Исследование устойчивости системы при использовании типовых регуляторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра “Электропривод и автоматизация промышленных установок”

ПояснИТЕЛЬНАЯ записка

к курсовому проекту по дисциплине «Теория автоматического управления»

на тему: «Исследование устойчивости системы при использовании типовых регуляторов»

Выполнила ст. гр. СПУ-12 Алдошин А.В.

Руководитель проекта Розкаряка П.И.

Нормоконтролер Розкаряка П.И.

Донецк 2015

Реферат

Пояснительная записка содержит: 41 страницу, 24 рисунка, 4 источника.

Объектом расчета и исследования в данной курсовой работе является система автоматического регулирования.

Цель работы - исследование устойчивости системы при использовании типовых регуляторов П,И,ПИ.

Расчет системы проводится на базе знаний теории автоматического управления. При определении устойчивости замкнутой системы используется алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Выбор передаточных функций регулятора проводится по условиям настройки на технический и модульный оптимум. Определение запаса устойчивости замкнутой системы производится с помощью логарифмических частотных характеристик в разомкнутом состоянии.

РЕГУЛЯТОР, ОБЪЕКТ РЕГУЛИРОВАНИЯ, ПОСТОЯННАЯ ВРЕМЕНИ, СТАНДАРТНЫЕ НАСТРОЙКИ СИСТЕМЫ, СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

система устойчивость регулятор модульный



Содержание

Перечень условных обозначений

Вступление

Задание

1. Исследование системы с П-регулятором

2. Исследование системы с И-регулятором

3. Исследование системы с ПИ-регулятором

4. Оценка характера переходных процессов

5. Модель с программой

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А. Перечень замечаний нормоконтролера



Перечень условных обозначений

ОР - объект регулирования;

ПФ- передаточная функция;

П-регулятор - пропорциональный регулятор;

И-регулятор - интегральный регулятор;

ПИ-регулятор - пропорционально-интегральный регулятор;

ТО - технический оптимум;

СД - среднее демпфирование;

КД - критическое демпфирование;

ЛАЧХ - логарифмическая амплитудная частотная характеристика;

ЛФЧХ - логарифмическая фазовая частотная характеристика;

W(р) - передаточная функция разомкнутой системы;

G_p.(р) - характеристический полином замкнутой системы;

W_p.(р) - передаточная функция регулятора;

h(t) - переходная характеристика;

k₁, k₂ - коэффициенты усиления объекта регулирования;

Т₁, Т₂ - постоянные времени объекта регулирования;

у - перерегулирование;

t_c - время первого достижения переходным процессом установившегося значения;

k _р - коэффициент усиления П-регулятора;

Т_и - постоянная времени И-регулятора;

Т_f, Т_о - постоянные времени ПИ-регулятора;

- коэффициент демпфирования;

ш - запас устойчивости по фазе;

A - запас устойчивости по амплитуде;



Вступление

В современном мире важную роль играет процесс автоматизации, тех или иных объектов.

Теория автоматического управления - это та дисциплина, та основа, на которой строится любой процесс автоматизации. Так как здесь присутствуют методы анализа характеристик объектов, что дает возможность эффективно, легко и экономично эксплуатировать объекты автоматического управления.



Задание

Исследовать показатели устойчивости системы, базовая структурная схема которой приведена на рис. 1, при известных параметрах объекта регулирования (ОР) (табл.1) при использовании типовых регуляторов пропорционального (П-), интегрального (И-) и пропорционально-интегрального (ПИ-) типа.

Рисунок 1 Структурная схема системы

Таблица 1

Исходные данные

Параметры	Номер варианта
	1
k1	12
k2	7
T1, мc	5
T2, мc	25

Исследования для случая использования каждого из перечисленных регуляторов выполнить в соответствии с рекомендованным содержанием:

1) Определение условий устойчивости замкнутой системы с использованием алгебраического критерия устойчивости (Гурвица);

2) Выбор передаточных функций регулятора из условия обеспечения стандартных настроек системы (настройка на «критическое» демпфирование, настройка на технический оптимум);

3) Исследование характера переходного процесса в замкнутой системе в зависимости от степени её удаленности от границы устойчивости;

4) Определение запаса устойчивости замкнутой системы при стандартных настройках с помощью логарифмических частотных характеристик системы в разомкнутом состоянии.



