Теории автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторные работы 5-го семестра

Лабораторная работа №1

Расчет и построение графика переходного процесса в нелинейной системе методом припасовывания (расчетно-графическая работа)

Целью лабораторной работы №1 является освоение порядка расчета и построения переходного процесса в нелинейных системах автоматического регулирования с использованием метода припасовывания.

1.1. Принципиальная схема лабораторной установки.

В качестве практического примера в лабораторной работе рассматривается система регулирования температуры в сушильном шкафу, принципиальная схема которой представлена на рисунке 1.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В учебном варианте системы регулирования температуры объектом управления (ОУ) является лабораторный сушильный шкаф, в котором температура поднимается за счет нагревательного элемента (НЭ). Необходимое значение температуры внутри шкафа поддерживается изменением степени открытия заслонки (РО), приводимой в движение серводвигателем (СД) через редуктор Ред., которые совместно образуют исполнительный механизм системы (ИМ). Действительное значение температуры определяется с помощью измерительного элемента (ИЭ), в качестве которого используется термосопротивление, включенное в измерительный мост, выполняющий роль устройства сравнения (УС). На выход измерительного моста включено поляризованное реле (ПР), подвижной контакт которого подает напряжение питания на ту или другую обмотки управления серводвигателя в зависимости от знака рассогласования измерительного моста. Релейный элемент (ПР) образует управляющее устройство (УУ) релейного типа.

1.2.Функциональная и структурная схемы.

Функциональная схема системы представлена на (рис.1.2.). Она следует непосредственно из описания принципиальной схемы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Структурная схема нелинейной системы будет иметь вид, показанный на рис. 1.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Объект управления (ОУ) представлен на структурной схеме апериодическим звеном 1-го порядка с коэффициентом передачи (град/радиан) и постоянной времени , характеризующей инерционность теплоизоляции сушильного шкафа. Исполнительный механизм (ИМ) заменен интегрирующим звеном с коэффициентом (радиан/В.сек). Измерительному элементу (ИЭ) соответствует безынерционное звено (А/град). Управляющее устройство (УУ) аппросимируется нелинейным звеном с идеальной релейной характеристикой и зоной нечувствительности . Величина ступеньки реле (Вольт) соответствует напряжению, подаваемому через контакты реле на серводвигатель и его обмотки. На характеристике реле указаны также римскими цифрами основные зоны работы системы. Численные значения вышеперечисленных коэффициентов для различных вариантов расчета приведены в таблице 1. Коэффициент используется для расчета начального значения переходного процесса .

1.3. Порядок расчета переходного процесса в изучаемой системе.

Находим общее дифференциальное уравнение системы, предварительно записав уравнения для отдельных элементов функциональной и структурной схем системы.

Уравнение объекта управления ОУ:

Уравнение измерительного элемента ИЭ:

Уравнение исполнительного механизма ИМ:



Уравнение управляющего устройства УУ (рис.1.4):

Тогда общее уравнение системы:

,

где

Уравнение для зоны II:

. (1.1)

Уравнение для зоны I:

(1.2)

Уравнение для зоны

(1.3)



