Дослідження щільностей імовірностей акустичних сигналів методом ортогональних подань

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

05.09.08 - Прикладна акустика та звукотехніка

ДОСЛІДЖЕННЯ ЩІЛЬНОСТЕЙ ІМОВІРНОСТЕЙ АКУСТИЧНИХ СИГНАЛІВ МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНИХ ПОДАНЬ

Берегун Віктор Сергійович

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України

«Київський політехнічний інститут» Міністерства освіти і науки України на кафедрі акустики та акустоелектроніки.

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Красильніков Олександр Іванович,

Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», доцент кафедри акустики та акустоелектроніки факультету електроніки.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Калюжний Олександр Якович,

Державне науково-виробниче підприємство (ДНВП) «Дельта» Міністерства промислової політики України, заступник директора з наукової роботи;

доктор технічних наук, професор

Мислович Михайло Володимирович,

Інститут електродинаміки НАН України, завідувач відділу № 12 (відділ теоретичної електротехніки).

Захист відбудеться 8 червня 2010 р. о 15.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.002.19 в Національному технічному університеті України

«Київський політехнічний інститут» за адресою 03056, м. Київ-56, просп. Перемоги, 37, корп. 12, ауд. 412.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці НТУУ «КПІ» за адресою 03056, м. Київ-56, просп. Перемоги, 37.

Автореферат розісланий «_______»___________________ 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат технічних наук, доцент В.Б. Швайченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із напрямів прикладної акустики є створення приладів та систем для дослідження, контролю та діагностики стану фізичних та технічних об'єктів на підставі використання ефектів акустики, що виникають в цих об'єктах.

В пасивних акустичних системах носіями інформації є флуктуаційні сигнали, які формуються досліджуваними об'єктами в результаті їхнього природного функціонування - шуми кавітації, сигнали акустичної емісії, віброакустичні шуми, морські шуми, акустичні біомедичні сигнали та ін. Носіями інформації в активних акустичних системах - гідролокаторах, дефектоскопах, ультразвукових контрольно-вимірювальних приладах та ін., є ехосигнали, які являють собою результат відбиття зондуючих сигналів об'єктами, властивості яких відрізняються від властивостей оточуючого середовища.

Для вирішення різноманітних задач обробки акустичних сигналів - виявлення, класифікації, вимірювання та ін., необхідно знати аналітичний вираз їхнього закону розподілу, зокрема, щільності імовірностей. В теперішній час найбільш поширеною моделлю акустичних випадкових сигналів є гауссівські процеси, однак в багатьох реальних випадках ця модель не є адекватною. Це підтверджується роботами Д. Мідлтона, Г. Ван Тріса, Р. Дж. Уріка, В.А. Акулічева, В.І. Ільїчова, В.В. Ольшевського, В.П. Морозова, Ю.Б. Дробота, О.С. Трипаліна, С.І. Буйла та ін., в яких досліджені імовірнісні характеристики акустичних ехосигналів та флуктуаційних сигналів.

Для дослідження акустичних сигналів використовуються моделі, які розроблені В.І. Бунімовичем, С. Райсом, Р.Л. Стратоновичем, Б.Г. Марченком, Р. Луганнані, В.С. Пугачовим, А.М. Малаховим, В.В. Ольшевським, Д. Мідлтоном, Г. Ван Трісом, Ю.П. Кунченком, Ш.М. Чабдаровим та ін. Аналіз цих моделей показує, що закони розподілу негауссівських сигналів відносно просто можуть бути виражені за допомогою характеристичних функцій, однак знаходження щільності імовірностей за формулою обернення в більшості випадків не має точних аналітичних розв'язків.

При вирішенні задач аналізу функціональних перетворень випадкових сигналів існують суттєві проблеми, які досліджені в роботах Д. Мідлтона, Б.Р. Левіна, Р. Дьоча, В.С. Пугачова, В.І. Тихонова, А.М. Малахова, Л.П. Зачепицької, І.Ф. Бойка, О.І. Шелухіна, І.В. Белякова та ін. При подачі на лінійну систему гауссівських випадкових процесів процеси на виході системи теж будуть гауссівськими, а для негауссівських вхідних процесів можуть відбуватись ефекти нормалізації та денормалізації вихідних процесів. Задача точного знаходження щільності імовірностей процесів на виході лінійної системи при негауссівських вхідних процесах дотепер не розв'язана. При проходженні випадкових сигналів через нелінійні системи їхній закон розподілу принципово змінюється. Точні розв'язки задачі знаходження щільності імовірностей випадкових процесів на виході нелінійної системи можливі за умов, коли відома щільність імовірностей вхідного процесу, а нелінійна система є безінерційною та має монотонну амплітудну характеристику.