1. Исследование системы с П-регулятором

Передаточная функция П-регулятора:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы:

Характеристический полином замкнутой системы:

Чтобы определить устойчивость системы для любых K_p>0, необходима положительность всех коэффициентов характеристического полинома.

По условию устойчивости Гурвица:

, где - коэффициенты .

Условия устойчивости согласно критерия: Определим значение коэффициента усиления регулятора , при котором настройке системы на «критическое демпфирование» (КД). Приравняв дискриминант к нулю, находим значение , при котором =0.

Найдем значение коэффициента k_p.a

W_P(p)=Kp

1) >0

Находим при D=0

Рисунок 2 Переходная и импульсная характеристики системы с настройкой на КД

При изменении параметров в пределах определяем зависимость перерегулирования переходной характеристики от коэффициента усиления Kp.

Таблица 2

Устойчивость системы с П-регулятором

		2	3.1	3.25	3.6	3.8	5
tc, мc	100,3	31	21	19.6	18	17.2	13
, %	0	1.3	3.4	4.3	5.3	5.9	9.4

Для автоматизации исследований необходим цикл, параметром которого коэффициент . Получаем зависимости:

Рисунок 3 Графики зависимостей ,

Следовательно оптимальной настройкой, для достаточно быстрой реакции с приемлемым перерегулированием на рисунке 3, первый график, определим значение , при котором имеет место настройка на ТО, при 4,3 %,

=3,25.

Таблица 3

Параметры системы с П-регулятором

Параметр	Значение
Передаточная функция разомкнутой системы
Характеристический полином замкнутой системы
Условие устойчивости
Настройка на КД достигается при
Настройка на ТО достигается при	=3,25

Для строим переходную и весовую характеристики замкнутой системы, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

Рисунок 4 Переходная и импульсная характеристики системы с настройкой на ТО

Рисунок 5 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы с настройкой на ТО

Из рисунка5 заметно, что запасы устойчивости системы П-регулятора при настройке на ТО составляют A = 93.3 дБ, ш = 117° это удовлетворяет частотным критериям устойчивости.

2. Исследование системы с И-регулятором

Передаточная функция И-регулятора:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы:

Характеристический полином замкнутой системы:

=

Из критерий устойчивости Гурвица, определяем значение постоянной времени , при которой система пребывает на границе устойчивости. Это условие можем получить из равенства нулю второго определителя Гурвица.

Найдем значение

1) >0

2) >0

Условие устойчивости по критерию Гурвица:

,

после подстановки параметров ОР получаем:

.

Рисунок 7 Переходные и весовые характеристики замкнутой системы при

Рисунок 8 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы при

Рисунок 9 Переходные и весовые характеристики замкнутой системы при

Рисунок 10 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы при

Рисунок 11 Переходные и весовые характеристики замкнутой системы при

Рисунок 12 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы при

Из рисунков 7 и 8 видим, что система при постоянной времени имеет колебательный процесс и отрицательные значения запаса по амплитуде и фазе следовательно находится на границе устойчивости. На рисунках 9 и 10 при мы наблюдаем затухающий характер переходных и импульсных характеристик, то есть является благоприятным условием для И-регулятора. Но система не удовлетворяет частотным критериям устойчивости САР хоть и имеет положительные значения запаса по амплитуде и фазе. Использование регулятора с постоянной времени не удовлетворяет условиям устойчивости системы. Так как имеет расходящийся процесс, наблюдаем на рисунках 11 и 12.

На основании таковых выводов, необходимо экспериментально определить значения и постоянной времени И-регулятора, при которых достигается настройка системы на КД (=0) и на ТО (4,3 %).

