Зонная структура одномерных фотонных кристаллов

Размещено на http://allbest.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Физико-технический факультет

Кафедра оптоэлектроники

КУРСОВАЯ РАБОТА

Зонная структура одномерных фотонных кристаллов

Выполнил

Лоскутов Анатолий Викторович

Научный руководитель

Н.В. Селина

Краснодар 2013



Содержание

Введение

1. Математическая модель фотонного кристалла

2. Дисперсионные уравнения для световых волн в фотонном кристалле

3. Периодические среды - одномерный фотонный кристалл

4. Расчет запрещенной зоны в одномерном фотонном кристалле в виде периодической среды

Заключение

Литература

фотонный кристалл оптический максвелл



Введение

Понятие разрешенных и запрещенных энергетических зонодин из столпов твердотельной электроники. В оптике твердого тела схожее понятие появилось лишь в 1987 году, когда Эли Яблонович, сотрудник Bell Communications Research, ввел понятие запрещенной зоны для электромагнитных волн. Вскоре «фотонный кристалл» (photonic crystal) и «фотонная запрещенная зона» (photonic band gap, PBG) стали ключевыми терминами новейшего направления современной оптики.

Фотонный кристалл - это материал, структура которого характеризуется периодическим изменением показателя преломления в пространственных направлениях.

Целью курсовой работы является исследование одного из видов одномерных фотонных кристаллов периодических сред, расчет дисперсионного соотношения для световой волны, распределение в периодической среде. Эта тема актуальна, так как.

В соответствии с поставленной целью в данной работе я определил следующие задачи:

- изучить математическую модель фотонного кристалла,

- рассмотреть дисперсионные уравнения для световых волн в фотонном кристалле,

- изучить периодические среды - одномерный фотонный кристалл,

- сделать расчет запрещенной зоны в одномерном фотонном кристалле в виде периодической среды,

- сделать соответствующий вывод.



1. Математическая модель фотонного кристалла

Фотонные кристаллы по характеру изменения коэффициента преломления можно разделить на три основных класса:

1. Одномерные, в которых коэффициент преломления периодически изменяется в одном пространственном направлении как показано на рисунке 2. На этом рисунке символом Л обозначен период изменения коэффициента преломления, и - показатели преломления двух материалов (но в общем случае может присутствовать любое число материалов). Такие фотонные кристаллы состоят из параллельных друг другу слоев различных материалов с разными коэффициентами преломления и могут проявлять свои свойства в одном пространственном направлении, перпендикулярном слоям.

Рисунок 1 - Схематическое представление одномерного фотонного кристалла

2. Двухмерные, в которых коэффициент преломления периодически изменяется в двух пространственных направлениях как показано на рисунке 2. На этом рисунке фотонный кристалл создан прямоугольными областями с коэффициентом преломления , которые находятся в среде с коэффициентом преломления . При этом, области с коэффициентом преломления упорядочены в двумерной кубической решетке. Такие фотонные кристаллы могут проявлять свои свойства в двух пространственных направлениях, и форма областей с коэффициентом преломления не ограничивается прямоугольниками, как на рисунке, а может быть любой (окружности, эллипсы, произвольная и т. д.). Кристаллическая решётка, в которой упорядочены эти области, также может быть другой, а не только кубической, как на приведённом рисунке.

Рисунок - 2 Схематическое представление двумерного фотонного кристалла

3. Трёхмерные, в которых коэффициент преломления периодически изменяется в трёх пространственных направлениях. Такие фотонные кристаллы могут проявлять свои свойства в трёх пространственных направлениях, и можно их представить как массив объёмных областей (сфер, кубов и т. д.), упорядоченных в трёхмерной кристаллической решётке.

Как и электрические среды в зависимости от ширины запрещённых и разрешённых зон, фотонные кристаллы можно разделить на проводники - способные проводить свет на большие расстояния с малыми потерями, диэлектрики - практически идеальные зеркала, полупроводники - вещества способные, например, выборочно отражать фотоны определённой длины волны и сверхпроводники, в которых благодаря коллективным явлениям фотоны способны распространяться практически на неограниченные расстояния.

Также различают резонансные и нерезонансные фотонные кристаллы. Резонансные фотонные кристаллы отличаются от нерезонансных тем, что в них используются материалы, у которых диэлектрическая проницаемость (или коэффициент преломления) как функция частоты имеет полюс на некоторой резонансной частоте.

