Математическое описание систем автоматического управления и их характеристики

Размещено на http://www.allbest.ru/

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САУ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Оглавление

1. Математические модели САУ

2. Передаточные функции САУ

3. Динамические характеристики САУ

3.1 Временные характеристики САУ

3.2 Частотные характеристики САУ

3.3 Логарифмические частотные характеристики САУ

1. Математические модели САУ

Математическим аппаратом исследования САУ являются дифференциальные уравнения, которые описывают движение системы и являются уравнениями динамики. Из уравнений динамики, положив все производные равными нулю, можно получить уравнения статики, которые описывают поведение системы в установившемся режиме.

Дифференциальные уравнения САУ и ее элементов, составленные в соответствии с физическими законами их функционирования и факторами, от которых зависят переменные уравнений, практически всегда являются нелинейными. Дифференциальные уравнения САУ, записанные в виде системы уравнений или одного дифференциального уравнения высокого порядка представляют собой математическую модель системы. Математическая модель является основой для анализа свойств системы и степени их соответствия поставленным требованиям. Итак, исходная математическая модель САУ является нелинейной. Отсутствие однозначных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не позволяет создать какие-либо общие эффективные методы анализа и синтеза САУ. Именно это и послужило причиной развития идеи линеаризации, т.е. замены исходной нелинейной модели линейной, близкой по решению к исходной модели в определенном диапазоне изменения начальных условий и параметров. Линеаризация проводится по методу малого отклонения, который основан на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора.

Пусть САУ описывается дифференциальным уравнением порядка.

(1.1)

В этом выражении F и F₁ - некоторые нелинейные функции. Представим переменные, входящие в уравнение в следующем виде:

В этих выражениях нижний индекс “0” означает установившееся значение переменной, а знак - отклонение переменной от установившегося значения. Разложим нелинейные функции в ряд Тейлора в окрестности установившегося режима.

Индекс “*” около частных производных означает, что они вычислены в точке установившегося режима.

Допустим, что отклонения переменных от установившегося режима настолько малы, что остаточными членами, а так же членами, содержащими произведения отклонений и отклонения в степенях выше первой, можно пренебречь как бесконечно малыми высших порядков малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени. В соответствии с этим предположениям будем полагать, что R_k=R_k1=0 и i=1.

Сделаем обозначения

C учетом сделанных предположений и обозначений дифференциальные уравнения системы примут вид

В состав полученного выражения входит уравнение установившегося режима -первый и третий член в левой части и первый член в правой части. Установившееся движение нам задано и не представляет предмета исследования. Вычтем из полученного уравнения уравнение установившегося движения и получим уравнение в отклонениях, поведение которых нас и интересует. В дальнейшем, в целях сокращения записей, знак будем опускать. Получим

(1.2)

Полученное дифференциальное уравнение является линейным уравнением и определяет линейную модель системы. Отметим, что использовать линейную модель для исследования системы можно только при малых отклонениях переменных и поэтому часто говорят, что результаты исследований, полученных при использовании линейной модели справедливы только в малом.

Уравнение в отклонениях (1.2) описывает возмущенное движение системы, являющееся результатом действия каких-либо возмущений, приводящих к появлению отклонений от установившегося режима. Уравнение установившегося режима описывает невозмущенное движение.

Сложность решения дифференциальных уравнений высокого порядка без применения вычислительной техники и невозможность на основании численных решений создать общие методы анализа и синтеза систем привели к широкому использованию методов, связанных с применением математического аппарата преобразований Лапласа и Фурье. Эти методы и составили сущность так называемой классической теории автоматического управления.

Необходимо отметить, что существуют нелинейные функции, которые невозможно линеаризовать по методу малого отклонения и, в этих случаях, используют специальные методы, разработанные для исследования нелинейных систем.

2. Передаточные функции САУ

Понятие передаточной функции системы является основополагающим в классической теории автоматического управления (ТАУ), к изучению основ которой мы и приступаем.

Определение передаточной функции связано с преобразование Лапласа и поэтому вначале приведем некоторые основные сведения из этого преобразования [1, 13].

