Теорія та практика оптимальних за швидкодією управлінь веденими пристроями синхронізації телекомунікаційних мереж з фазовим автопідстроюванням частоти

Размещено на http://allbest.ru

Державний УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАЦІЙНО-КОМУНІКАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

05.12.02 - Телекомунікаційні системи та мережі

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Теорія та практика оптимальних за швидкодією управлінь веденими пристроями синхронізації телекомунікаційних мереж з фазовим автопідстроюванням частоти

Костік Богдан Ярославович

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Державному університеті інформаційно-комунікаційних технологій Державного комітету зв'язку та інформатизації України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Борщ Валентин Іванович,

Одеська національна академія зв'язку ім. О.С. Попова,

завідувач кафедри автоматичного електрозв'язку

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Вишневський Леонід Вікторович,

Одеська національна морська академія,

декан факультету радіоелектроніки, доктор технічних наук, професор

Семенко Анатолій Іларіонович,

Державний університет інформаційно-комунікаційних технологій,

професор кафедри телекомунікаційних систем,

доктор технічних наук

Тимченко Олександр Володимирович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

професор кафедри телекомунікацій

Провідна установа: Харківський національний університет радіоелектроніки МОН України.

Захист дисертації відбудеться “24” березня 2005 р. о 1415 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.861.01 при Державному університеті інформаційно-комунікаційних технологій за адресою: 03110, Київ, вул. Солом'янська, 7.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Державного університету інформаційно-комунікаційних технологій за адресою: 03110, Київ, вул. Солом'янська, 7.

Автореферат розісланий “16” лютого 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої радиН.І. Кунах

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми визначається різким зростанням ролі інформації в формуванні структури світового співтовариства з переходом до побудови постіндустріального (інформаційного) суспільства. У цьому процесі велике значення приділяється використанню телекомунікаційних, інформаційних мереж та інформатизаційних інфраструктур різного рівня (національних, європейських, глобальних).

Процеси в складних і великих динамічних об'єднаннях, якими є телекомунікаційні системи та мережі, протікають в просторі і часі, що викликає очевидну необхідність їх координації (синхронізації). Порушення синхронізації викликає зриви нормального їх функціонування, що приводить до неминучих матеріально-технічних, інформаційних та інших втрат. Взагалі вищеназвані об'єднання можливо розробити і без їх синхронізації, але економічні затрати при цьому будуть незрівнянно вищі. Таким чином, дослідження процесів синхронізації в телекомунікаційних мережах і системах важливо не тільки з наукової, а й з прикладної точки зору.

Мережа тактової синхронізації України використовує примусовий ієрархічний спосіб синхронізації тактових генераторів (ТГ) з можливістю переходу в плезіохронний режим роботи з значенням частоти, яке запам'ятовується: ієрархічну структуру з одним або декількома центрами синхронізації з розподілом синхроінформації "зверху до низу" по рівням ієрархії по прямим, обхідним та поперечним зв'язкам.

Відомо багато методів і стратегій синхронізації, які використовуються різними країнами світу. Вдосконалення реалізації проблеми синхронізації зокрема пов'язано з виявленням особливостей роботи окремих її елементів. Так, наприклад, великий інтерес викликає специфіка систем синхронізації з врахуванням коливальних режимів роботи. Дослідження в цьому напрямі стосуються в основному окремих систем і окремих видів процесів, в той час як у загальному випадку теорії і методики, які використовуються, повинні враховувати специфіку розв'язуваних задач і відповідно бути узагальнені.

Специфіка роботи систем з коливальним об'єктом управління вимагає адекватного підходу до розв'язання проблеми оптимального управління періодичними процесами взагалі, в тому числі і в системах фазової синхронізації зокрема. Окремі задачі цієї проблеми були проаналізовані в роботах багатьох дослідників.

Виділені пристрої синхронізації знаходять реалізацію практично у всіх телекомунікаційних мережах (ТКМ) і інфраструктурах з метою поновлення якісних показників синхроінформації, яка приходить із лінії зв'язку, та її використання на об'єктах вузлів синхронізації. Як правило, основу ВПС складають системи фазового (СФАПЧ), або частотного (СЧАПЧ) автопідстроювання частоти.

Метод побудови ієрархічних мереж синхронізації сучасних телекомунікаційних мереж і інфраструктур з ведучими і веденими пристроями синхронізації (ВПС) і на сьогодні є перспективним як для ґрунтовних теоретичних досліджень, так і для подальших технічних розробок з метою вдосконалення та забезпечення все зростаючих вимог до якісних показників синхроінформації.

Слід відмітити, що для якісної роботи мереж синхронізації (МС) спочатку необхідно побудувати адекватну математичну модель ВПС та процесів розподілу опорних тактових синхросигналів (ТСС) по мережі і синхронізації їх з сигналами ведених тактових генераторів (ВдТГ), а потім практично виконати оптимізацію мережі з метою досягнення заданих значень показників якості (швидкодії, фільтрації, стабільності і точності). Все це обумовлює проблемну ситуацію, вирішення якої визначило тему даної дисертаційної роботи і її актуальність.

На момент формування теми даної дисертації існувало багато невирішених проблем, зокрема: 1) невизначеність математичного об'єкту ВПС на основі СФАПЧ як коливального об'єкту управління (КОУ) з періодичним в функції фазової похибки управляючим збудженням; 2) необхідність використання в якості параметру управління КОУ не тільки амплітуди сигналу, але й періоду управляючого збудження; 3) відсутність теоретичного аналізу проблеми періодичного по фазовій координаті оптимального за швидкодією управління КОУ; 4) відсутність аналізу наношвидкодіючих режимів перехідних процесів в КОУ; 5) відсутність основних положень математичної теорії рішення топології оптимальних за швидкодією КОУ з періодичними по фазовій координаті управляючими збудженнями та ін.

Постановка проблеми оптимізації за швидкодією управлінь ВПС ТКМ і інфраструктур з фазовим автопідстроюванням частоти оформлена і вирішена в дисертаційній роботі як науковий напрям з запропонованою методологією її виконання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Виконання роботи пов'язано з реальними потребами галузі зв'язку України. Проблема, яка розглядається в дисертаційній роботі, безпосередньо випливає із задач у сфері науки і техніки, сформульованих у "Концепції розвитку зв'язку України до 2010 року", затвердженої Постановою Кабінету Міністрів України №223/8 від 09.12.1999 р.; "Переліку державних, наукових і науково-технічних програм по пріоритетним напрямкам розвитку науки і техніки на 2002 - 2006 роки", затвердженому Постановою Кабінету Міністрів України №1716 від 24.12.2001 р.; "Концепції розвитку ВАТ "УКРТЕЛЕКОМ" до 2005 року"; Державними програмами створення Єдиної національної системи зв'язку та інформатизації.

