Расчет аналоговых фильтров Чебышева и Баттерворта

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

Содержание

Введение

Задание на курсовую работу

1. Функциональна схема тракта записи и воспроизведения звука

2. ИКМ - Преобразование с передискретизацией

3. Расчет аналогового фильтра нижних частот (АФНЧ)

4. Расчет элементов схемы аналогового фильтра

5. Расчёт цифрового ФНЧ

Заключение

Список использованной литературы



Введение

В процессе выполнения курсовой работы будут рассмотрены фильтры Чебышева и Баттерворта, рассчитаны их порядки и построены их характеристики.

Во второй части курсовой работы будет произведен расчет звеньев аналогового фильтра.

В третьей части по аналоговому фильтру-прототипу будет определено затухание на граничной частоте полосы непропускания и найдены характеристики цифрового фильтра.



Задание на курсовую работу

запись звук фильтр затухание

В процессе выполнения задания необходимо:

а) привести структурную схему АЦП с передискретизацией и описать назначение каждого элемента этой схемы;

б) по данным таблицы 1 (в соответствии с вариантом) выбрать данные для расчета аналогового фильтра нижних частот (АФНЧ).

в) рассчитать минимальный порядок АФНЧ Баттерворта и Чебышева;

г) рассчитать с помощью программной среды MathCAD амплитудно- частотную (АЧХ), фазо-частотную (ФЧХ) характеристики и зависимость группового времени запаздывания от частоты (t(w)) для обоих типов АФНЧ;

д) сравнить полученные значения времени запаздывания с нормами для звуковых сигналов в радиовещательных трактах (таблица 2). Если полученные значения для АФНЧ Баттерворта удовлетворяют нормам, то переходите к выполнению пункта е). Если полученные значения для обоих типов АФНЧ не удовлетворяют нормам, то необходимо для АФНЧ Чебышева уменьшить требования к АФНЧ по A_min на 2-10 дБ пока требования не будут удовлетворяться и повторить расчеты;

е) произвести расчеты элементов схемы аналогового фильтра и составить

ж) для цифрового фильтра определить требуемое затухание на граничной частоте полосы непропускания, равной /_д/ 2

А'_тш = (60 - A_min) дБ, здесь A_min - рабочее затухание АФНЧ;

з) выполнить расчет АЧХ, ФЧХ и группового времени запаздывания x(w) для заданного вида цифрового фильтра нижних частот (ЦФНЧ) - таблица 3;

и) произвести анализ полученных результатов.



Таблица 1

№ варианта	14
fB, кГц	14
Атах? ДБ	1,4
Amin, дБ	16

Пояснения к обозначениям в таблице 1, 2, 3.

- f_B - верхняя частота звукового сигнала, соответствует граничной полосы пропускания ФНЧ (принимается в качестве нормирующей частоты);

- A_min - рабочее затухание на граничной частоте полосы непропускания АФНЧ (выбирается равной половине частоты дискретизации f_a из таблицы 3);

- А_тах - неравномерность затухания в полосе пропускания АФНЧ;

- - исходная частота дискретизации (f_fl > 2f_B);

- А'_тах - неравномерность затухания в полосе пропускания ЦФНЧ;

В таблице 2 заданы нормы на групповое время запаздывания (x_d) для ряда частот в соответствии со стандартами для трактов радиовещательных сигналов. В таблице 3 в строке «тип фильтра» букве 41 соответствует фильтр Чебышева 1-го рода.

Таблица 2

f, Гц	40	75	100	6400	7000	14000	15000
Td, мс	55	24	20	5	10	8	12

Таблица 3

№ варианта	14
fa, кГц	48
А' шах	1,5
Тип фильтра	41

1. Функциональна схема тракта записи и воспроизведения звука

Обобщенная функциональная схема цифрового тракта записи- воспроизведения, приведенная на рисунке 2.1, в равной мере относится как к магнитной, так и к оптической аппаратуре цифровой записи звука с мультиплексированием звуковых каналов [1].

В этой схеме на выходах АЦП формируются цифровые звуковые выборки с частотой дискретизации f_A. Число АЦП равно числу звуковых каналов записи N_k. На входах АЦП антиэлайзинговые фильтры нижних частот (ФНЧ) ограничивают верхнюю границу спектра входного сигнала величиной f _А /2 в соответствии с требованиями теоремы Котельникова.

