Електромагнітні поля та пороги випромінювання в одиночних і зв’язаних двовимірних діелектричних резонаторах з активними зонами

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ РАДІОФІЗИКИ ТА ЕЛЕКТРОНІКИ ім. О.Я. УСИКОВА

УДК 537.86 : 535.417.2

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ПОЛЯ ТА ПОРОГИ ВИПРОМІНЮВАННЯ В ОДИНОЧНИХ І ЗВ'ЯЗАНИХ ДВОВИМІРНИХ ДІЕЛЕКТРИЧНИХ РЕЗОНАТОРАХ З АКТИВНИМИ ЗОНАМИ

01.04.03 - радіофізика

Смотрова Олена Іванівна

Харків _ 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова Національної академії наук України

Науковий доктор фізико-математичних наук, професор керівник:Носич Олександр Йосипович Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, м. Харків, головний науковий співробітник відділу обчислювальної електродинаміки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Маслов Вячеслав Олександрович Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, професор кафедри квантової радіофізики

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Поєдинчук Анатолій Юхимович Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, м. Харків, старший науковий співробітник відділу теорії дифракції та дифракційної електроніки

Захист відбудеться « 08 » квітня 2010 р. о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.157.01 Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України за адресою: вул. Ак. Проскури 12, Харків, 61085.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України за адресою: вул. Ак. Проскури 12, Харків, 61085.

Автореферат розісланий «03» березня 2010 р.

Вчений секретар Л.А. Рудь спеціалізованої вченої ради

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дану роботу присвячено дослідженню власних електромагнітних полів, частот та порогів випромінювання одиночних і зв'язаних двовимірних діелектричних резонаторів з активними зонами за допомогою граничних задач для лінійних рівнянь Максвела.

Актуальність теми. Розвиток приладів та систем, які використовують електромагнітні хвилі для передачі та обробки інформації, на теперішній час призвів до виникнення гострої потреби в компактних джерелах коротких електромагнітних хвиль (від терагерцевих до ультрафіолетових). Серед таких джерел центральне місце посідають напівпровідникові, кристалічні та полімерні мікрорезонатори, нерідко у формі тонких дисків, які включають у себе активні зони. Накачування активних зон здійснюється або фотоспособом, або за допомогою інжекції носіїв з електродів. Зокрема, саме такі прилади розглядаються зараз як найперспективніші джерела терагерцевих хвиль, а також як джерела одиночних фотонів для квантових комп'ютерів майбутнього. Виготовлення активних діелектричних резонаторів або лазерів такого типу пов'язано з дорогими технологіями, а вимірювання їх характеристик вимагає складної апаратури, зокрема, спектрометрів з рекордно високим розрізненням. На сьогоднішній день в світі існують тільки декілька лабораторій: Каліфорнійський технологічний інститут, Національний університет Йокогама, Японія, лабораторія фотоніки та наноструктур CNRS в м. Маркусі, Франція, Технічний університет Цюриха, Інститут напівпровідників Китайської академії наук, в яких виготовляються такі джерела хвиль та проводяться їх експериментальні дослідження. З огляду на сказане вище, попереднє моделювання подібних приладів та теоретичне описання фізичних ефектів в них є критично важливим елементом відповідних досліджень.

Разом з цим, підходи та методи лінійного моделювання діелектричних резонаторів (ДР) з активними зонами до недавнього часу вичерпувались аналізом полів та відшукуванням комплексних власних частот власних мод в пасивних резонаторах. При цьому найчастіше застосовувались метод: геометричної оптики (ГО), відомий також як теорія більярду, та чисельний метод скінчених різниць в часовій області (СРЧО). Незважаючи на свою корисність, кожен з них має неусувні недоліки. Метод ГО непридатний до резонаторів, розміри яких порівняні з довжиною хвилі, і нездатен розрахувати втрати на випромінювання та добротності мод. Навіть більше, ГО неспроможний відтворити дискретність спектра мод відкритого резонатора. Метод СРЧО, в свою чергу, непридатний для прямого дослідження власних мод. В рамках цього методу в резонаторі розташовують пульсуюче точкове джерело, розраховують змінне поле в деякій точці, використовують перетворення Фур'є та відновлюють добротності по резонансним пікам. Все це пов'язано з різноманітними похибками та не забезпечує бажаної точності моделювання.

Однак, найбільш значущим недоліком зазначених підходів є те, що в моделі пасивного резонатора наявність активної зони повністю ігнорується. Тим самим, відсутня можливість описання такої важливої властивості активного резонатора як наявність порога випромінювання і пояснення того відомого факту, що нерідко випромінювання відбувається на модах, які мають невелику добротність при відсутності накачування. Спроби побудування моделей, здатних описати пороги, були пов'язані з квантово-механічними нелінійними моделями і не спирались на „перші принципи”, якими в даному випадку є рівняння Максвела з точними граничними умовами на поверхні резонатора й умовою випромінювання. Тому тема дослідження сучасна й актуальна.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась в рамках

1. Держбюджетних науково-дослідних робіт ІРЕ ім. О.Я. Усикова НАН України: «Теоретичне та експериментальне дослідження хвилевих процессів у приборах та пристроях мікрохвильового і міліметрового диапазонів довжин хвиль» (шифр «Буксир-2», номер держреєстрації 01.00U006441, 2002-2006, виконавець) і «Розробка та впровадження нових методів обчислювальної радіофізики, теоретичне та експериментальне дослідження трансформації електромагнітних полів гіга- і терагерцевого діапазонів в об'єктах і середовищах антропогенного та природного походження» (шифр «Буксир-3», номер держреєстрації 01.06U011975, 2007-2010, виконавець).

2. Конкурсної цільової програми НАН України «Наноструктурні системи, наноматеріали, нанотехнології»: тема «Мікро та нанорозмірне електродинамічне моделювання оптичних полів у резонаторах з активними зонами з квантових шарів, дротів та точок” (шифр «Поріг», номер держреєстрації 01.07U003983, 2007-2009, відповідальний виконавець).