Основні результати роботи одержані в процесі виконання науково-дослідних робіт в Державному університеті інформаційно-комунікаційних технологій (ДУІКТ), які проводились на замовлення та за планами Державного комітету зв'язку та інформатизації України та ВАТ "Укртелеком" у 1998 - 2004 роках.

1. Оптимальні за швидкодією системи ФАП. - № ДР 0101U002658. - К., 2000.

2. Синтез структур екстраполюючих пристроїв та систем ФАПЧ на їх базі. - №ДР 0102U007244. - К., 2003.

3. Векторний синтез телекомунікаційних мереж.- №ДР 0103U002500. - К., 2004.

Мета й задачі дослідження. Метою роботи є теоретичні та експериментальні дослідження телекомунікаційних мереж для виробки методу оптимального за швидкодією управління періодичними процесами в системах фазової синхронізації.

Досягнення поставленої мети вимагало вирішення наступних задач:

- вивчення проблеми побудови мереж синхронізації інформаційних інфраструктур на національному, європейському і глобальному рівнях;

- розробки та нормалізації математичних моделей об'єктів управління з періодичними по фазовим координатах управляючими впливами (в тому числі на прикладі систем фазової синхронізації ТКМ);

теоретичного з'ясування закономірностей управління в оптимальних за швидкодією ВПС з фазовим автопідстроюванням частоти;

- аналізу оптимальних за швидкодією режимів перехідних процесів та синтезу високоякісних ВПС ТКМ з фазовим автопідстроюванням частоти;

- встановлення основних закономірностей в задачі оптимального за швидкодією управління періодичними по фазовій координаті керуючими впливами об'єктами з коливальними статичними режимами та аналізу замкнутих кривих граничних циклів;

- адаптації принципу максимума Л.С.Понтрягіна та методу фазового простору в сукупності з методом зворотного руху для дослідження об'єктів управління з періодичними управляючими збудженнями;

- розробки та аналізу алгоритмів керування та основних положень математичної теорії оптимальних за швидкодією коливальних об'єктів з періодичними по фазовій координаті управляючими збудженнями;

- оптимізації структур об'єктів управління на підставі застосування методів еквівалентних перетворень;

розробки, промислового випуску, експериментальних натурних випробувань та впроваджень розроблених ВПС ТКМ з фазовим автопідстроюванням частоти.

Об'єктом досліджень даної дисертаційної роботи є ведені пристрої синхронізації з фазовим автопідстроюванням частоти.

Предметом досліджень є розробка та оптимізація високоякісних та швидкодіючих ВПС ТКМ з фазовим автопідстроюванням частоти.

Методи досліджень. Для досягнення поставлених у дисертації задач використана загальна теорія систем та зв'язку, теорія оптимальних і екстремальних керувань; методи лінійної алгебри, диференціального і інтегрального числення; принцип максимума (мінімума) акад. Л.С. Понтрягіна; методи фазового простору, еквівалентних перетворень структур; графо-аналітичні методи. Були також розроблені пристрої та засоби, що реалізують отримані результати; вирішено їх апаратне втілення, проведені експериментальні дослідження, натурні випробування, впровадження та експлуатація. автопідстроювання частота синхронізація телекомунікаційний

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому що в роботі вперше:

1. Проаналізовані науково-технічні проблеми побудови єдиної національної мережі синхронізації України (ЄНМСУ) і зокрема єдиної національної мережі синхронізації інформатизаційних інфраструктур (ЄНМСІІ) та її інтеграції в європейські і глобальні інфраструктури. Обґрунтовано вибір архітектури та стратегії реалізації ЄНМСІІ, як єдиної, виділеної, з ієрархічною структурою, з примусовим управлінням "ведучий-ведений" по принципу "зверху до низу" по рангам пристроїв синхронізації.

2. Теоретично вирішена проблема побудови оптимального за швидкодією управління ВПС з фазовим автопідстроюванням частоти як коливальними об'єктами з періодичним збудженням, яке залежить від фазової похибки системи з врахуванням двох параметрів управління - власне періодичності по фазовій координаті об'єкту і його періоду.

3. Розроблені основні положення математичної теорії оптимальних за швидкодією коливальних об'єктів з періодичними по фазовій координаті управляючими збудженнями ВПС ТКМ з фазовим автопідстроюванням частоти, специфіка роботи яких полягає у врахуванні періодичності по фазовій координаті управління, що призводить не тільки до періодичності фазових траєкторій в динаміці, але й до періодичності не вільних, а примусових коливань в статиці, а також визначені особливості управляючих оптимальних алгоритмів, які мають дві складові: одну в функції фазових координат, а другу - в функції часу.

4. Запропоновані та застосовані експериментально-розрахункові методи визначення якісних характеристик роботи ВПС, а саме:

- графо-аналітичний метод, який відрізняється від відомих із публікацій тим, що за одну побудову можна отримати траєкторії всіх координат об'єкту та оптимальну лінію переключення управляючого збудження, визначити характер і тривалість окремих інтервалів і всього оптимального режиму перехідних процесів, розрахувати координати точки переключення управління, врахувати вплив на перехідний процес зовнішніх факторів та зміни параметрів об'єкту в функції координат і часу;

- метод "віяла січних" для визначення характеру режимів оптимальних за швидкодією перехідних процесів ВПС, який дозволяє також розрахувати такі важливі якісні характеристики перехідних режимів процесів як швидкодію, точність досягнення статичного стану, частоту коливань, декремент загасання.

5. Запропоновано та реалізовано ряд еквівалентних як аналітичних, так і графічних перетворень для використання при розробці теорії оптимальних за швидкодією періодичних управляючих збуджень в функції координат об'єкту, зокрема:

- нормалізована і спрощена математична модель у вигляді періодичного неоднорідного диференціального рівняння;

- формалізоване описання, алгоритмізація і оптимізація управління об'єктами дослідження ВПС ТКМ з використанням фазового автопідстроювання частоти;

- математична модель поводження КОУ і її еквівалентне перетворення у комбінаційне з'єднання типових динамічних ланцюгів першого порядку.