Оперативные запоминающие устройства (ОЗУ) на выходах АЦП предназначены для временного сжатия выходных цифровых потоков при мультиплексировании звуковых каналов. В ОЗУ запись данных производится с частотой дискретизации f _А, а считываются они с частотой, которая в N_k раз выше. В ОЗУ на входах ЦАП восстанавливается исходная скорость цифрового потока.

В мультиплексоре (МП) формируется последовательность звуковых выборок из N_k каналов в единый цифровой поток для записи его на одну дорожку. В демультиплексоре (ДМП) при воспроизведении после помехоустойчивого декодирования осуществляется восстановление исходного числа каналов.

Помехоустойчивое кодирование производиться в кодере помехоустойчивого кодирования (КПК) для обеспечения возможности при воспроизведении обнаруживать и исправлять как одиночные ошибки, так и длинные выпадения сигнала или пакеты ошибок. Для этого при кодировании производится перемежение данных и вычисление проверочных символов.

При канальном кодировании (КК) осуществляется преобразование последовательности логических кодовых комбинаций в последовательность импульсов с дискретной модуляцией их длительности. Именно поток этих импульсов записывается на носитель записи. При канальном декодировании (КД) при воспроизведении записи из модулированной последовательности логических кодовых комбинаций.

При помехоустойчивом декодировании (ДНК) осуществляется деперемежение цифровых данных, обнаружение и исправление ошибок.

Рисунок 2.1 - Функциональная схема цифрового тракта записи и воспроизведения звука

Приведенная функциональная схема имеет обобщенный характер и для конкретных цифровых устройств записи-воспроизведения она может несколько отличаться. Это зависит, прежде всего, от числа и типа используемых оптических или магнитных головок. Г оловки могут предназначаться только для записи или воспроизведения или быть универсальными. Запись и воспроизведение могут выполняться раздельно или одновременно. В лазерных рекордерах обычно используется одна универсальная головка. В магнитооптических и магнитных дисковых рекордерах запись производится сразу на двух сторонах диска, поэтому могут использоваться 2 или 4 головки. В ленточных цифровых магнитофонах с вращающимися головками их число может быть также 2 или 4. В магнитофонах системы DASH с фиксированными головками их число достигает 48. Все это влияет на построение оконечной части функциональной схемы.

В зависимости от числа головок записи должна увеличиваться или уменьшаться скорость цифрового потока и линейная плотность записи цифровых данных на носитель.

Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразования (АЦП и ЦАП) при записи-воспроизведении звука обычно осуществляются с 16-разрядными кодовыми словами отсчетов ЗС с частотой дискретизации 44,1 или 48 кГц. При этом максимальное отношение сигнал-шум воспроизводимого сигнала равен 98 дБ. В последние годы для повышения качества кодирования многие фирмы повысили частоту дискретизации до 96 и даже до 192 кГц, а число разрядов в кодовых словах отсчетов сигнала выборки увеличился до 20-24. Правда, это было достигнуто за счет использования в АЦП и ЦАП дельта- сигма-модуляции с передискретизацией от 8 до 128 крат.

2. ИКМ - Преобразование с передискретизацией

В устройствах цифровой записи и воспроизведения звука важное место в обеспечении высоких качественных показателей занимают устройства аналого-цифрового и цифроаналогового преобразований (ИКМ кодеры и декодеры).

На входе АЦП и на выходе ЦАП расположены фильтры нижних частот (ФНЧ), ограничивающие спектр входных частот и устраняющие высокочастотные составляющие выходного сигнала соответственно.

Подавление сигнала ФНЧ на частоте, равной половине частоты дискретизации, должно быть не менее бОдБ. Крутизна ската ФНЧ получается при этом очень высокой (120 дБ\октаву). Для достижения таких значений крутизны должны быть созданы ФНЧ не менее чем 12-го порядка [2]. Такие фильтры имеют значительные недостатки, главным из которых является существенно нелинейная фазовая характеристика, а это приводит к заметным на слух искажениям аудиосигналов, проявляющихся в потере "прозрачности" звучания. Кроме того, такие фильтры получаются весьма сложными в изготовлении и настройке, а, следовательно, дороги.