3. Конкурсної наукової теми Міністерства освіти та науки України «Інноваційне чисельне моделювання квазіоптичних фокусуючих систем» (шифр «Фокус», номер держреєстрації 01.09U005351, 2009-2010, виконавець).

4. Програми наукового обміну НАН України з Королівським науковим товариством, Великобританія, разом з університетом м. Ноттінгем (конкурсні проекти «Modelling of micro and nano-scale resonators and lenses for dense photonic circuits», 2004-2007 та «Advanced modelling of single and periodic active dielectric resonators for microlasers», 2007-2009).

5. Програми наукового обміну НАН України з Держкомітетом по науковим та технічним дослідженням Туреччини разом з університетом Бількент, м. Анкара (конкурсний проект «Innovative electromagnetic modelling of multielement quasioptical focusing systems for sub-mm and terahertz ranges», #106E209, 2007-2009).

6. Програми наукового обміну НАН Украіни з Академією наук Чеської республіки, разом з Інститутом фотоніки та електроніки АНЧР, Прага (конкурсний проект «Electromagnetic and numerical modelling of active and nonlinear microcavities», 2008-2010).

Робота також була частково пов'язана з виконанням наступних міжнародних конкурсних проектів:

- «Eigenvalue problems for cyclic photonic-molecule microcavity lasers», Міжнародне наукове товариство IEEE Electron Devices Society, 2005;

- «Quasi-3D electromagnetic modelling of microcavity lasers and laser arrays with lowered thresholds and improved directionalities», асоціація INTAS, Європейський Союз разом з університетом м. Ноттінгем, 2005-2007;

- «Advanced linear modelling of semiconductor microcavity lasers», Міжнародний Вишеградський фонд, Європейський Союз разом з Інститутом фотоніки та електроніки АНЧР, Прага, 2007-2008;

- «Electromagnetic modelling and design of dielectric lenses and resonators for the emerging photonic and THz applications», Міністерство іноземних та європейських справ, Франція разом з університетом Рен 1, 2008-2009.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є побудова лінійної моделі для власних електромагнітних полів (мод) в одиночних та зв'язаних двовимірних діелектричних резонаторах з активними зонами, розробка на її основі алгоритмів чисельного аналізу, обчислення спектрів та порогів випромінювання мод в деяких типових резонаторах, а також розробка рекомендацій щодо зниження порогів та покращення спрямованості випромінювання мод. Для досягнення цієї мети було розглянуто наступні задачі:

v Побудова математичної моделі, яка адекватно описує власні електромагнітні поля (моди) у відкритих резонаторах з активними зонами.

v Розробка чисельних алгоритмів для винаходження частот та порогів випромінювання мод, а також їх полів в ближній та дальній зонах.

v Обчислення частот, порогів випромінювання та полів для мод:

- одиночного повністю активного кругового резонатора та резонатора з частковою (радіально-неоднорідною) активною зоною;

- активного диска в пасивному кільці та кільцевому рефлекторі Брегга (КРБ);

- циклічних фотонних молекул із активних кругових резонаторів;

- активного одиночного резонатора зі спіральним контуром.

Об'єктом дослідження є явище випромінювання монохроматичних електромагнітних хвиль одиночними та зв'язаними двовимірними діелектричними резонаторами з активними зонами.

Предметом дослідження є власні електромагнітні поля в двовимірних моделях одиночних та зв'язаних ДР з активними зонами, спектри власних частот і матеріальні пороги випромінювання.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використано методи теорії граничних задач електродинаміки, у відповідності з якими власні моди - це розв'язок однорідних рівнянь Максвела для полів, які гармонічно залежать від часу, з точними граничними умовами та умовою випромінювання на нескінченності. Розмірність цих задач було знижено до двох вимірювань за допомогою добре відомого наближеного методу ефективного показника заломлення.

Отримані двовимірні задачі для кожного із розглянутих ДР було зведено еквівалентним чином до однорідних матричних рівнянь Фредгольма другого роду. Для одиночних та багатошарових кругових резонаторів, а також фотонних молекул із них, це досягається за допомогою методу розподілення змінних.

Для резонатора з довільним гладким контуром до тієї ж мети приводить метод граничних інтегральних рівнянь (ІР) Мюллера, дискретизація яких виконувалась за допомогою методу квадратур. Власні значення як нулі відповідного детермінантного рівняння відшукувались чисельно з контрольованою точністю двопараметричним методом Ньютона.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

· задача про находження власних мод відкритих діелектричних резонаторів вперше сформульована таким чином, що дозволяє врахувати наявність активної зони в резонаторі та на основі цього знайти спектри та пороги випромінювання мод;

· вперше встановлено на підставі рівнянь Максвела аналітичний зв'язок порога випромінювання моди з її добротністю та мірою перекриття електричного поля моди з активною зоною;

· встановлено, що в тонкому одиночному мікродиску є найнижчі моди з високими порогами випромінювання та моди шепочучої галереї (ШГ) з експоненціально низькими порогами;

· вперше показано, що об'єднання мікродисків в циклічні фотонні молекули дозволяє добитися зниження порогів випромінювання супермод (зв'язаних мод), які побудовано як на найнижчих модах, так і на модах ШГ;

· вперше виявлено, що в структурі активний диск + пасивний кільцевий відбивач поріг випромінювання супермоди може бути як нижче, так і вище, ніж в одиночному диску. Це залежить від міри перекриття поля з активною зоною. Поріг різко зростає при втягуванні поля в пасивні області;

· продемонстровано, що деформація мікродиска до спірального резонатора призводить до розщеплення мод на дублети. При цьому спрямованість випромінювання мод ШГ покращується, однак пороги випромінювання зростають. Головним фактором є хвильовий розмір виступу на контурі.