6. Проведені лабораторні та натурні експериментальні дослідження та дослідження розроблених і запатентованих ВПС з фазовим автопідстроюванням частоти та проаналізовані:

- структурна схема базового блоку ВПС тактової синхронізації первинної мережі;

- схеми вимірювань і вимог, які задовольняють стандартам ITU-T та ETSI;

- методики досліджень і вимірювань лабораторного макету базового блоку ВПС ТКМ;

- методики обробки і аналізу результатів досліджень ВПС ТКМ та їх технічна реалізація.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій забезпечена використанням сучасних теорій; обговореннями отриманих результатів на багатьох науково-технічних конференціях, експериментальними випробуваннями та втіленням результатів роботи в конкретні системи і мережі телекомунікацій. Імплементації розроблених пристроїв і засобів в різні об'єкти (системи і мережі телекомунікацій, зокрема, в мережу тактової синхронізації України; при цифровізації аналогових радіорелейних систем; синтезатори частот різного призначення; цифрові системи передачі інформації, тощо) являються верифікацією, яка підтверджує достовірність результатів дисертаційної роботи.

Практична цінність отриманих результатів роботи полягає в наступному:

розроблена концепція побудови мережі тактової синхронізації України;

запропоновані та апробовані нові технології, пристрої та засоби телекомунікацій, які по результатам експериментів мають технічні характеристики та параметри значно кращі, ніж відомі технічні рішення. Зокрема, використання оптимальної за швидкодією системи фазового автопідстроювання частоти забезпечило в 1,3 - 3,5 рази меншу тривалість режимів перехідних процесів, ніж відомі пристрої;

виконаний синтез оптимальних ВПС ТКМ імплементовано в мережі тактової синхронізації України, в синтезаторах частоти; в пристроях тактової синхронізації в складі цифрових систем і мереж телекомунікацій, зокрема, в модернізованому обладнанні типу ОЦФ-17 (20 та 34) високошвидкісної передачі цифрових потоків по стволам аналогових радіорелейних систем передачі;

визначені необхідні параметри оптимальних режимів перехідних процесів в системах ВПС ТКМ з врахуванням впливу зовнішніх збуджень;

створені нові ВПС ТКМ, оригінальність яких захищена патентами України. Вони відповідають міжнародним вимогам, які пред'являються документами організацій ITU-T та ETSI;

організована дослідницька ділянка в ЛАЦ ЦПМ-11 ДПМ ВАТ "Укртелеком" (м. Одеса) для проведення вимірювань і досліджень частотно-часових характеристик цифрових пристроїв, систем, мереж електрозв'язку на існуючій первинній мережі синхронної цифрової ієрархії SDH. Проведені лабораторні і натурні випробування розроблених ВПС ТКМ, виконана обробка отриманих результатів та порівняння на відповідність їх міжнародним нормам;

розроблено мікропроцесорний пристрій тактової синхронізації з використанням сучасної елементної бази, який впроваджено в ЗАО "УКРАЇНСЬКІ РАДІОСИСТЕМИ" та ТОВ "ЕПТК" для побудови і експлуатації мережі тактової синхронізації України в якості тактового генератора другого та нижчих рівнів ієрархії;

створено дослідний стенд для випробування ТГ частоти, як універсальне обладнання такого класу.

Практичні результати роботи підтверджені актами впровадження.

Особистий внесок здобувача. В дисертації узагальнено результати досліджень, виконаних автором самостійно [1, 2, 31, 34, 36, 39, 41] та у співавторстві [3-30, 32, 33, 35, 37, 38, 40]. Особисто автором здійснена розробка загальної концепції дисертації та вибір об'єктів, визначено мету і задачі роботи, обрано та обґрунтовано методи досліджень. В наукових публікаціях у співавторстві автору належать: провідна роль у виборі та обґрунтуванні напряму досліджень, постановка задач на різних етапах виконання роботи, аналіз та інтерпретація одержаних результатів.

В книзі [1] здобувачем особисто написані глави 1,5-7, а також додатки 1 і 2 (приблизно 30%).

В статтях з співавторами [3-5, 7, 9, 11-23, 27] автором проведені теоретичні та експериментальні дослідження, обґрунтування висновків. В наступних роботах здобувачу належить: - розробка графо-аналітичного методу побудови оптимальних за швидкодією режимів перехідних процесів в СФАПЧ [8]; - особливості рішення задач оптимального за швидкодією управління об'єктами із статичними режимами роботи [10]; - визначення характеру режимів перехідних процесів в системах з коливальним об'єктом управління методом "віяла січних" [6]. Наукові положення, що виносяться на захист, та висновки і рекомендації дисертації належать автору. Основна частина отриманих в дисертації результатів доповідалась автором особисто на міжнародних науково-технічних конференціях.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались і обговорювались на конференціях і нарадах: Міжнародна науково-практична конференція "Системи і засоби передачі та обробки інформації" (Одеса, 2002, 2003 та 2004); Міжнародна конференція "Сучасний стан та перспективи використання ВОЛЗ. Первинні мережі України" (Київ, 2001); Міжнародна конференція "Сучасні проблеми радіоелектроніки, телекомунікацій та комп'ютерної інженерії" TCSET (Львів, 2002 та 2004); Міжнародна конференція "Досвід розробки та застосування САПР в мікроелектроніці" CADSM'2003 (Львів, 2003); Міжнародний радіоелектронний Форум "Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку" - МРФ-2002 (Харків, 2002); Четверта міжнародна науково-практична конференція "Современные информационные и электронные технологии" СИЭТ-2003 (Одеса, 2003); Міжнародна науково-технічна конференція "Радиосвязь, телевидение и радиовещание - вчера, сегодня, завтра" (Одеса, 2003); 6-а науково-технічна конференція "Современные проблемы телекоммуникаций" (Одеса, 2003); 7-а міжнародна науково-практична конференція "Эволюция транспортных сетей телекоммуникаций. Проблемы построения, развития и управления" (Ялта, 2004); Друга міжнародна науково-технічна конференція "Цепи и системы для телекоммуникаций" IEEE ICCSC'04 (Москва, 2004); Перший міжнародний симпозіум незалежних операторів і виробників обладнання “Телекоммуникации без границ” (Одеса, 2004).