Поэтому в ИКМ - кодере используется АЦП, работающий на повышенной частоте субдискретизации, что позволяет значительно снизить требования к крутизне ската аналогового ФНЧ. Для понижения частоты субдискретизации до необходимого значения f_R, на которой работают все устройства канала записи-воспроизведения, используются цифровой фильтр и дециматор, рисунок 3.1

Рисунок 3.1- Структурная схема ИКМ кодера

В состав ИКМ кодера входит фильтр нижних частот (ФНЧ), ограничивающий спектр входного сигнала и предотвращающий появление помех субдискретизации.

После фильтрации аналоговый сигнал подвергается дискретизации, квантованию и кодированию в АЦП, работающим на повышенной частоте субдискретизации /_Л\=п/_А.

Чем выше f_a\, тем ниже требования к входному ФНЧ, выше качество преобразования и сложнее (а, следовательно, и дороже) АЦП.

После АЦП ставится цифровой фильтр, осуществляющий фильтрацию сигнала. Он имеет параметры: частоту среза /_ср, неравномерность АЧХ в полосе аудиосигнала А_тах, подавление сигнала на частоте Уд/2 не менее A_min. Цифровой фильтр с такими параметрами предотвратит наложение спектров цифрового сигнала при дальнейшем понижении частоты субдискретизации.

После цифрового фильтра ставится дециматор, понижающий частоту субдискретизации Уд1 в п раз до необходимого значения f_R.

На рисунке 3.2 приведены частотные диаграммы преобразования спектров в кодере (в соответств. точках на рис. 3.1) для случая, когда п=4

тшшж

/а 2 /_а Ъ/_д 4 f_d 5 f_d f

Рисунок 3.2 - Диаграммы преобразования спектров в ИКМ кодере

Основной задачей ИКМ - декодера является преобразование цифрового сигнала в аналоговый, т.е. цифроаналоговое преобразование.

Чтобы преобразовать сигнал с выхода ЦАП в аналоговый, его необходимо пропустить через ФНЧ с высокой крутизной среза. При использовании аналоговых усилителей с ограниченной полосой пропускания и определенной нелинейностью передаточной характеристики, высокочастотные составляющие, содержащиеся в выходном сигнале ЦАП, при недостаточной фильтрации вызывают интермодуляционные искажения сигнала, заметные на слух.

Поэтому для снижения требований к крутизне спада амплитудно- частотной характеристики ФНЧ (а, следовательно, для повышения линейности его фазочастотной характеристики) поступают следующим образом:

- частота дискретизации на входе ЦАП увеличивается в несколько раз (обычно в 2-4 раза);

- сигнал фильтруется цифровым фильтром, стоящим перед ЦАП;

- аналоговый фильтр на выходе ЦАП (3...5)-го порядка имеет фазовую характеристику с хорошей линейностью, частоту среза 25-30 кГц и практически не искажает импульсный сигнал.

-

Рисунок 3.3 - Спектры сигналов и АЧХ фильтров при цифроаналоговом преобразовании с передискретизацией

Цифровой фильтр, стоящий перед ЦАП, должен также иметь высокий порядок, но выполнить его с линейной фазовой характеристикой сравнительно просто.

Рассмотрим принцип фильтрации с передискретизацией. Цифровой ИКМ - сигнал имеет периодический спектр: набор звуковых частот многократно повторяется с центрами на частотах /ц, 2/ц, 3/ц и т.д., где f_R - частота дискретизации (рисунок 3.3,а).

Преобразование ИКМ - сигнала в аналоговый заключается в удалении всех высокочастотных составляющих спектра цифрового сигнала, кроме самих звуковых частот (рисунок 3.3,в). Именно для этой цели у аналогового ФНЧ должен быть крутой спад (рисунок 3.3,6). Удалить высокочастотные компоненты с помощью цифрового ФНЧ до ЦАП непросто. Дело в том, что АЧХ цифровых фильтров также периодична и повторяется с частотой дискретизации. Если цифровой ФНЧ будет работать при частоте дискретизации входных данных /д, все высокочастотные компоненты останутся неподавленными. Поэтому и применяется передискретизация - увеличение частоты дискретизации с помощью специального устройства - интерполятора.