Рис. 1.4

Таблица 1.1

Вариант	T0,сек	K0,гр/рад	K1,А/град	K2,рад/Вс	C, Вольт	д, А	K3
1	25	15	0,15	0,0022	110	0,6	2,5
2	30	10	0,25	0,0024	105	0,5	-2,5
3	25	9	0,2	0,0021	100	0,7	3
4	20	8	0,15	0,0024	110	0,5	-3
5	15	7	0,25	0,00276	105	0,6	2,5
6	15	12	0,1	0,002	105	0,5	2
7	13	6	0,15	0,0024	100	0,5	2,5
8	12	7	0,2	0,0022	105	0,7	3
9	13	6	0,15	0,0024	100	0,5	2,5
10	25	9	0,2	0,0021	100	0,6	3
11	15	10	0,2	0,00242	105	0,5	3
12	25	15	0,15	0,0022	110	0,6	2,5
13	17	9	0,16	0,00209	100	0,5	-2,5
14	20	8	0,25	0,0025	105	0,7	2,1
15	19	7	0,17	0,00215	105	0,6	-3
16	10	9	0,15	0,00253	100	0,6	2,5
17	21	12	0,22	0,00221	115	0,6	-2,5
18	25	15	0,15	0,0022	110	0,6	2,5
19	23	7	0,21	0,0024	100	0,5	-3
20	20	8	0,22	0,0022	100	0,65	2,4
21	21	8	0,22	0,0025	105	0,5	-3
22	12	7	0,2	0,0022	105	0,7	3
23	16	11	0,23	0,0021	115	0,65	-2
24	18	13	0,18	0,0020	115	0,55	2,5
25	22	14	0,19	0,0035	110	0,6	2,0
26	24	15	0,23	0,0032	120	0,8	-2,0
27	24	8	0,15	0,0034	130	0,65	2,5
28	20	15	0,18	0,0025	127	0, 75	-2,5
29	25	10	0,17	0,0028	125	0,55	-3
30	23	12	0,21	0,0027	122	0,65	2,5

задавшись начальными условиями, решаем дифференциальное уравнение, соответствующее той или иной зоне, отслеживаем значение выходной переменной . Как только величина попадает в другую зону, фиксируется значение переменных и , которые являются конечными для исследуемой зоны и начальными для новой зоны, описываемой своим дифференциальным уравнением, решение которого характеризует движение системы в новой зоне и т.д. до достижения устойчивого состояния (равновесия или периодического колебания).

Предположим, что при t=t₀ система находится в точке «a» и при этом =, =0 (рис.1.4).

Это состояние системы соответствует II-ой зоне, следовательно, система описывается уравнением (1.1), интегрируя которое получим:

, (1.4)

где -постоянная интегрирования.

Решение уравнения (1.4) ищется как сумма общего и частного решений:

_, (1.5)

где p₁=-1/Т корень характеристического уравнения Тр+1=0; ,С₂-постояные интегрирования, которые определяются из начальных условий. При t = t₀ =0 имеем:

 (1.6)

Решение системы (1.6) и дает искомые C₁ и C₂ Поставив числовые значения С₁ и С₂ в (1.5), можно построить переходной процесс в зоне II (рис.1.4). Попав в точку «б», находим и . Эти значения являются конечными значениями для II зоны и начальными для первой. Решая уравнение (1.2) для I зоны, получим i=С₄е^р1t+С₃ (1.7)

Подставив в уравнение (1.7) значения i_б и i'_б при t₁=0, найдем постоянные интегрирования С₃, С₄ и построим кривую переходного процесса в зоне I, вплоть до достижения точки «в» (рис.1.4). В этой точке фиксируются значения i_в и i_в', которые являются начальными для третьей зоны.

Решение уравнения (1.4) аналогично решению уравнения (1.3). По полученному решению строится кривая переходного процесса для III зоны. И так далее до тех пор, пока зависимость не получает асимптотическое решение в зоне I, т.е.

,

где С_зп - значение постоянной С_з в -ом интервале времени (для приведенного примера = 4).

Пример решения задачи для конкретных данных:

Начальное значение тока 1,5 А.

Уравнение 1-ой зоны (зона по принятой классификации):

.

Интегрируем, понижая степень производной:

Общее решение этого уравнения:

Частное решение:

Тогда совместное решение будет:

Производная тока:

Согласно начальным условиям отсюда

находим постоянную интегрирования С₂ .

Значение постоянной интегрирования С₁ находим из уравнения для тока при

Отсюда: Таким образом, уравнение 1-ой зоны:

Согласно этому уравнению рассчитаем график тока (табл. 2).

Таблица 1.2

		1-ое слагаемое	2-ое слагаемое	А
1	0,961	-13,067	-0,5445	1,4985
2	0,923	-12.562	-1.089	1.459
3	0.887	-12.071	-1.6335	1.4055
4	0.852	-11.5977	-2.1784	1.3339
5	0.81873	-11.144	-2.7225	1.2435
6	0.78663	-10.706	-3.267	1.137
7	0.756	-10.2862	-3.8115	1.0123
8	0.72615	-9.8829	-4.356	0.8711
9	0.697676	-9.4954	-4.9005	0.7141
9.6775	0.67902	-9.2415	-5.2694	0.599

Tаким образом, ток дойдет до значения в момент времени При этом производная Значения А и А/с принимаем за начальные условия для 2-ой зоны (зона I по классификации).

