Анализ качества линейных непрерывных систем автоматизированного управления
Переходная функция и показатели качества систем автоматизированного управления. Методы построения переходной функции. Коэффициент ошибок систем управления. Интегральные оценки качества протекания переходных процессов. Недостатки интегральных оценок.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.07.2015 |
| Размер файла | 99,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ САУ
Оглавление
1. Показатели качества САУ
2. Методы построения переходной функции
3. Коэффициенты ошибок
4. Интегральные оценки качества
1. Показатели качества САУ
Количественные оценки качества, так называемые прямые показатели качества, определяются по кривой переходного процесса (рис. 1).
Рис. 1. Переходная функция и показатели качества
Используются следующие прямые показатели качества:
величина перерегулирования ,
(1)
которая характеризует максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения, которое может быть определено в соответствии с теоремой о конечном значении оригинала
время переходного процесса или время регулирования tp - наименьшее значение времени, после которого имеет место неравенство
(2)
где - заданная величина, обычно лежащая в пределах =0.02-0.05;
3) статическая ошибка сm - величина отклонения установившегося значения регулируемой величины x() от требуемого значения N
(3)
Или
где E(s) - изображение ошибки;
4) время установления ty - промежуток времени, по истечении которого регулируемая величина первый раз достигает установившегося значения.
Для определения качества системы могут использоваться и другие показатели, соответствующие решаемой задаче, например, число колебаний регулируемой величины за время регулирования, частота и период колебаний и т.д.
Во всех случаях необходимо построить переходную функцию.
2. Методы построения переходной функции
Изображение переходной функции имеет вид
.
Оригинал переходной функции может быть получен использованием точных и приближенных методов. Будем рассматривать только точные методы, связанные с применением обратного преобразования Лапласа.
Построение переходной функции при использовании таблиц преобразования Лапласа начинается с представления ее изображения в виде произведения передаточных функций типовых звеньев.
Затем это выражение преобразуется в сумму передаточных функций с неопределенными коэффициентами
(4)
В этом выражении A, Bi, Ck, Dk - неопределенные коэффициенты, i - вещественные корни уравнения D(s)=0, а выражения s2+bks+ck - соответствуют комплексно - сопряженным корням характеристического уравнения. Выражение (4) необходимо привести к общему знаменателю и числитель полученного выражения приравнять числителю изображения исходной переходной функции B(s). Приравнивая члены при одинаковых степенях опрератора s в левой и правой частях, получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Вычислив значения этих коэффициентов, обратимся к таблицам преобразования Лапласа и определим оригиналы слагаемых формулы (4). Отметим, что оригиналы, соответствующие первым двум членам суммы (4), определяются непосредственно из таблиц, определение оригиналов для третьего члена этой суммы могут потребоваться некоторые преобразования.
Оригинал переходной функции может быть получен использованием формулы обратного преобразования Лапласа, так называемой формулы разложения. В общем случае формула разложения имеет вид
(5)
где si - корни уравнения sD(s)=0, ni- кратность корней. В случае только простых корней, когда среди них имеются m вещественных корней и l пар комплексно - сопряженных корней, формула разложения принимает вид
(6)
В этом выражении k и k - вещественная и мнимая части комплексно сопряженных корней, а
Амплитуда фаза колебательных составляющих определяются следующим образом:
При вычислениях по этим формулам, в первую подставляется только один из пары комплексно - сопряженных корней. При вычислении фазового сдвига необходимо учитывать квадрант, в котором находиться вектор Akejk.
Пример. Построить переходную функцию замкнутой системы управления углом тангажа и определить показатели качества.
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид
где все коэффициенты заданы или вычислены ранее. Корни характеристического уравнения равны:
1). Построение переходной функции табличным методом.
Изображение переходной функции можно представить в виде:
Здесь
b=2, c=2+2.
Приведем полученное выражение к общему знаменателю и приравняем числитель этого выражения к числителю исходного изображения переходной функции. Приравняв члены при одинаковых степенях оператора s в правой и левой частях, получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Из этой системы сразу определяется А=1, после чего решается система 4-го порядка.