Таблица 4

Устойчивость системи з И-регулятором

, мс	350	700	1750	2450	3500	4550	5058	5250	6300	7000
tc, мc	30	30,6	53	67.5	91	119.4	135	142	188.6	232
, %	100	64	31	20.8	11.6	6	4,3	3.8	1.5	0

Рисунок 13 Переходные характеристики при настройке на КД и ТО

Рисунок 14 Весовые характеристики при настройке на КД и ТО

Рисунок 15 Графики зависимостей ,

Из зависимостей , рисунок 15 следует с увеличением постоянной времени перерегулирование уменьшается, что вызывает снижение быстродействия системы.

Для случая настройки системы на ТО изобразим ее ЛАЧХ и ЛФЧХ, определив запасы устойчивости по амплитуде и по фазе:

Рисунок 16 ЛАЧХ и ЛФЧХ системы при настройке на ТО

Bp из графика на рисунке 16 при настройке на ТО запас по амплитуде А и по фазе ш системы составляют: А=23.2дБ, ш=64.4°, следовательно удовлетворяет частотному критерию устойчивости САР.

Таблица 5

Параметры системы з И-регулятором

Параметр	Значение
Передаточная функция разомкнутой системы
Характеристический полином замкнутой системы
Граница стойкости	=350мс
Условия стойкости
Настройка на КД достигается при	мс
Настройка на ТО достигается при	мс

3. Исследование системы з ПИ-регулятором

Передаточная функция ПИ-регулятора:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы

Характеристический полином замкнутой системы:

Используя критерий устойчивости Гурвица, найдем условие устойчивости замкнутой системы с ПИ-регулятором. Соответствующее условие может быть получено из проверки положительности второго определителя Гурвица:

-коэффициенты характеристического полинома

.

Выполнив подстановку параметров ОР получим:

.

В дальнейшем принимаем значение .

По критерию устойчивости Гурвица, необходимо доказать, что при выборе система будет устойчивой. Необходимо проверить положительность всех коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы:

передаточная функция замкнутой системы:

характеристический полином для замкнутой системы:

;

условие устойчивости: 0, 0.

Расчет величин: , , коэффициенты демпфирования =1 (настройка на КД), = (настройка на ТО), =0,5 (настройка на СД).

=1680 мс, =840 мс, =420 мс.

Таблица 6

Параметры системы з ПИ- регулятором

Параметр	Значение
Передаточная функция разомкнутой системы
Характеристический полином замкнутой системы
Условие устойчивости
Настройка на КД (=1) достигается при	мс
Настройка на ТО (=) достигается при	мс
Настройка на СД (=0,5) достигается при	мс

Рисунок 17 Переходные характерис тики при настройке на КД, ТО, СД

Рисунок 18 Импульсные характеристики при настройке на КД, ТО, СД

Рисунок 19 ЛАЧХ и ЛФЧХ при настройке на КД

Рисунок 20 ЛАЧХ и ЛФЧХ при настройке на ТО

Рисунок 21 ЛАЧХ и ЛФЧХ при настройке на СД

Из представленных графиков при настройке системы с ПИ-регулятором на КД, ТО и СД следует, что при настройке системы на КД система имеет максимально быструю реакцию на управляющее воздействие при условии отсутствия перерегулирования, настройка на ТО имеет достаточно быструю реакцию при некотором перерегулировании. Настройка на СД - самая быстродействующая, однако имеет наибольшее перерегулирование из выше представленных характеристик. Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе в каждом из представленных случаев удовлетворяют частотному критерию устойчивости, однако при большем перерегулировании имеет место меньшее значение запаса устойчивости как по амплитуде A, так и по фазе ш.

4. Оценка характера переходных процессов

Оценим характер переходных процессов при использовании исследуемых регуляторов, отобразив их переходные функции в одних координатах.

Рисунок 22. 1) - h(t) без регулятора; 2)- П-регулятор (КД, ТО); 3)- И-регулятор (КД, ТО); 4) - ПИ-регулятор (КД, ТО)

Семейство характеристик h(t) при исследовании системы с разными регуляторами отображает реакцию системы с каждым из регуляторов на управляющее воздействие. Так, при использовании П- и ПИ-регуляторов длительность переходных процессов значительно меньше, чем при использовании И-регулятора, что соответствует повышенному быстродействию контура. При сравнении системы без регулятора, можно сделать вывод о том, что время достижения установившегося значения в случае отсутствия регулятора больше, чем при наличии П- и ПИ-регуляторов, что свидетельствует о необходимости их применения.