Практичне значення одержаних результатів. Запропонований в даній роботі підхід та розроблені числові алгоритми можна використовувати для електродинамічного аналізу випромінюючих мод лазерних мікрорезонаторів у вигляді тонких активних дисків, фотонних молекул із них, дисків усередині КРБ, а також тонких активних резонаторів з довільним гладким контуром, в діапазоні від терагерцевих хвиль до ультрафіолету. Встановлені закономірності поведінки мод в таких резонаторах значно поглиблюють розуміння властивостей порогів випромінювання. Вони також вказують можливі шляхи зниження порогів та покращення спрямованості випромінювання. Планується перевірка деяких з передбачених ефектів в Лабораторії квантової та молекулярної оптики Технічного університету м. Кашан (Ecole Normale Superieure de Cachan), Франція, де проводяться експериментальні дослідження одиночних та зв'язаних полімерних мікрорезонаторних лазерів.

Висока ефективність розроблених алгоритмів робить їх перспективними для використання в програмах комп'ютерного синтезу (проектування) та обчислювальної оптимізації джерел хвиль з бажаними характеристиками.

Особистий внесок дисертанта. Основні результати, надані в дисертації, належать автору. В написаних разом із співавторами роботах [1-5,7-13] цей внесок складається з виведення основних рівнянь, розробки обчислювальних алгоритмів, систематичного обчислювання частот та порогів, а також з інтерпретації отриманих чисельних результатів. В оглядовій статті [6] він складається з обчислення прикладів, які ілюструють властивості порогів випромінювання мод в кругових резонаторах та фотонних молекулах.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались та обговорювались на наступних наукових семінарах: відділу обчислювальної електродинаміки ІРЕ ім. О.Я. Усикова НАН України (керівник проф. А.О. Кириленко), кафедри вищої математики Харківського національного технічного університету радіоелектроніки «Інтегральні рівняння електродинаміки» (керівник проф. О.Г. Нерух), департаменту електроніки та електротехніки Університету Бількент, м. Анкара (керівник проф. А. Алтинташ), Інституту досліджень з електромагнітної теорії ім. Дж. Гріна, Університет м. Ноттінгем, лабораторії оптоелектроніки Університету Астон, м. Бірмінгем, Інституту фотоніки та електроніки Академії наук Чеської республіки, м. Прага (керівник проф. І. Чтироки), а також на наступних міжнародних наукових конференціях та симпозіумах:

· «Дни дифракции», Санкт-Петербург (2004, 2007)

· Physics and Engineering of Microwaves, Mm and Sub-mm Waves, Харків, (2004, премія за найкращу стендову доповідь для молодих вчених)

· Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Дніпропетровськ (2004)

· Antennas and Electromagnetics, Сан Мало, Франція (2005)

· Microwave and Optical Technologies, Фукуока, Японія (2005)

· Advanced Optoelectronics and Lasers, Алушта (2003,2008), Ялта (2005)

· Numerical Simulation of Optoelectronic Devices, Берлін, Німеччина (2005)

· Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, Гебзе, Турція (2006)

· Mediterranean Microwave Symposium, Будапешт, Угорщина (2007)

· Наносистеми, наноструктури і нанотехнології, Київ (2007)

· Open Waveguide Theory and Numerical Modeling, Прага (2003), Гренобль (2005), Варезе (2006), Копенгаген (2007), Ейндховен (2008)

Transparent Optical Networks, Варшава (2003), Вроцлав (2004), Барселона (2005), Ноттінгем (2006), Рім (2007), Афіни (2008), Понта Дельгада (2009)

· Waves in Science and Engineering, Мехіко-Сіті (2009)

· IX Харківська конференція молодих вчених, Харків (2009)

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 46 наукових працях, в тому числі 8 статтях в наукових журналах [1_8] та 38 тезах в збірниках праць міжнародних конференцій, серед яких [9_13].

Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, переліку умовних позначень, п'яти розділів, висновків та списку використаних літературних джерел. Її повний обсяг складає 189 сторінок, з них 148 сторінок основного тексту. Дисертація містить 80 рисунків (з них 11 на 6 окремих сторінках). Список використаних джерел на 20 сторінках нараховує 177 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми дисертації, сформульовано мету та задачі дослідження, наведено загальну характеристику дисертації.

Перший розділ присвячено огляду літератури за темою дисертації. Спочатку в ньому наводяться загальні відомості про ДР. Принцип їх дії полягає у тому, що завдяки контрасту в показниках заломлення матеріалів електромагнітне поле відбивається від границі ДР і концентрується всередині нього. При цьому, однак, частина поля завжди висвітлюється до навколишнього середовища.

Мікрорезонаторні лазери з активними зонами з'явились в 1990 - і роки як мініатюрні напівпровідникові джерела інфрачервоного випромінювання; за ними виникли монокристалічні та полімерні лазери, випромінюючі видимі, ультрафіолетові та терагерцеві хвилі. Найчастіше вони являють собою диски діаметром 10-20 довжин хвиль і товщиною 0,1-0,5 довжини хвилі, розташовані на п'єдесталі або на субстраті з оптично менш щільного матеріалу. Всередині диска є активний матеріал, що під накачкою отримує інверсну населеність носіїв заряду (наприклад, однорідний квантово-розмірний шар або активним є весь матеріал диска). Основні властивості подібних лазерів - це наднизькі пороги випромінювання, еквідистантно розташовані частоти та випромінювання, яке зосереджено в площині диска. Всі ці властивості знаходять пояснення, якщо робочими модами диска являються моди ШГ, поля яких притиснуті до краю диска з його внутрішньої сторони.

Надано огляд теоретичних підходів, прийомів і методів, які використовуються для моделювання пасивних ДР. Перш за все, вказано, що за допомогою так званого методу ефективного показника заломлення тривимірну задачу для тонкого ДР можна наближено звести до двовимірної в середній площині диска. Далі обговорюються переваги та недоліки двох найбільш поширених методів аналізу полів в ДР - ГО та методу СРЧО. Оскільки ці недоліки суттєві та неусувні, то в останній час спостерігається зростання числа публікацій, в яких використано методи об'ємних та граничних ІР. Найбільш обґрунтованим є використання граничних ІР Мюллера - пари зв'язаних ІР другого роду з інтеґровними та гладкими ядрами.