Если частота дискретизации увеличена, например, в 4 раза, цифровой ФНЧ, работающий на этой частоте, рисунок 4,г, может эффективно вырезать спектральные компоненты, прилегающие к частотам f_A, 3/ц, 5/_л и т.д. АЧХ цифрового фильтра будет повторяться с периодичностью 4/д и теперь неподавленными останутся спектры ИКМ - сигнала, примыкающие к частотам 4/д, 8/ц и т.д.

Так как эти неподавленные компоненты находятся очень далеко от граничной частоты звукового спектра (рисунок 3.3,д), то они легко подавляются с помощью простого аналогового ФНЧ, рисунок (3.3,е).

На практике интерполятор и цифровой фильтр часто реализуются в виде единого фильтра передискретизации.

Структурная схема ИКМ - декодера с передискретизацией изображена на рисунке 3.4.

Аналоговый

Цифровой

вход

1 - интерполятор; 2 - цифровой ФНЧ; 3 - ЦАП; 4 - ФНЧ

Рисунок 3.4- Структурная схема ИКМ-декодера

Недостаток передискретизации - необходимость использования более быстродействующих ЦАП.

3. Расчет аналогового фильтра нижних частот (АФНЧ)

Расчет предполагает выбор фильтра, обеспечивающего заданные требования с наименьшим порядком N и удовлетворяющего требованиям по групповому запаздыванию сигнала.

Поскольку групповое время запаздывания является производной от аргумента амплитудно-частотной характеристики фильтра (H(w)), то можно записать [1]:

^{T(“) = _(Јarg(H(“))) (1)}

Щоо) определяется через значения полюсов аппроксимирующих полиномов, количество и значения которых можно найти по следующему алгоритму:

1 Определение порядков фильтров Баттерворта и Чебышева.

Для заданных значений A_max, A_mj_n, со_п (нормированной частоты полосы непропускания f/2 деленной на f_B), для фильтра Баттерворта порядок фильтра находится по следующей формуле [1]:



^Nb 2xlg(aj_n) '

ГДе Ј = VlO°'^lxAmax -- 1 (3)

N_b присваивается целое значение, но не меньше расчетного, а для фильтра Чебышева [1]:

₁₀0,lxA_mj_n_₁

arccosh

arccosh(co_n)

2 Для фильтра, имеющего наименьший порядок рассчитывается зависимость т(ю) и строятся две зависимости на одном графике:

-- для фильтра Баттерворта [1]:

(5)

T_d:⁼*P((D) и T_b:='Pi(o)),

(6)

-- для фильтра Чебышева [1]: x_d:= \|/(со) и т_с:= \|/i(co),

где со нормированная относительно f_B частота (f/f_B).

x_d строится по данным таблицы 2 путем кусочно-линейной или сплайн интерполяции (в среде MathCAD), с учетом того, что со в таблице 2 в кГц равна f/Ю, где f- текущая частота в Гц;

3 Если для всех частот, приведенных в таблице 2

T_d > Т_с ИЛИ T_d > т_ь,

то фильтр удовлетворяет всем требованиям поставленной задачи. В противном случае необходимо произвести проверку по т(со) для другого типа фильтра (у которого порядок выше). Если и у него не удовлетворяются требования по групповой задержке, то можно сделать вывод, что при заданных значениях A_max, A_mj_n и ю_п данные фильтры не могут удовлетворять требованиям стандартов по групповому запаздыванию сигнала.

Фильтры Баттерворта обеспечивают максимально плоское ослабление в полосе пропускания (легче удовлетворить требования по А_тах и х(со), а фильтры Чебышева обеспечивают значительно большее рабочее ослабление A_mi_n чем фильтр Баттерворта при равных значениях А_тах и N.

Фильтры Бесселя позволяют получить наименьшее значение t(w), однако их частота среза зависит от порядка фильтра N и поэтому они не рассматриваются.

Расчет АФНЧ Баттерворта и Чебышева.