Решение этой системы дает:
Три первых слагаемых изображения переходной функции являются табличными. Необходимо преобразовать к табличному виду четвертое слагаемое.
Полученные слагаемые являются табличными. Подставив численные значения параметров и использовав таблицы преобразования Лапласа, получим выражение для переходной функции
автоматизированный управление качество интегральный
2). Построение переходной функции с использованием формулы разложения.
Вначале определим составляющие процесса, соответствующие вещественным корням.
Для колебательной составляющей получим
Так как вектор этой составляющей находится во втором квадранте, то
Следовательно
Переходные процессы, полученные различными способами совпадают с точностью до арифметических вычислений. Кривая переходной функции показана на рис. 2. Переходный процесс практически монотонный. Колебательная составляющая фактически ни как себя не проявляет ввиду крайне малой амплитуды. Перерегулирование отсутствует: =0. Время регулирования, определенное при =0.05, приближенно равно 2.2 с., что для системы автоматического регулирования угла тангажа в большинстве случаев является вполне приемлемым.
Рис. 2. Переходная функция системы регулирования угла тангажа
3. Коэффициенты ошибок
Точность САУ в установившемся режиме, при относительно медленно изменяющихся воздействиях, может быть оценена с помощью коэффициентов ошибок. Изображение ошибки определяется выражением
Разложим передаточную функцию системы по ошибке в степенной ряд в окрестности точки s=0. Отметим, что при s0, t и именно поэтому мы говорим о точности в установившемся режиме.
(7)
Обозначим:
и получим
(8)
Учитывая, что оператор s, умноженный на изображение самой величины, является символом дифференцирования, можно для оригиналов записать
(9)
Выражение (9) определяет зависимость ошибки регулирования от различных составляющих входного воздействия и коэффициенты Ki получили название коэффициентов ошибок:
K0 - коэффициент ошибки по положению;
K1- коэффициент ошибки по скорости;
K2 - коэффициент ошибки по ускорению и т.д.
Из (8) следует, что
Численные значения коэффициентов ошибок определяются из этого выражения при s0.
(10)
Очевидно, что
К0=Ф (0).
Входное воздействие можно представить в виде степенного ряда
где g0 - постоянная величина, характеризующая начальное значение, g1=const - скорость изменения входного воздействия, g2 =const - ускорение и т.д. Тогда
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
где - порядок астатизма системы. Для передаточной функции замкнутой системы по ошибке получим
Изображение ошибки запишется в виде
Отсюда следует, что если порядок астатизма больше порядка старшей производной воздействия, т.е. >m, то ошибка в установившемся режиме будет равна нулю. Если =m, то установившаяся ошибка будет равна постоянной величине, называемой статической ошибкой. И если <m, то при t и . В отношении коэффициентов ошибок последнее выражение позволяет сделать следующие выводы.
1). Если система статическая, т.е.=0, то существуют все составляющие ошибки и все коэффициенты ошибок не равны нулю, т.к.
К0 = Ф(0) 0.
2).Система с астатизмом 1-го порядка, =1, не имеет ошибки по положению и К0=0.
3).Система с астатизмом 2-го порядка, =2, не имеет ошибок по положению и по скорости и К0 =0, К1=0.
Этот список можно продолжить. Таким образом, повышение порядка астатизма повышает точность системы в установившемся режиме. Но повышение порядка астатизма снижает запасы устойчивости, т.к. введение интегрирующих звеньев увеличивает фазовое запаздывание (снижает частоту ). Поэтому на практике порядок астатизма выше второго не применяют, а чаще всего ограничиваются астатизмом первого порядка, используя для повышения точности другие способы.
4. Интегральные оценки качества
Интегральные оценки характеризуют качество протекания переходных процессов. Наибольшее распространение получили две интегральные оценки
(4.11)
(12)
Интеграл (11) определяет площадь под кривой квадрата динамической ошибки. Чем меньше этот интеграл, тем быстрее затухает переходный процесс и, следовательно, интеграл J0 служит мерой быстродействия системы. В ряде случаев система, удовлетворяющая условию минимума J0, имеет значительную колебательность переходного процесса. Для уменьшения колебательности можно попробовать воспользоваться оценкой J1. Представим этот интеграл в виде
Последний член в полученном выражении является постоянной величиной и, если считать, что при t ошибка (t)0, то он равен 2(0). Минимальное значение интеграл J1 будет иметь, если подинтегральное выражение будет равно нулю, т.е.