Таким чином, як при знаходженні щільності імовірностей самих акустичних сигналів, так і при аналізі результатів їхніх функціональних перетворень, в більшості випадків необхідно застосовувати наближені методи, найбільш поширеними з яких є системи розподілів Пірсона та Джонсона, суміші розподілів, ортогональні подання.

В даній роботі для знаходження щільності імовірностей акустичних сигналів використовуються ортогональні подання, розроблені П.Л. Чебишовим, К. Шарльє, Ф. Еджвортом, Г. Крамером, М. Кендаллом, Р. Дьочем та ін. Ці подання, на відміну від інших наближених методів, дають можливість враховувати теоретичні чи експериментальні моменти всіх порядків, що дозволяє підвищити точність знаходження щільності імовірностей. Аналіз відомих літературних джерел показав, що практичне застосування ортогональних подань щільності імовірностей стримується наявністю ряду нерозв'язаних задач.

Так, здебільшого для знаходження щільностей імовірностей використовують поліноми Ерміта або Лагерра, причому їх вибір строго не обґрунтовується, крім схожості форми щільності імовірностей та вагової функції; враховують лише кілька перших складових ортогональних рядів без аналізу впливу решти складових ряду; не вирішена проблема появи від'ємних значень ортогонального ряду; не досліджені властивості оцінок коефіцієнтів розкладу та імовірнісних характеристик оцінки щільності імовірностей загалом.

Таким чином, актуальною є задача розробки теоретично обґрунтованих методів та реалізуючих їх алгоритмів, які б дозволили практично використовувати ортогональні подання для знаходження щільності імовірностей акустичних сигналів та їхніх функціональних перетворень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, викладені в дисертації, пов'язані з науковими тематиками та темами навчального процесу кафедри акустики та акустоелектроніки Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут», а також використовувались при виконанні НДР «Апаратно-програмний комплекс для визначення швидкості звуку у міжтрубному просторі нафтових свердловин і створення баз даних» (номер державної реєстрації 0104U003180) і НДР «Розробка інтелектуальної фазованої решітки для дистанційного прослуховування джерел мовної інформації» (номер державної реєстрації 0107U002346), які виконувались в ОКБ «Шторм».

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є обґрунтування наближеного теоретичного та експериментального знаходження щільності імовірностей акустичних сигналів та їхніх функціональних перетворень методом ортогональних подань.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

- проаналізувати математичні моделі акустичних сигналів та існуючі методи знаходження їхніх щільностей імовірностей;

- систематизувати ортогональні подання щільності імовірностей, зокрема, обґрунтувати форму та вагові функції ортогональних подань;

- з'ясувати умови, при яких забезпечується невід'ємність ортогональних подань щільності імовірностей;

- дослідити помилки наближення щільності імовірностей при обмеженні ортогонального ряду скінченною кількістю його складових;

- дослідити імовірнісні характеристики оцінки щільності імовірностей при її ортогональному поданні;

- розробити методи та алгоритми практичного застосування ортогональних подань щільності імовірностей.

Об'єктом дослідження є акустичні сигнали, які формуються внаслідок випромінювання або перевипромінювання акустичних хвиль у досліджуваних об'єктах.

Предметом дослідження є одновимірна щільність імовірностей акустичних сигналів.

Методи дослідження. Для розв'язку поставлених задач використовувалися методи фізичної та прикладної акустики, функціонального аналізу, прикладної теорії випадкових процесів і прикладної статистики, статистичного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів:

- уперше запропоновано форму подання щільності імовірностей у вигляді ряду, в якому базисні функції визначаються ваговою функцією і є незмінними для будь-яких випадкових процесів, що дозволяє теоретично знаходити щільності імовірностей акустичних сигналів та їхніх функціональних перетворень за відомими початковими моментами;

- уперше методами математичного моделювання отримані області невід'ємності для рядів Ерміта (4 і 6 складових) і Лагерра (4 складових), що дало змогу практично з'ясувати межі використання ортогональних апроксимацій щільності імовірностей в залежності від конкретних значень кумулянтних коефіцієнтів;

- запропоновані та використані методи узагальненого додавання у вигляді сум Фейєра та Валле-Пуссена для ортогональних подань щільності імовірностей, що дозволило отримати в окремих випадках краще наближення в порівнянні з використанням часткових сум нескінченного ряду;

- запропоновано метод топографічного зображення помилок при ортогональних поданнях щільності імовірностей, що дозволяє обирати вид ортогонального ряду та кількість його складових виходячи з наперед заданої максимальної помилки;

- уперше запропонована оцінка щільності імовірностей у вигляді ряду, коефіцієнтами якого є оцінки початкових моментів, та отримані її імовірнісні характеристики, що дозволило встановити нормальність, незміщеність і слушність оцінки щільності імовірностей та здійснити її інтервальне оцінювання.

