Разработка цифрового фильтра нижних частот

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет заочного обучения

Кафедра систем телекоммуникаций

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему: РАЗРАБОТКА ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ

по дисциплине: Методы и устройства формирования и обработки телекоммуникационных сигналов

Студент: Ергаев Михаил Юрьевич

Руководитель: Овсянников В.А.

Минск 2013

СОДЕРЖАНИЕ

1. НАЗНАЧЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФНЧ, ИСХОДНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ КП (АЧХ,ФЧХ) И ИХ ФИЛЬТРА

2. ПРОБЛЕМЫ РАЗРАБОТКИ АНАЛОГОВЫХ ФНЧ

3. ВАРИАНТЫ И ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ФНЧ

4. МЕТОД ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРОК (КИХ- и БИХ-ФИЛЬТРЫ)

5. МЕТОД БЫСТРОЙ СВЕРТКИ

6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ. ОСОБЕННОСТИ ПРОХОЖДЕНИЯ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ

1. НАЗНАЧЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФНЧ, ИСХОДНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ КП (АЧХ, ФЧХ) И ИХ ФИЛЬТРА

Часто в радиотехнических устройствах оказывается необходимым пропускать токи всех частот от нулевой до некоторой частоты f_с, называемой частотой среза, а все токи более высоких частот задерживать. Для этой цели используют фильтры нижних частот (ФНЧ).

ФНЧ - устройства, которые осуществляют передачу сигнала с входа на выход с минимальным ослаблением, частоты которого не превосходят заданной граничной частоты f_с.

Реализация фильтров нижних частот может быть разнообразной, включая электронные схемы, программные алгоритмы, акустические барьеры, механические системы и т. д.

В настоящее время ФНЧ нашли очень широкое применение. Они распространены как элементы, подавляющие высокочастотные наводки в компьютерном оборудовании и периферии, цифровых схемах, аудио-, видеооборудовании и в других цифровых устройствах.

Также эти элементы используют для защиты от электромагнитных помех устройств, работающих в неблагоприятных условиях. Например - салон автомобиля и прочее.

С точки зрения разработчиков наиболее интересными являются силовые фильтры для работы в цепях переменного тока. Это связано с большим количеством коммутируемых импульсных помех, возникающих при включении или выключении мощных потребителей, которые способны привезти, например, к сбоям в работе компьютерных систем. Неправильная проектировка входных цепей приводит к проникновению высокочастотных составляющих в силовую цепь. Такие помехи приводят к трудноуловимым сбоям в работе компьютерных систем, в особенности, связанных со сбором данных от удаленных датчиков.

Также хотелось бы отметить большую роль ФНЧ в телевидении, где от формы передающей характеристики фильтра напрямую зависит качество воспроизводимого изображения и звукового сопровождения на телевизионном приемнике.

Частотные характеристики. Бывают АЧХ и ФЧХ. Поскольку при подаче на вход линейной системы синусоидального сигнала на выходе также появляется синусоидальный сигнал той же частоты, частотные характеристики связывают амплитуды и фазы этих сигналов.

АЧХ - отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала в зависимости от частоты.

ФЧХ - сдвиг фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты.

Частотные характеристики показывают как преобразуется синусоидальный сигнал в данной системе. Следовательно, воспользовавшись разложением Фурье для входного сигнала можно получить спектр выходного сигнала. Для этого спектр амплитуд умножают на АЧХ почастотно, а спектр фаз складывают также почастотно.

Связь между частотными, переходными и импульсными характеристиками. Импульсная характеристика связана с переходной интегрирования, потому что импульс - это производная от ступеньки. Частотная характеристика связана c импульсной преобразованием Фурье, так как частотная характеристика строится в частотной области, а импульсная - во временной.

цифровой аналоговый фильтр частота

2. ПРОБЛЕМЫ РАЗРАБОТКИ АНАЛОГОВЫХ ФНЧ

Идеальный фильтр нижних частот полностью подавляет все частоты входного сигнала выше частоты среза и пропускает без изменений все частоты ниже частоты среза. Переходной зоны между частотами полосы подавления и полосы пропускания не существует.