Уравнение в этой зоне:

Понижая степень уравнения путем интегрирования, получим:

Уравнение 2-ой зоны с учетом общего и частного решений: Уравнение производной Находим С₄ из начальных условий: .

Постоянную интегрирования С₃ находим по уравнению:

Таким образом, уравнение на участке (зона I) примет вид:

Таблица 1.3

		1-ое слагаемое
0(9.6775)	1	4.3675	0.6
1	0,961	4.197	0.43
2	0.923	4.031	0.264
3	0.887	3.874	0.1065
4	0.852	3.72	-0.0475
5	0.81873	3.576	-0.1917
6	0.78663	3.4356	-0.3319
7	0.756	3.3018	-0.4657
8	0.72615	3.17146	-0.596
8.0312	0.72524	3.1675	-0.6

Ток доходит до значения в момент времени

При этом производная А/с. Таким образом, начальные условия для 3-ей зоны: А; А/с.

Уравнение 3-ей зоны:

После интегрирования

.

Ищем уравнение 3-ей зоны в виде:

Производная тока

Используя начальное значение производной, находим

Коэффициент находим из начального значения тока:

Таким образом, уравнение 3-ей зоны:

Таблица 1.4

		1-ое слагаемое	2-ое слагаемое	А
0(17.709)	1	16.785	0	-0.6
1	0,961	16.130	0.5445	-0.7126
2	0.923	15.495	1.089	-0.8035
3	0.887	14.8905	1.6335	-0.8635
4	0.852	14.303	2.178	-0.9065
5	0.81873	13.7444	2.7225	-0.9206
6	0.78663	13.206	3.267	-0.9145
7	0.756	12.691	3.8115	-0.885
8	0.72615	12.190	4.356	-0.8415
9	0.697676	11.712	4.9005	-0.775
10	0.6703	11.253	5.445	-0.69
10.89	0.6469	10.86	5.93	-0.6
11	0.644	10.811	5.99	-0.586

Ток дойдет до значения (снизу) в момент времени

При этом, Эти значения тока и скорости его изменения принимаем в качестве начальных значений для 4-ой зоны (зона I на рис. 2.5).

Уравнение в этой зоне:

После интегрирования получим

Сумма общего и частного решений будет

Определим С₈ из уравнения производной:

Из уравнения для тока находим С₇:

Итак, уравнение для 4-ой зоны:

Таблица 1.5

		1-ое слагаемое	А
0(28.6)	1	-2.75	-0.6
1	0,961	-2.643	-0.493
2	0.923	-2.538	-0.388
3	0.887	-2.44	-0.29
4	0.852	-2.343	-0.193
5	0.81873	-2.251	-0.101
6	0.78663	-2.163	-0.013
7	0.756	-2.079	0.071
8	0.72615	-2	0.15
9	0.697676	-1.919	0.231
10	0.6703	-1.843	0.307
11	0.644	-1.771	0.379
12	0.619	-1.702	0.448
13	0.595	-1.636	0.514
14	0.571	-1.57	0.58
14.3	0.5644	-1.55	0.6
15	0.549	-1.51	0.64

Поступая аналогично расчету, выполненному выше, можно построить график тока до момента входа тока в зону нечувствительности, после которого он больше не выйдет из этой зоны. Для рассматриваемого примера полное число зон составит восемь.

1.4. Порядок выполнения работы.

4.1. Для заданного варианта параметров исследуемой системы (табл.1) произвести расчет графика изменения тока в нелинейной системе регулирования температуры в сушильном шкафу с учетом заданных начальных условий.

1.5. Указания к составлению отчета

В отчет по работе необходимо включить:

1.5.1. Заголовок и цель работы.

1.5.2. Принципиальную, функциональную и структурную схемы и их краткое описание.

1.5.3. Подробный (с комментариями) расчет переходного процесса в системе с таблицами результатов по каждой зоне и иллюстрациями графических решений.