(13)
Решение этого дифференциального уравнения будет
(14)
При подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия начальное значение ошибки (0)=1 и можно рекомендовать следующую методику выбора величины постоянной времени .
1) выберем из каких - либо соображений время регулирования tp и величину , по уровню которой выбирается это время, т.е.
определим логарифм натуральный от полученного выражения
Отсюда получим
Рассмотрим методику вычисления интегральных оценок при единичном ступенчатом воздействии на входе системы. Если
Ф(s)=B(s)/D(s
- передаточная функция замкнутой системы, то [8,14,15]
Если система устойчива, то
(15)
В этом выражении:
Определитель составляется из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы следующим образом
Все определители к (к=0,1,…m) получаются из заменой (m+1-k) - го столбца столбцом вида (dn-1, dn,0,0,0,0,…0).
Интеграл J1 можно записать в виде суммы двух интегралов
Где
Если учесть, что
то можно сделать вывод, что в новой передаточной функции порядок числителя увеличиться на единицу, т.е.
m=m+1
и свободный член bm=0. Для вычисления интеграла J01 теперь можно воспользоваться выражением (15).
Недостатками интегральных оценок являются невозможность получения прямых показателей качества и высокая сложность вычислительных процедур. Достоинство - это возможность выразить интегральные оценки как функции параметров системы и, воспользовавшись известными методами поиска экстремума, определить значения этих параметров, дающие минимум избранной оценке. Именно это и послужило развитию аналитических методов синтеза систем автоматического управления, основанных на минимизации квадратичных интегральных оценок.
Библиографический список
1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Э.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1965. 390с.
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768с.
3. Бесекерский В.А. и др. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1978. 510с.
4. Гусев А.Н.,Вьюжанин В.А., Закаблуковский В.Д. Основы теории автоматического управления. Самар. аэрокосм.ун - т. Самара, 1996. 110с.
5. Д.Сю, Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. 552с.
6. Джон М. Смит.Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. М.: Машиностроение, 1980.272с.
7. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Издательство ЛГУ, 1972.
8. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. М.: Машиностроение, 1978. 736с.
9. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Гос.науч. - техн. изд - во машиностроительной лит - ры, 1962. 672с.
10. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. Под редакцией Топчеева Ю.И. М.: Машиностроение, 1970. 567с.
11. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1973. 584с.
12. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464с.
13. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970. 304с.
14. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1985. 536с.
15. Теория автоматического регулирования. Книга 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования. Под редакцией Солодовникова В.В. М.: Машиностроение, 1967. 768с.
16. Теория автоматического регулирования. Книга 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. Под редакцией Солодовникова В.В. М.: Машиностроение, 1967. 680с.
17. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. Л.: Энергия, 1969. 375с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Методы исследования динамических характеристик систем автоматизированного управления. Оценка качества переходных процессов в САУ. Определение передаточной функции замкнутой системы, области ее устойчивости. Построение переходных характеристик системы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Оценка качества дискретной системы по переходной функции. Интегральные методы анализа качества. Точность дискретных систем управления. Корневые методы анализа качества. Теорема о конечном значении дискретной функции. Особенности преобразования Лапласа.
реферат [82,2 K], добавлен 27.08.2009Общие принципы построения систем автоматического управления, основные показатели их качества. Передаточная функция разомкнутой и замкнутой систем. Определение устойчивости системы. Оценка точности отработки заданных входных и возмущающих воздействий.
реферат [906,1 K], добавлен 10.01.2016Расчёт критического коэффициента передачи замкнутой следящей системы. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Определение переходной функции следящей системы и показателей качества. Вычисление интегральной квадратичной оценки по импульсной переходной.