Нарешті, обговорюються можливості та недоліки моделі пасивного ДР щодо застосування в дослідженні лазерів як відкритих резонаторів з активними зонами та обґрунтовується необхідність модифікації задачі про власні частоти ДР. Запропоновано скористатися відомим описанням активного матеріалу як матеріалу з негативними втратами. Кожна комплексна власна частота ДР залежить аналітично від комплексного показника заломлення. При цьому для пасивних ДР усі частоти лежать строго в одній половині комплексної площини. Однак якщо уявна частина показника заломлення стає «активною», то власні частоти отримують можливість перейти в іншу півплощину. Для кожної моди перетинання частотою реальної осі відбувається при своєму значенні уявної частини показника заломлення як питомого по об'єму матеріального підсилення. Саме це значення відповідає порогу випромінювання - емісії незгасаючих електромагнітних хвиль.

Тому запропоновано зробити новий крок - відшукувати порогові значення «активного» показника заломлення разом із реальною власною частотою моди ДР, як два елементи одного й того ж власного значення. При цьому на межі активної зони слід вимагати неперервності тангенціальних компонент електромагнітного поля. Оскільки поля мод з реальною частотою не зростають на нескінченності, то для коректної постанови задачі достатньо використовувати умову випромінювання Зоммерфельда.

В другому розділі детально розглянуто двовимірні моделі тонких кругових дискових ДР як повністю, так і частково активних. Перш за все, тривимірна задача для тонкого діелектричного диска зводиться до двовимірної за допомогою відомого методу ефективного показника заломлення. При цьому вважається, що однорідний диск товщиною d та радіуса a розташовано у вільному просторі. Реальний показник заломлення його матеріалу зазначено через . Припускається, що електромагнітне поле залежить від часу гармонічним чином як , та хвильове число вільного простору є

,

де - це довжина хвилі. Ефективний показник заломлення співпадає з константою розподілення змінних (наближеної процедури) в площині диска та по нормалі до нього. Він знаходиться як розв'язок одновимірної задачі про постійні поширення власних хвиль в тонкому діелектричному шарі товщиною . В двовимірній задачі про поле в середній площині диска показник заломлення матеріалу замінюється на ефективне значення . Таким чином, виявляється залежним від частоти, а також номера та типу власної хвилі в шарі, якщо його товщина не мала.

Задача на власні значення для двовимірної моделі повністю активного диска модифікована таким чином, що поле задовольняє рівнянню Гельмгольца з комплексним показником заломлення всередині кола та при . На границі кола тангенціальні компоненти полів неперервні. Поле має також задовольняти умові локальної обмеженості енергії та підкорятися двовимірній умові випромінювання Зоммерфельда при . При дослідженні активного ДР, ми відшукуємо модифіковані власні значення як пари додатних величин, в даному випадку, та . Перше з них - нормована частота випромінювання, а друге - поріг випромінювання.

Використовуючи метод розділення змінних, було встановлено, що всі моди в круговому ДР розпадаються на незалежні ортогональні сім'ї за азимутальним індексом та є двічі виродженими при . Для мод кожної сім'ї отримані трансцендентні рівняння, коренями яких є дискретні значення та . Асимптотичний аналіз цих рівнянь показав, що нижчі моди, для яких номер сім'ї , мають великі радіаційні втрати, та їх пороги дорівнюють

Размещено на http://www.allbest.ru/

.(1)

Якщо ж , то відповідні моди - це моди ШГ, пороги яких спадають експоненційно з ростом частоти або індексу m:

Размещено на http://www.allbest.ru/

.(2)

При цьому асимптотичний вираз для нормованої частоти випромінювання має наступний вигляд (n - радіальний індекс моди):

Размещено на http://www.allbest.ru/

.(3)

На наведено результати обчислень власних частот та порогів випромінювання для диска з GaAs/InAs товщиною 200 нм, без урахування дисперсії , взятого як постійна поширення основної хвилі шару такої ж товщини при довжині хвилі випромінювання л=1550 нм. В цьому випадку ефективний показник заломлення для H_z-поляризованих мод. Можна чітко побачити гіперболу , яка відповідає (1) та «насичену» нижчими модами із усіх сімей, пороги яких . Нижче вказаної гіперболи власні значення утворюють «шари» за значеннями радіального індексу n згідно (2). Це моди ШГ, поля яких зазнають майже повне внутрішнє відбиття від границі диска. Ті з них, поля яких мають одну варіацію по радіусу , складають «еліту» власних мод: вони відзначаються найнижчими порогами у повній відповідності до (2). Врахування дисперсії змінює отримані результати тільки кількісно.

Далі розглянуто задачу про власні значення двовимірного кругового ДР з активною зоною у вигляді або кола меншого радіуса в центрі резонатора, або кільця, що прилягає до кромки резонатора. Прототипами таких ДР служать мікродискові лазери інжекційного типа, в яких електроди розташовано в центрі диска або вздовж його краю. При цьому щільність інжектованих носіїв, а значить і матеріальне підсилення, мають найбільше значення під електродом, швидко спадаючи по його сторонам. Для спрощення допускається, що матеріальне підсилення або постійне всередині кола радіуса і дорівнює нулю в кільці зовні цього кола, або навпаки. Тоді показник заломлення всередині диска дорівнює в його пасивній частині та в його активній частині. Характеристичні рівняння для мод були отримані за допомогою методу розділення змінних. Частоти випромінювання мод ШГ близькі до своїх значень в повністю активному диску. Залежність порогів мод сім'ї H_m,1 від нормованого радіуса активної або пасивної кругової області в центрі диска наведено на рис. 5. Як можна бачити, зменшення радіуса активної зони в центрі диска призводить до катастрофічного зростання порогів випромінювання. Якщо ж активна зона має форму кільця, то пороги випромінювання починають зростати, тільки якщо вона стає вуже, ніж область, зайнята інтенсивними плямами поля відповідної моди. Оскільки ці плями сильніше притиснуті до краю диска для мод з більшим m, то і активна зона для таких мод може бути звужена в більшій мірі без шкоди для порогів.