При использовании преобразования Лапласа некоторой функции времени x(t) ставится в однозначное соответствие функция X(s), где s- оператор Лапласа. Функция времени x(t) называется оригиналом, а функция X(s) ее изображением. Изображение и оригинал связаны соотношением

Приведем некоторые теоремы преобразования Лапласа, которые будут использованы при изложении курса.

Теорема линейности. Для любых действительных или комплексных

(1.3)

Знак означает соответствие изображения оригиналу.

Теорема запаздывания. Для любого постоянного > 0

(1.4)

Теорема дифференцирования оригинала. Если то

(1.5)

Применив эту теорему к производным высших порядков, получим

(1.6)

При нулевых начальных условиях выражение (1.6) упрощается

(1.7)

Теорема интегрирования оригинала. Если и

то

(1.8)

Теорема о начальном значении оригинала.

(1.9)

Теорема о конечном значении оригинала.

(1.10)

Перейдем к определению передаточной функции. Пусть система или какое-либо звено ее описываются дифференциальным уравнением вида (1.2). Полагая начальные условия нулевыми, перейдем в этом уравнении к изображениям по Лапласу. В соответствии с теоремой 3 получим

.

Вынесем в полученном выражении за скобки изображения переменной и входного воздействия и сделаем обозначения

С учетом этих обозначений исходное дифференциальное уравнение в изображениях по Лапласу получит вид

(1.11)

Определим теперь зависимость выходной величины от входного воздействия

(1.12)

Передаточной функцией системы (звена) W(s) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях.

Требование нулевых начальных условий не вносит принципиальных трудностей. В случае x(0)^(k) 0, при переходе к изображениям используют теорему 3 в форме (1.6), переносят члены, соответствующие начальным условиям в правую часть уравнения и считают их возмущающими воздействиями, относительно которых получают передаточные функции.

Будем полагать, что все элементы в схеме замкнутой САУ (рис.2) описываются уравнениями вида(1.2). Некоторым исключением в данном случае является уравнение объекта управления, в правую часть которого необходимо добавить оператор определяющий возмущающее воздействие. В соответствии с принципом суперпозии, справедливым только для линейных систем, уравнение объекта управления в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях запишется в виде

В этом выражении

Тогда можно записать

передаточная функция объекта управления по регулирующему воздействию.

передаточная функция объекта управления по возмущению. Аналогично для других элементов схемы запишем

передаточная функция логико-вычислительной подсистемы;

передаточная функция исполнительной подсистемы;

передаточная функция цепи обратной связи (информационно-измерительной подсистемы).

Теперь схему замкнутой САУ можно изобразить, так как показано на рис.1.1.

G(s) E(s) U(s) R(s) X₁(s) X(s)

W₁(s) W₂(s) W₀(s)

_ +

F(s) X_f(s)

W_0f(s)

Y(s)

W_oc(s)

Рис. 1.1 Структурная схема САУ

Схема системы автоматического управления, изображенная в виде соединения передаточных функций составляющих ее звеньев, называется структурной схемой.

На основании полученной схемы и выражений (1.11) и (1.12) составим систему уравнений.

(1.13)

Составим и раскроем характеристический определитель системы (1.13).

. (1.14)

Так как звенья с передаточными функциями W₁(s)_, W₂ (s),W₀(s) входят в прямую цепь регулирования, то передаточная функция W_п(s)=W₁(s)W₂(s)W₀(s) называется передаточной функцией прямой цепи. Составив и раскрыв замещенный определитель по отношению к регулируемой величине, получим

Тогда

(1.15)

Передаточная функция

называется передаточной функцией замкнутой системы по задающему (регулирующему) воздействию.

Передаточная функция называется передаточной функцией разомкнутой системы.

Передаточная функция называется передаточной функцией замкнутой системы по возмущению.

Составим и раскроем замещенный определитель относительно ошибки регулирования E(s)

Тогда (1.16)

Передаточная функция называется передаточной функцией замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия.