Идеальный фильтр нижних частот может быть реализован лишь теоретически с помощью умножения входного сигнала на прямоугольную функцию в частотной области, или, что даёт тот же эффект, свёртки сигнала во временномй области с sinc-функцией.

В аналоговом варианте идеальный ФНЧ должен иметь следующие КП и ИХ[6]:

(1)

(2)

Только такие характеристики могут обеспечить неискаженную передачу сигнала в низкочастотной области с граничной частотой F.

К сожалению, ФНЧ с такими характеристиками нереализуем. Видно, что ИХ при любом произведении 2Ft₀ >>1 имеет продолжение в отрицательной области (g₀(t)?0, t<0). Тем самым нарушается принцип причинности.

В практических разработках по ФНЧ [1,3] модель реализуемого фильтра задается с учетом минимизации параметра t₀ (симметрия ИХ игнорируется). В результате селективные свойства и фазовая характеристика существенно отличаются от идеальных.



Рисунок 1 - Характеристики идеального ФНЧ. а - АЧХ и ФЧХ; б - ИХ

Аналоговые электронные устройства предназначены для приема, преобразования и передачи электрического сигнала, изменяющегося по закону непрерывной (аналоговой) функции. В аналоговом электронном устройстве (АЭУ) каждому конкретному значению реальной физической величины на входе датчика соответствует однозначное, вполне определенное значение выбранного электрического параметра постоянного или переменного тока.

Недостатками АЭУ являются: низкая помехоустойчивость и нестабильность параметров, обусловленные сильной зависимостью свойств устройства от внешних дестабилизирующих воздействий, например температуры, времени (старение элементов), действия внешних полей и т.п.; большие искажения при передаче на значительные расстояния; трудность долговременного хранения результата; низкая энергетическая эффективность.



Рисунок 2 - Пример соответствия физической величины аналоговому электрическому сигналу

Рисунок 3 - Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ

При решении задачи аппроксимации, основными требованиями к проектируемым ФНЧ являются допуски на затухание в полосе заграждения и полосе перехода и неравномерность в полосе пропускания. В аналоговом варианте идеальных показателей добиться тяжело[2].

Аналоговые фильтры имеют ряд недостатков, по сравнению с цифровыми. Основные из них - надежность в работе и стабильность характеристик, обусловленные преобразованием непрерывного сигнала в дискретный.

3. ВАРИАНТЫ И ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ФНЧ

В цифровой фильтрации имеют дело с реализацией КИХ- и БИХ-фильтров (с конечной и бесконечной импульсными характеристиками соответственно).

Оба класса фильтров относятся к классу линейных систем с постоянными параметрами (ЛПП- системы), в которых входная Х_n и выходная У_n последовательности связаны отношениями типа свертки. Если обозначить через g_к отклик системы на единичный импульс (импульсную характеристику ЛПП- системы), то получим свертку вида:

, n=0, 1, 2 (3)

где Х_n, У_n - отсчеты входного и выходного сигналов; Х_n-k - выходной отсчет, задержанный на k интервалов дискретизации.

В КИХ- фильтре отсчет выходного сигнала определяется только значением входного сигнала.

В БИХ - фильтре - значениями входного и выходного сигналов.

Это хорошо видно из линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которые описывают данный класс дискретных систем. В общем виде разностное уравнение, описывающее БИХ - фильтр, имеет вид:

(4)

где М, N - постоянные целые числа; b_k, a_k - постоянные коэффициенты, описывающие конкретную систему; Х_n, У_n - отсчеты входного и выходного сигналов.

КИХ- фильтр задается уравнением:

(5)

Y_n=b₀·X_n+b₁·X_n-1+b₂·X_n-2++b_n·X_n-N+1 (6)

Итак, для построения систем цифровой фильтрации требуется эффективная реализация соотношения типа дискретной свертки, которая раскладывается на операции умножения и накапливающего суммирования, а также операции задержки.

