Система автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнения элементов системы

(0,04р² + 0,12р + 1)у = 2u,

(0,98p + 1)u = 12,0x,

x = 5,0 (1)

y₀ = 1,2 y

Требуется:

1) определить передаточные функции элементов САР и указать, каким типовым динамическим звеном является каждый из элементов; найти передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР;

2) построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы; пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определить устойчивость системы в замкнутом состоянии; если система устойчива, то рассчитать запас устойчивости по фазе и по амплитуде;

3) построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (асимптотическую амплитудно-частотную и фазо-частотную); определить критическое значение коэффициента усиления разомкнутой системы;

4) составить характеристическое уравнение замкнутой системы; воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица, определить устойчивость замкнутой САР и критическое значение коэффициента усиления системы в разомкнутом состоянии; результаты сравнить с полученными в пп. 2,3

Решение

1. Вычисляем все передаточные функции звеньев САР и определяем по их виду соответствующий ему тип динамического звена

W₁ (p) = = - колебательное звено (2)

W₂(p) = = - инерционное звено (3)

W₃ (p) = = 5,0 - пропорциональное звено (4)

W₄ (p) = =1,2 - пропорциональное звено (5)

Тогда передаточная функция разомкнутой системы равна:

W_p (p) = w₁ (p) w₂ (p) w₃ (p) w ₄ (p) = 5,0 1,2 =144 = K , (6)

Где К = 144 - коэффициент усиления разомкнутой системы, R(p) и Q (р) - соответствующие полиномы.

Передаточная функция замкнутой системы равна

W (p) = = =

= (7)

2. Для построения амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы по ее передаточной функции w_p (p) делаем в ней подстановку p = jw и полученную комплекснозначную функцию (комплексный коэффициент передачи) разделяем на вещественную и мнимую части (см./1/, стр. 145-146) :

W_p (jw) = U(w) + jV (w)

W_p (jw) = = = =

= K ; (8)

Т.е.

U(w) = ;

V(w) = ;

Для наглядности анализа свойств амплитудно-фазовой частотной характеристики избавимся от влияния конкретных значений коэффициентов усиления звеньев и системы в целом, для чего разделим полученное выражение для комплексного коэффициента передачи w_p (jw) на коэффициент усиления разомкнутой системы К. В результате получим скорректированную комплексную передаточную функцию

отличающуюся от функции w_p (jw) только масштабом К:

= + (9)

Следовательно, сопоставляя (9) с (8), получим

; (10)

;

Задаваясь поочередно рядом значений w, вычисляем соответствующие значения и (табл. 1).

Таблица 1

После этого строим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы в виде кривой

по вычисленным точкам. При этом учитываем, что амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому вычисляем ту ее часть, которая соответствует положительным частотам , а ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам может быть найдена как зеркальное отражение ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси.

Пользуясь критерием устойчивости Найквиста (см./1/, стр. 147), исследуем теперь вопрос об устойчивости системы в замкнутом состоянии.

Прежде всего, заметим, что согласно (6) характеристическое уравнение разомкнутой системы в нашем случае

(11)

имеет следующие корни:

,

(12)

Следовательно, характеристическое уравнение не имеет «правых» (положительных) корней (их число 1=0). Поэтому система в разомкнутом состоянии устойчива (согласно теореме Ляпунова, /1/, стр. 122). Далее, критерий Найквиста заключается в том, что для устойчивости замкнутой системы ее кривая W(jw) должна охватывать точку (-1,j0 ) при обходе в положительном направлении Ѕ раз. Следовательно, в данном случае замкнутая САР будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы w_p(jw) не охватывает точку (-1, j0), или, что то же самое, кривая w_p(jw)= w_p(jw)/К не охватывает точку

Видно, что кривая рис.2 один раз охватывает точку (-1/К, j0)= (-0,025, j0). Следовательно, замкнутая система не является устойчивой согласно критерию Найквиста. Из этого, в частности, следует, что система не имеет запаса устойчивости ни по фазе, ни по амплитуде.