Передаточная функция называется передаточной функцией замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия.

Нетрудно видеть, что при единичной обратной связи, т.е. при W_oc(s)=1, выполняется равенство

(1.17)

3. Динамические характеристики САУ

3.1 Временные характеристики САУ

Временные характеристики представляют собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. В ТАУ используются два вида временных характеристик:

-переходная характеристика (переходная функция);

-импульсная переходная характеристика (функция веса).

Переходной характеристикой h(t) называется зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия 1(t) (рис.1.2) Данное входное воздействие определяется выражением g(t)

(1.18)

Изображение по Лапласу единичного ступенчатого воздействия будет

система автоматический управление математический

Обозначим изображение переходной функции как H(s), а передаточную функцию системы как W(s) и получим

. (1.19)

Переходная функция может быть определена по ее изображению использованием формулы обратного преобразования Лапласа, в частности с помощью таблиц преобразования Лапласа.

При неединичном ступенчатом воздействии g(t)=N1(t), где N=const, в соответствии с принципом суперпозиции выходная реакция системы будет

(1.20)

Импульсной переходной характеристикой (ИПХ) или функцией веса системы k(t) называется зависимость выходной величины от времени при подаче на вход воздействия в виде дельта- функции (t-), которая определяется следующим образом:

(1.21)

Определим основное свойство дельта- функции и ее связь с единичным ступенчатым воздействием. Допустим, что имеется некоторая функция g(t-) определяется выражением

(1.22)

 g(t) g(t-)

(t-)

1

t a t

Рис.1.3. Дельта- функция Рис.1.4. Функция g(t-)

Найдем производную от функции g(t-).

(1.23)

Очевидно, что графически эта производная представляет собой прямоугольный импульс (рис.1.5), амплитуда которого возрастает с уменьшением величины а,а длительность уменьшается. Площадь этого прямоугольника постоянна и равна единице.

a a a t

Рис. 1.5. График функции

Из выражений (1.22), (1.23) и рисунков 1.3, 1.4 и 1.5 следует, что в пределе при а0 функция g(t-) стремится к единичному ступенчатому воздействию, т.е.

,

а предел функции равен бесконечности

Отсюда можно сделать следующие выводы:

(1.24)

В частном случае, когда =0 изображение дельта- функции равно

т.е. (s)=1.

Отсюда следует, что изображение функции веса определяется выражением

(1.25)

Следовательно

(1.26)

Функция веса системы может быть определена так же, как и переходная функция, или путем дифференцирования переходной функции в соответствии с первой формулой выражений (1.24).

Пример. Найти переходную функцию и функцию веса системы, имеющей передаточную функцию

Изображение переходной функции будет

где

Используя таблицы преобразования Лапласа, по полученному изображению найдем оригинал переходной функции

Для изображения функции веса можно записать и по таблицам изображений Лапласа получим

Аналогичный результат получим дифференцированием выражения для переходной функции.

 h(t) (t)

k k

T

t t

Рис. 1.6. Переходная функция. Рис.1.7. Функция веса

Импульсную переходную характеристику удобно использовать для определения реакции системы на некоторое воздействие f(t) произвольного вида

(1.27)

Естественно, что сигнал на выходе физически реализуемой системы не может появиться раньше входного сигнала, т.е. k(t)=0 при t<0. C точки зрения преобразования Лапласа это соответствует условию

(1.28)

Если

(1.29)

то условие (1.28) выполняется только при m< n. Это и есть выражение принципа физической реализуемости системы.

3.2 Частотные характеристики САУ

Пусть входное воздействие g(t) представляет собой гармоническую функцию вида

Использовав формулу Эйлера, можно записать

.

Тогда входное воздействие можно представить в виде суммы двух воздействий

(1.30)

Дифференциальное уравнение системы в изображениях по Лапласу запишется в виде

(1.31)

где полином A(s) имеет порядок n, а полином B(s)-порядок m.

Пусть на вход системы подано воздействие вида g₁(t). Частное решение дифференциального уравнения будем искать в виде

Здесь W(j) - некоторая функция частоты .