Процесс проектирования цифровых фильтров включает следующие этапы:

1. Решение задачи аппроксимации.

На этом этапе определяются коэффициенты передаточной функции дискретного фильтра.

2. Разработка программной реализации.

На этом этапе разрабатывается программа реализующая алгоритм обработки сигнала.

3. Определение разрядностей кодов входного и выходного сигналов исходя из заданных требований к системе ЦОС.

4. Оценка характеристик программной реализаций.

На этом этапе выполняется анализ качественных характеристик программной реализации и проверка удовлетворения последних заданным техническим требованиям.

4. МЕТОД ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРОК (КИХ- и БИХ-ФИЛЬТРЫ)

Основу моделирования цифровых фильтров составляют методы временной и частотной выборки.

Метод временной выборки (т.е. метод выборок импульсной характеристики) иллюстрируется эквивалентной схемой ЛПП-системы:

Рисунок 4 - Структурная схема ЛПП - системы

Схема имеет вид нерекурсивного фильтра. Ее так же называют «схемой с многоотводной линией задержки» (при).

Характерным является то, что передаточная функция не имеет полюсов, поэтому данную схему называют фильтром без полюсов.

Такой фильтр является КИХ - фильтром (импульсная характеристика конечна по протяженности).

Схема следует из уравнения, отражающего передаточную функцию ЛПП - системы:

(7)

Уравнение вытекает из определения реакции ЛПП-системы на сумму воздействий (определение выходного сигнала по известным входным):

(8)

После z-преобразований левой и правой частей получаем:

D_y(z)=D_g(z)D_x(z)

Метод частотной выборки. При проектировании фильтров используют интерполяционную формулу Лагранжа. Значения передаточной функции рассчитываются в фиксированных точках Zk . Точки Zk удобно задать равномерно расположенными на единичной окружности:

k=0, 1N-1

В этом случае интерполяционная формула Лагранжа дает следующее уравнение:

(9)

Данный метод и структуру называют схемой на основе частотной выборки, так как исходными данными являются значения частотной выборки. Соответствующая ей структурная схема приведена на следующем рисунке:



Рисунок 5- Схема на основе частотной выборки.

Многочлен N-1 степени в (9) является достаточным приближением передаточной функции (1) при ограниченном Q, следовательно, схемы эквивалентны. Отметим особенность схемы, реализующей метод частотной выборки. В силу указанной эквивалентности в целом она не должна иметь полюсов. Следовательно, полюса параллельных звеньев должны компенсироваться нулями цепи с передаточной функцией . Однако реально в результате арифметических операций с конечной точностью этой компенсации полностью не происходит. Практически схема будет иметь нули и полюса, т.е. импульсная характеристика будет неограниченной (БИХ - фильтр).

Сравнительные характеристики фильтров обоих типов представлены в таблице:

