Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Тульский государственный университет

КАФЕДРА РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

пояснительная записка

к курсовой работе по основам теории цепей

анализ прохождения периодического сигнала через LC-фильтр с потерями

Студент гр. 130621

Руководитель доцент, к.т.н. В.В. Давыдов

Тула 2010

Аннотация

В представленной пояснительной записке (ПЗ) выполнен анализ прохождения периодического сигнала через реактивный LC-фильтр с потерями. Вся работа была проделана на примере Т-образного реактивного режекторного фильтра.

Все расчёты были выполнены при помощи интегрированной среды для решения математических задач MathСad 13, а формулы и буквы латинского алфавита набраны в редакторе Microsoft Equation 3.0.

Объём ПЗ составляет 23 листа, а в тексте ПЗ содержится 14 иллюстраций. К ПЗ прилагается: графическая часть - 1 лист формата А1 и диск, содержащий все произведённые вычисления на MathCAD 13.

Содержание

Введение

Анализ технического задания

Анализ заданной эдс

Разложение исходной функции в ряд Фурье

Определение ширины спектра эдс

Расчёт номинальных величин элементов фильтра

Входное сопротивление нагруженного четырёхполюсника

Спектр входного напряжения

Коэффициент передачи

Расчёт формы выходного сигнала

Заключение

Список использованной литературы

сопротивление импульс фильтр фурье

Введение

В наше время во всех отраслях промышленности, транспорте, сельском хозяйстве и в быту широко применяются электрические приборы и радиотехнические устройства. Теле- и радиовещание, которые также осуществляются с помощью телемеханических и радиотехнических установок и устройств связи, имеют место в военно-промышленной сфере, в жизни обычного человека. В подобных устройствах часто ставится задача из многих сигналов, занимающих широкую полосу частот, выделить один или несколько сигналов с более узкой полосой.

Сигналы заданной полосы выделяют при помощи электрических фильтров. Электрические фильтры применяются в радиоприёмниках, для выделения одной принимаемой станции; в установках частотного телеуправления во многих объектах, для выделения сигналов, предназначенных каждому объекту; в радиотелефонии для разделения телефонных сигналов разных абонентов.

В курсовой работе анализируется прохождение периодической последовательности импульсов через электрические фильтры с реальными элементами. Поставленная в курсовой работе задача делится на три части: 1) анализ воздействующей ЭДС, 2) нахождение и расчёт параметров и характеристик заданной схемы и 3) получение на выходе фильтра формы напряжения в установившемся режиме.

Анализ технического задания

В курсовой работе анализируется прохождение периодической последовательности импульсов через электрические фильтры с реальными элементами. Поэтому поставленная в КР задача делится на три части:

1) анализ воздействующей эдс, 2) нахождение и расчёт параметров и характеристик заданной схемы и 3) получение на выходе фильтра формы напряжения в установившемся режиме.

Задачами анализа эдс являются: 1) нахождение спектра заданной эдс, 2) нахождение ширины спектра по оговоренному уровню мощности, 3) расчёта амплитуд и фаз гармоник, 4) нахождение ширины спектра и соответствующего номера максимальной гармоники.

Анализ заданной схемы включает в себя:

1) выбор эквивалентных схем замещения реальных реактивных элементов фильтра (четырёхполюсника),

2) нахождение А-параметров четырёхполюсника,

3) получение с помощью А-параметров формул входного и выходного сопротивлений и коэффициента передачи по напряжению,

4) выбор (вывод) формул для расчёта номинальных величин элементов схемы,

5) расчёт с помощью Mathcad или другой стандартной программы: а) номинальных величин элементов схемы, б) зависимостей входного и выходного сопротивлений схемы от частоты, в) зависимости коэффициента передачи схемы от частоты в заданных пределах её изменения.

Для расчёта формы входного напряжения надо найти его спектр на входном сопротивлении схемы и учесть столько гармоник, начиная с нулевой, чтобы их суммарная мощность составляла бы 95 % или более от полной средней мощности сигнала за период.

Для расчёта формы напряжения на выходе схемы надо найти его спектр на сопротивлении нагрузки. При расчёте формы входного и выходного сигналов количество расчётных точек необходимо выбирать, исходя из того, чтобы на экран было выведено 1,5 ч 2 периода сигнала.

Таблица 1

Номер вар-та КР	Номер рис. схемы	Параметры схемы
		Ом	Частоты среза
28	П2-7	5000
Номер вар-та КР	Номер рис. эдс	Параметры эдс
		кГц
28	П3-1	60	0,8	-	-

Анализ заданной эдс

Согласно данному варианту задания на курсовую работу необходимо провести анализ прохождения периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1) через Т-образный режекторный фильтр типа с потерями при двух значениях нагрузки

Рис. 1 Вид входной эдс

Анализ входной эдс начнём с составления уравнения, описывающего зависимость эдс от времени. Как видно из рисунка, график представляет собой прямоугольные импульсы длительностью _и и периодом T. Поэтому уравнение эдс может быть записано в виде:

(1)

Где n - любое целое число

Разложение исходной функции в ряд Фурье

Выражение (1) и рис. 1 показывают, что эдс не является ни чётной, ни нечётной функцией. Поэтому для нахождения членов ряда Фурье необходимо пользоваться формулами (2) ч (5).

