Модуляции гармонических колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.1 Амплитудная модуляция

В процессе амплитудной модуляции амплитуда U₀ несущего колебания u₀ (t) = U₀ cos(щt+ц) перестает быть постоянной и изменяется по закону передаваемого сообщения. Амплитуда U(t) несущего колебания может быть связана с передаваемым сообщением соотношением:

U(t) = U₀ + k_A e(t), (1)

где U₀ - амплитуда несущего колебания в отсутствии сообщения (немодулированное колебание); e(t) - функция, зависящая от времени, соответствующая передаваемому сообщению (ее называют модулирующим сигналом); k_A - коэффициент пропорциональности, отражающий степень влияния модулирующего сигнала на величину изменения амплитуды результирующего сигнала (модулированного колебания).

Выражение для амплитудно-модулированного сигнала в общем случае имеет вид:

u_АМ(t) = [U₀ + k_A e(t)] cos(щ₀t+ц). (2)

Простейший для анализа случай амплитудно-модулированного колебания получается, если в качестве модулирующего сигнала используется гармоническое колебание (такой случай называется тональной модуляцией):

e(t) = E cos(ґЩt+И), (3)

где Е - амплитуда, ґЩ - угловая частота; И - начальная фаза модулирующего сигнала.

Для упрощения анализа будем полагать начальные фазы колебаний равными нулю, что не повлияет на общность выводов. Тогда для тональной амплитудной модуляции можно записать:

u_АМ(t) = [U₀ + k_A E cosґЩt] cosщ₀t = U₀ [1+ M_A cosґЩt] cosщ₀t, (4)

где М_A = Е/U₀ - коэффициент амплитудной модуляции (иногда говорят - глубина амплитудной модуляции).

Для определения спектра амплитудно-модулированного колебания выполним несложные преобразования выражения (4):

u_АМ(t) =U₀ cosщ₀t + U₀ M_A cosґЩt cosщ₀t = U₀ cosщ₀t + (U₀ M_A/2) cos(щ₀ - ґЩ)t + (U₀ M_A/2) cos(щ₀ + ґЩ)t. (5)

Из анализа выражения (5) следует, что при амплитудной модуляции гармоническим колебанием спектр амплитудно-модулированного сигнала содержит три гармонические составляющие. Гармоническая составляющая с частотой, равной щ₀, представляет собой исходную немодулированную несущую с частотой щ₀ и амплитудой U₀.

Гармонические составляющие с частотами, равными (щ₀ - ґЩ) и (щ₀ + ґЩ) представляют собой продукт амплитудной модуляции и называются, соответственно, нижней и верхней боковыми составляющими. Амплитуды боковых составляющих одинаковы, равны U₀ M_A/2 и расположены симметрично относительно несущей частоты щ₀ на расстоянии, равном - ґЩ. Таким образом, ширина полосы частот Дщ, занимаемая амплитудно-модулированным колебанием при модуляции гармоническим сигналом с частотой ґЩ, равна Дщ =2ґЩ.

Графики несущего колебания u₀(t), модулирующего сигнала е(t) и амплитудно-модулированного сигнала u_АМ(t) приведены на рисунке 1.

Рис. 1 Тональная амплитудная модуляция: а) несущее колебание и его спектр (б); в) модулирующий сигнал и его спектр (г); д) амплитудно-модулированное колебание и его спектр (е)

При отсутствии модуляции (М_A = 0) амплитуды боковых составляющих равны нулю и спектр амплитудно-модулированного сигнала состоит только из несущего колебания с частотой щ₀. При коэффициенте амплитудной модуляции М_A < 1 амплитуда результирующего колебания изменяется от максимального значения U_MAX = U₀(1 + M_A) до минимального

U_MIN = U₀(1 - M_A).

Таким образом, коэффициент М_A амплитудной модуляции может быть определен как

М_A = (U_MAX - U_MIN)/(U_MAX + U_MIN). (6)

При коэффициенте амплитудной модуляции М_A >1 возникают искажения, называемые перемодуляцией (рисунок 2). Такие искажения могут приводить к потере информации и их стараются не допускать.