КИХ Фильтры	БИХ фильтры
КИХ-фильтры могут иметь строго линейную фазовую характеристику. Следовательно, фильтр не вводит фазового искажения в сигнал, что важно во многих сферах, например, передаче данных, биомедицине, цифровой аудио обработке или обработке изображений.	Фазовая характеристика БИХ-фильтров нелинейна, особенно на краях полос.
КИХ-фильтры реализованы нерекурсивно, т.е. (что следует непосредственно из формулы (6.2)) они всегда устойчивы.	Гарантировать устойчивость БИХ-фильтров удается не всегда.
Для реализации фильтров используется ограниченное число битов. Практические последствия этого явления: шум округления и ошибки квантования
менее существенны для КИХ-фильтров	более существенны для БИХ-фильтров
Чтобы получить конечную импульсную характеристику с помощью фильтров с резкими срезами характеристики, потребуется больше коэффициентов, чем для получения бесконечной импульсной характеристики.
Следовательно, для реализации предложенной спецификации амплитудной характеристики с КИХ необходимо больше вычислительной мощности и памяти. Эффективность КИХ-реализаций можно значительно повысить, сыграв на вычислительной скорости БПФ и обработке при нескольких скоростях	Следовательно, для реализации предложенной спецификации амплитудной характеристики с БИХ необходимо меньше вычислительной мощности и памяти
Для получения КИХ-фильтров такое преобразование невозможно, поскольку для них не существует аналоговых прототипов. Впрочем, получать произвольные частотные характеристики на КИХ-фильтрах легче.	Аналоговые фильтры легко преобразовать в эквивалентные цифровые БИХ-фильтры, удовлетворяющие сходным спецификациям.
Получать произвольные частотные характеристики на КИХ-фильтрах легче.	Получать произвольные частотные характеристики на БИХ-фильтрах сложнее.
Синтез КИХ-фильтров алгебраически сложнее, если не использовать компьютерную поддержку разработки.	Синтез БИХ-фильтров осуществляется более простыми способами.
КИХ фильтры не рекуррентны. Это означает, что, пропустив через фильтр один и тот же сигнал, но с "обратным ходом времени", мы получим одинаковые результаты. (верно в случае симметричности коэффициентов)	БИХ-фильтры рекуррентны. Это означает, что, пропустив через фильтр один и тот же сигнал, но с "обратным ходом времени", мы получим, вообще говоря, разные результаты.

5. МЕТОД БЫСТРОЙ СВЕРТКИ

Выше рассматривались методы весовой обработки входной последовательности X(k) путем моделирования ЛПП - системы. Однако эта обработка может быть реализована непосредственно на основе вариантов теоремы о свертках с использованием быстрых алгоритмов преобразования Фурье.

Положим входная последовательность X(k) и импульсная реакция g(k) ЛПП- системы являются периодическими функциями (с периодом N отсчетов). Тогда имеем

 (10)

(11)

В силу теоремы о свертках для выходной последовательности:

(12)

В выражении (3) y(m) и связаны также дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и являются периодическими функциями (с периодом N).

В соответствии с (11) весовая обработка выполняется следующим образом:

1. находятся БПФ (по любому из алгоритмов) входной последовательности и импульсной реакции

2. результаты перемножаются и вычисляется ОБПФ.

3. в итоге получается выходная последовательность y(k).

Реализацию метода можно представить следующей схемой:

X(k)

Y(n)

g(k)

Рисунок 6. Схема метода быстрой свертки

Особенностью процедуры является то,что для вычисления БПФ необходимо «запомнить» все выборочные значения X(k), k=0,1,,N-1 входной последовательности. [4].

Различают алгоритмы с прореживанием по частоте и с прореживанием по времени:

1. Алгоритмами БПФ с прореживанием по времени называют алгоритмы, при реализации которых требуется перестановка (прореживание) отсчетов входной последовательности.

2. Алгоритмами БПФ с прореживанием по частоте называют алгоритмы, при реализации которых требуется перестановка (прореживание) отсчетов выходной последовательности.

6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ. ОСОБЕННОСТИ ПРОХОЖДЕНИЯ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотренные выше уравнения, характеристики, свойства относятся к дискретным системам, то есть к системам, в которых отсчеты обрабатываемого сигнала и параметры системы представляются с неограниченной точностью

Реальные процессоры цифровой обработки сигнала работают с двоичными числами конечной разрядности, а следовательно, и точности. Конечные разрядности имеют цифровые сигналы, коэффициенты, их произведения и суммы произведений, определяемые, соответственно, разрядностями АЦП, регистров, умножителей и сумматоров процессора.

Уменьшение разрядности повышает быстродействие и упрощает обработку, однако при этом возрастает ее погрешность, ухудшаются характеристики системы, а в рекурсивных фильтрах возможна и потеря устойчивости.

При синтезе и реализации цифровых фильтров возникают задачи оценки влияния и обоснованного выбора разрядности чисел.