Исходные данные:

fv = 14 ¦ 10³ [Гц] -- верхняя частота звукового сигнала;

А_тах: = 1.4 [дБ] - допустимая неравномерность в полосе пропускания; A_min^{: =} 16 [дБ] - требуемое затухание на частоте среза Fc; fd = 48 ¦ 10³ [Гц] -- исходная частота дискретизации (fa > 2Гв); t(w) -- групповое время запаздывания сигнала.

fd/2

wn: = -- нормированная частота;

IV

АФНЧ Баттерворта

Определим неравномерность в полосе пропускания (по формуле 3):

е: = Vl0^{o lxA}_max - 1 = 0.617

Рассчитаем АЧХ фильтра.

р(ш): = j х со

ш:= 0.003,0.005,0.007 ...1.07

1

k_ob := - = 1.621 Ј

По формуле (2) определим порядок фильтра:



N_b: = ceil(N_b) = 5 ;

fi, 2xk-i\

Pb(k): = e^]X7IX(^{2 2xN}b/;

Передаточные функции тогда можно найти [1]: Н_Ь(0>) := ^к"^Ь *

Пк(р(“)-рь(к))'

Рисунок 4.1 - АЧХ фильтра Баттерворта

Найдем рабочее затухание фильтров [1] (рисунок 4.2): LAb(w) := 20-log(|Hb(w)|)

Рисунок 4.2 - рабочее затухание фильтра Баттерворта



Построим ФЧХ фильтра (Рисунок 4.3) pAb (w) := ^arg^(Hb(w)).180

Рисунок 4.5 - Сравнение с нормами на групповое время запаздывания

АФНЧ Чебышева

Определим неравномерность в полосе пропускания (по формуле 3)

е: = V 10°-^lxAmax - 1 = 0.617

N_c: = ceil(N_c) = 3

Рассчитаем АЧХ фильтров. p(jw): = j X со

к := 1.. N_f

k_n := - = 1.557



Рисунок 4.6 - Нормированная АЧХ фильтра Чебышева

Рабочее затухание фильтра (Рисунок 4.5)

LAc(w) := 20- log( | HA(w) |)

Рисунок 4.7 - Рабочее затухание фильтра

ФЧХ фильтра (рисунок 4.6)

ТС

С

Рисунок 4.6 - ФЧХ фильтра



Рисунок 4.8 - групповое время запаздывания

По графикам группового времени запаздывания, можно определить, что АФНЧ Баттерворта и Чебышева удовлетворяют заданным условиям, однако, т.к. порядок фильтра Чебышева меньше порядка фильтра Баттерворта (Nc=3<Nb=6), дальнейшие расчеты производятся для АФНЧ Чебышева.

4. Расчет элементов схемы аналогового фильтра

Обычно активные фильтры формируются в виде каскадного соединителя четырехполюсников, обладающих относительно простой структурой и называемых звеньями ARC - фильтра (рисунок 5.1) [1].

Рисунок 5.1- Звенья ARC - фильтра

При этом степень передаточной функции отдельного звена не превышает числа 2. Поэтому при нечетном числе звеньев в фильтре N, одно звено фильтра будет первого порядка.

Фильтр нижних частот первого порядка может быть реализован, если в цепи обратной связи операционного усилителя использовать пассивный RC- фильтра первого порядка (рисунок 5.2 [1]).

С

Рисунок 5.2 - Активный фильтр нижних частот первого порядка

На рисунке 5.3 представлена схема ARC - фильтра нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью.

Рисунок 5.3 - Активный фильтр нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью.

Фильтр Чебышева третьего порядка может быть реализован одним звеном с передаточной функциями второго порядка и одним звеном с передаточной функцией первого порядка.

Запишем общую передаточную функцию, для четырехполюсника:

U(-yj') = ^

(р--Pi)(P--р2)(р--рз)'

где ко - константа нормирования, а полюса функции р_ь р₂ и рз найдены.

