Исследование характеристик случайных сигналов и их преобразования в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Казанский национальный исследовательский технический университет

им. А.Н. Туполева

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Кафедра радиоэлектронных и информационно-измерительной техники

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

Радиотехнические цепи и сигналы

На тему:

«Исследование характеристик случайных сигналов и их преобразования в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях»

Студента группы 5371

Никитиной Е.В.

Руководитель

Козлов В.А.

Казань 2015

Содержание

Задание

Введение

Генерация массива отсчетов случайного сигнала X(n) и определение длины выборки, при котором P максимально 6

Определение корреляционной функции R_x (kT) и энергетического спектра W_x (n?f) процесса X(n)

Представление приближенным аналитическим выражением случайного процесса X(n)

Фильтрация случайного процесса Y(n) в инерционной цепи

Вывод

Список использованной литературы

Задание

Исследовать характеристики и параметры случайного сигнала, их преобразование в процессе передачи сигнала через нелинейные безынерционные и линейные инерционные цепи.

1. Провести генерацию массива отсчетов случайного сигнала X(n) с равномерным законом распределения и заданными математическим ожиданием m_XN0 и среднеквадратическим отклонением ?_XN0. ПРИМЕЧАНИЕ: все пункты задания за исключением п.1.4. выполняются на ЭВМ с помощью программ "LNPSFM” или "LNPSS"

2. Изменяя длину исследуемого участка реализации N (1<= N <=1024) установить, как зависит от N степень соответствия статистических характеристик выборки: m_XN0, ?_XN0 и гистограммы теоретическим характеристикам процесса - m_XN0, ?_XN0, кривой p(x) равномерного распределения. Для определения вероятности P , с которой статистическое распределение выборки из N значений может считаться соответствующим теоретически равномерному распределению, использовать критерий ?2 Пирсона.

Определить длину выборки N₀ , для которой величина P будет максимальна. В дальнейшей работе использовать этот объем выборки.

3. Определить корреляционную функцию R _x(kT) и энергетический спектр W (n f ) процесса X(n) , построить их графики, указав реальный масштаб по осям времен и частот соответственно. Указать также на графиках правила определения интервала корреляции процесса и энергетической ширины его спектра. Найти параметры .Определить тип случайного процесса X(n) - широкополосный или узкополосный.

4. Аппроксимировать (представить приближенным аналитическим выражением) закон распределения случайного процесса X(n) . По найденной функции p(x) и указанной в задании нелинейной характеристике y = f (x) аналитически определить функцию p(y) - закон распределения отклика нелинейного безынерционного элемента на воздействие случайного процесса X(n) . Построить график функции p(y) .

5. Провести преобразование случайного процесса X(n) в безынерционной нелинейной цепи с указанной в индивидуальном задании нелинейной характеристикой y = f (x) . Для выборки из N₀ значений случайного процесса Y(n) определить параметры m_XN0, ?_XN0 , построить гистограмму, графики корреляционной функции R _x(kT) и энергетического спектра W (n f ), аналогично указаниям п.3. Сопоставить гистограмму с графиком функции p(y) . Указать, какие характеристики случайного процесса существенно изменились в результате его передачи через безынерционную нелинейную цепь.

6. Провести фильтрацию случайного процесса Y(n) цифровой моделью линейной цепи с указанными в индивидуальном задании характеристиками. Для выборки из N₀значений случайного процесса Z(n) определить параметры m_XN0, ?_XN0, построить гистограмму, графики корреляционной функции R _z(kT) и энергетического спектра Wz (n f ), аналогично указаниям п.3. Используя критерий ?2 Пирсона, определить, произошла ли нормализация случайного процесса Y(n) в результате его фильтрации в линейной цепи. Указать, какие характеристики случайного процесса Y(n) существенно изменились в результате его передачи через линейную цепь.

Параметры исходного сигнала X(n)

m_XN0 = -1,75 ?_XN0 = 1 Т = 0.0001 с

Вариант нелинейности 3.2

Параметры линейной цепи

Тип ФНЧ f0 = 1000 Гц Q = 0,707

Введение

Математическая модель изменяющегося во времени случайного сигнала называется случайным процессом. По определению, случайный процесс X(t) это функция особого вида, характеризующаяся тем, что значения, принимаемые ею в любой момент времени t, являются случайными величинами. До регистрации (до приёма) случайный сигнал следует рассматривать именно как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приёма сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени. Для анализа свойств и характеристик случайного процесса, а также различных его преобразований, необходимо задать математическую модель случайного процесса. Такая модель может представлять собой описание возможных реализаций случайного процесса в сочетании с указанием относительной частоты их появления.