Любая неоднородность в фотонном кристалле называются дефектом фотонного кристалла. В таких областях часто сосредотачивается электромагнитное поле, что используется в микрорезонаторах и волноводах, построенных на основе фотонных кристаллов.

Как и электрические среды в зависимости от ширины запрещённых и разрешённых зон, фотонные кристаллы можно разделить на проводники - способные проводить свет на большие расстояния с малыми потерями, диэлектрики - практически идеальные зеркала, полупроводники - вещества способные, например, выборочно отражать фотоны определённой длины волны и сверхпроводники, в которых благодаря коллективным явлениям фотоны способны распространяться практически на неограниченные расстояния. Также различают резонансные и нерезонансные фотонные кристаллы. Резонансные фотонные кристаллы отличаются от нерезонансных тем, что в них используются материалы, у которых диэлектрическая проницаемость (или коэффициент преломления) как функция частоты имеет полюс на некоторой резонансной частоте.

Любая неоднородность в фотонном кристалле называются дефектом фотонного кристалла. В таких областях часто сосредотачивается электромагнитное поле, что используется в микрорезонаторах и волноводах, построенных на основе фотонных кристаллов. Существует ряд аналогий при описании распространения электромагнитных волн в фотонных кристаллах и электронных свойств кристаллов. Приведем некоторые из них.

1. Состояние электрона внутри кристалла (закон движения) задается решением уравнения Шрлдингера, распространение света в фотонном кристалле подчиняется волновому уравнению, являющемуся следствием уравнений Максвелла:



2. Состояние электрона описывается скалярной волновой функцией ш(r,t), состояние электромагнитной волны описывается векторными полями - напряженностью магнитной или электрической компонент, H (r,t) или E(r,t).

3. Волновая функция электрона ш(r,t) может быть разложена в ряд по собственным состояниям шE(r), каждому из которых соответствует собственная энергия E. Напряженность электромагнитного поля H(r,t) может быть представлена суперпозицией монохроматических компонент (мод) электромагнитного поля Hщ(r), каждой из которой соответствует собственное значение - частота моды щ:

4. Атомный потенциал U(r) и диэлектрическая проницаемость е(r), фигурирующие в уравнениях Шрлдингера и Максвелла, представляют собой периодические функции с периодами, равными любымвекторам R решетки кристалла и фотонного кристалла, соответственно:

U(r) = U(r + R), (3)

5. Для волновой функции электрона и напряженности электромагнитного поля выполняется теорема Блоха с периодическими функциями u_kи u_k.

6. Возможные значения волновых векторов k заполняют зону Бриллюэна кристаллической решетки или элементарной ячейки фотонного кристалла, задаваемую в пространстве обратных векторов.

7. Энергия электрона E, являющаяся собственным значением уравнения Шрлдингера, и собственное значение волнового уравнения (следствия уравнений Максвелла) - частота моды щ - связаны со значениями волновых векторов k блоховских функций (4) законом дисперсии E(k) и щ(k).

8. Примесный атом, нарушающий трансляционную симметрию атомного потенциала, является дефектом кристалла и может создавать примесное электронное состояние, локализованное в окрестности дефекта. Изменения диэлектрической проницаемости в определенной области фотонного кристалла нарушают трансляционную симметрию е(r) и приводит к появлению разрешенной моды внутри фотонной запрещенной зоны, локализованной в ее пространственной окрестности.

2 Дисперсионные уравнения для световых волн в фотонном кристалле

Под законом дисперсии электромагнитных волн принято понимать соотношение между частотой и волновым вектором электромагнитной волны. В вакууме закон дисперсии имеет вид прямой щ = ck,где c - скорость света. В анизотропных веществах или в структурах со сложным пространственным.

распределением диэлектрической проницаемости закон дисперсии щ(k) становится многомерной фигурой.

Рассмотрим задачу о законе дисперсии и зонной структуре одномерных фотонных кристаллов. Полагая фотонный кристалл линейной средой, запишем волновое уравнение для распространения электромагнитной волны E(z,t) вдоль направления периодичности фотонного кристалла в виде

(2.1)



Поскольку диэлектрическая проницаемость е(z) - периодическая функция с периодом фотонного кристалла

, (2.2)

где амплитуды фурье-гармоник к_?m= k^?_m.

По теореме Блоха, собственные решения волнового уравнения в периодическом потенциале (диэлектрической проницаемости) представимы в виде плоских волн, с амплитудой u_k, являющейся периодической функцией с периодом фотонного кристалла.