В третьому розділі розглянуто двовимірні моделі багатошарових відкритих ДР з круговою симетрією та частковою активною зоною. Оскільки моди різних часткових областей є зв'язаними між собою, то їх зазвичай називають супермодами. Спершу було досліджено дипольні супермоди найпростішої конфігурації такого роду - рівномірно активного диска всередині одного пасивного кільця, причому проміжок між диском та кільцем заповнено повітрям. Оскільки випромінювання мікродискового лазера зосереджено головним чином в площині диска, то наявність кільця дозволяє сподіватися на зниження радіаційних втрат, а значить, і на зниження порогів, що особливо важливо для мод найнижчих типів. За допомогою методу розділення змінних отримано характеристичні рівняння, корені яких знаходяться чисельно.

Було вивчено залежності частот і порогів випромінювання супермод, сформованих нижчими модами, при зміні ширини повітряного проміжку та кільця, а також досліджено їх поля. Встановлено, що пороги можуть бути як нижче, так і вище, ніж в активному одиночному диску, причому високим значенням порога завжди відповідає втягування поля моди до пасивного кільця або повітряного проміжку.

Далі досліджувались супермоди ШГ в активному диску, розташованому в центрі пасивного КРБ. Простежено формування знижених порогів для мод, частота яких попадає до смуги запирання КРБ. Показано, що додавання одного періоду КРБ, тобто пари кілець з різними показниками заломлення, надає змогу знизити поріг майже на порядок, якщо контраст між показниками великий. Однак спостерігаються ситуації, в яких поріг випромінювання моди різко зростає та перевищує своє значення в одному активному диску.

Для пояснення спостережуваних ефектів розглянуто теорему Пойнтинга для незгасаючих у часі власних мод лазерів як повністю активних відкритих ДР і резонаторів з частковими активними зонами, відповідно. Отримано простий аналітичний зв'язок між порогом випромінювання ї моди, з одного боку, та її добротністю і коефіцієнтом перекриття електричного поля даної моди з активною зоною, з іншого боку:



Размещено на http://www.allbest.ru/

(4)

Добротність моди в активному відкритому резонаторі визначається як відношення запасеної в ньому енергії до втраченої на випромінювання, коефіцієнт перекриття _ відношення енергії електричного поля в активній зоні до повної енергії в об'ємі резонатора, а об'єм відкритого резонатора - область всередині мінімальної сфери, яка включає у себе всі його елементи. Якщо в правій частині (4) знехтувати величинами порядку , то достатньо обчислювати поля як в пасивному резонаторі, не враховуючи активної зони. Таким чином, для того, щоб мода мала низький поріг випромінювання, недостатньо мати велику добротність при відсутності накачки - необхідно ще забезпечити добре перекриття поля моди з активною зоною.

Наведено результати обчислень, які демонструють, що якщо частоту та поріг знайдено із строгого характеристичного рівняння, то співвідношення (4) виконується з машинною точністю. Для мод з малими порогами, таких як моди ШГ активного диска в пасивному КРБ, побудовано залежності порогів мод і коефіцієнтів перекриття активної зони від геометричних параметрів. Ці дві величини демонструють взаємно обернену поведінку, що повністю відповідає (4).

В четвертому розділі вивчаються двовимірні моделі зв'язаних активних кругових резонаторів у вигляді циклічних фотонних молекул (ФМ). В ролі найпростішої структури було розглянуто ФМ із двох активних ідентичних кругових резонаторів, які служать моделлю пари тонких дисків в одній площині. Така структура має дві лінії симетрії, тому всі супермоди в ній розділяються на 4 ортогональні класи з різними властивостями щодо симетрії відносно цих ліній. Для мод кожного класу застосування методу розділення змінних разом із граничними умовами та умовою локальної обмеженості енергії і випромінювання приводить до однорідних матричних рівнянь Фредгольма другого роду. В силу їх спектральної еквівалентності до первинної задачі, її власні значення співпадають з нулями відповідного детермінанта. Їх можна відшукувати чисельно після редукції детермінанта до скінченого порядку, причому зі збільшенням порядку збіжність наближених значень до точних гарантовано завдяки фредгольмовості матричного оператора.

Обчислення власних значень для супермод усіх чотирьох класів, які побудовані на модах ШГ в кожному диску, при зміні відстані між дисками показали, що пороги випромінювання можуть бути як вище, так і нижче, ніж поріг випромінювання такої ж моди ШГ в одиночному диску. Ці дослідження було узагальнено для більш складних зв'язаних ДР, які зроблено як циклічно-симетричні ФМ (ЦФМ) із М активних ідентичних кругових дисків. В таких структурах кількість класів супермод з різноманітною симетрією дорівнює М+1 або М+2, в залежності від парності М, причому найбільш цікаві ті з них, які мають найбільшу симетрію або антисиметрію. Для кожного з класів задачу на власні значення зведено до однорідного матричного рівняння з оператором Фредгольма другого роду. Чисельне дослідження частот і порогів супермод продемонструвало, що поріг можна значно знизити шляхом підбору відстані між елементарними резонаторами.

При цьому було виявлено суттєву різницю у властивостях супермод, побудованих на найнижчих модах (монопольних або дипольних) і на модах ШГ. В першому випадку зниження порогів за рахунок збирання маленьких дисків до ЦФМ має місце тільки для супермод максимально антисиметричного класу, причому цей ефект має нерезонансний характер та виявляється тим сильніше, чим менш відстань між елементарними дисками. Додавання нової пари дисків до ЦФМ знижує поріг таких супермод приблизно на порядок, що пояснюється більш повним взаємним загашенням полів, які випромінюються сусідніми дисками протифазно. В другому випадку поріг супермоди ШГ будь-якого класу від початку низький, оскільки елементарні диски достатньо великі. Встановлено, що його можна знизити і далі, якщо правильно підібрати відстань між дисками. Цей ефект спостерігається, якщо відстань між дисками приблизно дорівнює їх радіусу. Він носить резонансний характер (похибка настройки порядку 0,1 радіуса одного диска), що пояснюється більш складною інтерференцією полів, які випромінюються дисками великого хвильового розміру.