Рисунок 24 Модель регуляторов в математическом пакете Matlab

Программа для исследования П-регулятора

close all, clear all,

k1=12;k2=7;

T1=5e-3;T2=25e-3;

Kpa=0.0095;

Ti_gr=350e-3;

Tf=T2;kcx=1;Ti=1;To=1;

kp=2*Kpa;r=2*Kpa*k1*k2/(1+2*Kpa*k1*k2);OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y9,t]=step(sys,3*(T1+T2));

plot(t,y9/r,'r'),grid on,zoom on

kp=3.25*Kpa;

r=3.25*Kpa*k1*k2/(1+3.25*Kpa*k1*k2);

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(2)

subplot(211)

step(sys/r,5*(T1+T2)),grid on

subplot(212)

impulse(sys/r,5*(T1+T2)),grid on

figure(3)

OS=0;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

kp=Kpa;r=Kpa*k1*k2/(1+Kpa*k1*k2);OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(4)

[y9,t]=step(sys,3*(T1+T2));

plot(t,y9/r,'r'),grid on,zoom on

for i=1:1:20

kr=Kpa*i;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(5)

[y1,t]=step(sys,3*(T1+T2));

subplot(211)

plot(t,y1/r),grid on

subplot(212)

[y2,t]=impulse(sys,5*(T1+T2));

plot(t,y2),grid on

sigma=[0 1.3 3.4 3.8 4.3 5.3 5.9 9.4];

ts=[100.3 31 21 20.4 19.6 18 17.2 13];

figure(6)

subplot(211)

plot(sigma(i),kr,'o'),grid on,hold on

xlabel('\sigma');ylabel('kr');

subplot(212)

plot(ts(i),kr,'o'),grid on, hold on

xlabel('ts, ms'); ylabel('kr')

end

Программа для исследования И-регулятора

close all, clear all,

k1=12;k2=7;

T1=5e-3;T2=25e-3;

Ti_gr=350e-3; Tf=T2;kcx=2;kp=1;To=1;

Ti=Ti_gr;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(5)

subplot(211)

step(sys,15*(T1+T2)),grid on

subplot(212)

impulse(sys,15*(T1+T2)),grid on

figure(6)

OS=0;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

Ti=2*Ti_gr;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(7)

subplot(211)

step(sys,15*(T1+T2)),grid on

subplot(212)

impulse(sys,15*(T1+T2)),grid on

figure(8)

OS=0;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

Ti=Ti_gr/2;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(9)

subplot(211)

step(sys,15*(T1+T2)),grid on0

subplot(212)

impulse(sys,15*(T1+T2)),grid on

figure(10)

OS=0;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

% настройка на КД и ТО

Ti=7000e-3; %Tu.a=7000

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(11)

subplot(211)

step(sys,15*(T1+T2)),grid on

subplot(212)

impulse(sys,15*(T1+T2)),grid on

Ti=5058e-3; %Tu.опт=5058

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(12)

subplot(211)

step(sys,15*(T1+T2)),grid on

subplot(212)

impulse(sys,15*(T1+T2)),grid on

% ЛАЧХ ЛФЧХ для ТО

OS=0;

figure(13)

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

for i=1:1:20

Tu=Ti_gr*i;

sigma=[100 64 31 20.8 11.6 6 4.3 3.8 1.5 0];

ts=[30 30.6 53 67.5 91 119.4 135 142 188.6 232];

figure(14)

subplot(211)

plot(sigma(i),Tu,'o'),grid on,hold on

xlabel('\sigma');

ylabel('Ti, ms');

subplot(212)

plot(ts(i),Tu,'o'),grid on, hold on

xlabel('ts, ms');

ylabel('Ti, ms');

end

Программа для исследования ПИ-регулятора

close all, clear all,

k1=12;k2=7;