- среднее значение функции за период или постоянная составляющая спектра, называемая иногда нулевой гармоникой спектра,

И

- амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих спектра

- амплитуда -й гармоники спектра, (4)

- начальная фаза -й гармоники, (5)

- периодическая функция времени, удовлетворяющая условиям Дирихле, в данном случае

- угловая частота первой гармоники (рад ?с), (6)

- циклическая частота первой гармоники спектра или основная частота (Гц).

- период повторения функции , - любой произвольно выбранный момент времени.

где - номер гармоники.

Возьмём интегралы, используя справочники [4, 5]. После подстановки пределов интегрирования и алгебраических преобразований получаем выражения

(7)

, (8)

, (9)

(10)

(11)

Среднюю за период активную мощность сигнала можно найти по формуле

(12)

Определение ширины спектра эдс

Используя интегрированную математическую систему Mathcad, подставляя конкретные значения параметров эдс в формулы (7) ч (12) и вычисляя последовательно амплитуды гармоник и вклад каждой из них в общую мощность, получаем данные, приведённые в табл.

Амплитуды гармоник и относительная мощность

				, град
0	1.6	-	1.6	-	0.887514
1	-0.302731	0.219947	0.374196	144	0.944793
2	-0.093549	0.287914	0.302731	108	0.97025
3	0.062366	0.191943	0.20182	72	0.97572
4	0.075683	0.054987	0.093549	35.999982	0.97572
5	6.1481•10-9	1.5516•10-9	6.3409•10-9	14.164615	0.97815

Спектр эдс приведён на рис. 2

Рис. 2 Спектр входной эдс

Из таблицы следует, что постоянная составляющая и первая гармоника переносит более 90% полной мощности сигнала. Однако для более точного представления формы сигнала и для наглядности демонстрации работы фильтра необходимо взять 5 гармоник. Поэтому ширину спектра сигнала нужно принять равной .

Используя возможности Mathcad и Paint, построим график эдс, образованной постоянной составляющей и 12 гармониками (рис. 3).

Рис. 3 Вид эдс, исходной и образованной 2-мя гармониками

Использование 5 гармоник, соответствует передаче 0,98. Однако здесь отрезки характеризуются наличием пульсаций порядка 5 %.

Расчёт номинальных величин элементов фильтра

Заданной является схема однозвенного Т-образного режекторного фильтра. По теории [1, 2] у такого фильтра в вертикальной ветви включены последовательно индуктивность L₂ и ёмкость C₂, а в горизонтальной - параллельно ёмкости 2C₁ и индуктивности 0,5L₁. Поэтому имеют место соотношения L_ф1=0.5L_1, C_ф1=2С₁, L_ф2=L_2, C_ф2=С₂. Сами значения этих элементов рассчитываются согласно выражениям:

(12a)

(12б)

(13)

По данным табл. 1 рассчитываем требуемую частоту среза . После подстановки частот и k=750 кОм в формулы (12) получаем значения 44.2мГн, 2.65мГн, С₁=106.1 пФ, С₂=1768.38 пФ. Отсюда находим С_ф1 =212.2 пф, L_ф1 =22.1 мГн.

Значения емкостей должны выбираться из стандартного ряда номинальных величин. Поэтому получаем, что C_ф1= 220 пФ, C_ф2=110 пФ.

Получение формул А-параметров схемы

А-параметры удобно применять в случае каскадного соединения четырёхполюсников, когда выход одного из них соединяется с входом другого, а также при расчёте коэффициентов передачи. А-параметры следует находить сначала в общем виде и только потом подставлять конкретные значения.

В качестве основных звеньев электрических фильтров широкое применение находят симметричные Т- и П-образные четырёхполюсники. Для симметричного Т-образного четырёхполюсника имеют место выражения

(14)

(15)

Рис. 4 T-образный симметричный четырёхполюсник

Рассмотрим реальную схему Т-образного РФ, где в качестве частотозадающих элементов используются соответствующие реальные элементы со своими сопротивлениями потерь R_L, R_C (рис. 5).

Рис. 5 Т-образный РФ. Схема принципиальная электрическая

Чтобы рассчитать входное сопротивление и коэффициент передачи схемы (фильтра), следует подставить в формулы конкретные выражения А-параметров. Для конкретизации общих формул А-параметров (14) и (15) П-образного фильтра верхних частот необходимо заменить в них сопротивление на выражение

а сопротивление на выражение

.

Преобразуя формулы (14) и (15) после замены сопротивлений, получаем выражения

A11(щ)=A22(щ)

Входное сопротивление нагруженного четырёхполюсника

Находим выражение входного сопротивления нагруженного четырёхполюсника по формуле (16), подставляя в неё конкретные значения А-параметров и сопротивления нагрузки:

Строим графики зависимости модуля и фазы (рис. 6) с помощью программ Mathcad и Visio (пересчитывая в Гц).