Практичне значення одержаних результатів полягає в наступному:

- систематизовані та доповнені розрахункові формули для знаходження коефіцієнтів розкладу (по шостий включно) щільності імовірностей випадкових процесів в ряди по класичних ортогональних поліномах, причому для рядів Лежандра і Чебишова другого роду це зроблено уперше;

- розроблено пакет програм для знаходження щільності імовірностей акустичних сигналів та результатів їхніх функціональних перетворень, який дозволяє знаходити коефіцієнти розкладу, будувати ортогональні ряди з різною кількістю складових, розраховувати помилки апроксимації;

- запропоновано методику та розроблено комп'ютерну програму експериментального визначення щільності імовірностей ергодичних випадкових процесів та дослідження помилок оцінювання;

- для типових моделей сигналів акустичної емісії та шумів кавітації з експоненційною, експоненційно-степеневою та експоненційно-синусною формами елементарних імпульсів отримані теоретичні та експериментальні щільності імовірностей та досліджені помилки їхнього оцінювання;

- проведено статистичний аналіз шумів колінних суглобів з використанням ортогональних подань щільностей імовірностей, що виявив інформативність кумулянтних коефіцієнтів та щільності імовірностей миттєвих значень та рівнів звукового тиску для визначення норми і патологій.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих роботах [1-7] особистий внесок здобувача полягає в проведенні математичних розрахунків, а саме в знаходженні коефіцієнтів розкладу для різних ортогональних рядів [1-3], дослідженні помилок наближення за допомогою цих рядів [1-3], розробці алгоритмів математичних моделювань [1-3, 5, 6], що стосуються ортогональних подань щільності імовірностей; обробці наукової літератури [4, 7]; проведенні експериментальних досліджень [5].

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались і обговорювались на 8-и конференціях: XXIII і XXIV Міжнародних науково-технічних конференціях «Проблемы электроники» (2003, 2004), на другій науково-практичній конференції «Проблеми та перспективи розвитку транспортних систем: техніка, технологія, економіка і управління» (2004), на Міжнародній конференції “Dynamical System Modelling and Stability Investigation” (2005), на ІІІ Міжнародній науково-технічній конференції студентства та молоді «Світ інформації та телекомунікацій - 2006», на одинадцятій (2006) та дванадцятій (2008) Міжнародних наукових конференціях імені академіка М.Кравчука, на ІІ конференції з міжнародною участю «Актуальні проблеми біомедичної інженерії, інформатики, кібернетики і телемедицини» (2007) і наукових семінарах кафедри акустики та акустоелектроніки.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 12 наукових праць, з них 7 - статті у провідних фахових виданнях, 5 - тези доповідей на науково-технічних конференціях.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертації становить 145 сторінок. Робота містить 168 рисунків, 2 додатки (обсягом 9 сторінок), 40 таблиць та список використаних джерел з 154 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 191 сторінку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційного дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено новизну отриманих результатів та їхнє практичне значення.

Перший розділ присвячено аналізу моделей акустичних сигналів і методів знаходження їхніх щільностей імовірностей.

Носіями інформації в пасивних акустичних системах є сигнали, які формуються досліджуваними об'єктами в результаті їхнього природного функціонування. Такі сигнали зазвичай являють собою випадкову послідовність елементарних імпульсів і отримали назву флуктуаційних. Прикладами акустичних флуктуаційних сигналів є шуми ультразвукової і гідродинамічної кавітації, сигнали акустичної емісії, віброакустичні шуми працюючих машин і механізмів, шуми, що виникають при розсіянні на неоднорідностях акустичного середовища, морські шуми, акустичні біомедичні сигнали - шуми дихання, шуми колінних суглобів, шуми серця та ін. Характерною особливістю флуктуаційних сигналів є широкосмуговість, часто вони є нестаціонарними випадковими процесами, а закон розподілу таких сигналів в багатьох випадках відрізняється від гауссівського. Аналіз відомих моделей сигналів в пасивних акустичних системах - процесів Бунімовича-Райса, пуассонівських імпульсних процесів, лінійних випадкових процесів - показав, що найбільш універсальною і добре дослідженою моделлю флуктуаційних сигналів є клас лінійних випадкових процесів, які мають безмежно подільні закони розподілу, окремим випадком яких є гауссівський розподіл. Для знаходження їхніх законів розподілу в явному вигляді необхідно застосовувати наближені методи.