В п'ятому розділі розглянуто двовимірні граничні ІР Мюллера для аналізу електромагнітного поля в присутності однорідного діелектричного тіла з довільною межею, а також побудовано ефективний чисельний алгоритм для їх розв'язання. Цей алгоритм застосовується для дослідження частот, порогів випромінювання та полів власних Н-мод в тонкому рівномірно активному ДР з контуром у вигляді спіралі.

Для кожної поляризації зведення задачі на власні значення для рівнянь Максвела з додатковими умовами до еквівалентних їй двох зв'язаних граничних ІР Мюллера виконується за допомогою формул Гріна.

Для дискретизації ІР було використано метод квадратур (метод Найстрома). Цей метод засновано на заміщенні інтегралів наближеними сумами за допомогою відповідних квадратур, які враховують поведінку підінтегральних функцій, в тому числі й їх сингулярності.

Оскільки деякі з ядер мають логарифмічну особливість, то їх доречно виділити. Далі, для чисельного інтегрування частин з логарифмами ми використовуємо квадратурну формулу на рівномірній сітці вузлів, яка отримана шляхом апроксимації підінтегральної функції тригонометричними поліномами, а для регулярних частин ядер використовується правило трапецій.

В ролі функції параметризації спірального контуру було обрано кусково-задану функцію полярного кута, яка включає в себе два параметри: - нормована на мінімальний радіус резонатора висота виступу спіралі та - кут нахилу виступу. Вона є гладкою (неперервною з неперервною похідною), але її кривизна (друга похідна) має скінченні стрибки в двох точках. Тому швидкість збігання при збільшенні порядку інтерполяції невелика, і на стандартному комп'ютері отримання 3-4 вірних цифр у власному значенні вимагає близько 1-2 годин машинного часу.

Розрахунки показали, що при деформації кругового контуру до спірального двічі вироджені моди з азимутальним індексом розпадаються на дублети, які мають відмінні власні поля (рис. 10). Моди в дублеті позначають наступним чином: , де два нижні індекси, як і в круговому резонаторі, описують число варіацій поля по азимуту та по радіусу, а верхні індекси (high, low) відповідають значенням порогів випромінювання мод в дублеті.

При зменшенні висоти виступу спіралі моди дублету зближуються і по частоті, і по порогу випромінювання, а при співпадають. На рис. 9 наведено криві залежностей частот та порогів випромінювання для мод ШГ дублету . Видно, що виступ висотою приводить до підвищення порога на порядок у обох мод дублета порівняно із круговим резонатором. В дальній зоні поля обох мод дублета мають 1-2 виражених головних пелюстка, на відміну від 2m однакових пелюстків для моди з азимутальним індексом m в круговому резонаторі.

електромагнітний резонатор двовимірний випромінювання

Висновки

В дисертаційній роботі розвинуто новий підхід щодо вирішення актуальних задач радіофізики, який полягає в розробці лінійної електродинамічної моделі, здатної описати не тільки частоти, але й пороги випромінювання власних електромагнітних полів в діелектричних резонаторах з активними зонами. В рамках цієї моделі розв'язано модифіковані задачі на власні значення для декількох важливих типів двовимірних діелектричних резонаторів. Серед них - одиночні повністю активні та частково активні резонатори кругової форми, зв'язані кругові резонатори, а також повністю активні некругові резонатори.

Побудова вказаних розв'язків засновано на наступних елементах:

· введенні до розгляду активної зони, всередині якої знаходиться активний матеріал; цей матеріал характеризується «негативним поглинанням», а на границі виконуються умови неперервності тангенціальних компонент електромагнітних полів;

· постановці математично коректної задачі про власні значення, які складаються з упорядкованих пар реальних чисел - частот і порогів випромінювання мод (уявних частин показника заломлення в активній зоні);

· застосуванні широко відомого наближеного методу ефективного показника заломлення для зниження розмірності задачі для тонких діелектричних резонаторів;

· зведенні задачі про власні моди до трансцендентних рівнянь або детермінантних рівнянь Фредгольма другого роду, що гарантує дискретність власних значень та збіжність алгоритмів їх пошуку;

· застосуванні граничних інтегральних рівнянь Мюллера та експоненційно збіжного методу квадратур для їх дискретизації в задачі про моди в резонаторі з довільним гладким контуром; використанні двопараметричного методу Ньютона для ітеративного пошуку власних значень як коренів отриманих трансцендентних або детермінантних рівнянь;

· чисельному контролі закону збереження енергії (теореми Пойнтинга) для власних мод активних діелектричних резонаторів;

· систематичній перевірці виконання граничних умов для полів мод, а також граничних переходів до простих конфігурацій.

При виконанні роботи отримані наступні основні результати:

1. Задачу про находження власних мод відкритих діелектричних резонаторів вперше сформульовано таким чином, що можна врахувати наявність активної зони в резонаторі та, завдяки цьому, знайти спектри та пороги випромінювання мод як елементи власних значень.

2. Вперше встановлено на базі рівнянь Максвелла простий аналітичний зв'язок порога випромінювання моди у відкритому резонаторі з її добротністю та перекриттям поля моди з активною зоною резонатора.

3. Побудовано ефективні чисельні алгоритми розрахунку частот та порогів випромінювання, а також полів мод в ближній та дальній зоні для активних кругових резонаторів, циклічних фотонних молекул із них та двовимірних резонаторів з довільним гладким контуром.

4. Встановлено, що в тонкому одиночному мікродиску є нижчі моди з високими порогами випромінювання та моди ШГ з ескпоненційно низькими порогами.

5. Показано, що, з'єднуючи мікродиски до циклічних фотонних молекул, можна добитися зниження порогів випромінювання супермод (зв'язаних мод), побудованих як на нижчих модах, так і на модах ШГ.

