1При цьому використаний непрямий алгоритм обчислення ШСП2 через ШКП2. Це дозволило уникнути зміни знаків у фазових множниках на етапах повороту вектора за рахунок перестановки елементів вихідної послідовності і множення на послідовність (-1) вхідної послідовності.

Алгоритм УША1 забезпечує обчислення кожного із чотирьох перетворень без збільшення обчислювальних затрат порівняно із спеціалізованими двокаскадними швидкими алгоритмами ШКП2, ШСП2, ШПХ і ШПФд.

Алгоритм УША2 побудований на основі інвертування графу алгоритму УША1. Алгоритми УША1 і УША2 взяті за основу і при побудові алгоритмів УША3 та УША4.

Оскільки алгоритми ШКП2, ШСП2 і ШКП4-ШСП4 відрізняються схемами з'єднання базових операцій другого каскаду, то для приведення їх до універсальної структури (алгоритму ШКП2) у алгоритмах ШСП2 і ШКП4-ШСП4 введені додаткові перестановки елементів вихідної послідовностей, котрі відповідно описуються рекурентними виразами:

За правилами (4) чи (5) послідовності меншої довжини (і) розбиваються аж до отримання чотири точкових. Ці ж перестановки використовуємо і для порядкування фазових множників на етапах перетворення. Таким чином, щоби на основі алгоритму УША1 побудувати алгоритм УША3 достатньо в першому внести такі зміни: замінити останній етап простих базових операцій етапом поворотів вектора, забезпечити вибір фазових множників на всіх етапах операцій поворот вектора, ввести два додаткових варіанти перестановки вихідних даних. Алгоритм УША4 будується як інвертування графу алгоритму УША3. При цьому перестановки (4) і (5) заміняються оберненими до них перестановками:

Недоліком розглянутих алгоритмів УША1-УША4 є потреба одночасної розробки засобів реалізації хоча би двох алгоритмів: УША1-УША2 чи УША3-УША4. Вона обумовлена тим, що у більшості випадків застосувань ЦОС необхідно виконувати і пряме, і обернене перетворення. Для його усунення розроблений алгоритм УША5. Із структури алгоритмів УША1-УША4 випливає, що їх можна подати у вигляді двократного звернення до одного етапного універсального блоку поворотів вектора, графічно показаного для m = 3 або N = 8.

На графі квадратиками позначена узагальнена базова операція повороту вектора, що охоплює всі типи базових операцій в алгоритмах УША1-УША4, включаючи просту базову операцію. Нижній індекс вказує на номер етапу, а верхній - на номер операції на етапі. У блоці БП здійснюється перестановка даних за правилами (2)-(7). Вибір виду перетворення здійснюється за рахунок відповідного правила перестановки в блоці БП і надання конкретних значень фазових множників на етапах повороту вектора. Побудовано швидкі алгоритми (з скороченням кількості операцій переміщення даних) виконання перестановок (2)-(7). Показано, що вони мають структуру, близьку до перестановки даних за законом двійкової інверсії адрес алгоритму ШПФ за основою два. Встановлено і експериментально підтверджено, що перестановки (2)-(7) можуть бути реалізовані швидко - за допомогою O(N) операцій переміщення даних.

У четвертому розділі розглянуто алгоритмічний підхід до побудови ШНМ фільтрації сигналів:

Суть алгоритмічного підходу до побудови нейронних мереж полягає у використанні швидких (а не безпосередніх) алгоритмів при реалізації перетворень виду (8). На основі універсального блоку побудовано ШНМ реалізації швидких алгоритмів ортогональних перетворень. При цьому двох точкова операція повороту вектора замінена двома нейронами з двома входами і одним виходом (E1 і Е2), тут:

- відповідно ваги першого та другого нейронів. Оскільки ваги нейронів можуть набувати довільних значень з інтервалу, то така нейронна мережа охоплює всі вищевказані ортогональні перетворення. На її основі побудована ШНМ фільтрації сигналів у частотній області.