Рис. 2 Тональная амплитудная модуляция при коэффициенте М_A > 1: а) модулирующий сигнал; б) амплитудно-модулированное колебание и его спектр (в)

Подобный подход можно применить и к анализу амплитудно-модулированных колебаний сложной формы. В этом случае периодический модулирующий сигнал может быть представлен набором гармонических составляющих, частота которых кратна периоду исходного сигнала. Каждая из гармоник модулирующего сигнала сформирует в спектре амплитудно-модулированного колебания две боковые составляющие, симметрично отстоящие от несущей на величину, равную частоте соответствующей гармоники. Для примера, если спектр модулирующего сигнала имеет вид, представленный на рисунке 5.3,а, то спектр амплитудно-модулированного колебания может быть представлен диаграммой, приведенной на рисунке 3.б)

Рис. 3 Спектры сигналов: а) модулирующего сигнала; б) амплитудно-модулированного колебания

В общем случае, ширина П_АМ спектра амплитудно-модулированного колебания равна

П_АМ = 2 ґЩ_В, (7)

где ґЩ_В верхняя (наибольшая) частота в спектре модулирующего сигнала.

1.2 Частотная модуляция

Если при амплитудной модуляции частота щ₀ и начальная фаза ц несущего колебания сохраняются неизменными, а по закону передаваемого сообщения e(t) изменяется амплитуда U₀, то при угловой модуляции амплитуда U₀ сохраняется постоянной, а изменяться может частота либо начальная фаза несущего колебания. Поскольку частота и начальная фаза являются составляющими обобщенного угла несущего колебания [щ(t)+ц(t)], то такую модуляцию называют угловой. В зависимости от того, какой из параметров обобщенного угла, частота щ(t) или начальная фаза ц(е), несет информацию о передаваемом сообщении e(t), различают частотную либо фазовую модуляцию.

При частотной модуляции амплитуда несущего колебания U₀ сохраняется постоянной, а частота несущего колебания щ(t) определяется модулирующим сигналом e(t) в соответствии с выражением:

щ(t) = щ₀ + k_ЧМ e(t), (8)

где k_ЧМ - коэффициент пропорциональности, связывающий отклонение Дщ_ЧМ частоты щ(t) от своего номинального значения щ₀, равное Дщ_ЧМ = щ(t) - щ₀, и величину модулирующего напряжения e(t), вызывающего это отклонение.

Максимальное отклонение частоты, вызываемое максимальным модулирующим напряжением, называют девиацией частоты.
При модулирующем сигнале в виде гармонического напряжения

e(t) = E cos(ґЩt+И)

мгновенное значение частоты частотно-модулированного колебания изменяется по закону

щ(t) = щ₀ + k_ЧМ E cos(ґЩt+И) (9)

Временные диаграммы несущего и модулирующего колебаний, а также частотно-модулированного сигнала приведены на рисунке 4.

модуляция амплитудная фазовая импульсная

Рис. 4 Частотная модуляция: а) колебание с постоянной частотой; б) модулирующий сигнал; в) частотно-модулированное колебание

Связь между спектрами модулирующего и формируемого им частотно-модулированного сигнала выражается не такими простыми выражениями, как при амплитудной модуляции, и определяется соотношением между отклонением частоты результирующего частотно-модулированного колебания, вызываемого модулирующим сигналом, и скоростью изменения этого отклонения частоты.

В частности, пусть тональная модуляция гармоническим сигналом с частотой ґЩ вызывает отклонение частоты с девиацией, равной Дщ_ЧМ. Тогда в случае «быстрой» модуляции (при Дщ_ЧМ << ґЩ) полоса частот, занимаемая частотно-модулированным колебанием, определяется наибольшей частотой спектра модулирующего сигнала

П_ЧМ ~ 2 ґЩ. (10)

В случае «медленной» модуляции (при Дщ ЧМ >> ґЩ) частотный диапазон частотно-модулированного колебания определяется величиной девиации частоты Дщ_ЧМ:

П_ЧМ ~ 2 Дщ_ЧМ. (11)

1.3 Фазовая модуляция

При фазовой модуляции амплитуда несущего колебания U₀ сохраняется постоянной, а фаза несущего колебания ц(t) связана с модулирующим напряжением e(t) зависимостью

ш(t) = щ₀ t+ k_ФМ e(t) + ц₀, (12)

где k_ФМ - коэффициент пропорциональности, определяющий связь между модулирующим напряжением e(t) и дополнительным приращением полной фазы результирующего фазомодулированного колебания.