6. Виявлено, що в структурі тонкий активний диск + пасивний кільцевий відбивач поріг випромінювання супермоди може бути як нижче, так і вище, ніж в одиночному диску. Це залежить від міри перекриття поля з активною зоною. Поріг різко зростає при втягуванні поля до пасивних областей резонатора.

7. Продемонстровано, що деформація тонкого мікродиска до спірального резонатора приводить до розщеплення мод на дублети. При цьому спрямованість випромінювання мод ШГ підвищується, однак їх пороги зростають. Головним фактором є хвильова висота виступу на контурі. Отримані результати дозволяють розглядати форму та розташування активної зони як параметри, за допомогою яких можна керувати порогами випромінювання мод в діелектричних резонаторах. Вони також вказують на шляхи зниження порогів та підвищення спрямованості випромінювання за рахунок змінення форми контуру (для одиночних резонаторів) та властивостей симетрії (для зв'язаних резонаторів). Тим самим, вони можуть використовуватись для інтерпретації експериментальних даних та для пошуку перспективних конфігурацій шляхом попереднього моделювання мікролазерів.

Список основних публікацій за темою дисертації

1. Smotrova E.I. Mathematical study of the two-dimensional lasing problem for the whispering-gallery modes in a circular dielectric microcavity / E.I. Smotrova, A.I. Nosich // Optical and Quantum Electronics. - 2004. _ Vol. 36, № 1-3. _ Р. 213-221.

2. Smotrova E.I. Cold-cavity thresholds of microdisks with uniform and non-uniform gain: quasi-3D modeling with accurate 2D analysis / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.М. Benson, P. Sewell // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. - 2005. _ Vol. 11, № 5. - P. 1135-1142.

3. Smotrova E.I. Optical coupling of whispering gallery modes in two identical microdisks and its effect on the lasing spectra and thresholds / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.М. Benson, P. Sewell // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. - 2006. _ Vol. 12, no 1. _ P. 78-85.

4. Smotrova E.I. Threshold reduction in a cyclic photonic molecule laser composed of identical microdisks with whispering gallery modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // Optics Letters. - 2006. _ Vol. 31, № 7. _ P. 921-923.

5. Smotrova E.I. Ultralow lasing thresholds of the pi-type supermodes in cyclic photonic molecules composed of sub-micron disks with monopole and dipole modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // IEEE Photonics Technology Letters. - 2006. _ Vol. 18, № 19. _ P. 1993-1995.

6. Nosich A.I. Trends in microdisk laser research and linear optical modeling / A.I. Nosich, E.I. Smotrova, S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell // Optical and Quantum Electronics. - 2007. _ Vol. 39, № 15. _ P. 1253-1272.

7. Smotrova E.I. Lasing frequencies and thresholds of the dipole-type supermodes in an active microdisk concentrically coupled with a passive microring / E.I. Smotrova, J. Ctyroky, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // Journal of Optical Society of America A. - 2008. _ Vol. 25, № 11. _ P. 2884-2892.

8. Smotrova E.I. Optical fields of the lowest modes in a uniformly active thin sub-wavelength spiral microcavity / E.I. Smotrova, T.M. Benson, J. Ctyroky, R. Sauleau, A.I. Nosich // Optics Letters. - 2009. _ Vol. 34, № 24. -

P. 3773-3775.

9. Smotrova E.I. Effective index dispersion account in the cold model of disk resonator with uniform gain / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, S.V. Boriskina, T.М. Benson, P. Sewell, // Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Sub-Millimeter Waves: int. symp., 21-26 June, 2004: symp. proc. _ Kharkiv, 2004. Vol. 1. _ P. 338-340.

10. Smotrova E.I. Cold-cavity lasing spectra and thresholds of two optically coupled resonators with whispering-gallery modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // Antennas and Electromagnetics: int. conf., 15-17 June, 2005: conf. proc. _ Saint Malo, 2005. _ P. 298-299.

11. Smotrova E.I. Linear threshold analysis of a photonic molecule laser formed by a cyclic array of submicron semiconductor disks with non-whispering-gallery modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // Transparent Optical Networks: int. conf., 18-22 June, 2006; conf. proc. - Nottingham, 2006. _ Vol. 1. _ P. 82-83.

12. Smotrova E.I. Lasing spectra and thresholds of a circular microcavity laser embedded in an annular Bragg reflector / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // “Days on Diffraction”: int. conf., 29 May-1 June, 2007: conf. proc. _ St. Petersburg, 2007. _ P. 82.

13. Smotrova E.I. Nystrom-type technique for numerical analysis of lasing spectra and thresholds of arbitrary-shape active 2-D microcavities / E.I. Smotrova, T.M. Benson, P. Sewell, J. Ctyroky, A.I. Nosich // Advanced Optoelectronics and Lasers: int. conf., 29 September _ 4 October, 2008: conf. proc. _ Alushta, 2008. _ P. 363-365.

АНОТАЦІЇ

Смотрова О.І. Електромагнітні поля та пороги випромінювання в одиночних і зв'язаних двовимірних діелектричних резонаторах з активними зонами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 - радіофізика. - Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, м. Харків, 2010.

На основі рівнянь Максвелла з точними граничними умовами та умовою випромінювання на нескінченності побудовано лінійну модель для дослідження власних електромагнітних полів в одиничних і зв'язаних двовимірних діелектричних резонаторах з активними зонами. Модель передбачає введення в активній зоні комплексного показника заломлення, уявна частина якого описує матеріальне підсилення (негативне поглинання). На границі активної зони ставляться додаткові граничні умови. Власними значеннями є пари дійсних чисел: частоти випромінювання та порогові значення матеріального підсилення. Кожній такій парі відповідає своє поле (мода). На основі теореми Пойнтинга встановлено простий аналітичний зв'язок порога випромінювання моди у відкритому резонаторі з її добротністю та перекриттям електричного поля моди з активною зоною резонатора. Побудовані чисельні алгоритми для розрахунку спектрів частот і порогів випромінювання мод, а також їх полів у ближній та дальній зонах. Проведено систематичні дослідження власних частот, порогів випромінювання і полів мод одиночного кругового резонатора, в тому числі повністю активного та з частковою активною зоною; активного диска з пасивним кільцевим рефлектором Брегга; циклічних фотонних молекул з активних кругових резонаторів; активного одиночного резонатора із спіральним контуром. Надано рекомендації щодо зниження порогів та підвищення спрямованості випромінювання в таких приладах. Ключові слова:. двовимірний діелектричний резонатор, активна зона, мікрорезонаторний лазер, фотонна молекула, власна мода, електромагнітне поле, частота випромінювання, поріг випромінювання, коефіцієнт перекриття.