На прикладі задачі стиску зображень проведено порівняльний аналіз запропонованої ШНМ фільтрації та відомої мережі, що ґрунтується на перетворенні Карунена-Лоева. Перша мережа містить нейронів з двома входами та одним виходом (сумарно ваг), а друга складається з лінійних нейронів з входами і одним виходом (сумарно ваг). Таким чином, першу мережу можна класифікувати як мережу з швидким навчанням. Експериментально підтверджено переваги в швидкості навчання ШНМ фільтрації сигналів. Відзначено, що алгоритмічний підхід дозволяє скоротити і кількість ваг (час навчання) ШНМ виконання хвильових перетворень (фільтрації сигналів у часовій області).

У п'ятому розділі розглянуто основні, практично важливі варіанти реалізації отриманих у роботі універсальних швидких алгоритмів ДОП. Відзначено, що використання базової операції повороту вектора - складової операції алгоритму ШПФ за основою два - дозволяє організовувати паралельне виконання обчислень на програмованих процесорах ЦОС. Для універсальних алгоритмів УША1-УША4 і універсального блоку не відомі варіанти з високою основою. Але на основі відомого підходу декомпозиції алгоритму ШПФ за основою два у вигляді набору блоків (мало точкових перетворень) можна реалізувати їх паралельне виконання за схемою з високою основою, де операційний пристрій паралельно виконує вибрану кількість взаємопов'язаних базових операцій (а не одну).

Розглянуто структури потокових універсального НВІС-процесора швидких ортогональних перетворень і НВІС-процесора реалізації універсального блоку алгоритмів швидких ортогональних перетворень, а також отримано оцінки основних затрат обладнання на їх реалізацію.

Встановлено, що порівняно з однотипним за структурою потоковим НВІС-процесором, що реалізує алгоритм ШПФ за основою два, затрати обладнання скорочуються у 1.1-1.6 раз при одночасному забезпеченні універсальності стосовно видів перетворень. При великих розмінностях універсальний блок скорочує в 1.2 раз затрати обладнання порівняно з універсальними алгоритмами.

Відзначено, що отримані універсальні алгоритми можуть бути ефективно використанні і при побудові матричних процесорів іншого виду, наприклад таких, що реалізують один етап графу алгоритму з постійною структурою. Це дозволяє в раз скоротити затрати обладнання порівняно з прямим апаратним відображенням загального графу алгоритму.

У додатку наведено акти про впровадження результатів роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розвинуто методи синтезу швидких алгоритмів дискретних ортогональних перетворень. При цьому отримано такі основні результати:

1) Синтезовано двокаскадні швидкі алгоритми синусного перетворення другого і третього видів, косинусного і синусного перетворень четвертого виду. Побудовано їх направлені графи і розкрито структурну подібність, включаючи збіг обчислювальних затрат, між відомими алгоритмами косинусного перетворення і отриманими алгоритмами синусного перетворення другого та третього видів;

2) Розроблено нові двокаскадні швидкі алгоритми обчислення дискретного перетворення Хартлі (з часовим та частотним прорідженнями), дискретного перетворення Фур'є дійсної чи ермітової послідовностей. Порівняно з безпосереднім застосуванням відомих непрямих алгоритмів швидкого обчислення перетворень Фур'є-Хартлі на основі швидких алгоритмів косинусного перетворення отримані алгоритми скорочують один етап поворотів вектора (на 5-7% обчислювальні затрати);

3) Показано, що всі вищевказані двокаскадні алгоритми мають однакову структуру, яка відрізняється тільки напрямком обчислень і значеннями фазових множників на окремих етапах повороту вектора. Встановлено, що каскад простих базових операцій двокаскадних швидких алгоритмах відображає швидкий алгоритм дискретного перетворення Уолша-Адамара;

4) З метою отримання структурно однорідних обчислювальних структур проведена модифікація схеми зв'язків на етапах поворотів вектора у двокаскадних алгоритмах ШСП другого виду, ШКП та ШКП четвертого виду. Отримано алгоритми, які на етапах виконання базових операції структурно збігаються з алгоритмом швидкого косинусного перетворення другого виду;