Для построения асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, прежде всего, определяем на графике сопрягающие частоты, определяемые по передаточным функциям отдельных звеньев САР:

для колебательного звена

(15.1)

для инерционного звена

(15.2)

Пропорциональные звенья 3 и 4 сопрягающих частот не имеют.

После определения сопрягающих частот на графике нужно отметить точку с координатами w=1, L(w)=20 lgK. Далее, через эту точку проводим низкочастотную асимптоту параллельно оси абсцисс, поскольку система не имеет астатизма (отсутствует интегрирующее звено, и как следствие, ее характеристическое уравнение не имеет нулевых корней); эта асимптота заканчивается на первой частоте сопряжения w₂=1,0204 c. Следующая асимптота проводится до частоты w₂ =1,0204 с^-1 с наклоном -20дБ на декаду (ее наклон отличается от наклона предыдущей линии на -20дБ/дек, поскольку частота w₂ создана инерционным звеном). Далее, асимптота после w₁ имеет наклон -60 дБ/дек (ее наклон отличается от наклона предыдущей линии на -40 дБ/дек, поскольку частота w₁ создана колебательным звеном).

Найдем фазо-частотные характеристики отдельных звеньев САР, заменяя в из передаточных функциях (2)-(5) р на :

Тогда

)

Строим фазо-частотные характеристики отдельных звеньев САР и их сумму

Определение критического коэффициента усиления замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы выполняем графическим способом. Для этого находим частоту w_кр , при которой логарифмическая фазочастотная характеристика пересекает линию, соответствующую фазовому сдвигу -180: w_кр=5,297 с^-1

Затем определяем значение логарифмической амплитудно-частотной характеристики L(w) при частоте w_кр: L(w_кр)=27,8581, после чего находим К_кр из соотношения

L(w_кр)=20 lg (К/ К_кр),

Откуда

К/ К_кр=10*( L(w_кр)/20)=24,7119

К_кр=К/24,7119=144,0/24,7119=5,8271

- критическое значение коэффициента усиления, определенное по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Действительный коэффициент усиления заданной системы К=144 К_кр=5,8271 следовательно, замкнутая система находится в неустойчивом состоянии, что согласуется с выводом о неустойчивости системы, сделанным в п.2. Составляем характеристическое уравнение замкнутой системы путем приравнивания нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы

Q(p)+K,

или, подставляя в это уравнение выражения для Q(p) и , указанные в (6),

(0,04р²+0,12р+1)(0,98р+1)+К=0

Раскрывая скобки, приводим это уравнение к нормальному виду:

(16)

или записывая это уравнение в виде равенства нулю полинома 3-й степени общего вида

(17)

где, сопоставляя (17) с (16), имеем

(18)

Пользуясь критерием устойчивости Гурвица, определяем необходимые и достаточные условия устойчивости для системы 3-го порядка, которые заключаются в положительности коэффициентов характеристического уравнения а₀-а₃ (это условие очевидным образом выполняется) и в положительности всех определителей Гурвица, т.е. для системы 3-го порядка

из 2-го неравенства получим условие

(19)

Поскольку в выражения для коэффициентов а_i, вообще говоря, входит коэффициент усиления К, то неравенство (19) определяет область устойчивых значений К. Случай а₁ а₂ =а₀а₃ соответствует нахождению системы на границе устойчивости.

Подставляя уравнение (19) значения коэффициентов (18) , определим из него область устойчивых значений К_кр:

0,1576

отсюда К_кр =3,42-критическое значение коэффициента усиления.

Действительный коэффициент усиления заданной системы т.е. система находится в неустойчивом состоянии , что вновь согласуется с выводом о неустойчивом состоянии системы, сделанным в п. 2,3.

автоматический регулирование устойчивость частотный

Список используемой литературы

1. Теория автоматического управления: Учебник для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». в 2-ух ч. Ч.1 Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. воронова и др.- М.Высш.школа,1986.-367 с.

Размещено на Allbest.ru