Погрешность квантования, вызываемую ограничением разрядности чисел, определяют разностью их квантованного и точного значений:

e(n) = v_кв(n) ? v(n).

Полагается, что значения погрешности или отсчеты шума квантования e(n) равновероятны в пределах

? 2^?qд ? e(n) ? 0 при усечении

?( 2^?qд / 2 ) ? e(n) ? ( 2^?qд / 2 ) при округлении и характеризуются максимальным значением

,

дисперсией

и среднеквадратичным значением (СКЗ) ,

где з = 1 при усечении и Ѕ при округлении;

qд ? число сохраняемых разрядов дробной части числа;

2^?qд - вес единицы младшего разряда числа (ЕМР).

Решением задачи аппроксимации является определение коэффициентов ЦФ на первом этапе синтеза. Их точные значения ограничивают с помощью округления некоторым конечным числом двоичных разрядов q_к. Это приводит к изменению нулей и полюсов фильтра и отклонению его АЧХ и ФЧХ от заданной.

Минимально необходимую разрядность коэффициентов находят многократным расчетом АЧХ и ФЧХ для квантованных значений коэффициентов, исходя из допустимой степени отклонения указанных характеристик. Такой подход к оценке разрядности коэффициентов является наиболее простым, хотя и сопряженным с большим объемом вычислений на ЭВМ. Влияние конечной разрядности чисел связано с конкретными арифметическими операциями, реализуемыми в процессе обработки сигнала и зависит от способа представления чисел.

В быстродействующих ЦФ используют двоичные числа с фиксированной запятой, над которыми выполняют операции суммирования и умножения. Результаты этих операций могут превышать по разрядности исходные данные, что приводит в общем случае к переполнению разрядной сетки. Характер переполнения может быть различен в зависимости от вида чисел. Наиболее удобны в случае ЦФ числа в виде правильных дробей для отсчетов сигнала и смешанных дробей, содержащих целую часть ? для коэффициентов. При этом переполнения разрядной сетки слева возможны только в результате операции накопления сумм произведений, представляемых обычно в смешанном формате. Переполнения вызывают грубые погрешности и являются недопустимыми. Их можно предотвратить путем маштабирования сигналов в соответствующих точках фильтра.

В результате умножения отсчетов сигнала на коэффициенты фильтра возрастание разрядности происходит справа относительно разрядной сетки, т. е. в дробной части произведения. Это позволяет легко ограничить разрядность произведения или суммы произведений путем отбрасывания (с усечением или ограничением) необходимого числа младших разрядов. Очевидно, что ограничение разрядности произведений соответствует умножению с конечной точностью и приводит к погрешности обработки. Эту погрешность аналогично погрешности квантования АЦП называют шумом квантования или собственным шумом ЦФ. Ее случайный характер обусловлен априорной непредсказуемостью значений цифровых сигналов, циркулирующих в фильтре. Масштабирование сигналов в ЦФ осуществляют путем введения масштабных умножителей на входе фильтра или его отдельных звеньев для исключения возможного переполнения сумматоров (рисунок 7).

Рисунок 7 - Схема включения масштабных умножителей для каскадной формы реализации РФ

Масштабные множители (ММ) mi выбирают так, чтобы амплитуды сигналов на выходах сумматоров или звеньев v_i(n) (рисунок 8) при максимальном значении сигнала на входе фильтра x(n), равном единице (|x(n)|_max=1), не превышали по модулю некоторого максимального значения, принимаемого также обычно за единицу (|v_i(n)|_max=1).

Рисунок 8 - Схема для расчета масштабных множителей

При этом числа на входах сумматоров по модулю могут быть больше единицы и превышать значения суммы.

Масштабирование уменьшает уровни сигналов фильтра и ухудшает отношение сигнала к уровню шума квантования, не зависящему от уровня сигнала. Поэтому при выборе ММ и способов их введения необходимо учитывать и условие сохранения максимально возможного соотношения сигнал шум.

Размещено на Allbest.ru

...