При модуляции фазы по гармоническому закону e(t) = E cos(ґЩt+И) полная фаза фазомодулированного колебания принимает значение

ш(t) = щ₀ t+ k_ФМ E cos(ґЩt+И) + ц₀ (13)

Максимальное дополнительное отклонение фазы несущего колебания относительно регулярного значения щ₀ t характеризуется индексом фазовой модуляции М_ФМ:

М_ФМ = k_ФМ E. (14)

Таким образом, полное описание фазомодулированного колебания, модулированного тональным сигналом, имеет вид:

u_ФМ(t) =U₀ cos[щ₀ t+ k_ФМ E cos(ґЩt+И) + ц₀]. (15)

Временные диаграммы модулирующего и несущего сигналов, а также фазомодулированного колебания приведены на рисунке 5.

Рис. 5 Фазовая модуляция: а) модулирующий сигнал; б) несущее колебание (штриховая линия) и фазомодулированное колебание (сплошная линия)

Определение спектра фазомодулированного сигнала даже в случае простых модулирующих сигналов представляет собой достаточно сложную задачу. Исключение составляет случай с малым индексом фазовой модуляции (М_ФМ << 1). В этом случае при нулевых начальных сдвигах фаз (И = 0 и ц₀ = 0) напряжение (15) можно представить в виде:

u_ФМ(t) =U₀ cos[щ₀ t+ M_ФМ cosґЩt].

u_ФМ(t) =U₀ cos(щ₀ t) х cos(M_ФМ cosґЩt) - U₀ sin(щ₀ t) sin(M_ФМ cosґЩt). (16)

В силу малости аргумента (M_ФМ cosґЩt << 1) тригонометрических функций cos(M_ФМ cosґЩt) и sin(M_ФМ cosґЩt) справедливы приближенные соотношения cos(M_ФМ cosґЩt) ~ 1 и sin(M_ФМ cosґЩt) ~ M_ФМ cosґЩt. С учетом этих приближений выражение (16) приводится к виду:

u_ФМ(t) =U₀ cos(щ₀ t) - (U₀ M_ФМ/2) cos(щ₀ - ґЩ)t + (U₀ M_ФМ/2) cos(щ₀ - ґЩ)t. (17)

По своему виду выражение (17) для фазомодулированных колебаний при M_ФМ << 1 напоминает выражение для амплитудно-модулированных колебаний (5.5): несущее колебание с частотой щ₀ и амплитудой U₀ и две боковые составляющие с одинаковыми амплитудами, равными U₀ M_A/2, и частотами, равными (щ₀ - ґЩ) и (щ₀ + ґЩ). Различие в составе спектров амплитудно-модулированных и фазомодулированных колебаний заключается лишь в том, что в этих колебаниях компоненты с частотой, равной (щ₀ - ґЩ), имеют противоположные знаки. Полоса частот, занимаемая фазомодулированным сигналом, в этом случае также равна

П_ФМ ~ 2 ґЩ. (18)

При больших индексах фазовой модуляции (M_ФМ << 1) зависимость между полосами частот, занимаемыми модулирующим и фазомодулированным сигналами, подчиняется более сложным выражениям, чем, например, соотношение (18).

1.4 Импульсная модуляция

Наряду с модулированием гармонических несущих в различных радиотехнических устройствах находят модулирование импульсных последовательностей (так называемая импульсная модуляция). Уточняющее название вида импульсной модуляции определяется тем параметром последовательности импульсов, который подвергается модуляции. Форма несущего импульсного колебания и продукты модуляции последовательности импульсов при модуляции гармоническим сигналом приведены на рисунке 6.

При модуляции амплитуды последовательности импульсов по закону передаваемого сообщения при их постоянной длительности имеет место амплитудно-импульсная модуляция (АИМ - рисунок 6,в). При изменении длительности последовательности импульсов при их постоянной амплитуде говорят, что имеет место широтно-импульсная модуляция (ШИМ - рисунок 6,г). При изменении временного положения импульсов говорят о времяимпульсной модуляции (ВИМ - рисунок 6,д).

В системах связи часто имеют дело с импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ - рисунок 6,е). В этом случае значение аналогового модулирующего сигнала в каждый тактируемый момент преобразуется в цифровой код. Продуктом модуляции является последовательность импульсов, соответствующая этому коду в данном интервале времени. ИКМ сигнал - это одна из форм представления цифрового сигнала.

Рис. 6 Модуляция импульсной последовательности: а) несущая последовательность импульсов; б) модулирующий сигнал; в) амплитудно-импульсная модуляция; г) широтно-импульсная модуляция; д) времяимпульсная модуляция; е) импульсно-кодовая модуляция

Размещено на Allbest.ru