Публікації. Основні положення та зміст дисертації відображено в 41 науковій публікації (6 із яких - одноосібні), в тому числі в 1 монографії (в співавторстві), в 1 навчальному посібнику, в 21 науковій статті в фахових журналах ВАК України, 1 статті в науковому журналі, в 3 патентах України, та в 14 тезах і матеріалах доповідей на конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, 7 розділів, висновків, трьох додатків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 276 сторінки, включаючи 62 рисунки та 1 таблицю. Бібліографія містить 151 найменувань. Додаток А містить 2 сторінки. Додаток Б - 2 сторінки. Додаток В - 3 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність та доцільність поставленої теми шляхом порівняльного аналізу відомих рішень, розкрито її сутність стосовно теорії і практики оптимальних за швидкодією періодичних управлінь ВПС ТКМ з фазовим автопідстроюванням частоти, відображено її зв'язок з галузевими та державними програмами і планами, сформульовано мета і задачі досліджень, запропоновано методологію наукового дослідження проблеми, визначено наукову новизну і практичну цінність отриманих результатів, наведено інформацію про особистий внесок здобувача, апробацію та впровадження наукових результатів роботи.

У першому розділі обґрунтована необхідність створення національної мережі синхронізації (НМС) і сформульовані проблеми, які потрібно вирішити для її побудови взагалі, а також і ЄНМСІІ України зокрема, та розглянуті основні аспекти її інтеграції в європейську і глобальні інформаційні інфраструктури з врахуванням існуючих наробок в цьому напрямі.

Виконано узагальнення архітектури НМС, яка реалізує процеси часового і частотного забезпечення територіально розподілених (в межах кордонів країни) об'єктів синхронізації з метою узгодження їх роботи, а також формує і розповсюджує синхроінформацію. Об'єктами, які потребують синхроінформацію, можуть бути масиви великих систем, або їх підсистем та елементів.

З стратегічної точки зору запропоновано реалізувати єдину НМС з використанням одного або декількох методів побудови, в автономному режимі. В такій мережі ТГ незалежні один від одного (не синхронізовані), кожний працює автономно в плезіохронному режимі, а взаємодія між ними здійснюється тільки через інформаційні (корисні) канали.

В якості дублюючої єдиної НМС України запропонована автономна мережа синхронізації, в якій синхросигналом буде доставлений до будь-якого об'єкту синхронізації еталонний сигнал частоти координованого всесвітнього часу (UTС) отриманий від супутникових систем навігації GPS\ГЛОНАСС.

З метою зменшення матеріально-економічних затрат на первинні джерела синхронізації (ПДС), в якості яких зазвичай використовують атомні стандарти частоти (АСЧ) на цезієвих джерелах і водневих квантових підсилювачах (мазерах), в роботі запропоновано змінити архітектуру автономної мережі синхронізації на ієрархічну, в якій один або декілька ПДС примусово розподіляють синхроінформацію вертикально по рівнях ієрархії. При цьому всі пристрої синхронізації МС розподіляються на два ранги: 1) ПДС, які мають найвищу стабільність ТСС, і відіграють роль ведучих тактових генераторів, 2) ВПС, або вторинні тактові генератори, які мають меншу стабільність частоти ТСС, ніж ПДС, і відіграють роль ВдТГ. З'єднання ПДС з ВПС виконано древовидним способом, що зумовлює необхідність ієрархічної побудови НМС. Управління розподілом синхроінформації здійснюється по принципу "зверху до низу", від ПДС до ВПС нижчих рангів. Рекомендаціями ITU-T і ETSI створена європейська ієрархія генераторів МС, яка включає в себе чотири рівні генераторів синхроінформації: 1) одне або декілька ПДС; 2) магістральні ВПС; 3) місцеві ВПС; 4) термінальні ВПС.

Запропонована концептуальна реалізація ЄНМСІІ України з врахуванням діючих факторів. З метою зменшення економічних витрат на перших порах доцільно створювати окремі МС галузей господарства України, або окремих великих об'єктів синхронізації (досвід Російської Федерації). Для вибору транспортної МС запропоновано три варіанта вирішення цією проблеми: 1) створення власної, відокремленої від первинних і вторинних мереж, транспортної МС; 2) оренда транспортної МС, як відокремленої накладеної на інформаційні мережі, перш за все первинні і вторинні; 3) переміщення синхроінформації разом з корисною інформацією в транспортному середовищі, а потім виділення її в вузлах синхронізації тим, чи іншим способом.

Таким чином, реалізовану на сьогодні МС можна визначити як:

єдину, бо інших немає;

ієрархічну, оскільки обладнання складається із ТГ двох рангів: первинних (ведучих) і вторинних (ведених); останні розташовуються у вузлах МС відповідно рівням ієрархії;

таку, що має примусовий характер управління типу "ведучий-ведений" по принципу "зверху до низу";

таку, що має в якості транспортної МС орендовану первинну мережу, яка найпоширеніша в Україні (а саме ТКМ технології SDH) та в якій тактові синхросигнали виділяються із оптичних групових трактів STM-N;

таку, що забезпечена генераторним обладнанням: ПДС і ВПС, яке відповідає документам організацій ITU-T і ETSI, як закордонних так і вітчизняних виробників.

Розглянувши базові поняття запропоновано вимоги, які пред'являються до робочих характеристик ПДС і ВПС, каналів та трактів транспортних МС, інтерфейсів (стиків) між об'єктами синхронізації різних операторів. Сформульовані задачі теорії та проектування МС, в основі яких використовуються не тільки показники в частотному виміру, а й в часовому.

Досвід показує, що аналітичний розрахунок параметрів синхросигналів навіть на МС середньої складності (більше 20-30 вузлів синхронізації) з врахуванням резервування каналів розподілу синхроінформації є практично не вирішеною задачею. Звідси витікає висновок, що на сьогодні розробка і реалізація сучасних МС повинна базуватись на взаємозв'язку та взаємодії експериментального і теоретичного досліджень. Як приклад цих обставин в роботі запропоновано експериментально-аналітичний метод розрахунку числа рівнів ієрархії МС в основу якого покладено задоволення вимог заданим значенням показників якості синхроінформації. Міжнародні організації ITU-T і ETSI рекомендують 5 показників для оцінки характеристик стабільності часу і частоти МС: 1) девіація Аллана (ADEV); 2) модернізована девіація Аллана (MADEV); 3) відхилення часу (TDEV); 4) корінь квадратний із похибки часового інтервалу (TIErms); 5) максимальна похибка часового інтервалу (МTIE). Для розрахунку цих показників в вищеназваних рекомендаціях приведені стандартні формули. В дійсності технічні вимоги до ВПС засновані на двох із п'яти прийнятих показниках.