P(l) = 0.216+ 0.944i P(2) = 0.433 P(3) = 0.216- 0.944i

Для реализации звена второго порядка с передаточной функцией 1

H_D{p) = h

b₂p²+b_lp + b₀

G\Gt,

НЛр) =

р²С₂С₃ + рС₂ (Gj + G₃ + G₄)+ G₃G₄

НЛр)=^Сх°^ъ

C₂C₃ p² + p{g_{ +g₃ +g₄)/c₃ +g₃g₄/c₂c₃

Приравнивая коэффициенты при p, и свободные члены этих передаточных функций, получаем три уравнения с шестью неизвестными:

G.G

- = 0.093

Г С

2 3

(Gi +G₃+G₄)_

= 0.649

с= 0.093

g₃g₄ С2С3

Поскольку искомых величин больше, чем уравнений, зададимся частью из них. Выберем приемлемые значения проводимостей G_b G₃ и G₄ равными 10" см, то есть

Ri = R₃ = R4= IkOm.

Далее из 2-го и 3-го уравнений получаем:

= 4.6-10“

_с _ (l +1 +1) * 10 ³ _ ³ 0.649

₌ --10 -10 - = 2.3*10^_3

0. 093- 4.6 -10“³

= 22.8 нФ = 24 нФ (по ряду Е24),

Ј _ С2 _ 2.3-10~³

^{2 _} W_H ^_ 100.5-10³

С Сз _ 4.6-ю ³ _{= нф = 4? нф}, .

w_H 100.5-10³ "

где w_H=2Tif_n=2 ¦ 3.14 ¦ 16 ¦ 10³ = 100.5 ¦ 10³

Для реализации звена первого порядка с передаточной функцией 1

НЛр) = к

b,p + b₀

_ _ 2-^г10-10-⁶ _2-я--10-10-⁶ _

Q^{- -}-О.бнФ I нФ (_по р_Яду Е24)

100.5 * 10

Расчет элементов схемы аналогового фильтра закончен.



5. Расчёт цифрового ФНЧ

Для цифрового фильтра определить требуемое затухание на граничной частоте полосы непропускания, равной f _А /2

^min -- -- A_mj_n);

здесь A_min - рабочее затухание АФНЧ.

A'_m)n = (60 - A_mIn) = (60 - 16) = 44 дБ

Проектирование цифровых фильтров включает пять основных этапов

1 Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов цифрового фильтра, при которых фильтр удовлетворяет требованиям к временным либо частотным характеристикам.

2 Выбор структуры (формы реализации) цифрового фильтра.

3 Задание разрядностей коэффициентов фильтра, входного и выходного сигналов и арифметических устройств.

4 Проверка с помощью математического, либо имитационного моделирования соответствия характеристик разработанного ЦФ заданным.

5 Аппаратная либо программная реализация цифрового фильтра.

Подобно расчету аналоговых фильтров, расчет цифровых фильтров, включает в себя процесс нахождения подходящей передаточной функции, которая должным образом удовлетворяет предъявленным требованиям.

Расчет цифровой цепи по заданным требованиям к ее характеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличия обратной связи.

Цифровые фильтры в зависимости от обратной связи бывают рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ).

Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

— нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;

— мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у РФ;

— для НФ проще вычисление коэффициентов.

Недостатки нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

_ рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику без отбрасывания ее «хвоста»;

— схемная реализация РФ намного проще, чем у НФ;

— рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще нереализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.

В простейшей нисходящей дискретной системе использование РФ может оказаться более предпочтительным при минимизации емкости оперативной памяти или объема оборудования.

Исходя из вышесказанного, используется рекурсивный цифровой фильтр.

Расчет рекурсивных фильтров косвенным методом состоит из следующих двух этапов.

1. Получение подходящей передаточной функции аналогового фильтра - прототипа Н(р).

2. Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию Н(р) аналогового фильтра в соответствующую передаточную функцию H(z) цифрового фильтра.

Назовем основные методы преобразования аналогового фильтра в цифровой [1]:

— инвариантного преобразования импульсной характеристики;

— отображения дифференциалов;

— билинейного преобразования;

— Z- форм.

Для расчета наиболее подходящим простым и широко используемым является метод билинейного преобразования передаточной функции Н(р) аналогового фильтра - прототипа в соответствующую передаточную функцию H(z) РЦФ.