E_k(z,t) = u_k(z)exp(i(kz ? щ_kt)), (2.3)

u_k(z + a) = u_k(z) (2.4)

Волновое число k нумерует моды Ek(z,t), а частота моды поля щ_kявляется собственным значением волнового уравнения.

Периодичность функции E_k (z,t) позволяет разложить ее в ряд Фурье

(2.5)

Используя первые три члена ряда (2.2)

(2.6)



(2.7)

При m = 0, выражение (2.1) запишется в виде:

(2.8)

(2.9)

Выделенными являются частоты щ_k - к₀^1/2ck и волновые числа, поскольку в их окрестности E₀и E_?1сингулярно возрастают и являются определяющими в фурье-разложении (2.5).

В этом случае, всеми остальными членами ряда можно пренебречь, и выражения (2.8) и (2.9) примутвид системы двух связанных уравнений для амплитуд E₀и E_?1:

(2.10)

Существование решения системы определяется характеристическим уравнением, получаемым из равенства нулю детерминанта



(2.11)

Решение характеристического уравнения дает определяет закон дисперсии в окрестности волновых чисел в виде:

(2.12)

При |k| = р/a, закон дисперсии имеет разрыв и в диапазоне частот система (2.10) не имеет решений, т.е. мод электромагнитного поля с такими частотами не существует,что соответствует фотонной запрещенной зоне.

(2.13)

Таким образом, в одномерных фотонных кристаллах при значениях волновых чисел в окрестности ±р/2, которые, как будет показано ниже, соответствуют границе первой фотонной зоны Бриллюэна,закон дисперсии электромагнитных волн существенно меняется по сравнению с законом дисперсии однородного вещества, а точно на границе зоны Бриллюэна испытывает разрыв, ширина которого определяется глубиной пространственной модуляции диэлектрической проницаемости в фотонном кристалле.

3 Периодические среды - одномерный фотонный кристалл

Оптические свойства периодический среды описываются тензорами диэлектрической проницаемости и восприимчивости, которые вследствие трансляционной симметрии среды являются периодическими функциями координаты x:

?(x)=?(x+a), µ(x)=µ(x+a), (3.1),

где a - любой произвольный вектор решетки.

Эти формклы отражают лишь то, что наблюдатель, расположенный в точке x, «видит» среду такой же, как и наблюдатель в точке x+a.

В случае трехмерной переодической среды, такой, как кристалл, переодичность решетки определяется элементарными векторами a₁, a₂, и a₃.

Среда остается инвариантной относительно перемещения на любой вектор a, представляющего собой сумму целого числа этих векторов.

Распространение монохроматического (с частотой щ) лазерного излучения в переодической среде описывается уравнениями Максвелла

xH=iщмE (3.2)

xE = -iщмH (3.3)

Эти уравнения должны оставаться неизменными, если оператор и ?, µ вместо х подставить х + а. Трансляционная симметрия среды позволяет выбрать нормальные моды в виде:

E = E_k(x)e-^iKx, (3.4)

H = H_k(x)e-^iKx , (3.5)

где E_k(x) иH_k(x) -переодические функции, т.е.

E_k(x) = E_k(x + a) , (3.6)

H_k(x) = H_k(x + a) , (3.7)



Это свойство известно как теорема Флоке (или Блоха) и будет доказано ниже. Нижний индекс К указывает на то, что функции Е_к и Н_к зависят от вектора К, который называется блоховским волновым вектором. Величины щ и К связаны дисперсионным уравнением

щ = щ(К) (3.8)

В случае когда переодичность исчезает, функции Е_к(х) и Н_к(х) становятся не зависящими от х, а нормальные моды - плоскими волнами с волновым вектором, равным блоховскому. Наша основная цель состоит в определении Е_к(х), Н_к(х) и нахождении дисперсионной зависимости щ(К).

В современной оптике часто приходится иметь дело с одномерной переодической средой, тензор диэлектрической проницаемости которой ? удовлетворяет условию

? (z) = ? (z+lЛ), (3.9)

где Л - период, а l - некоторое целое число.

Рассмотрим распространнение лазерного излучения в одномерной периодический немагнитной среде. На рисунке3показана типичная периодическая среда, представляющая собой чередующиеся слои двух прозрачных материалов. Предположим, что на эту периодическую слоистую среду падает пучок лазерного излучения. Свет будет претерпевать отражение и преломление на каждой границе раздела.

