Радиотехнические системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Оценка параметров сигнала, принимающих дискретные значения

2. Оценка параметров сигнала с непрерывной областью значений

3. Оценка параметров сигнала с помощью дискриминаторов

4. Потенциальная точность оценок параметров сигнала

5. Оценка параметров сигнала по наблюдениям дискретной выборки

6. Оценка информативных параметров сигнала при наличии случайных неинформативных параметров

Литература

Введение

Радиотехнические системы являются информационными системами, осуществляющими передачу, прием и обработку информации в интересах потребителя с использованием радиосигнала в качестве переносчика. Отличительной особенностью условий функционирования РТС является наличие радиоканала, под которым понимают совокупность источника радиосигнала, среды его распространения и приемника. Основное требование, предъявляемое к радиосистеме, состоит в достоверном и своевременном получении необходимой информации потребителем.

Математическим аппаратом, позволяющим оперировать случайными величинами и случайными процессами, является теория вероятностей и математическая статистика. Наиболее совершенные радиосистемы базируются на рекомендациях и выводах, полученных в статистической теории РТС.

1. Оценка параметров сигнала, принимающих дискретные значения

Небайесовское решение. Оценки максимального правдоподобия.

Оценки максимального правдоподобия отличаются от байесовских оценок отсутствием априорных вероятностей , . В случае оценки неэнергетических параметров сигнала получаем более простую схему, изображенную на следующем рисунке.

Данная схема включает набор корреляторов и блок определения максимального значения.

2. Оценка параметров сигнала с непрерывной областью значений

Прямые методы решения задач оценки параметров сигнала.

Если область возможных значений параметра сигнала непрерывна, то оптимальные оценки параметров сигнала ищутся в результате решения уравнений

Рассмотрим оценки максимального правдоподобия и запишем уравнение правдоподобия в развернутом виде

В ряде задач решение данных уравнений удается получить аналитически.

Оценка амплитуды радиоимпульса. Пусть сигнальная функция описывается соотношением:

Положим, что все параметры сигнала, кроме амплитуды А, известны. Амплитуда сигнала является энергетическим параметром, поэтому необходимо учитывать зависимость энергии сигнала Е(А) от амплитуды. Тогда уравнение правдоподобия принимает вид

Оно имеет решение

Из уравнения следует, что оптимальное устройство оценивания представляет собой коррелятор входного колебания с опорный сигналом S1(t)/Е 1.

Оценка начальной фазы радиоимпульса. Пусть теперь оцениваемый параметр - начальная фаза сигнала. Уравнение правдоподобия в этом случае запишется так:

Здесь учтено, что начальная фаза - это неэнергетический параметр, поэтому второе слагаемое в исходном уравнении опущено.

Выполнив в этом уравнении дифференцирование, находим

Схема оптимального устройства оценки начальной фазы сигнала приведена на следующем рисунке

Устройство оценки начальной фазы сигнала есть нелинейное устройство, прямой расчет характеристик которого достаточно сложен.

Оценка временного положения радиоимпульса по огибающей. Временное положение радиоимпульса может определяться по запаздыванию огибающей. Параметр запаздывания - это параметр неэнергетический. Поэтому уравнение правдоподобия можно записать в виде

Согласно этому выражению, в оптимальном измерителе осуществляется задержке от огибающей сигнала. При этом производная играет роль опорного сигнала. Нахождение решения этого уравнения может быть реализовано с помощью следующей схемы

Входная реализация запоминается. Для каждого значения 3 вычисляется и запоминается значение корреляционного интеграла на выходе интегратора схемы. Далее фиксируется такое значение 3, при котором значение отсчета на выходе интегратора переходит через значение "0". Это значение 3 принимается как решение задачи.

Таким образом, получена система последовательного поиска по оцениваемому параметру. Недостатком данного метода является необходимость запоминания наблюдаемой реализации и большая длительность процедуры последовательного поиска.

Альтернативным решением является дискретизация непрерывной области возможных значений оцениваемого параметра и использование методов оценивания. При этом получается многоканальная система оценивания, которую можно интерпретировать как систему параллельного поиска по оцениваемому параметру.

Оценка частоты радиоимпульса. Пусть оцениваемым параметром является частота принимаемого сигнала. Запишем уравнение правдоподобия

Данное уравнение не решается аналитически относительно искомой оценки . Поэтому оптимальный измеритель должен находить корень уравнения путем перестройки частоты опорного сигнала и вычисления для каждого значения частоты корреляционного произведения. Таким образом, получаем систему последовательного поиска по частоте сигнала. Рассмотрим вопрос о возможной реализации такой системы. Для этого представим уравнения правдоподобия в виде

где - расстройка по частоте.