1. Часова дисперсія, або часова варіація (TVAR - Time Variance), що призначена для врахування частоти синхросигналу і представляє собою середньоквадратичне відхилення похибок часового інтервалу (TIE - Time Interval Error) та чисельно дорівнює:

(1)

де - інтервал спостереження; - число відліків часової похибки (похибки виміру часу) TE (Time Error) в послідовності: - період дискретизації на інтервалі виміру ; - початковий момент часу спостереження; - відліки похибки часу; - випадкове відхилення часу; - миттєва фаза псевдоперіодичного сигналу і його номінальна частота відповідно.

Оскільки TVAR визначається згідно з формулою (1) в квадратних одиницях часу, що не має особливої фізичної рації, то в якості характеристики варіації частоти використовується параметр девіації часу TDEV, який дорівнює:

Параметр вимірюється в одиницях часу, що є фізично коректним, і визначає залежність від часу .

2. Параметр MTIE у вигляді залежності , який визначається як максимальний розмах вимірювань похибки часу ТЕ на всіх можливих інтервалах спостереження в границях періоду виміру і розраховується як:

(2)

В сучасній світовій практиці характеристики (1) і (2) вважаються основними показниками стабільної роботи мережі синхронізації. Ця обставина на практиці обґрунтовує вибір показників і в якості критеріїв визначення числа рівнів ієрархії побудови МС.

Методика розрахунку числа рівнів ієрархії МС зводиться до порівняння отриманих результатів зі значеннями, які визначені масками. У випадку виходу параметру за межі маски процес розрахунку, ітераційно наближаючись, повторюється до досягнення значень показників, які не виходять за границі параметрів, що визначені нормативними показниками.

Досягнення заданих значень показників і можливо з використанням різного числа рівнів ієрархії. В таких випадках число рівнів ієрархії МС визначається максимально необхідним для задоволення вимог до цих двох показників, або по всій номенклатурі показників, якщо їх більше двох.

Другий розділ дисертації присвячений розробці математичних моделей ВПС з фазовим автопідстроюванням частоти та аналізу їх еквівалентних перетворень.

Типова функціональна схема ВПС з фазовим автопідстроюванням частоти включає в себе ВТГ - ведучий тактовий генератор, ЛЗ - лінія зв'язку, ПП - пристрій порівняння, ФД - фазовий детектор; ФНЧ - фільтр нижніх частот, ВЗЗ - від'ємний зворотній зв'язок, РО - регулюючий орган, П - перетворювач, рис.1.

Математична модель об'єкту управління ВПС з фазовим автопідстроюванням частоти запропонована в формі неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку наступного вигляду:

(3)

де - коефіцієнт передачі ФНЧ порядку n-1; - початкова розстройка системи; - крутизна характеристики РО; - фазова похибка об'єкту управління; - постійний коефіцієнт; , - відповідно період і амплітуда управляючого збудження; - нормована характеристика ФД; - напруга на виході ФД (періодичне по фазовій похибці управляюче збудження), - незалежна змінна (час).

Визначені та досліджені математичні вирази переходу між різними формами запису матмоделей ВПС. Розглянуті матриці еквівалентного перетворення диференціальних неоднорідних рівнянь до канонічної форми; отримані прямі і зворотні матриці перетворення; трикутні прямі і зворотні матриці перетворення.

Виконано нормування матмоделі (3) поведінки КОУ другого порядку (n=2) при періодичному управлінні і перетворенні входів об'єкту в його виходи:

(4)

Або

(5)

де - періодичне по змінній управляюче збудження з періодом ; - вихідна координата КОУ (управляєма величина); , ; - постійні часу об'єкту управління; - постійна згасання збудженого об'єкту (ступінь заспокою); ; b - коефіцієнт підсилення об'єкту, b>0; - власна частота незгасаючих коливань. При коливання в КОУ будуть незгасаючими з частотою (такий КОУ називається ще консервативним). При коливання згасають (режим КОУ стійкий); - коливання відсутні (режим КОУ стійкий, аперіодичний - інерційний другого порядку).

В подальшому управління об'єктом вибираються із компактної множини

,(6)

клас їх допустимості обмежено умовою

(7)

При введенні в розгляд нормування

(8)

умови (7) запишуться в вигляді:

(9)

При заміні масштабуванням змінних та похідних в співвідношенні (5) перейдемо від змінних до :

(10)

Розв'язок рівняння фазових траєкторій КОУ при врахуванні нерівності (7) і постійності управляючого збудження на інтервалах оптимального за швидкодією руху може бути представлений в вигляді або -1.

Для прийнятих вище передумов для одного інтервалу оптимального руху загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку (10) буде мати наступний вигляд:

,(11)

де С>0, .

Продиференціювавши вираз (11), отримаємо:

(12)

де , .

При переході до нових змінних та отримаємо вираз для радіус-вектора логарифмічної спіралі

,(13)

де ;

Таким чином установлено, що фазова траєкторія представляє собою рівняння логарифмічної спіралі в полярних координатах Z-G при , яка прямує до початку координат (стійкий фокус).

Вперше запропоновані та проаналізовані математичні моделі поведінки повного КОУ і їх еквівалентне перетворення до комбінаційного з'єднання типових ланцюгів першого порядку. Зокрема, показано, що математичну нереалізуєму уявність, яка виникає при наявності комплексно-спряжених коренів в квадратному трьохчлені, котрий відповідає характеристичному рівнянню математичних моделей (4) та (5), можна реалізувати використанням спеціальних апаратних прийомів, а саме, введенням від'ємного жорсткого зворотного зв'язку.

Проаналізована математична модель КОУ наступного вигляду:

(14)

де - відповідно дійсна та уявна частини коренів характеристичного поліному.

Установлена аналітична еквівалентність переходу матмоделі (14) до перетворення двох аперіодичних ланцюгів з від'ємним жорстким зворотнім зв'язком, яка схематично представлена у вигляді структурної схеми

Аналітично реалізовані перетворення математичної моделі консервативного КОУ і графічно представлені у вигляді комбінаційної структурної схеми двох інтегральних ланцюгів з від'ємним жорстким зворотнім зв'язком. Визначено рівняння фазової траєкторії консервативного КОУ.