Значения случайных сигналов не могут быть предсказаны с полной достоверностью (вероятностью P =1). Можно говорить лишь о вероятности P < 1, с которой сигнал X(t) примет то или иное значение x. Случайные процессы могут характеризоваться математическим ожиданием и дисперсией. Математическим ожиданием называется среднее значение случайной величины, а дисперсия характеризует рассеяние сигнала относительно его среднего значения. Если реализация случайного процесса X(t) задана в виде выборочной последовательности значений X_{i ,} где i = 1,2,3, … N, то математическое ожидание можно рассматривать как постоянную составляющую в спектре случайного сигнала, а дисперсию как среднюю мощность переменной составляющей (поскольку в радиотехнике случайные сигналы представляют собой случайно изменяющиеся во времени напряжение или ток) .

Одной из важнейших характеристик случайного процесса является плотность вероятности. P(х) - функция, которая показывает, насколько часто повторяется (по времени) то или иное значение Х. Например, для равномерного распределения все значения х в интервале от x _min до x _max встречаются одинаково часто, а для нормального закона

распределения чаще всего встречается значение x = m _1х .Для точного определения одномерной плотности случайного процесса необходимо исследовать реализацию бесконечной деятельности. На практике же всегда имеют дело с реализациями конечной деятельности T_с и при их изучении выборки берут всегда с конечным шагом T. Соответственно число отсчетов случайного сигнала N T / T c = , подвергаемых обработке, всегда конечно. Поэтому вместо плотности вероятности p(x) получают ее оценку в виде гистограммы.

Так же есть и другие не менее маловажные характеристики случайных сигналов.

· Энергетический спектр случайного сигнала W _{(x )} w показывает, как средняя мощность сигнала распределена по диапазону частот.

· Корреляционная функция случайного процесса R _{( x)} t является мерой внутренней связанности процесса в различные моменты времени, отстоящие на t , его свойства "помнить" предшествующие состояния.

Мной в данной курсовой работе были исследованы характеристики и параметры случайного сигнала и их преобразование в процессе передачи сигнала через нелинейные безынерционные и линейные инерционные цепи.

Генерация массива отсчетов случайного сигнала X(n) и определение длины выборки, при котором P максимально

Рассмотрим исходный сигнал. В моей работе начальный момент 1-го порядка m_XN0 = -1,75. Центральный момент второго порядка же (дисперсия) найдем исходя из того, что нам известно среднеквадратическое отклонение.

Dx=??_x^² = 1

Если реализация случайного процесса X(t) задана в виде выборочной последовательности значений X_i, где i = 1,2,3, … N, то

Так же нам очень важно в нашей работе найти плотность вероятности p(x) - функция, которая показывает, насколько часто повторяется (по времени) то или иное значение Х. Для равномерного закона распределения :

P(x)=1/( x_max-x_min). Максимальные и минимальные значения Х мы найдем исходя из того, что у нас равномерное распределение. x_{max =} -0,04, x_min= -3,43, то

Но для точного определения одномерной плотности случайного процесса необходимо исследовать реализацию бесконечной длительности, что на практике очень трудно. Поэтому реально берут реализацию конечной длительности Т_с и при ее изучении берут выборки с конечным шагом Т (в данной работе Т = 0.0001 с), число отсчетов случайного сигнала , подвергаемых обработке, всегда конечно, следовательно, вместо P(х) получают ее оценку в виде ее гистограммы.

Изменяя длину участка реализации N (100 =<N=<1000) определим с помощью критерия такую длину участка реализации N₀, для которой вероятность Р, с которой статистическое распределение выборки из N значений может считаться соответствующим теоретическому распределению, будет достаточно близка к единице, а величины m_XN0 и ?_XN0 достаточно близки к заданным m_X0 и ?_XN0.