T1=5e-3;T2=25e-3;

Tf=T2;kcx=3;Ti=1;kp=1;

To=1680e-3;

To_opt=840e-3;

Toc=420e-3;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(15)

subplot(211)

[y1,t]=step(sys,5*(T1+T2));

plot(t,y1),grid on

subplot(212)

impulse(sys,5*(T1+T2)),grid on

figure(16)

S=0;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

To=To_opt;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(17)

subplot(211)

[y2,t]=step(sys,5*(T1+T2));

plot(t,y2),grid on

subplot(212)

impulse(sys,5*(T1+T2)),grid on

figure(18)

S=0;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

To=Toc;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(19)

subplot(211)

[y3,t]=step(sys,5*(T1+T2));

plot(t,y3),grid on

subplot(212)

impulse(sys,5*(T1+T2)),grid on

figure(20)

OS=0;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

bode(a,b,c,d)

[Mag,Phase,w]=bode(a,b,c,d);

margin(Mag,Phase,w);

Программа для построения h(t) без регулятора; 2)- П-регулятор (КД, ТО);

3) И-регулятор (КД, ТО); 4) - ПИ-регулятор (КД, ТО)

close all, clear all,

k1=12;k2=7;

T1=5e-3;T2=25e-3;

Kpa=0.0095; Ti_gr=350e-3; Tf=T2;kcx=1;Ti=1;To=1;

% p_Regl

kp=Kpa;r=Kpa*k1*k2/(1+Kpa*k1*k2);% коэффициент ошибок

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y1,t]=step(sys,15*(T1+T2));

plot(t,y1/r,'k'),grid on, hold on,zoom on

kp=3.25*Kpa;r=3.25*Kpa*k1*k2/(1+3.25*Kpa*k1*k2);OS=1;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y2,t]=step(sys,15*(T1+T2));

plot(t,y2/r,'m'),grid on, hold on,zoom on

% I-Regl

Ti=7000e-3; %Tu.a=7000

kcx=2;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y3,t]=step(sys,15*(T1+T2));

plot(t,y3,'b'),grid on, hold on,zoom on

Ti=5058e-3; %Tu.опт=6860

k_os=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y4,t]=step(sys,10*(T1+T2));

plot(t,y4,'r'),grid on, hold on,zoom on

%PI_Regl

kcx=3;Ti=1;kp=1;

To=1680e-3; To_opt=840e-3; Toc=420e-3;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y5,t]=step(sys,15*(T1+T2));

plot(t,y5),grid on, hold on,zoom on

To=To_opt;

OS=1;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y6,t]=step(sys,15*(T1+T2));

plot(t,y6,'g'),grid on, hold on,zoom on

kcx=4; Ti=1;To=1;kr=1;OS=1;kcx=4;

[a,b,c,d]=linmod('tau');

sys=ss(a,b,c,d);

figure(1)

[y7,t]=step(sys,15*(T1+T2));

plot(t,y7/84,'b'),grid on, zoom on



Заключение

В данной курсовой работу были изучены показатели устойчивости системы при известных параметрах объекта регулирования, были использованы типовые регуляторы.

Для П- И- ПИ-регуляторов были определены передаточные функции из условия настройка на «критическое» демпфирование, настройка на технический оптимум.

Исследован характер переходного процесса в зависимости от степени ее удаленности от границы устойчивости при замкнутой системе.

Выбирались регуляторы проводился при стандартных настройках, из определения запаса устойчивости для замкнутой системы.

Регулятор убирает отклонения регулируемой величины, следовательно улучшаются свойства объекта регулирования.



Список использованной литературы

Гейлер, Л.Б. Введение в теорию автоматического регулирования / Л.Б. Гейлер. М.: Минск: Наука и техника, 1981. 528 c.

Современные системы управления/ Р. Дорф., Р. Бишоп. Пер. с англ. Б.И. Копылова. Москва: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 832 с.

Теория систем автоматического регулирования / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. М.: Наука, 1975. 768 с.

https://ru.wikipedia.org.

Размещено на Allbest.ru

...