Рис. 6 Зависимость модуля (в Ом) и фазы (в градусах) входного сопротивления схемы от частоты

Спектр входного напряжения

Найдём спектр входного напряжения , который может отличаться от спектра эдс из-за деления сигнала эдс между и .

Коэффициент передачи спектральных составляющих на входе схемы определяется формулой

(16)

где - -я гармоника входного напряжения .

Используя математическую среду Mathcad, рассчитываем значения модуля входного коэффициента передачи, амплитуд и фаз гармоник входного напряжения.

Таблица 3

Амплитуды гармоник входного напряжения

0 1 2 3 4 5	0.925926 0.998102 0.996408 0.940674 0.961128 0.967472	1.481481 0.373485 0.301643 0.189847 0.089912 0

Спектр входного напряжения представлен на рис. 7.

Рис. 7 Спектр эдс на входе фильтра

Коэффициент передачи

Зависимость коэффициента передачи от частоты определяется формулой (17). Используя математическую среду Mathcad, рассчитываем и выводим графические зависимости модуля и фазы от частоты (рис. 8).

(17)

Рис. 8 Зависимости модуля и фазы коэффициента передачи (сплошной) и полного коэффициента передачи (пунктир) схемы по напряжению от частоты

Расчёт формы выходного сигнала

Подставляя значения коэффициентов передачи на частотах гармоник и значения самих гармоник, находим спектр сигнала на выходе

Рис. 9 Спектр эдс на выходе РФ

Таблица 4

Спектр выходного напряжения

			, град
0 1 2 3 4 5	0.925926 0.002171 0.038543 0.621294 0.614204 0.584836	1.481481 0.000812 0.011668 0.12539 0.057458 0	- 134.930067 -127.792426 164.826153 89.785591 73.058482

Запишем выражение обратного преобразования Фурье:

(18)

Подставляя коэффициенты U2_k и в выражение (18) получаем

Рис. 10 Форма сигнала на выходе

Расчет параметров схемы при сопротивлении нагрузки Rн1

Пересчитаем все формулы, начиная с (16) и подставляя R_н =R_н1. Получим следующие данные:

Рис. 11 Зависимость модуля и фазы входного сопротивления схемы от частоты

Используя математическую среду Mathcad, рассчитываем значения модуля входного коэффициента передачи, амплитуд и фаз гармоник входного напряжения.

Таблица 5

Амплитуды гармоник входного напряжения

0 1 2 3 4 5	0.980392 0.998102 0.996463 0.968338 0.891523 0.941616	1.568627 0.373486 0.30166 0.195431 0.083401 0

Спектр входного напряжения относительно E представлен на рис. 12.

Рис. 12 Спектр эдс

Зависимость коэффициента передачи от частоты по аналогии определяется формулой (17). С помощью MathCad строим графики зависимости амплитуды и фазы от частоты.

Рис. 13 Зависимости модуля и фазы коэффициента передачи (сплошная линия) и полного коэффициента передачи (пунктир) схемы по напряжению от частоты

Таблица 6

Спектр выходного напряжения показан в таблице

			, град
0 1 2 3 4 5	0.980392 0.007653 0.101656 0.850785 1.895964 1.507654	1.568627 0.002864 0.030775 0.171706 0.177365 0	- 149.670021 -157.036917 162.514924 85.150465 46.82728

Пользуясь формулами обратного преобразования Фурье построим графики зависимости напряжения от времени

Рис. 14 Форма сигнала на выходе

Заключение

В ходе выполнения работы мною были получены характеристики реактивного Т-образного режекторного фильтра. Исследуемый фильтр является фильтром типа k.

Амплитудно-частотные характеристики коэффициента передачи очень близки к амплитудно-частотным характеристикам коэффициента передачи на изменённых частотах среза. Однако заметен некоторый сдвиг по оси .

Как видно из графиков АЧХ коэффициента пропускания, наблюдается подавление сигналов и в полосе пропускания, поэтому на практике часто применяется каскадное соединение фильтров.

Сравнение форм входного и выходного напряжений показывает, что уровень искажения сигнала имеет малое значение.

В заключение следует отметить, что результатом выполненной работы является получение мною новых знаний и навыков, необходимых мне для дальнейшего обучения, а также существенно расширивших мой собственный кругозор.

В ходе выполнения курсовой работы осуществлялось закрепление знаний, полученных во время изучения курса ”Основы теории цепей”.

Список использованной литературы

1. Основы теории цепей: Учебник для вузов ? Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. 5-е изд., перераб. М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. ч. 1. Линейные электрические цепи. изд. 3-е, перераб. и доп. М.-Л., Энергия, 1966. 320 с.

3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для радиотехнич. вузов и фак-тов. М.: Сов. радио, 1963. 696 с.

4. Кирьянов Д.М. Самоучитель Mathcad 13. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2004. 562 с.

5. Двайт Г.Б. таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1966. 228 с.

6. Фриск В.В.: Основы теории цепей./ Учебное пособие. М.: ИП РадиоСофт, 2002. 288 с.

Размещено на Allbest.ru

...