Носіями інформації в активних акустичних інформаційних системах є ехосигнали, які являють собою результат відбиття зондуючих (випромінених) сигналів об'єктами, властивості яких відрізняються від властивостей навколишнього середовища. Розгляд основних моделей акустичних ехосигналів від наступних цілей - повільно флуктуюча точкова ціль; повільно флуктуюча точкова ціль з доплерівським розсіянням; повільно флуктуюча ціль, протяжна по дальності; протяжна ціль з доплерівським розсіянням - показав, що їхній закон розподілу, виходячи з центральної граничної теореми, зазвичай вважається гауссівським. Однак в багатьох випадках закон розподілу ехосигналів суттєво відрізняється від гауссівського. Зокрема, ехосигнали від морських суден часто мають розподіл Райса чи двовершинний розподіл.

Таким чином для знаходження щільності імовірностей як самих акустичних сигналів, так і при аналізі їхніх функціональних перетворень в багатьох випадках необхідно застосовувати наближені методи, найбільш розповсюдженими з яких є топографічні (системи розподілів Пірсона і Джонсона) і апроксимативні методи (метод моментів, метод найменших квадратів).

Для знаходження щільності імовірностей наближеними методами найбільш доцільним є використання апроксимативних методів, а саме ортогональних подань, оскільки вони дозволяють враховувати моменти всіх порядків, в той час як топографічні методи використовують тільки перші чотири моменти, що призводить в окремих випадках до значних помилок.

Подальше використання ортогональних подань щільності імовірностей в практичних задачах потребує вирішення ряду проблем, серед яких найважливішими є аналіз точності використання обмеженої кількості складових ортогонального ряду, з'ясування умов отримання невід'ємних значень подання, дослідження імовірнісних характеристик оцінки щільності імовірностей та ін.

Другий розділ присвячено систематизації ортогональних подань щільності імовірностей, яка насамперед полягає в обґрунтуванні форми та вагових функцій цих подань.

В залежності від конкретних значень параметра можна отримати різні форми ортогональних подань, найбільш поширеними з яких є наступні:

1. Форма І..

2. Форма ІІ..

3. Форма ІІІ..

Тому в подальшому доцільно використовувати форму ІІІ, оскільки лише для неї коефіцієнти розкладу можуть бути знайдені без знання щільності імовірностей, а лише за відомими початковими моментами розподілу:

З використанням форми III запропоновано нову форму ортогонального подання (форма IV) по початкових моментах, в якій базисні функції визначаються ваговою функцією і є незмінними для будь-яких випадкових процесів.

4. Форма ІV.

Виходячи з аналізу розв'язків рівняння Пірсона для вагових функцій, визначають класичні ортогональні поліноми - Ерміта, Лагерра і Якобі (Лежандра та Чебишова 1-го і 2-го роду), що добре вивчені в теоретичному плані.

Використання вищенаведених вагових функцій дозволяє здійснювати ортогональні подання стандартних щільностей імовірностей, які подібні цим ваговим функціям. В загальному випадку досліджувані щільності імовірностей необхідно узгодити зі стандартними шляхом лінійних перетворень. Це можна зробити двома способами.

1. Приведенням випадкового процесу, який має щільність імовірностей, до випадкового процесу стандартного виду зі щільністю імовірностей таким перетворенням:

де, - деякі сталі.

2. Лінійним перетворенням ортогонального подання стандартного випадкового процесу до процесу загального виду:

Тоді і будуть зв'язані наступним чином:

Для запропонованої форми ІV отримано явні вирази базисних функцій при врахуванні складових рядів по класичних ортогональних поліномах. Це дозволяє здійснювати подання для щільностей імовірностей, які визначені на інтервалах, і. Систематизовано і доповнено розрахункові формули для знаходження коефіцієнтів (по шостий включно) розкладу щільності імовірностей випадкових процесів в ряди, причому для рядів Лежандра і Чебишова 2-го роду це зроблено уперше.

Третій розділ присвячено дослідженню помилок апроксимації щільності імовірностей з використанням ортогональних подань при відомих початкових моментах.

Показано оптимальність ортогонального подання щільності імовірностей у формах ІІІ та IV в просторі при виконанні умови

Обґрунтовано використання інтегральної помилки (- апроксимація щільності імовірностей, - область визначення щільності імовірностей) як міри близькості до справжнього значення щільності імовірностей.

Для покращення збіжності ортогональних подань щільності імовірностей уперше запропоновано використання методів узагальненого додавання за допомогою суми Фейєра та суми Валле-Пуссена.

Уперше методами математичного моделювання отримані області невід'ємності для рядів Ерміта (4 і 6 складових) і Лагерра (4 складових).

Області невід'ємності (- граничні точки) для наступних рядів:

1) ряд Ерміта (4 складових)

2) ряд Ерміта (6 складових) для симетричних розподілів

3) ряд Лагерра (4 складових)

Отримані області невід'ємності дозволяють практично з'ясувати можливість використання ортогональних апроксимацій в залежності від конкретних значень кумулянтних коефіцієнтів.