Пусть ? - угол падения. Интерференционные максимумы при отражении возникают при условии:

2Лcos ? = mл, (3.10)



которое называется условием Брэгга. Его легко вывести, сравнивая разность фаз между лучами, отраженными от последовательных плоскостей решетки, составляет целое число длин волн. Распространение электромагнитного излучения в таких средах подчиняется волновому уравнению:

х ( х Е) - щ²µ?Е = 0. (3.11)

Поскольку среда является переодической, диэлектрический тензор ? можно разложить в ряд Фурье:

е(x) = ? е_Ge^-iGx , (3.12)

где G пробегает все векторы обратной решетки, включая G = 0. В нашем одномерном случае:

G = lg = 2рlz / Л, l = 0, ±1, ±2, ±3,…,(3.13)

В физике твердого тела вектор G называется вектором обратной решетки. Этот вектор играет фундаментальную роль. В одномерной периодический среде вектор g параллелен оси z. Вектор электрического поля в этой периодический среде в общем случае можно выразить через интеграл Фурье:

E =?d³kA(k)e^-ikx , (3.14)

Подставляя выражения 3.14 и 3.13 в 3.12, получаем

?d³kkЧ [kЧA(k)]e^-ikx + щ²м? ? d³kе_GA(k - G)e^-ikx = 0. (3.15)



Это условие выполняется только тогда, когда все множители при e^-ikx обращаются в ноль. Таким образом

k Ч [k Ч A(k)] + щ²м ? е_GA(k - G) = 0 для любого k, (3.16)

где суммирование производится по всем векторам обратной решетки. Это условие представляет собой бесконечную однородную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов А(k). Каждое уравнение в этой системе имеет свое, отличное от другого значение k. В принципе для этой системы можно решить характеристическое уравнение, получаемое приравниванием детерминанта системы уравнений 3.16 нулю. Однако, при более внимательном рассмотрении системы 3.16 можно заметить, что не все коэффициенты А(k) связанны между собой. Оказывается, что связаны только коэффициенты вида А(k-G). Это позволяет разбить полную систему уравнений 3.16 на много подсистем, каждая из которых относится к волновому вектору К и содержит уравнения относительно A(K) и A(K-G) со всевозможными векторами G. Каждая подсистема может быть решена по отдельности. Используя это свойство для системы 3.16 решение подсистемы, характеризуемой вектором K.

В диапазоне рентгеновского излучения это явление называется брэгговским отражением. Поскольку наибольший интерес представляют явления и устройства, использующие переодические среды в области их запрещенных зон, мы будем искать приближенные решения для блоховских волн, когда условие Брэгга приблизительно выполняется. Чтобы проиллюстрировать основные идеи, для простоты в дальнейшем будем предполагать, что аолна распространяется в направлении z (т.е. K_x = K_y= 0) и что вектор поля перпендикулярен волновому вектору (K * E = 0). Кроме того, будем предполагать среду изотропной, т.е. считать, что ?₁ является скалярной величиной. При этом система уравнений 6,1,13 принимает вид 6,1,16.

Для нахождения блоховской волны с волновым числом K_z требуется решить систему уравнений 6,1,17 с k = K, K ? g, K ± 2g, … . Поскольку мы снова имеем бесконечное число уравнений относительно A(K), A(K±g), A(K±2g), … , для получения явного решения требуется сделать еще одно приближение. Чтобы это приближение было корректным, нужно исследовать все входящие в уравнение члены и пренебречь малыми величинами. Записывая в 6,1,16 несколько первых членов для k = K, получаем уравнение 6,1,16 и 6,1,16

Заметим, что ?_о здесь представляет нулевую фурье-компоненту диэлектрического тензора, а ?_-1 = ?^*₁ , если ? - вещественная диэлектрическая функция.

Уравнения 6,1,12 и 6,1,12 представляют собой систему линейных уравнений для амплитуд поля A(K) и A(K - g). Она имеет нетривиальное решение только в случае, когда детерминант системы равен нулю.

Последнее уравнение представляет собой явную запись дисперсионного уравнения 6,1,6, определяющего зависимость щ(K). Условие Брэгга 6,1,12 точно выполняется при

K = (1/2)g = р/Л.

Эти корни определяют границы спектральной полосы. При частотах щ₊ и щ_- корни уравнения 6,1 для K являются комплексными числами, вещественная часть которых равна р/Л. Волны при этом являются затухающими, а их спектральный диапазон называется « запрещенной зоной». При частотах щ, лежащих вне этой запрещенной зоны, корни уравнения 6,1,27 для K являются вещественным и решения отвечают распространяющимся волнам. Уравнение 6,1,16, устанавливающее связь между щ и K, называется дисперсионным.



