Расчет полосового фильтра для выделения главного "лепестка спектра" периодических радиоимпульсов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Электрические фильтры - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область.

Данная курсовая работа посвящена расчёту полосового фильтра для выделения главного “лепестка спектра” периодических радиоимпульсов. Фильтр рассчитывается в двух вариантах: по схеме пассивного LC-фильтра и по схеме активного RC-фильтра.

Фильтр аппроксимируется полиномом Чебышева. В ходе работы осуществляется его реализация, рассчитывается ожидаемая характеристика ослабления, а также приводится его схема.

1. Расчет полосового LC-фильтра

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рисунок 1.1) с параметрами: период следования импульсов ; длительность импульсов ; период несущей частоты ; амплитуда колебаний несущей частоты . Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания . Полное ослабление на границах полос непропускания . Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа (рисунок 1.2). Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

1.1 Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов

Прежде чем приступать непосредственно к расчету фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т.е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, взяв за основу рисунок 1.3.

Вначале находится несущая частота:

Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте , находится по формуле:

Рисунок 1.1 - Прямоугольные радиоимпульсы

Рисунок 1.2 - Схема подключения фильтра к источнику сигнала



Рисунок 1.3 - График амплитудного спектра периодических радиоимпульсов

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами , где - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

Учитывая, что:

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от :

Частоты гармоник, лежащих слева от , будут:



Амплитуды напряжения -ых гармоник находятся по формуле:

где:

- количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

Амплитуды напряжения i-ых гармоник:

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот, а значения рассчитанных амплитуды отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рисунок 1.4).

Обратим внимание на характерную особенность спектра, связанную с понятием скважности импульсов. Если скважность , т.е. отношение периода следования импульсов к длительности импульсов , равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. В данной курсовой работе скважность , т.е. в спектре нет отсутствующих составляющих.

1.2 Формирование требований к полосовому фильтру

Примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 85,714 кГц до 114,286 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра и соответственно (рисунок 1.5, б)

Граничную частоту полосы непропускания выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты . Этой частотой является частота . Следовательно,

Найдем центральную частоту ПП по формуле:

Рисунок 1.4 - График амплитудного спектра периодических радиоимпульсов

Рисунок 1.5 - Структурные характеристики ослабления ФНЧ и ПФ

Тогда граничная частота полосы непропускания будет:

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник и спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной - полного ослабления:

где - исходная разница амплитуд второй и третьей гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

Согласно:

Далее определим разницу амплитуд второй и третьей гармоник в децибелах:

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН:

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

1.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Найдем граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа по формулам:

Для унификации расчетов вместо угловой частоты вводят понятие нормированной частоты , где - нормирующая частота. Обычно в качестве выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Получаем значения нормированных частот:

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 1.6.

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП при и , когда из рассмотрения универсального соотношения:

Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения универсального соотношения для , но при и , т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева , поэтому:

После подстановки в формулу исходных данных и вычислений получим , что недопустимо, т.к. при достаточно точных расчетах значение должно лежать в пределах . При обращении за консультацией на кафедру, посоветовали изменить значение дБ. Тогда получим:

Пересчитанное значение . Расчетное значение необходимо округлить в бульшую сторону до целого числа. В данном примере принимает .

Таблица 1.1 - Полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа

	Порядок



Рисунок 1.6 - Требования к НЧ-прототипу

Пользуясь таблицей 1.1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде:

где - полином Гурвица, который можно записать через полюсы.

Производя вычисления, получим:



1.4 Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рисунок 1.2) составляется выражение для входного сопротивления :

Подставляя в выражение для значение и значение , после преобразований получим:

Формула для описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рисунке 1.2 фильтр, нагруженный на сопротивление , это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, выражение для преобразуется к виду:



после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: , , . Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение для можно записать в виде цепной дроби:



По полученной формуле составляем схему (рисунок 1.7), на которой ; ; ; .

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

Рисунок 1.7 - Схема ФНЧ

Рисунок 1.8 - Схема полосового фильтра

где - нормирующая частота; - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения для и значения и получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

1.5 Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотами полосового фильтра существует соотношение:

где находится по формуле:

На основании выражения для индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами:

а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами:



Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рисунке 1.7, может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рисунке 1.8.

Элементы этой схемы рассчитываются по вышеприведенным формулам:

2. Расчет активного полосового фильтра

2.1 Расчет полюсов фильтра

Требования к полосовому фильтру остаются теми же, что и к полосовому фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза фильтра можно воспользоваться результатами расчета фильтра, полученными в разделах 1.1ё1.3. Причем, не самой нормированной передаточной функцией , а только ее полюсами . Найдем полюсы денормированной передаточной функции ПФ по формуле:

где:

;

- полюсы передаточной функции НЧ-прототипа;

Сначала находим:

Затем сами полюсы:



Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции полосового фильтра, причем денормированной. Их значения удобно представить в виде таблицы 2.1.

Таблица 2.1 - Значения полюсов передаточной функции полосового фильтра

Номера полюсов	Полюсы

2.2 Формирование передаточной функции

Учитывая, что фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:

Коэффициенты в знаменателе выражения для находятся по формулам:

где - значение полюсов (Таблица 2.1). Например:

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 2.2.

Таблица 2.2 - Значения коэффициентов

Номер сомножителя	Значения коэффициентов

Подставляя найденные коэффициенты в выражение для получим:

2.3 Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рисунок 2.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 2.1, в виде:

Из вышеприведенного выражения видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (п.2.2) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем ; ; ; ; ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (п.2.2 и п.2.3).

Рисунок 2.1 - Схема ПФ на одном операционном усилителе

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (п.2.2):

В системе пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема.

Если принять , то решая систему, получим:

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же , получим:



Откуда:

Аналогично для третьего звена:

Откуда:

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений и в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

3. Проверка результатов расчета

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант - проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант - проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т.е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график или всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходным требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра. Очевидно, что всего фильтра будет:

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, эта формула позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в формуле (п.2.3) производится замена переменной вида , в результате чего получают выражение:

Находится модуль в виде:

Зная , легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

где:

В качестве числового примера выполним расчет первого звена фильтра.

Из раздела 2.3 берем значения элементов:

Подставляем эти значения в формулу для :

На частоте границы ПП находим . На частоте границы ПН находим . Кроме того находим на частотах и .

Аналогичные расчеты выполняем для второго и третьего звеньев. Ослабления рассчитываются по формулам для и . Все результаты сводятся в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 - Значения и

, кГц

Рисунок 3.1 - Зависимость ослабления фильтра от частоты



Рисунок 3.2 - Принципиальная схема активного полосового фильтра

Заключение

амплитудный радиоимпульс денормированный полосовой

В данной работе был рассчитан активный RC-фильтр (ARC-фильтр), удовлетворяющий следующим требованиями:

; ; ; ; ; ; ; аппроксимация передаточной функции - полином Чебышева.

В процессе выполнения курсовой работы была рассчитана ожидаемая характеристика ослабления фильтра, осуществлена его реализация и приведена принципиальная схема. Рассчитанный фильтр полностью удовлетворяет поставленным условиям.

Литература

1. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 1998. - 444с.

2. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 2000. - 589с.

3. Бакалов В.П., Рожков В.М., Сметанина М.И. Расчёт электрических фильтров. Методические указания и задание на курсовую работу - Новосибирск, 2002.

4. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 1986. - 544с.

5. Зааль Р. Справочник по расчёту фильтров. - М.: Радио и связь, 1983. - 752с.

Размещено на Allbest.ru

...