У розділі 3 теоретично обґрунтовано проблема управління в оптимальних за швидкодією ВПС з фазовим автопідстроюванням частоти.

На основі аналізу наукових публікацій сформульовано комплекс задач для з'ясування проблеми оптимальних за швидкодією управлінь. Визначено особливості об'єкту управління ВПС ТКМ як коливального з управляючим збудженням, яке періодичне по його фазовій координаті. Дослідження таких об'єктів управління в даній роботі проведено вперше.

Задачі оптимальних за швидкодією управлінь проаналізовані для випадку, коли задано два вектори із станів фазового простору об'єкту управління, які з допомогою оптимального періодичного по фазовій координаті управляючого збудження за мінімальний час повинні перевести відображаючу точку (ВТ) по оптимальній фазовій траєкторії із одного (початкового) стану в інший. В цьому проблемному процесі постають наступні задачі: управляємості, допустимості, єдиності і достатності існування, а також єдиності оптимального управляючого збудження.

Теоретичний аналіз вказаних вище задач представлено в формі доказу двох теорем.

Теорема 1. Нехай консервативний КОУ описується системою

(15)

і нехай існує оптимальне за швидкодією управляюче збудження, яке переводить ВТ із будь-якого початкового стану в точку на замкнутій кривій граничного циклу (ЗКГЦ) (або в точку області притягування), то оптимальне за швидкодією управляюче збудження є періодичною функцією часу і приймає по черзі на тому відкритому інтервалі максимально допустимі значення

Для доведення цієї теореми використані функція Гамільтона та допоміжна вектор-функція, яка фігурує в принципі максимума. Показано, що складова управляючого збудження періодичної миттєвої напруги ФД визначає його прямокутну нормовану характеристику. Ця складова оптимального за швидкодією збудження представляє собою суттєво нелінійну періодичну функцію (з періодом T=2) - однозначну функції помилки миттєвих фаз ведучого і веденого ТГ, - і має один максимум і один мінімум за період. Друга складова управляючого збудження при оптимальному за швидкодією управлінні є періодичною функцією часу (з періодом Tt). Апаратурну реалізацію оптимального управляючого збудження запропоновано здійснити двома методами: 1) при T<<Tt кусочно-сталими інтервалами по півперіоду Tt з періодичною складовою по періоду T ; 2) при TTt - тільки кусочно-сталим відрізком за півперіодом Tt.

Із теореми 1 слідують такі наслідки.

Наслідок 1. Якщо оптимальне за швидкодією періодичне управління супроводжує єдину оптимальну фазову траєкторію від початкової точки до точки на ЗКГЦ, то оптимальне за швидкодією в залежності від часу управління буде періодичним з амплітудою, що дорівнює , на будь-якому інтервалі руху відображаючої точки.

Наслідок 2. Число переключень оптимального зо швидкодією управління від початку руху ВТ до точки ЗКГЦ може бути нескінченим, тобто на напіввідкритому інтервалі часу (]початок руху ВТ, +[) верхньої межі числа переключень немає. Доказ цього ствердження очевидний із доказу теореми 1 цього розділу.

Наслідок 3. Оптимальне за швидкодією управління консервативним КОУ може залишатись сталим з величинами +1 або -1 максимум на протязі /М одиниць часу. Ця допоміжна інформація про необхідні умови відносно максимальної величини часу на відрізках сталості оптимальних за швидкодією управлінь витікає із їх періодичності (з періодом T ) доказаної в цьому розділі теореми 1.

Із вищеприведеного підкреслимо відмінні специфічні особливості об'єктів з періодичними управляючими збудженнями КОУ при порівнянні їх з лінійними об'єктами сталих управлінь:

Управління є періодичним в часі, а не кусочно-сталим.

Число переключень управлінь між двома значеннями +1 та -1 (або навпаки) може бути нескінченним (або ліченим в залежності від початкових станів), тобто не відповідає теоремі про n-переключень.

Максимальна тривалість інтервалів сталості управлінь є відомою і тому не потребує визначень.

Теорема 2. Якщо оптимальне зо швидкодією періодичне управління по фазовій координаті коливальним об'єктом існує, то воно єдине.

Доказ цієї теореми проведено від супротивного: доводиться, що, якщо існує два різних оптимальних за швидкодією періодичних по фазовій координаті управління об'єктом, то вони тотожні.

Визначено оптимальне за швидкодією періодичне по фазовій координаті управляюче збудження повним КОУ. Допустимо, що математична модель для опису поведінки повного КОУ може бути представлена диференціальним рівнянням:

,(16)

де власні значення дорівнюють .

З допомогою еквівалентного перетворення представимо систему (16) в кососиметричній формі. При зміні фазових координат отримаємо

. (17)

Складемо функцію Гамільтона для математичної моделі (17) повного КОУ

(18)

і рівняння допоміжних змінних

(19)

Розв'язок для компоненти ш2(t) допоміжної змінної системи (19) записується в вигляді, який частково аналогічний наведеному вище для консервативного КОУ:

(20)

Аналіз функції Гамільтона по управляючому збудженню в залежності від часу дає наступний результат (див. рис.3):

(21)

Особливості оптимального за швидкодією управляючого збудження аналогічні тим, що приведені вище для консервативного КОУ з врахуванням добутку зростаючої експоненти на синусоїду.

У четвертому розділі дисертації проведено графо-аналітичний аналіз оптимальних за швидкодією режимів перехідних процесів ВПС МС з фазовим автопідстроюванням частоти.

Для дослідження та аналізу оптимальних за швидкодією режимів перехідних процесів на основі принципу максимума слід знайти аналітичні вирази для розрахунку всіх показників їх якості та побудувати криву управління фазових траєкторій як функцію часу. Ця задача зводиться до розв'язку дифрівняння (17) при довільних початкових умовах з врахуванням оптимального періодичного закону управляючого збудження . Як випливає з розрахунку оптимальний характер перехідного процесу можна представити в вигляді параметричних рівнянь по інтервалам оптимального управляючого збудження, оскільки цей розв'язок є справедливим для всіх інтервалів оптимального руху в часі. Тривалості інтервалів оптимальних режимів перехідних процесів знаходяться із оптимальних рішень шляхом визначення моментів інтервалів їх початку і закінчення. При цьому необхідно знайти координати всіх точок переключення управляючого збудження.