Поиск решения уравнения может быть реализован устройством, схема которого приведена ниже



Другой возможный вариант построения устройства оценки параметров сигнала основан на использовании понятия дискриминатора.

3. Оценка параметров сигнала с помощью дискриминаторов

Уравнение правдоподобия можно решать каким-либо итерационным методом, например методом Ньютона. Суть любого итерационного решения произвольного уравнения вида заключается в следующем. Это уравнение приводится к виду . Выбирают некоторое начальное приближение и вычисляют последовательные приближения

... .

Итерационный процесс продолжается до достижения требуемой точности решения.

Устройство, выделяющее информацию о рассогласовании между оценкой параметра и его опорным значением, в радиоавтоматике принято называть дискриминатором. Определим дискриминатор выражением

и запишем формулу

Из курса радиоавтоматики известно, что малых фиксированных рассогласованиях

м -

среднее значение процесса на выходе дискриминатора определяется выражением

.

Введем дискриминатор с нормированной характеристикой,

который иногда называют оптимальным дискриминатором.

Тогда оценка максимального правдоподобия может записана в виде

м =.

Формулы и м определяют сущность метода нахождения оценок параметров сигнала с помощью дискриминаторов.

4. Потенциальная точность оценок параметров сигнала

Под потенциальной точностью оценок параметров радиосигнала понимают нижнюю границу Рао-Крамера для дисперсии ошибки оценки неслучайного параметра, т.е. оценки максимального правдоподобия. Потенциальная точность характеризует тот предел точности оценивания, который может быть достигнут только в результате обработки наблюдаемой реализации , т.е. без учета априорной информации. Потенциальная точность оценки векторного параметра характеризуется корреляционной матрицей ошибок , обратно пропорциональной информационной матрице Фишера, элементы которой вычисляются как среднее значение вторых производных от функции правдоподобия по оцениваемым параметрам. небайесовский дискретный радиоимпульс

Потенциальная точность оценки амплитуды радиоимпульса.

Подставляя в общую формулу для отношения правдоподобия выражение, описывающее радиоимпульс, запишем

.

Дифференцирование этого выражения дважды по А приводит к следующему выражению для потенциальной точности:

Потенциальная точность оценки начальной фазы радиоимпульса.

Дифференцируя формулу (*) дважды по , получаем

Отсюда следует, что потенциальная точность оценки начальной фазы определяется отношением энергии сигнала к спектральной плотности аддитивного шума и не зависит от формы сигнала.

Потенциальная точность оценки задержки радиоимпульса по огибающей.

Для расчета потенциальной точности оценки задержки радиоимпульса по огибающей необходимо (*) дважды продифференцировать по . Прежде всего заметим, что последнее слагаемое в этом выражении представляет собой энергию сигнала. Если весь радиоимпульс находится в пределах интервала наблюдения , то его энергия не зависит от временной задержки. Поэтому производная от этого слагаемого равна нулю. Следовательно получаем

Для проведения дальнейших вычислений запишем выражение

которое не зависит от , если радиоимпульс находится внутри интервала наблюдения . Продифференцируем (**) два раза по

С учетом этого получаем следующее выражение для потенциальной точности задержки радиоимпульса

Эта формула известна под названием формулы Вудворда для дисперсии оценки задержки сигнала. Из этой формулы следует, что потенциальная точность оценки временного запаздывания обратно пропорциональна величине отношения сигнал/шум q.

Рассмотрим смысл параметра . Введем комплексный спектр сигнала и воспользуемся известными соотношениями



Тогда формула для преобразуется к виду

Из данного выражения следует, что нормированный второй момент энергетического спектра, часто используемый в качестве меры ширины частотного спектра сигнала.

С учетом этого следует, что потенциальная точность оценки временного запаздывания огибающей радиоимпульса обратно пропорциональна квадрату ширины спектра сигнала.

Потенциальная точность оценки задержки радиоимпульса по огибающей и фазе сигнала.

Наиболее точно решение задачи оценки задержки радиоимпульса получается, если информацию извлекать как из задержки огибающей, так и из фазы сигнала. Потенциальная точность оценивания в этом случае равна

Потенциальная точность оценки частоты сигнала.



Частота сигнала, также как и его фаза, является неэнергетическим параметром. Поэтому при дифференцировании (*) по частоте последнее слагаемое можно не учитывать. Тогда для соответствующей производной получаем следующее выражение

Введем параметр

представляющий собой среднеквадратическую длительность сигнала. Тогда потенциальная точность оценки частоты определяется выражением

Таким образом, потенциальная точность оценки частоты обратно пропорциональна отношению сигнал/шум и квадрату среднеквадратической длительности сигнала.