4. Расчет запрещенной зоны в одномерном фотонном кристалле

Запрещенную зону в одномерном фотонном кристалле можно рассчитать из уравнений Максвелла.

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в электрически неоднородной среде. В уравнениях Максвелла:

? есть функция координат точки. Подставив Hиз первого уравнения во второе, получим для E уравнение:

Исключение же E^с дает уравнение для H:

H + H?щ² / с²+ (? * rotH) / ? = 0.

Эти уравнения упрощаются в случае, когда меняется лишь в одном направлении в пространстве. Выберем это направление в качестве оси x.

Также рассмотрим волну, направление распространения которой лежит в плоскости xz. В такой волне все величины не зависят вовсе от координаты y, а ввиду однородности пространства вдоль оси z можно рассматривать зависимость от z, даваемую множителем л^iвzс постоянным в. Диссипация энергии определяется волной ТМ поляризации, соответствующей направлению поля Hвдоль оси y, а E- в плоскости распространения. Уравнение для такой волны:



Это уравнение решено в приближении малой ?, которая пропорциональнаz, и в приближении геометрической оптики. Эти приближения не позволяют полноценно описать процессы в фотонном кристалле. Найдем решение этого уравнения в общем случае. Разделим обе части уравнения на H:

Добавим и вычтем в правой части уравнения член (? / H²)*(дH / ?дx)².

Заметим, что разность

Представляет собой производную:

.

Представим ? в виде суммы ?₀ + ??(x), а также 1/?. И так далее получим:



Умножим обе части уравнения на ?₀ и разделим на выражение:

,

Проинтегрируем обе части уравнения

После интеграции получаем:



Здесь мы провели замен

в²/? = в²/?₀ ,

которая соответствует малой ??. Эта замена упрощает выражение, но нигде не используется.

В конечной формуле для большой ?? необходимо умножить в² на ?/?₀ . Согласно обозначению R(x) определим H:

(4.1)

Преобразуем второе слагаемое под знаком тангенса в

Пренебрежем в знаменателе второго слагаемого под знаком тангенса членами подставим полученное выражение в (4.1), тогда уравнение (4.1) примет вид:



Примем во внимание соотношение

1 / (1 + tg²(x)) = cos²(x).

Замечая, что выражение

представляет собой дифференциал выражения под знаком тангенса в (4.2), вычтем и прибавим к первому множителю в интеграле в экспоненте выражение:

(4.2)



Также замечая, что

? tg(x)dx = ln|cos(x)|,

и производя интегрирование в (4.2), получаем:

В первом приближении можно пренебречь в тангенсе в числителе подынтегрального выражения в экспоненте третьим слагаемым и воспользоваться соотношением

tg(x)/(1 +tg²(x)) = sin(2x),

Аналогично можно рассматривать котангенс в выражении (4.1), тогда получаем результат:



В работе [2] приведено приближенное выражение для компонент напряженностей магнитного и электрического полей:

Наше решение в том же приближении малости (rx) совпадает с этим результатом, что непосредственно следует из (4.2) принимая во внимание равенство тангенса в нуле нулю, а котангенса бесконечности, а также равенство:

Последнее выражение, полученное из уравнений Максвелла, позволило написать программу для расчета запрещенной зоны и построить график.



Заключение

Выполнив работу, я изучил данную проблему и сумел решить поставленные задачи, а именно:

- изучить математическую модель фотонного кристалла,

- рассмотреть дисперсионные уравнения для световых волн в фотонном кристалле,

- изучить периодические среды - одномерный фотонный кристалл,

- сделать расчет запрещенной зоны в одномерном фотонном кристалле в виде периодической среды.

Предложенный мною метод, дает результат, который полностью совпадает с методом в научной литературе.



Литература

1. Актципетров О.А., Федянин А.А. Лекции по курсу Оптика и нелинейная оптика фотонных кристаллов и оптических сверхрешеток, кафедра квантовой электроники физического факультета МГУ им. Ломоносова

2. A. Yariv, P. Yeh, Optical Waves in Cristal, Wiley, New York, 1984

3. М. Борн, Э. Вольф Основы оптики. Москва.:ФИЗМАТЛИТ 1973г. 719с

4. Н.В. Селина, М.М. Векшин, Н.А. Яковенко, Е.Н. Тумаев, Е.Б. Хотнянская, Аналитический подход к расчету фотонных кристаллов, материалы Всероссийской заочной научно-практической конференции Современные проблемы физики, биофизики и информационных технологий, с. 139 - 147.

Размещено на Allbest.ru

...