Досліджено помилки апроксимації частковими сумами ортогональних рядів та узагальненими сумами щільностей імовірностей типових теоретичних розподілів - Стьюдента, суміші нормальних розподілів, гамма-розподілу рядами Ерміта; розподілів Релея та Вейбулла рядами Лагерра; бета-розподілів рядами Якобі. Отримані результати показали, що використання узагальнених сум частіше забезпечує краще наближення для щільностей імовірностей, визначених на нескінченному чи напівнескінченному інтервалах, а використання часткових сум - для щільностей імовірностей, визначених на обмеженому інтервалі.

Як приклад в табл. 1 наведено інтегральну помилку і максимальну помилку при апроксимації розподілу Релея як частковими, так і узагальненими сумами ряду Лагерра.

Таблиця 1. Помилки подання розподілу Релея

0,0679	0,0595	0,0589	0,0933	0,0759	0,0625	0,0572
0,0682	0,0649	0,0628	0,0849	0,0776	0,0714	0,0631

Уперше запропоновано метод топографічного зображення помилок при ортогональних поданнях щільності імовірностей, що дозволяє обирати вид ортогонального ряду та кількість його складових виходячи з наперед заданої допустимої помилки.

Суть метода полягає у знаходженні таких областей на площині, де забезпечуються помилки не більші за допустимі.

Загальна методика знаходження цих областей наступна:

1) задається допустима помилка;

2) вибирається щільність імовірностей з всіма відомими моментами, і, відповідно, відомими значеннями і;

3) здійснюється ортогональне подання для;

4) визначається помилка наближення ортогонального подання до;

5) якщо помилка не більша за , то в площині з'являється точка, що відповідає;

6) змінюючи параметри щільності імовірностей, повторюють п. 3-5.

Нижче зображено області, де відповідні ряди забезпечують інтегральну помилку не більшу за 0,05 при поданні щільності імовірностей бета-розподілу рядом Ерміта (Грама-Шарльє) (6 складових); та рядом Лагерра (6 складових). щільність імовірність акустичний сигнал

На графіках верхня лінія визначає гамма-розподіл, а нижня лінія є граничною, нижче якої не можуть існувати розподіли.

Четвертий розділ присвячено практичному використанню ортогональних подань щільності імовірностей, в першу чергу методам експериментального отримання щільності імовірностей.

З використанням форми IV запропонована оцінка щільності імовірностей.

Отримано математичне сподівання оцінки, її кореляційна функція та дисперсія.

Отримані імовірнісні характеристики дали можливість встановити незміщеність, слушність та нормальність запропонованої оцінки щільності імовірностей.

При експериментальному знаходженні невідомої щільності імовірностей використовується скінченна кількість складових, тобто

Визначена верхня межа дисперсії оцінки щільності імовірностей, яка визначається кількістю складових ортогонального ряду, обраною ваговою функцією та початковим моментом порядку:

З останнього виразу видно, що при вибраній ваговій функції і заданій кількості складових в оцінці необхідний об'єм вибірки визначається значенням моменту досліджуваного процесу.

Запропонована методика експериментального визначення щільності імовірностей ергодичних випадкових процесів, яка перевірена теоретично та експериментально для моделей процесів, що мають гауссівський та гамма-розподіли.

В табл. 2 наведені значення інтегральних середньоквадратичних помилок для різних об'ємів вибірки, ,.

Таблиця 2. Значення інтегральної помилки

500	0,0662	0,1001
1000	0,0468	0,0685
5000	0,0209	0,0252
10000	0,0148	0,0199
50000	0,0066	0,0115

Для типових моделей сигналів акустичної емісії та шумів кавітації з експоненційною, експоненційно-степеневою, експоненційно-синусною формами елементарних імпульсів в явному вигляді отримані теоретичні та експериментальні щільності імовірностей та досліджені помилки оцінювання, що підтверджують достовірність отриманих в дисертації теоретичних результатів.

В табл. 3 наведені оцінки інтегральної середньоквадратичної помилки для різних форм імпульсів і різних значеннях процесу (об'єм вибірки 50001 відлік).

Таблиця 3. Оцінки інтегральної середньоквадратичної помилки

експоненційний	0,067	0,059
експоненційно-степеневий	0,083	0,114
експоненційно-синусний	0,087	0,060

Проведено статистичний аналіз шумів колінних суглобів. З метою отримання діагностичних ознак були вибрані згладжені фоноартрограми, що являють собою залежності миттєвих значень шуму і рівнів звукового тиску від кутового переміщення суглобу.

В табл. 4 наведені оцінки кумулянтних коефіцієнтів трьох фоноартрограм для норми, фіброзного артозу та деформуючого артрозу для миттєвих значень (верхні рядки) і рівнів звукового тиску (нижні рядки).