1.5.4. Суммарный график переходного процесса.

1.5.5. Выводы по отдельным этапам расчета и в целом по всей работе.

Лабораторная работа №2

Построение фазовых траекторий систем автоматического управления

(Расчетно-графическая работа)

Целью работы №2 является освоение двух основных расчетных методов построения фазовых траекторий нелинейных систем автоматического управления.

2.1. Краткое теоретическое введение.

Среди методов построения фазовых траекторий различают точные (аналитические) и приближенные (графические и графоаналитические) методы. Точные методы основаны на непосредственном решении дифференциальных уравнений системы управления в пределах однозначности значений нелинейной характеристики (участка или зоны). Таким образом, точные методы применимы в системах с релейными нелинейными характеристиками. Приближенные методы, к которым относятся метод изоклин и графоаналитические методы А.В. Башарина и И.А. Башарина, не ставят ограничений на вид нелинейной характеристики и, с этой точки зрения, являются универсальными. Но точность их уступает таковой аналитических методов.

В настоящей работе рассматривается использование аналитического метода построения фазовых траекторий в двух разновидностях: 1) решение дифференциальных уравнений системы относительно выходной величины и её производной; 2) решение дифференциальных уравнений в явном виде с исключением времени.

Если первый способ построения фазовых траекторий достаточно очевиден, так как в работе №1 была подробно освящена методика решения дифференциальных уравнений системы в отдельных зонах работы релейного управляющего устройства. В каждой из зон составлялись уравнения тока и его производной. Значения тока для различных моментов времени были определены и записаны в табл. 1.2 - 1.5. Для этих же значений времени могут быть подсчитаны и значения производной от тока по времени. Таким образом, в распоряжение исследователя окажется совокупность значений тока и его производной, что позволит ему построить кривую , которая и будет фазовой траекторией процесса, происходящего в системе.

Второй способ решения дифференциальных уравнений в явном виде требует отдельного пояснения.

Введем обозначения:

. (2.1)

Подставляем полученные выражения для и в дифференциальное уравнение (1.1) для зоны II (см. лаб. работу 1.3):

.

Полученное уравнение преобразуется и интегрируется:

. . . . (2.2)

Здесь постоянная интегрирования, которая может быть найдена с использованием начальных условий: и . Таким образом, получено уравнение, связывающее ток и его производную , по которому может быть построен участок фазовой траектории для зоны . Действуя аналогичным образом с уравнениями других зон, можно построить полностью всю фазовую траекторию, соответствующую переходному процессу в системе управления.

2.2. Порядок выполнения работы.

2.2.1. Построение фазовой траектории первым способом.

Из примера расчета лабораторной работы выписать уравнения тока и его производной на всех участках расчета переходного процесса в нелинейной системе. Приняв шкалу значений времени, использованную при расчете зависимости , рассчитать значения производной при тех же значениях времени. Построить фазовую траекторию .

2.2.2. Построение фазовой траектории явным методом.

Провести преобразование дифференциальных уравнений всех трех зон, доведя преобразование до выражений . Затем подставить исходные данные: и в уравнение начальной зоны и определить значение постоянной интегрирования в этом уравнении. Выполнить расчет фазовой траектории на начальном участке и найти конечные значения тока и его производной на подходе к следующей зоне. Подставив эти значения в уравнение следующей зоны, определить значение постоянной интегрирования уравнения этой зоны. Таким образом, уравнение фазовой траектории будет готовым для расчета и можно провести расчет на втором участке. Конечные значения и второго участка использовать для расчета нового значения постоянной интегрирования в уравнении третьего участка, которое станет полностью определенным. Таким образом, по нему можно построить третью часть фазовой траектории. Поступая так же, как было описано выше, построить фазовую траекторию на остальных участках.

Убедится, что фазовые траектории, построенные разными методами, совершенно идентичны. Какое-либо различие в двух вариантах фазовой траектории свидетельствует о допущенных ошибках, которые необходимо найти, и устранить.

2.3. Указания к составлению отчета.

В отчет по работе необходимо включить:

2.3.1. Заголовок и цель работы.