курсовая работа [253,1 K], добавлен 29.03.2012Производство инженерных расчетов по оценке качества переходных процессов. Исследование влияния динамического параметра рулевого привода на качество переходного процесса. Влияние коэффициента передачи разомкнутой системы на устойчивость системы управления.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 20.04.2014Частотные показатели качества системы автоматического управления в переходном режиме. Полный анализ устойчивости и качества управления для разомкнутой и замкнутой систем с помощью критериев Гурвица и Найквиста, программных продуктов Matlab, MatCad.
курсовая работа [702,6 K], добавлен 18.06.2011Интегральная оценка как обобщенный показатель качества переходного процесса, его особенности и отличия от других методов оценки качества. Метод линейной интегральной оценки. Сущность и роль дуальной теоремы, преимущества и недостатки ее использования.
реферат [115,5 K], добавлен 14.08.2009Система схемотехнического моделирования электронных устройств. Математическое описание объектов управления; определение параметров технологических объектов. Оценка показателей качества САУ. Расчет линейных непрерывных систем, их структурная оптимизация.
курс лекций [18,4 M], добавлен 06.05.2013Определение устойчивости и оценки качества систем управления. Расчет устойчивости Гурвица. Моделирование переходных процессов. Задание варьируемого параметра как глобального. Формирование локальных критериев оптимизации. Исследование устойчивости СУ.
курсовая работа [901,9 K], добавлен 19.03.2012Математический аппарат при анализе непрерывных систем автоматического регулирования. Сущность принципа суперпозиции для линейных систем. Линеаризация динамических САР. Дифференциальные уравнения линейных САР. Передаточная функция в изображениях Лапласа.
лекция [425,4 K], добавлен 28.07.2013Проектирование систем автоматического управления (САУ), методы их расчетов. Коэффициенты усиления в прямом канале управления, передачи обратных модальных связей, обеспечивающих показатели качества замкнутой САУ. Переходные процессы синтезированной САУ.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 06.04.2013Основы автоматизированного моделирования и оптимизации строительных процессов. Комплекс технических средств автоматизированных систем управления строительством: устройства преобразования сигналов, аппаратура сбора и регистрации данных, средства связи.
контрольная работа [451,2 K], добавлен 02.07.2010Классический метод оценки качества методом решения неоднородных дифференциальных уравнений. Проектирование систем управления методами моделирования: аналогового, цифрового, имитационного. Метод корневого годографа и применение критерия Найквиста.
реферат [156,8 K], добавлен 12.08.2009Оценка качества линейных САУ. Прямые показатели качества числовых показателей. Алгебраические критерии и необходимые условия устойчивости уравнения. Анализ критерия Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы. Квадратичная интегральная ошибка.
реферат [101,6 K], добавлен 04.02.2011Основные функции разомкнутой и замкнутой систем. Их амплитудно-фазовые характеристики, частотная передаточная функция. Синтез корректирующего устройства и параметры качества скорректированной системы. Коэффициенты ошибок по задающему воздействию.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 24.06.2013Устойчивость системы, ее анализ и синтез. Динамика процессов в формирующем звене. Импульсная переходная и амплитудно-фазовая характеристики. Передаточная функция разомкнутой и замкнутой систем. Показатели качества, величина установившейся ошибки.
контрольная работа [333,7 K], добавлен 22.12.2012Определение параметров регулятора и компенсатора для непрерывных системы и для дискретной системы возмущающего воздействия. Моделирование переходных процессов, моделирование дискретной и непрерывной систем и расчет наблюдателя переменных состояния.
курсовая работа [783,7 K], добавлен 07.12.2014Непрерывные и дискретные переменные. Примеры импульсных и цифровых систем. Определение уравнений дискретных систем по передаточной функции приведенной непрерывной части. Условия конечной длительности переходных процессов дискретных систем, их астатизм.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 24.08.2015Передаточные функции замкнутой и разомкнутой САУ. Построение АХЧ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы в замкнутом состоянии. Расчет запасов устойчивости замкнутой системы по годографу Найквиста. Исследование качества переходных процессов и моделирование САУ.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 21.10.2013Функциональная схема замкнутой системы. Анализ устойчивости исходной линеаризованной системы по алгебраическому критерию. Построение среднечастотного и высокочастотного участков. Анализ качества системы в переходном режиме. Отработка входных сигналов.
дипломная работа [640,5 K], добавлен 15.02.2016