Таблиця 4. Оцінки кумулянтних коефіцієнтів для повної тривалості фоноартрограм

0,3574±0,01	0,3162±0,01	-0,1034±0,02
-0,4085±0,04	0,8125±0,05	1,0680±0,08
0,3817±0,02	7,2665±0,03	31,619±0,09
1,3167±0,1	0,2358±0,09	0,3733±0,19
0,3666±0,05	1,9211±0,04	-16,781±0,18
-1,8106±0,25	-2,8607±0,18	-3,1593±0,56
4,0467±0,15	68,7150±0,16	1391,3±0,48
6,1588±0,43	-8,3084±0,54	-10,8202±1,24

Як видно з табл. 4 при наявності артрозу для миттєвих значень коефіцієнти і суттєво зростають у порівнянні з нормою; для рівнів звукового тиску коефіцієнт стає додатнім і збільшується, зменшується, коефіцієнт від'ємний і зростає по модулю, коефіцієнт стає від'ємним і зростає по модулю в порівнянні з нормою.

Отримані результати дозволили виявити інформативність кумулянтних коефіцієнтів і щільності імовірностей миттєвих значень та рівнів звукового тиску, сформулювати діагностичні ознаки для визначення норми і патологій.

В додатках наведені імовірнісні характеристики моделей акустичних флуктуаційних сигналів і основні відомості про топографічні подання щільності імовірностей.

ВИСНОВКИ

В дисертації розв'язана актуальна наукова задача прикладної акустики, яка полягає в обґрунтуванні наближеного теоретичного та експериментального знаходження щільності імовірностей акустичних сигналів та їхніх функціональних перетворень методом ортогональних подань.

1. Аналіз відомих моделей акустичних сигналів показав, що їхні закони розподілу в багатьох випадках відрізняються від гауссівського і в загальному випадку неможливо знайти аналітичні вирази щільностей імовірностей в замкненому вигляді, що потребує застосування наближених методів. Для знаходження щільності імовірностей обґрунтовано використання її ортогональних подань, які на відміну від інших наближених методів дозволяють враховувати всі моменти досліджуваних акустичних сигналів, однак їх практичне застосування потребує розв'язання задач дослідження точності при обмеженні ортогональних рядів, з'ясування умов невід'ємності подань, дослідження імовірнісних характеристик оцінки щільності імовірностей.

2. Проведена систематизація відомих форм ортогональних подань щільності імовірностей, в результаті якої обґрунтована доцільність застосування ряду з ваговою функцією, оскільки його коефіцієнти цілком визначаються моментами акустичних сигналів; уперше обґрунтовано явний вигляд вагових функцій як розв'язку диференційного рівняння Пірсона, які визначають класичні ортогональні поліноми, що добре вивчені в теоретичному плані.

3. Уперше запропоновано форму подання щільності імовірностей у вигляді ряду, в якому базисні функції визначаються ваговою функцією і є незмінними для будь-яких випадкових процесів, що дозволяє теоретично знаходити щільності імовірностей акустичних сигналів та їхніх функціональних перетворень при відомих початкових моментах. Систематизовано та доповнено подання щільностей імовірностей в ортогональні ряди по поліномах Ерміта, Лагерра, Якобі, для яких знайдені в явному вигляді базисні функції, вирази для коефіцієнтів розкладу по шостий включно (для поліномів Лежандра та Чебишова другого роду - уперше).

4. Уперше отримані області значень кумулянтних коефіцієнтів, які визначають невід'ємність часткових сум рядів Ерміта (4 і 6 складових) і Лагерра (4 складових), що дозволило практично з'ясувати межі використання ортогональних подань щільності імовірностей акустичних сигналів. Так для ряду Ерміта (6 складових) для симетричних розподілів значення кумулянтного коефіцієнта має знаходитись в діапазоні -0,4..4,2, а коефіцієнта в діапазоні -1,5..13,4.

5. Запропоновано застосування методів узагальнених сум Фейєра та Валле-Пуссена для ортогональних подань щільності імовірностей, використання яких перевірено для ортогональних подань щільностей імовірностей типових теоретичних розподілів, що підтвердило достовірність отриманих результатів, дало змогу дослідити помилки наближення і сформулювати рекомендації для використання ортогональних подань.

6. Запропоновано метод топографічного зображення помилок при ортогональних поданнях щільності імовірностей, що дозволяє обирати вид ортогонального ряду та кількість його складових виходячи з наперед заданої максимальної помилки.

7. Уперше запропонована оцінка щільності імовірностей у вигляді ряду, коефіцієнтами якого є оцінки початкових моментів, та отримані математичне сподівання, дисперсія та кореляційна функція оцінки, за допомогою яких встановлені її незміщеність, слушність і нормальність та побудовані інтервальні оцінки. Отримана верхня межа дисперсії оцінки щільності імовірностей, що дозволяє визначати мінімальний об'єм вибірки виходячи з кількості складових ортогонального ряду. Сформульована методика експериментального визначення щільності імовірностей акустичних сигналів, яка теоретично і експериментально перевірена на моделях процесів з нормальним і гамма-розподілом та підтвердила достовірність отриманих результатів.