Пусть N = 100 = 11,2 m_XN0 = -1,8976 ?_XN0 = 0,9674

Пусть N = 200 = 6,8 m_XN0 = -1,8060 ?_XN0 = 0,9769

Пусть N = 300 = 4,8667 m_XN0 = -1,7498 ?_XN0 = 0,9742

Пусть N = 400 = 1,95 m_XN0 = -1,7259 ?_XN0 = 0,9838

Пусть N = 500 = 5,4689 m_XN0 = -1,7241 ?_XN0 = 0,9907

Пусть N = 600 = 10,2321 m_XN0 = -1,7059 ?_XN0 = 0,9877

Пусть N = 700 = 6,6795 m_XN0 = -1,7358 ?_XN0 = 0,9908

Пусть N = 800 = 7,0250 m_XN0 = -1,7394 ?_XN0 = 0,9985

Пусть N = 900 = 6,7333 m_XN0 = -1,7350 ?_XN0 = 0,9913

Пусть N = 1000 = 8,06 m_XN0 = -1,7369 ?_XN0 = 0,9865

В дальнейшей работе будем использовать объем выработки N = 400, т. к. критерий Пирсона имеет наименьшее значение. Гистограмма и график случайного сигнала изображены ниже.



Теперь сделаем вывод по проведенной работе с исходным сигналом. Изменяя объем выборки мы определили что критерий Пирсона минимален для N = 400. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение при данном объеме выборки отличается незначительно.

Определение корреляционной функции R_x (kT) и энергетического спектра W_x (n?f) процесса X(n)

Энергетический спектр случайного сигнала W_x (n?f) показывает, как средняя мощность сигнала распределена по диапазону частот. Это следует, например, из выражения, справедливого для центрированных процессов. Для оценки реальной ширины спектра вводят понятие эффективной ширины спектр W_э, которую можно определить как полосу частот, в пределах которой спектральная плотность средней мощности падает не более чем в 2 раза по сравнению с максимумом

Корреляционная функция случайного процесса R_x (kT) является мерой внутренней связанности процесса в различные моменты времени, отстоящие на t , его свойства "помнить" предшествующие состояния. Оценку величин интервала корреляции процесса R_к при известной корреляционной функции R_х(kT) можно следующим образом: если процесс широкополосный, то R_к равен координате первого нуля функции R_х(kT); если процесс узкополосный, то R_к определяют по координате первого нуля огибающей функции R_х(kT). Корреляционная функция R_х(t) и энергетический спектр W_x(f) исходного сигнала изображены на рисунках (см. ниже).

Это узкополосный сигнал( по графикам можно сделать такой вывод). Если мы, например, посмотрим на график энергетического спектра нашего случайного сигнала, то увидим, что основная мощность сигнала сосредоточена вблизи частоты ?f_{э .} Т = 0.0001с; N₁ = 10. Найдем шаг отчета по частоте:

?????2??f???/T N₁

?f= 1/2 T N_{1 =} 1/ 2 * 0,0001 * 10 = 1/ 0,002= 500 гц

Найдем интервал корреляции и энергетическую ширину спектра (исходя из графиков):

?f_э=7*500 = 3500 гц

??_k= 1,8* 0,0001 = 0,0016 cек = 1,6 мск

Представление приближенным аналитическим выражением случайного процесса X(n)

Как указывалось выше, P(х) для равномерного закона распределения находится по формуле:

В нашем случае x_{max =} -0,04, x_min= -3,43. То P(x) = 0,33

Если во всей области изменения переменной Х связь отклика Y с воздействием Х, обусловленная видом характеристики y = f(x) нелинейного элемента, однозначна, то плотность вероятности распределения мгновенных значений P(y) по известной P(x) можно найти

где преобразованная зависимость y = f(x).

Если нелинейность такова, что какому-то значению y = y₁ отвечает конечное множество значений случайный сигнал безынерционный цепь

, , … , то

++ …..

Если линейность такова, что есть значения Y, которым в силу характеристики y = f(x) отвечает бесконечное число значений Х, то применяют следующее правило

Теперь же перейдем к нашей работе.

[-3,43; -0,04] [0, 4] P(x) = 0,33

У нас нелинейность вида:

Y=

Далее, упрощая выражение, получим:



В результате преобразования случайного процесса X(n) в безынерционной нелинейной цепи мы получили новый сигнал Y(n).

Найдем m_1YN0 , ? _1YN0 для нелинейного процесса.

m_1YN0 = 0, 5711 ? _1YN0 = 0, 6603

Так же корреляционная функция R_y(t) и энергетический спектр случайного сигнала W_y(f) представлены на рисунках, приведенных ниже

Теперь так же найдем интервал корреляции и энергетическую ширину спектра (исходя из графиков).

?f_э=6*500 = 3000 гц

??_k= 2 * 0,0001 = 0,0002 cек = 0,2 мск

Сделаем вывод проведенной нами работы. В результате преобразования случайного процесса X(n) в безынерционной нелинейной цепи случайный сигнал перестал быть равномерным. Математическое ожидание увеличилось во много раз и стало больше нуля. Среднеквадратическое отклонение уменьшилось примерно в 0,5 раз, но сигнал так же остался узкополосным.