2.3.2. Исходные данные своего варианта.

2.3.3. Расчет и построение фазовой траектории по каждому варианту, включая краткие пояснения выполняемых операций, таблицы использованных выражений и расчетных данных, графики построенных траекторий.

2.3.4. Выводы по выполненной работе с оценкой преимуществ и недостатков каждого из использованных методов.

Лабораторная работа №3.

Исследование системы автоматического управления температурой сушильного шкафа с петлевой характеристикой реле управляющего устройства методом фазовой плоскости (Расчетно-графическая работа)

Целью работы №3 является: 1) определение критической ширины петли характеристики реле, разделяющей автоколебательный и затухающий режимы работы; припасовывание автоколебательный фазовой траектория

2) построение фазовой траектории в режиме автоколебаний.

3.1. Определение критической ширины петли.

Ширина петли петлевой релейной характеристики задается значением коэффициента (рис. 3.1), где .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Значение коэффициента , меньше которого в системе возникают устойчивые автоколебания, называется критическим (). Значение может быть найдено с помощью построения фазового портрета (рис.3.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Воспользуемся уравнениями фазовых траекторий

- для зоны II:

; (3.1)

- для зоны I:

; (3.2)

- для зоны III:

. (3.3)

Построим фазовые траектории по этим уравнениям для начальных условий: , и . Абсциссы точек пересечения фазовых траекторий для II и I зоны (или III и I) соответствуют значениям .

3.2. Построение фазовой траектории для работы системы в режиме автоколебаний.

Примем значение . Для построения фазовой траектории в режиме атоколебаний пользуемся уравнениями 3.1 - 3.2, определяя постоянные интегрирования на каждом участке движения системы. На начальном участке значение определяется, исходя из . На последующих участках в качестве значений начальных условий принимаются конечные значения тока и его производной предыдущих участков, то есть так, как это принято в методе припасовывания. Расчет заканчивается, как только результаты расчета на участке совпадают с результатами предыдущего участка.

3.3. Указания к составлению отчета.

В отчет по работе необходимо включить:

3.3.1. Заголовок и цель работы.

3.3.2. Исходные данные своего варианта.

3.3.3. Расчет и построение фазового портрета для определения , включая краткие пояснения выполняемых операций и формулы использованных выражений.

3.3.4. Построение фазовой траектории для режима автоколебаний с подробными комментариями.

3.3.5. Выводы по выполненной работе с оценкой преимуществ и недостатков каждого из использованных методов.

Лабораторная работа №4.

Исследование системы автоматического управления температурой с нелинейным управляющим устройством, имеющим идеальную релейную характеристику с зоной нечувствительности методом гармонического анализа (Расчетно-графическая работа).

Целью работы №4 является: определение условий возникновения и параметров автоколебаний в нелинейной системе с управляющим устройством, имеющим идеальную релейную характеристику с зоной нечувствительности, методом гармонического анализа.

4.1. Определение соотношения параметров, при котором в системе может возникнуть режим автоколебаний.

Как следует из анализа работы нелинейной системы управления температурой сушильного шкафа в предыдущих расчетно-графических работах, режим автоколебаний не может возникнуть при принятых допущениях для параметров системы, так как в линейном плане она описывается дифференциальным уравнением второго порядка, а характеристика реле является идеальной (не петлевой).

В настоящей работе мы учтем инерционность исполнительного механизма (ИМ), то есть передаточная функция ИМ будет

,

где - электромеханическая постоянная времени серводвигателя. Задача заключается в определении значения , больше которого в системе может возникнуть режим автоколебаний.

Для нахождения такого значения используем положение критерия Гурвица, согласно которого система будет находиться на колебательной границе устойчивости, если предпоследний определитель Гурвица будет равен нулю.

Запишем характеристическое уравнение линейной части системы

.

Характеристическое уравнение всей системы с учетом коэффициента гармонической линеаризации релейного управляющего устройства

, (4.1)

где (4.2)

- основной коэффициент гармонической линеаризации идеальной релейной характерис-тики с зоной нечувствительности, общий коэффициент усиления линейной части.

Обозначим:

.

Тогда характеристическое уравнение всей системы

.