8. З використанням ортогональних подань отримані теоретичні та експериментальні щільності імовірностей типових моделей сигналів акустичної емісії і шумів кавітації і досліджені помилки наближення, так, для об'єму вибірки з 50001 відліку інтегральна середньоквадратична помилка не перевищує 0,12; проведено статистичний аналіз шумів колінних суглобів, що дозволило виявити інформативність кумулянтних коефіцієнтів і щільності імовірностей миттєвих значень та рівнів звукового тиску, сформулювати діагностичні ознаки для визначення норми і патологій - наприклад при артрозі для рівнів звукового тиску коефіцієнт стає додатнім і збільшується, зменшується, коефіцієнт від'ємний і зростає по модулю, коефіцієнт стає від'ємним і зростає по модулю в порівнянні з нормою.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Берегун В.С. Особливості використання поліномів Ерміта для ортогональних подань щільності імовірностей / В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Электроника и связь. - 2005. - № 27. - С. 34-42. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

2. Берегун В.С. Особливості використання поліномів Лагерра для ортогональних подань щільності імовірностей / В.С. Берегун, О.І. Дрозденко, О.І. Красильніков // Электроника и связь. - 2005. - № 28. - С. 31-35. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

3. Берегун В.С. Особливості використання поліномів Лежандра та Чебишева для ортогональних подань щільності імовірностей / В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Электроника и связь. - 2005. - № 29. - С. 59-64. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

4. Берегун В.С. Ортогональні подання щільності імовірностей флуктуаційних процесів. Стан проблеми / В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Электроника и связь. - 2007. - № 4 (39). - С. 39-45. Особистий внесок здобувача полягає у зборі і систематичному аналізі наукової інформації.

5. Берегун В.С. Помилки експериментального визначення щільності імовірностей ергодичних випадкових процесів при їх ортогональному поданні / В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Электроника и связь. - 2009. - № 1 (48). - С. 5-14. Особистий внесок здобувача полягає у розробці методу знаходження помилок оцінки щільності імовірностей, проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

6. Берегун В.С. Дослідження областей невід'ємності при ортогональних поданнях щільності імовірностей / В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Электроника и связь. - 2010. - № 3 (56). - С. 73-78. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

7. Берегун В.С. Апроксимативні методи знаходження щільності імовірностей / В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Электроника и связь. - 2010. - № 4 (57). - С. 51-55. Особистий внесок здобувача полягає в обробці наукової літератури.

8. Берегун В.С. Застосування ортогональних розкладень для аналізу законів розподілу вібраційних сигналів / В.С. Берегун, О.І. Красильніков, К.С. Лукашева // Проблеми та перспективи розвитку транспортних систем: техніка, технологія, економіка і управління: тези доповідей другої науково-практичної конференції. Ч. 1 Техніка, технологія, Київ. - 2004. - С. 247-249. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

9. Берегун В.С. Применение задачи статистической идентификации систем в методиках диагностики состояния костей / В.С. Берегун, А.И. Дрозденко, А.И. Красильников // International conference «Dynamical System Modelling and Stability Investigation»: thesis of conference reports, Kyiv, May 23-25. - 2005. - P. 170. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

10. Берегун В.С. Особливості використання ортогональних поліномів для подання щільності імовірностей / Берегун В.С. // Світ інформації та телекомунікацій - 2006: матеріали ІІІ Міжнародної науково-технічної конференції студентства та молоді, 26-27 квітня 2006 р., Київ - 2006. - С. 117.

11. Берегун В.С. Дослідження ортогональних подань щільності імовірностей / В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: матеріали конференції, 18-20 травня 2006 р., Київ - 2006. - С. 674. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

12. Берегун В.С. Дослідження похибок ортогональних подань щільності імовірностей/ В.С. Берегун, О.І. Красильніков // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: матеріали конференції, 15-17 травня 2008 р., Київ - 2008. - С. 26. Особистий внесок здобувача полягає у проведенні математичних розрахунків, розробці алгоритмів математичних моделювань.

АНОТАЦІЯ

Берегун В.С. Дослідження щільностей імовірностей акустичних сигналів методом ортогональних подань. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.09.08 - Прикладна акустика та звукотехніка. - Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", Київ, 2010.

Дисертаційна робота обґрунтуванню теоретичного і експериментального знаходження щільностей імовірностей акустичних сигналів та їхніх функціональних перетворень методом ортогональних подань.