Для виявлення особливостей кінетики процесу спочатку виконаємо аналіз для консервативного КОУ з періодичним управлінням.

Розв'язок рівняння (17) для повного КОУ має форму:

(22)

Для управління запропоновано рівняння аналітичного виразу тривалості процесу, який потрібний для переходу ВТ з початкових координат () до кінцевих - в точку з координатами ():

(23)

Аналіз рівняння тривалості періодичного процесу (23) дозволив зробити два висновки: 1) число переключень управляючого збудження в залежності від початкової координати руху відображаючої точки може бути нескінченим, і, як наслідок, розрахунок тривалості оптимального руху в загальному випадку неможливий; 2) координати точок переключення управляючого збудження аналітично визначити практично неможливо. Правда, при цьому в точках на лінії переключення можливе визначення тривалості оптимального процесу шляхом вимірювання частини дуги лінії переключення або (див. рис.4). Дійсно будь-яке положення на цій лінії може перевести ВТ на ЗКГЦ максимум за с, так як довжини дуг півкіл або дорівнюють рівно .

В цьому випадку загальна тривалість оптимального за швидкістю режимів перехідного процесу може бути визначена із рівняння де тривалість s-го інтервалу.

Запропоновано метод "віяла січних" для визначення характеру режимів оптимальних за швидкодією перехідних процесів в системі з КОУ.

Побудовано алгоритм аналізу характеру режимів оптимальних за швидкодією перехідних процесів в повному КОУ ВПС ТКМ методом "віяла січних".

Логічний опис алгоритму визначення характеру перехідних процесів цим методом і його графічні представлення заключаються в наступному

1. Задаємо масштаби по координатах кривих та незалежної змінної t по керуючому впливу . Відмітимо, що права частина дифрівнянь (16) та (17) аналітично відображає функцію збурення (керування), у якості якої вибрано східчасту функцію . При функція дорівнює нулеві, а при - постійному значенню kU[1].

2. По осі ординат відкладаємо величину керуючого збурювання системи kU[1] і через отриману точку проводимо пряму, паралельну осі абсцис.

3. Визначаємо точку на отриманій прямій, яка знаходиться на відстані від осі ординат, рівній .

4. З'єднуємо початок координат із точкою і одержуємо точку 1 експоненти, яка знаходиться на перетині прямої з перпендикуляром, встановленим до осі абсцис наприкінці першого інтервалу часу . Точка 1 - це перша точка кривої , яку ми шукаємо.

5. Точка 1 приймається, як збурення для другої аперіодичної ланки. Далі вона зміщується на величину вправо паралельно осі абсцис. Отриману точку з'єднуємо прямою лінією з початком координат і на перетині її з перпендикуляром, зведеним з кінця першого інтервалу часу , на осі абсцис одержуємо точку . Ця точка є першою точкою кривої , яку ми шукаємо.

6. Визначаємо величину ординати , як відстань по вертикалі від точки до осі абсцис. Ця величина є значення від'ємного зворотного зв'язку, яким охоплено об'єкт управління.

7. Загальний зовнішній вплив, що діє на вхід першої ланки, визначається як сума величини керуючого впливу і величини (у випадку, який розглядається, ). В результаті підсумовування наприкінці першого інтервалу на прямій , одержуємо точку .

8. З'єднуємо прямою лінією отриману точку з точкою 1, в результаті чого на перетині з перпендикуляром, зведеним з кінця другого інтервалу часу , відкладеного по осі абсцис, одержуємо точку 2 вихідної координати першої ланки .

9. Побудова наступних координат кривих та відбувається за рахунок реалізації приписів в п.п. 5-8 запропонованого алгоритму.

10. Прямі а також утворять два “віяла січних” для визначення відповідних координат точок кривих та , які шукаються.

11. З'єднуючи між собою плавною кривою отримані точки 1, 2, 3 ... та визначаємо характер режимів перехідних процесів у системах з КОУ шляхом графічної побудови залежностей та .

12. По отриманим кривим і можна розрахувати різні кількісні показники перехідних процесів. Наприклад, тривалість перехідного процесу визначається сумуванням інтервалів часу , відкладених по осі абсцис.

Частота коливань визначається виміром (сумуванням по осі абсцис) величини періоду між двома однойменними екстремумами

Декремент загасання знаходиться по значенням двох сусідніх амплітуд і з виразу:

Розроблено та реалізовано графо-аналітичний метод побудови оптимальних за швидкодією режимів перехідних процесів в ВПС з СФАПЧ. Вихідними даними розрахунку є математичні моделі об'єкта управління (17), задані (експериментально виміряні) характеристики динамічних ланок об'єкта, відомий початковий і кінцевий стан об'єкта.

Розв'язок задачі заключається в побудові руху компонент вектора фазових координат та об'єкта в залежності від часу і визначенні всіх параметрів оптимальних по швидкодії режимів перехідних процесів.

Спочатку визначимо статичні характеристики динамічних ланок об'єкту управління в прямокутних системах координат і

Використаємо процедури п.п. 1-12 попереднього алгоритму з метою побудови перехідного процесу в інерційній ланці.

Далі у координатній системі (див. рис.5,б) будуємо характеристики інерційної ланки і оптимального управляючого збудження у виді двох прямих, паралельних осі абсцис і зміщених від неї в різні сторони на відстань, рівну .

На координатній площині будуємо статичну характеристику інтегруючої ланки - пряма, проведена з початку координат під кутом, рівним 45?.

Виконуємо масштабування фазових координат об'єкта управління і визначимо кути

та

Позначаємо початковий стан системи (15) точкою в першій координатній системі і 0 (початок координат) - у другій; а кінцевий - у відповідних системах.

Процес побудови будемо вести в обох координатних системах у двох зустрічних напрямках від початкового стану об'єкта управління до кінцевого і навпаки. Ця процедура відповідає прямому і зворотному руху ВТ у часі.

Наступні кроки графічного розв'язку поставленої задачі очевидні із побудов, які представлені на рис. 5,б. Кути нахилу променів побудови знаходяться: в першій координатній площині і - у другій.

Криві кінетики перехідних процесів фазових координат будуємо шляхом відкладання їхніх приростів на кожному інтервалі . Крива є фазовим портретом системи і використовується при синтезі оптимальної по швидкодії СФАПЧ.