Фильтрация случайного процесса Y(n) в инерционной цепи

Теперь, в результате фильтрации случайного процесса Y(n), мы получили новый сигнал Z(n). В нашем случае ФНЧ f0 = 1000 Гц Q = 0,707



Для него m_1ZN0 = 0, 5695 ? _1ZN0 = 0, 3212 Определим по гистограмме с помощью критерия ?2 произошла ли нормализация случайного процесса Y(n) в результате его фильтрации в линейной цепи.

Исходя из того, что

где n_k - число отсчетов сигнала, попавший в k - интервал.

-теоретическая вероятность пребывания случайного сигнала в пределах каждого из интервалов X для нормального распределения, N - общее число исследуемых отсчетов сигнала N_i = 10

P=Ф(-1,46)-Ф(-1,93)= - 0,8557 + 0,9464=0,0907

Р=Ф(-1)+Ф(1,46)=-0,6827+0,8557=0,175

Р=-Ф(0,52)+Ф(1)=-0,3969 +0,6827= 0, 2856

Р=-Ф(0,06)+Ф(0,52)=- 0,0478+0,3969= 0, 3491

Р=Ф(0,4)+Ф(0,06)=0,3108 + 0,0478= 0, 3586

Р=Ф(0,84)-Ф(0,4)=0, 5991- 0, 3108= 0, 2883

Р=Ф(1,3)-Ф(0,84)= 0, 8064 - 0,5991= 0, 2075

Р=Ф(1,77)-Ф(1,3)=0, 9233 - 0, 8064= 0, 1165

Р9=Ф(2,24)-Ф(1,77)= 0, 9749 - 0, 9233= 0, 0516

Р10=Ф(2,71)-Ф(2,24)= 0, 9933 - 0, 9749= 0, 0184

Теперь составим таблицу. Определяя вероятность P cсогласованности теоретического и статистического распределений. При этом используется найденное раннее значение и число степеней свободы распределения. Число степеней свободы распределения равно разности числа столбцов гистограммы ( в нашей работе это 10) и числа наложенных условий ( в нашем случае оно равно трем: условие совпадения у теоретического и статистического распределений математического ожидания m_1ZN0 и дисперсии D_1ZN0 . В итоге r = 10 ? 3 = 7. А вероятность P мы определяем по таблице.

K	Pk	nk
1	0,0907	28	2, 83
2	0,175	44
3	0,2856	48
4	0,3491	75
5	0,3586	65
6	0,2883	62
7	0,2075	36
8	0,1165	23
9	0,0516	11
10	0,0184	8

Нам нужно определить является ли сигнал Z(t) нормальным. Напомню, что если протяженность во времени импульсной характеристики такова, что она хотя бы в несколько раз превышает интервал корреляции входного случайного процесса, или полоса пропускания цепи в частотной области хотя бы в несколько раз меньше ширины энергетического спектра входного процесса, то при любом законе распределения входного процесса случайных процесс на выходе будет нормальным. Исходя из этого, мы можем сказать, что сигнал Z(n) нормальный.

Теперь так же найдем интервал корреляции и энергетическую ширину спектра (исходя из графиков).

?f_э=2,8*500 = 1400 гц

??_k= 4,2 * 0,0001 = 0,00042 cек = 0,42 мск

Так же можно найти критерий Пирсона для нашего случая

= 19, 17

Графики корреляционной функции и энергетического спектра изображены ниже.

В результате фильтрации случайного процесса Y(n) в инерционной линейной цепи случайный сигнал Z(n) становится нормальным. К этому заключению приходим из того, что полоса пропускания цепи в частотной области почти в 2 раза меньше ширины энергетического спектра входного процесса. Математическое ожидание стало равно 0, 5695, а среднеквадратическое отклонение уменьшилось до 0,3212. Сигнал стал широкополосным.



Вывод

Мы исследовали характеристики и параметры случайного сигнала, проследили за его преобразованием в процессе передачи сигнала через нелинейные безинерционные и линейные инерционные цепи. В результате у нас получился ярко выраженный широкополосный сигнал. Так же конечный сигнал Z(n) стал нормальным.

Список использованной литературы

1. Козлов В.А., Антонов А.А., Исследование характеристик случайных сигналов и их преобразование в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях. Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2013 г.

2. Баскаков С. И., Радиотехнические цепи и сигналы.: Высшая школа, 2005 г.

Размещено на Allbest.ru

...