Систематизовані і доповнені подання щільностей імовірностей в ортогональні ряди по класичних ортогональних поліномах. Запропонована нова форма подання у вигляді ряду по початкових моментах. Визначені помилки апроксимації та імовірнісні характеристики оцінки щільності імовірностей методом ортогональних подань.

Знайдена щільність імовірностей типових моделей акустичних флуктуаційних сигналів, а також шумів колінних суглобів, сформульовано діагностичні ознаки.

Ключові слова: акустичні сигнали, щільність імовірностей, ортогональне подання, класичні ортогональні поліноми, помилка наближення, оцінка щільності імовірностей.

АННОТАЦИЯ

Берегун В.С. Исследование плотностей вероятностей акустических сигналов методом ортогональных представлений. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 05.09.08 - Прикладная акустика и звукотехника. - Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена обоснованию теоретического и экспериментального нахождения плотностей вероятностей акустических сигналов и их функциональных преобразований методом ортогональных представлений.

Для нахождения плотностей вероятностей акустических сигналов обосновано использование ее ортогональных представлений, которые в отличие от других приближенных методов позволяют учитывать все моменты исследуемых акустических сигналов, однако их практическое использование требует решения задач исследования точности при ограничении ортогональных рядов, выяснения условий неотрицательности ортогональных представлений, исследования вероятностных характеристик оценки плотности вероятностей.

Проведена систематизация известных форм ортогональных представлений плотности вероятностей, в результате которой обоснована целесообразность применения ряда с весовой функцией, поскольку его коэффициенты полностью определяются моментами акустических сигналов; впервые обоснован явный вид весовых функций как решения дифференциального уравнения Пирсона, которые определяют классические ортогональные полиномы. Впервые предложена форма ортогонального представления по начальным моментам, базисные функции которого однозначно определяются весовой функцией; систематизировано и дополнено представление плотностей вероятностей в ортогональные ряды по полиномам Эрмита, Лагерра, Якоби, для которых найдены в явном виде базисные функции, выражения для коэффициентов разложения по шестой включительно (для полиномов Лежандра и Чебышева второго рода - впервые).

Впервые полученные области значений кумулянтных коэффициентов, которые определяют неотрицательность частичных сумм рядов Эрмита и Лагерра, что позволило практически выяснить пределы использования ортогональных представлений плотности вероятностей акустических сигналов. Предложено применение методов обобщенных сумм Фейера и Валле-Пуссена для ортогональных представлений плотности вероятностей, использование которых проверено для типовых теоретических распределений, что подтвердило достоверность полученных результатов, дало возможность исследовать ошибки приближения и сформулировать рекомендации для использования ортогональных представлений. Предложен метод топографического изображения ошибок при ортогональных представлениях плотности вероятностей, что позволяет выбирать вид ортогонального ряда и количество его составляющих исходя из заранее заданной максимальной ошибки.

Впервые получены вероятностные характеристики - математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция - оценки плотности вероятностей методом ортогональных представлений, с помощью которых установлены ее несмещенность, состоятельность и нормальность, построены интервальные оценки. Определен верхний предел дисперсии оценки плотности вероятностей, что позволило определять минимальный объем выборки исходя из количества составляющих ортогонального ряда. Сформулирована методика экспериментального определения плотности вероятностей акустических сигналов, которая теоретически и экспериментально проверена на моделях процессов с нормальным и гамма-распределением, что подтвердило достоверность полученных результатов. С использованием ортогональных представлений получены теоретические и экспериментальные плотности вероятностей типовых моделей сигналов акустической эмиссии и шумов кавитации и исследованы ошибки приближения; проведен статистический анализ шумов коленных суставов, что позволило выявить информативность старших кумулянтных коэффициентов и плотности вероятностей мгновенных значений и уровней звукового давления, сформулировать диагностические признаки для определения нормы и патологий.

Ключевые слова: акустические сигналы, плотность вероятностей, ортогональное разложение, классические ортогональные полиномы, ошибка приближения, оценка плотности вероятностей.

ABSTRACT

Beregun V.S. Research of probability density functions of acoustic signals by a method of orthogonal representations. - Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of Cand. Tech. Sci. on a speciality 05.09.08 - Applied acoustics and audio engineering. - National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, 2010.

Thesis is devoted to a justification of theoretical and experimental finding of probability density functions of acoustic signals and their functional transformations by a method of orthogonal representations.

Representations of probability density functions in orthogonal series on classical orthogonal polynomials are systematized and added. The new form of representation as series on the initial moments is offered. Mistakes of approximation and probabilistic characteristics of an estimation of probability density function by orthogonal representations are determined.

Probability density functions of typical models of acoustic fluctuation signals and also noise of knee joints are found, diagnostic characters are formulated.

Key words: acoustic signals, probability density function, orthogonal representation, classical orthogonal polynomials, mistake of approximation, estimation of probability density function.

Размещено на Allbest.ru

...