Метод билинейного преобразования представляет собой конформное отображение точек р - плоскости в точки на z - плоскости и использует замены вида [1]:

р ₌ 2.(^1).

Т (z+1)

где Т - период частоты дискретизации, на которой работает цифровой фильтр.

Билинейное преобразование обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Н(р) аналогового фильтра - прототипа в передаточную функцию Н( z) цифрового фильтра:

H(z)=H(p)

Каждой точке комплексной р - плоскости (р = a +jw) ставится в соответствие определенная точка z - плоскости (z = exp(a+jw)T).

Мнимая ось р - плоскости (р = jw) для (-оо< w < оо) отображается в единичную окружность в z - плоскости (z = exp(jwT)). Левая половина р - плоскости отображается в часть z - плоскости внутри единичного круга (|z| < 1).

Очень важными являются два обстоятельства.

Во - первых, поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра расположены в левой половине р - плоскости, то при преобразовании аналогового фильтра к цифровому получается также устойчивый фильтр.

Во - вторых, так как мнимая ось р - плоскости отображается на единичную окружность z - плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ |H(jw)| аналогового фильтра сохраняется и в АЧХ |H(e^Jw!:)| цифрового фильтра.

Сохраняется также неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот.

Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры.

Соотношение между «аналоговыми» частотами Q и «цифровыми» частотами w определяется уравнением [1]

^П = (?)'^{8(т¦) = (|) ' tg(Ttcon);

где w_n = w/w_D - нормированная относительно частоты дискретизации «цифровая» частота.

Перечислим последовательность этапов расчета ЦФ методом билинейного преобразования.

1 Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ в соответствующие требования к АФ, применяя формулу:

где w - реальная частота, т.е. частота проектируемого ЦФ,

Q, - расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ.

2 Рассчитать передаточную функцию Н(р) аналогового фильтра- прототипа, применяя методы расчета аналоговых фильтров.

3 Определить передаточную функцию ЦФНЧ (H(Z)) по известной Н(р).

4 Построить схему ЦФ по H(Z).

5 Выполнить необходимые расчеты по учету эффектов конечной разрядности.

Рассчитаем ЦФНЧ Чебышева

1

Т: = --- = 0.292 -- период дискретизации 2 wn

L := 100 -- количество шагов;

f_d: = 48 * 10³ [Гц] -- частота дискритизации;

f_c: = 22 ¦ 10³ [Гц] -- частота среза;

f_b := 14 ¦ 10³ [Гц] -- верхняя частота звукового сигнала;

к₀ -- константа нормирования;

К := 1/Т -- максимальная частота; о): = 0, K\L... К -- текущая частота;

A_min: = 44 [дБ] -- требуемое затухание на частоте среза F_p ;

A_max^: - 1-5 [дБ] -- допустимая неравномерность в полосе пропускания.

Рисунок 6.3 - ФЧХ

L(w) := 20 * log(|H(w)|)



w

Рисунок 6.5 - Усиление (затухание) прототипа и цифрового ФНЧ, дБ

P(w) := arg(H(w))

Рисунок 6.6 - ФЧХ аналогового и цифрового фильтров

Рисунок 6.7 - Групповое время запаздывания аналогового и цифрового фильтров

x(w) :=-| ^-arg(H(w)) j



Заключение

В ходе работы был произведен расчет аналоговых фильтров Чебышева и Баттерворта. Оба эти фильтра удовлетворяют заданным параметрам. Т.к. требуемый порядок фильтра Чебышева оказался меньше, то именно для него был произведен расчет элементов аналогового фильтра.

Также был произведен расчет цифрового фильтра Чебышева. Рассчитанный фильтр удовлетворяет заданным параметрам.



Список использованной литературы

1 И.А. Оболонин. Задания и методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине «Запись аудиосигналов»/СибГУТИ. - Новосибирск 2010. - 40 с.

2 В. П. Бакалов, А. А. Игнатов, Б. И. Крук. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для высших учебных заведений. М.:Радио и связь, 1989.-525с.

3 Г. П. Катунин, Г. Д. Мефодьева. Учебное пособие «Оформление конструкторских документов»./СибГУТИ. - Новосибирск, 2000. - 88 с.

Размещено на Allbest.ru

...