Аналітична частина розрахунку закінчується визначенням моментів переключення оптимального керуючого впливу з на ; тривалості інтервалів Т1 і Т2 оптимального руху і всього оптимального перехідного процесу Топт=Т1+Т2 в цілому; а також координат точок переключення оптимального керуючого впливу.

Точка перетину координат на фазовій площині (див. рис. 5,б) є точкою переключення оптимального керуючого впливу з координатами , що відповідають закінченню першого інтервалу оптимального управління. Тривалість інтервалів оптимального управління Т1 і Т2 визначається сумуванням інтервалів часу .

В розділі 5 розроблено основні положення математичної теорії топологічних структур фазових площин оптимальних за швидкодією КОУ з періодичними по фазовій координаті управляючими збудженнями та проведено їх аналіз. В якості математичного підґрунтя використані теорія нелінійних коливань з поняттям граничних циклів, принцип максимума акад. Л.С.Понтрягіна та теорія оптимальних управлінь. Як технічні додатки розробленої теорії досліджені та проаналізовані картини оптимальних за швидкодією фазових траєкторій консервативних і повних КОУ другого порядку ВПС ТКМ і інформаційних інфраструктур з фазовим автопідстроюванням частоти.

Для консервативного КОУ аналітично визначена матмодель лінії переключення оптимальних за швидкодією управляючих збуджень та її графічне зображення. Для цього система рівнянь (15) представлена в вигляді

(24)

Після виключення часу із системи (24) та її інтегрування отримано рівняння фазових траєкторій на площині в формі:

(25)

Оптимальним примусовим траєкторіям на фазовій площині КОУ відповідають криві, які складають сімейства від управляючих збуджень

В кожному із сімейств є по одній фазовій траєкторії, кожна із яких закінчуються на одній із точок ЗКГЦ площини . Ці дві траєкторії із кожного сімейства переводять ВТ в точку ЗКГЦ. Позначимо їх символами при і - при . Об'єднання кривих і складає криву переключення управляючого збудження :

(26)

Аналітичний опис введених вище термінів сформульовано в вигляді визначень.

Визначення 1. Крива () є геометричним місцем точок на площині , які можуть бути переведені в точку ЗКГЦ з координатами за допомогою управляючого збудження ():

(27)

Рівняння (27) представляє циклічні кола з координатами центрів відповідно (+1, 0) і (-1, 0), як це видно з рис. 6.

Оскільки довжина дуги півкола дорівнює , то звичайно, що будь-яку відображаючу точку на дугах півкіл або можна перевести в точку ЗКГЦ при оптимальних управліннях або максимум за час с. Таким чином, стає зрозумілим, що - це множина станів, які можуть перевести в точку ЗКГЦ максимум за час с управлінням . Ця множина є геометричним місцем точок - півколами, які існують при . А для - аналогічно маємо при і .

Визначення 2. Крива () є множиною станів, які можуть перевести ВТ кривої () управлінням () до лінії переключення за час, який складає максимум с. Криві () складаються із дуг кіл відповідно з центрами (-1, 0), (+1, 0) довжиною , які закінчуються в точках кривої ()

Визначення 3. Крива () є множиною станів, які можуть перевести в точки дільниці лінії переключення () управлінням () за тривалість, що дорівнює . Вона складається із дуг півкіл з центром в точці (-2s-1,0) ((+2s+1,0)), s=1 і є півколом одиночного радіусу кола, який дорівнює [(-2s-1), s=1] ([(+2s+1), s=1] ) і розташований при ():

. (28)

Продовжимо побудову лінії переключення періодичного керуючого збудження. Припустимо, що множини і (де це множина станів), які можуть перевести ВТ максимум за час с управліннями і в точки відповідно кривих і :

(29)

(30)

Із виразів (29) і (30) легко отримати алгоритм побудови лінії переключення: якщо крива і - це геометричне місце станів, які можуть перевести за с в точки кривих і при управлінні відповідно та , то точки кривих та потрібно повернути відповідно біля центру (-1, 0), а біля центру (+1, 0) на кут, що дорівнює 180°.

Для пояснення специфічних особливостей топологічної структури консервативного КОУ з періодичними по фазовій координаті управляючими збудженнями вперше звернуто увагу на те, що з врахуванням періодичності управляючого збудження і коливальності самого об'єкту теорема про n інтервалів управління не працює. В об'єктах управління з власними значеннями матриці коефіцієнтів при змінних управляючих збудженнях можуть мати не більше n інтервалів оптимального за швидкодією руху, або n-1 переключень управління. В нашому дослідженні верхня границя числа переключень оптимального управляючого збудження не існує, тобто число переключень управляючого збудження може бути нескінченим. Ця специфіка накладає відмінні від відомих управлінь умови і методи отримання ліній переключення. Фазові траєкторії КОУ видозмінюються в двох ракурсах: 1) ізольовані розв'язки рівняння (25) будуть припасовуватися один до одного відповідно з оптимальним по швидкодії кусочно-постійним управляючим збудженням; 2) ізольовані розв'язки рівняння (25) і відповідні фазові траєкторії будуть періодичними в силу кусочно-періодичного управляючого збудження. В стаціонарному режимі оптимальні фазові траєкторії будуть закінчуватись на ЗКГЦ з забезпеченням коливань, які будуть примусовими за рахунок періодичного управляючого збудження.

Вказаний алгоритм побудови лінії переключення управління консервативним КОУ. Траєкторію лінії переключення можна представити наступним співвідношенням:

(31)

Множини точок

(32)

будуть розташовуватись відповідно вище і нижче від лінії переключення.

Геометрична побудова фазового портрету консервативного КОУ зводиться до наступного.

1. На заключному інтервалі оптимального за швидкодією руху ВТ рухається по півколу з координатами центра (+1, 0) лінії переключення при до точки з перетином замкненої кривої лінії переключення, тобто вона знаходиться на відрізку дуги АК, довжина якої менша довжини півкола.

2. В положення точки А ВТ потрапляє на лінію переключення з фазової траєкторії півкола ВА під впливом управління u=-1 з координатами центра (-1, 0). Дуга ВА дорівнює півколу з координатами центра (-1, 0) і радіусом, який дорівнює довжині між координатами цього центру і точки А. Проводимо дугу ВА.

...