5. Оценка параметров сигнала по наблюдениям дискретной выборки

Рассмотрим задачу оценки параметров сигнала, когда на интервале наблюдается выборка, состоящая из К равномерно отстоящих друг от друга отсчетов

Учитывая, что все положения статистической теории решений справедливы как для непрерывной, так и дискретной выборки наблюдений, можно утверждать, что структура оптимальных оценок при переходе от непрерывных наблюдений к дискретным не меняется. Поэтому байесовской оптимальной оценкой для квадратичной функции потерь является оценка условного среднего. Оптимальной байесовской оценке при простой функции потерь соответствует такое значение оцениваемого параметра, при котором апостериорная ПВ достигает максимального значения.

При оценке параметров, принимающих значения из непрерывной области, оптимальные байесовские оценки для простой функции потерь находятся из условия

Оценка амплитуды радиоимпульса.

Оценка максимального правдоподобия амплитуды сигнала определяется выражением

Оценка начальной фазы радиоимпульса.

Для оценки максимального правдоподобия начальной фазы сигнала имеем

Аналогично решаются и другие задачи оценки параметров сигнала.

6. Оценка информативных параметров сигнала при наличии случайных неинформативных параметров

Рассмотрим более общую задачу, когда сигнал кроме информативных параметров , подлежащих оценке, содержит случайные неинформативные параметры . В качестве неинформативных параметров, чаще всего, выступают начальная фаза и/или амплитуда а сигнала, т.е.

Полагаем, что заданы априорные ПВ , в частности, распределение начальной фазы - равномерное, а амплитуды - рэлеевское.

Будем искать решение в форме оценок максимального правдоподобия. Общий подход основан на рассмотрении уравнения правдоподобия, в котором отношение правдоподобия должно быть определено для рассматриваемой задачи, т.е. для наблюдения сигнала, содержащего неинформативные параметры.

Оценка параметров сигнала со случайной начальной фазой.

Усредненное по фазе сигнала отношение правдоподобия определяется формулой

Оценка амплитуды радиоимпульса со случайной начальной фазой.

Дифференцируя по а и учитывая, что для радиоимпульса ,

а ,

где - функция Бесселя 1-го порядка от мнимого аргумента, из уравнения правдоподобия получаем



На рисунке приведена зависимость первого сомножителя от аргумента, откуда следует, что при справедливо приближенное равенство

Следовательно, при больших отношениях сигнал/шум оценка амплитуды радиоимпульса со случайной начальной фазой пропорциональна значению отсчета огибающей в момент времени Т на выходе квадратурного приемника.

Потенциальная точность оценки амплитуды определяется общим выражением которое при большом отношении сигнал/шум принимает вид

При большом отношении сигнал/шум точность оценки амплитуды сигнала со случайной начальной фазой и сигнала с известной фазой совпадают. Иная ситуация имеет место при малых отношениях сигнал/шум, когда точность оценки амплитуды сигнала со случайной фазой становится заметно хуже точности оценки сигнала с известной фазой.

Оценка задержки сигнала со случайной начальной фазой.

Рассмотрим задачу оценки задержки огибающей сигнала вида

где а - известная амплитуда, - случайная начальная фаза; - огибающая сигнала, - оцениваемая задержка сигнала.

Отношение правдоподобия в рассматриваемой задаче определяется формулой, в которой огибающая сигнала определяется следующими соотношениями

Так как от оцениваемого параметра зависит только огибающая сигнала, то уравнение правдоподобия конкретизируется в виде

Дифференцируя соотношения выше по и приравнивая числитель полученного выражения нулю, приходим к следующим соотношениям:



Схема, реализующая устройство обработки наблюдаемой реализации приведена на рисунке

В схеме присутствуют два квадратурных канала, характерных при приеме сигнала со случайной фазой. В каждом из квадратурных каналов есть ветвь свертка наблюдаемой реализации с опорным сигналом , равным производной огибающей по задержке.

Оценка параметров сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой.

Усредненное по амплитуде и фазе отношение правдоподобия определяется выражением

- огибающая сигнала на выходе оптимального квадратурного приемника.

Из приведенной формулы видно, что если оценивается неэнергетический параметр сигнала, то уравнение правдоподобия приводится к виду, совпадающему с т.е. фактически анализируется огибающая Х(Т).

Литература

1. А.И. Перов. Статистическая теория радиотехнических систем. Учебное пособие для вузов. - М.: Радиотехника, 2003.

Размещено на Allbest.ru

...