5) На основі двокаскадного алгоритму ШКП другого виду розроблено універсальні алгоритми обчислення прямих та обернених перетворень Фур'є-Хартлі, косинусного та синусного другого-четвертого видів. Вибір виду перетворення здійснюється за рахунок операцій перестановки вхідних та вихідних даних та зміни значень фазових множників тільки на одному етапі поворотів вектора;

6) Запропоновано новий варіант додаткової декомпозиції графів швидких алгоритмів. З цією метою введено універсальний обчислювальний блок, що реалізує перетворення тільки одного каскаду двокаскадних універсальних алгоритмів і дозволяє подати довільний двокаскадний швидкий алгоритм як послідовне дворазове звернення до універсального блоку;

7) Розроблено ефективні надшвидкі алгоритми реалізації вхідних та вихідних перестановок в отриманих універсальних алгоритмах, що потребують операцій переміщення даних;

8) Показано, що застосування універсального блоку та алгоритмічного підходу при побудові нейронних мереж фільтрації сигналів дозволяє суттєво (в раз) прискорити процес навчання мережі;

9) Продемонстровано ефективність отриманих універсальних алгоритмів ДОП при побудові засобів обробки сигналів: зменшується у 1.2-1.6 раз затрати обладнання при розробці універсальних паралельно-потокових НВІС-процесорів швидких ортогональних перетворень, скорочується у 1.5-2.0 рази час розробки засобів адаптивної фільтрації сигналів.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ліскевич Р., Ліскевич О. Ефективні алгоритми перестановки даних для уніфікованих структур обчислення перетворень косинусного-синусного, Фур'є і Хартлі // Вісник Державного університету “Львівська політехніка”: “Комп'ютерна інженерія та інформаційні технології”. - Львів, 1999. - №380. - С. 171-176. цифровий сигнал матричний

2. Яцимірський М.М., Ліскевич Р.І. Структурно однорідні уніфіковані швидкі алгоритми перетворень Фур'є, Хартлі, косинусного і синусного // Моделювання та інформаційні технології. - 1999. - Вип. 2. - С. 173-181.

3. Яцимірський М., Ліскевич Р., Ліскевич О. Двокаскадний алгоритм швидкого синусного перетворення // Вісник Державного університету “Львівська політехніка”: “Комп'ютерна інженерія та інформаційні технології”. - Львів, 1999. - №386. - С. 198-204.

4. Ліскевич Р., Яцимірський М. Універсальний швидкий алгоритм обчислення дискретних тригонометричних перетворень // Вісник Державного університету “Львівська політехніка”. - Львів, 2000. - №392. - С. 151-155.

5. Ліскевич Р.І, Яцимірський М.М. Принципи побудови нейронної мережі ущільнення сигналів для мультимедійних інформаційних технологій // Комп'ютерні технології друкарства. Збірник наукових праць. - Львів, 2000. - №5. - С. 353-359.

6. Ліскевич Р.І., Цмоць І.Г., Яцимірський М.М. Універсальний НВІС-процесор швидких тригонометричних перетворень // Збірник наукових праць. Інститут проблем моделювання в енергетиці. - Київ, 2000. - Вип. 10. - С. 190-197.

7. Ліскевич Р.І. Розпаралелювання обчислень в універсальних швидких алгоритмах обчислення тригонометричних перетворень // Моделювання та інформаційні технології. - Київ, 2001. - Вип. 7. - С. 85-90.

8. Ліскевич Р.І., Яцимірський М.М. Оптимізація структури швидких паралельних алгоритмів косинусного і синусного перетворень четвертого виду // Праці міжнародного конгресу “Проблеми інформатизації рекреаційної та туристичної діяльності в Україні: Перспективи культурного та економічного розвитку”. - Трускавець, 2000. - С. 100-102.

9. Ліскевич О.І., Ліскевич Р.І., Яцимірський М.М. Алгоритмічний підхід до побудови нейронних мереж лінійної фільтрації сигналів // Автоматика 2000. Міжнародна конференція з автоматичного управління, Львів, 2000: Праці в 7-ми томах. - Т.6. - Львів: Державний НДІ інформаційної інфраструктури, 2000. - С. 318-323.

Размещено на Allbest.ru