Смотрова Е.И. Электромагнитные поля и пороги излучения в одиночных и связанных двумерных диэлектрических резонаторах с активными зонами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 - радиофизика. - Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины, г. Харьков, 2010.

Построена линейная модель на основе уравнений Максвелла с точными граничными условиями и условием излучения для исследования собственных электромагнитных полей в одиночных и связанных двумерных диэлектрических резонаторах с активными зонами. Модель подразумевает введение в активной зоне комплексного показателя преломления, мнимая часть которого описывает материальное усиление (отрицательное поглощение). На границе активной зоны ставятся дополнительные граничные условия для тангенциальных компонент полей. Предложено отыскивать пороговые значения «активного» показателя преломления вместе с вещественной собственной частотой. Собственные значения - это упорядоченные пары вещественных чисел: частоты излучения и пороговые значения материального усиления. Каждой такой паре соответствует свое поле (мода). Поскольку поля мод с реальной частотой не возрастают на бесконечности, то для корректной постановки задачи используется условие излучения Зоммерфельда.

Понижение размерности граничной задачи о собственных модах тонкого диэлектрического резонатора осуществляется с помощью метода эффективного показателя преломления. Двумерная задача для собственных мод сводится к трансцендентным уравнениям или к детерминантным уравнениям Фредгольма второго рода, что гарантирует дискретность собственных значений и сходимость численных алгоритмов их поиска. С помощью теоремы Пойнтинга установлена простая аналитическая связь порога излучения моды в открытом резонаторе с ее добротностью и степенью перекрытия ее электрического поля с активной зоной резонатора. Разработаны численные алгоритмы для расчета спектров и порогов излучения мод, а также их полей в ближней и дальней зонах.

Проведены систематические исследования собственных частот, порогов излучения и полей для мод одиночного кругового резонатора, в том числе полностью активного и с частичной (радиально неоднородной) активной зоной; активного диска в пассивном кольце и в кольцевом рефлекторе Брэгга; циклических фотонных молекул из активных круговых резонаторов; активного одиночного резонатора со спиральным контуром.

Установлено, что в тонком одиночном микродиске есть низшие моды с высокими порогами излучения и моды шепчущей галереи с экспоненциально низкими порогами. Показано, что, объединяя микродиски в циклические фотонные молекулы, можно добиться снижения порогов излучения супермод (связанных мод), построенных как на низших модах, так и на модах шепчущей галереи. Обнаружено, что в структуре тонкий активный диск + пассивный кольцевой отражатель порог излучения супермоды может быть как ниже, так и выше, чем в одиночном диске. Это зависит от перекрытия поля с активной зоной. Порог резко возрастает при втягивании поля в пассивные области резонатора.

Решение задачи о модах в резонаторе с произвольным гладким контуром построено на использовании граничных интегральных уравнений Мюллера и экспоненциально сходящегося метода квадратур для их дискретизации. Продемонстрировано, что деформация тонкого микродиска в спиральный резонатор приводит к расщеплению мод на дублеты. При этом направленность излучения мод шепчущей галереи улучшается, однако их пороги излучения возрастают. Главным фактором является волновая высота ступеньки на контуре.

Полученные результаты позволяют рассматривать форму и расположение активной зоны в качестве параметров, с помощью которых можно управлять порогами излучения мод в диэлектрических резонаторах. Они также указывают пути понижения порогов и повышения направленности излучения за счет изменения формы контура (для одиночных резонаторов) и свойств симметрии (для связанных резонаторов). Тем самым они могут использоваться для интерпретации экспериментальных данных и для поиска перспективных конфигураций путем предварительного моделирования микролазеров.

Ключевые слова: двумерный диэлектрический резонатор, активная зона, микрорезонаторный лазер, фотонная молекула, собственная мода, электромагнитное поле, частота излучения, порог излучения, коэффициент перекрытия.

Smotrova E.I. Electromagnetic fields and emission thresholds in solitary and coupled two-dimensional dielectric resonators with active regions - Manuscript.

Thesis for the Ph.D. degree in Physics and Mathematics with the specialization 01.04.03 Radiophysics. - A. Usikov Institute of Radiophysics and Electronics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2010.

Based on the Maxwell equations with exact boundary conditions and radiation condition at infinity, new linear model for the analysis of electromagnetic eigenmodes in solitary and coupled dielectric resonators with active regions is built. The model implies that complex refractive index is introduced in the active region with imaginary part characterizing material gain (i.e., negative losses). The presence of partial active region boundaries requires additional boundary conditions. Eigenvalues are sought as pairs of real values: lasing frequency and threshold material gain. Each pair generates a corresponding eigenfunction, i.e. eigenmode field. An analytical relationship has been found between the mode emission threshold and its Q-factor and electric field overlap with the active region in the open cavity. Efficient numerical algorithms for calculating the frequency spectra, mode emission thresholds and near- and far zone mode fields have been developed. Systematic investigation of spectra, emission thresholds and electromagnetic fields have been performed for the modes of solitary circular resonators, both uniformly active and with radially non-uniform active regions, active disks surrounded with annular passive Bragg reflectors, cyclic photonic molecules composed of active disks, and solitary active spiral resonators. Recommendations on possible ways of threshold reduction and directivity improvement in such kind of devices are given.

Key words: two-dimensional dielectric resonator, active region, microcavity laser, photonic molecule, natural mode, lasing frequency, lasing threshold, overlap coefficient.

Размещено на Allbest.ru

...