Предпоследний определитель Гурвица

.

Запишем условие возникновения автоколебаний в системе:

, (4.3)

Откуда

(4.4)

Из полученного выражения (4.4) найдем амплитуду колебаний . Обозначив и возведя в квадрат (4.4), получим , откуда

(4.5)

Найденное решение имеет физический смысл только при , или

(4.6)

Полученное неравенство и есть условие возникновения колебаний с амплитудой .

Выражение (4.6) позволяет найти соотношение параметров рассматриваемой системы, при котором возникают автоколебания. Учтя, что

,

запишем (4.6) в виде

или (4.7)

Выражение (4.7) и служит для расчета необходимого значения через исходные параметры системы. Для дальнейшего выполнения РГЗ следует принять значение несколько больше рассчитанного по выражению (4.7).

4.2. Определение параметров автоколебаний с помощью критерия Гурвица.

Частота автоколебаний находится из уравнения . Так как у нас , то . В соответствии с (4.1)

.

Следовательно,

. (4.8)

Таким образом, из выражений (4.5) и (4.8) определяем амплитуду и частоту искомых колебаний. Но этим не исчерпывается процедура определения параметров колебаний. Необходимо провести исследование, какое из двух полученных значений амплитуды автоколебаний является устойчивым. Для ответа на этот вопрос следует построить график в соответствии с (4.2). Из условия возникновения автоколебаний в системе (4.3) имеем Пересечение прямой с кривой дает две точки, соответствующие двум корням () уравнения (4.3) (см. рис.4.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверим устойчивость полученных решений. Для этого к добавим и вычтем .

Для точки 1 получим такие варианты:

1) если , то растет и определитель , в соответствии с (4.3), становится отрицательным, что свидетельствует о расхождении колебаний;

2) если , то уменьшится, и определитель становится положительным, что свидетельствует о затухании колебаний. Следовательно, решение соответствует неустойчивым колебаниям.

Для точки 2 имеем следующие рассуждения:

1) если , то уменьшается, а определитель увеличивается, что соответствует устойчивым колебаниям;

2) если , то увеличивается, а определитель уменьшается, что так же свидетельствует об устойчивости колебаний. Значит, решение является устойчивым.

После того, как определена амплитуда автоколебаний , можно, с помощью (4.8) найти частоту автоколебаний.

Попутно следует найти соотношение, связывающее варьируемые параметры на границе автоколебаний, и определить допустимое значение общего коэффициента усиления линейной части. Из (4.7) находим граничное значение :

. (4.9)

Из (4.9) следует, что, при , то есть значение не влияет на возникновение в системе автоколебаний. Но при , то есть при больших значениях в системе возможен режим автоколебаний.

4.3. Определение параметров автоколебаний с помощью критерия Найквиста

В этом пункте работы предлагается определить амплитуду и частоту автоколебаний путем определения координат точки пересечения АФЧХ линейной части системы и характеристики нелинейной части.

Выражение АФЧХ линейной части следует из выражения передаточной функции разомкнутой системы

после замены :



Варьируем частоту от 0 до ? (порядка 10 точек), рассчитываем значения , и наносим их на график (рис. 4.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выражение для построения характеристики нелинейной части системы следует из (4.2):

.

Откуда

Варьируя (5-6 точек в пределах значения амплитуды, определенной в (4.2)), строим характеристику (рис. 4.2 - жирная линия на отрицательной вещественной оси). Точка пересечения двух характеристик позволяет определить: по характеристике (маленькие кружочки на кривой ) и амплитуду колебаний по шкале амплитуд характеристики .

Значения и , определенные по точке пересечения, должны быть примерно равны значениям и , найденным в п. 4.2.

4.4. Указания к составлению отчета

В отчет по работе необходимо включить:

4.4.1. Заголовок и цель работы.

4.4.2. Исходные данные своего варианта.

4.4.3. Расчеты по п.п. 4.1-4.3 с математическими выражениями, их пояснениями, таблицами результатов и иллюстрациями графических решений.

4.4.4. Выводы по отдельным этапам расчета и в целом по всей работе

Размещено на Allbest.ru

...