Подставив g₁(t) и x₁(t) в (1.31), сократив полученное выражение на G_m/2 и e^-jt, получим

Отсюда

(1.32)

Сравнивая (1.32) и (1.29), можно заключить, что функция W(j) получается из передаточной функции W(s) простой заменой s=j. Эта замена с математической точки зрения означает переход от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье [1,13].

Функция W(j) называется частотной передаточной функцией системы. Комплексную функцию W(j) представим в виде

(1.33)

Тогда

Если в (1.31) подставить функцию то после преобразований аналогичных предыдущим, получим

В соответствии с принципом суперпозиции

(1.34)

Это выражение показывает, что вынужденные колебания, вызываемые в устойчивой линейной динамической системе гармоническим входным воздействием, представляют собой гармоническую функцию времени, имеющую ту же частоту, что и входное воздействие, но отличающуюся от последнего по амплитуде и по фазе.

Зависимость отношения А() амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) системы.

Зависимость фазового сдвига () между входным и выходным сигналами от частоты называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) системы.

С этой точки зрения частотную передаточную функцию W(j) называют также амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) системы.

Методика определения частотных характеристик системы следующая.

1) В передаточной функции системы делают замену s=j и полученную АФЧХ представляют в виде суммы вещественной и мнимой частей.

Функцию U() называют вещественной частотной характеристикой, а функцию V()- мнимой частотной характеристикой.

2). Определяют АЧХ и ФЧХ.

(1.35)

(1.36)

Пример. Определить частотные характеристики для звена с передаточной функцией

Делаем замену s=j.

Отсюда

V() = () A() ()

k 0 1/T

U() 4

45⁰ -45⁰

A()

90⁰

Рис. 1.8 Частотные характеристики звена с передаточной функцией

Частотные характеристики широко используются при анализе и синтезе САУ и составляют основу рассматриваемой классической теории автоматического управления.

3.3 Логарифмические частотные характеристики САУ

Существенным недостатком рассмотренных выше частотных характеристик является то, что графически они, особенно для систем высокого порядка, являются кривыми достаточно сложной формы, что затрудняет их построение и использование для анализа систем. В целях исключения этого недостатка в большинстве случаев нашли применение логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ).

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ) называется кривая, соответствующая выражению

(1.37)

и построенная в логарифмическом масштабе частот.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ) называется фазовая частотная характеристика (), построенная в логарифмическом масштабе частот.

Величина L() измеряется в децибелах, а ()- в градусах или радианах. Единицами измерения логарифмической оси частот являются октавы и декады.

Октавой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в два раза и равный g2=0.3010. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в десять раз и равный lg10=1. Легко подсчитать, что одна декада содержит 3.32 октавы. Точка, соответствующая значению частоты, равному нулю, лежит слева в бесконечности, т.к. lg0=-. Поэтому ось ординат проводится через любую точку оси частот так, чтобы справа располагалась та часть ЛЧХ, которую нужно исследовать.

Можно рекомендовать следующую методику построения логарифмической сетки координат. Вначале ось частот разбивается на декады и октавы, причем каждая декада разбивается на октавы отдельно. Для удобства инженерной практики под точками этой оси пишут не значения логарифмов частот, а сами частоты.

() L()

-270⁰

декада декада декада

-180⁰

lg

-90⁰ октавы

0

Рис. 1.9 Оси логарифмической системы координат

Рекомендуется ось ординат в отношении фазовой характеристики располагать так, чтобы с точкой начала координат совпадало значение фазы, равное -180⁰, положительное направление шло вниз, а отрицательное - вверх. Общепринятое расположение оси фазы не является ошибкой, но рекомендованное здесь расположение во многих случаях облегчает применение для анализа и синтеза систем разработанных графоаналитических методов.

Если исследуемая точка частоты не совпадает ни с октавой, ни с декадой, то ее положение на оси частот по отношению к началу координат или началу какой либо декады при избранном масштабе m [мм/дек] можно определить по формуле

(1.38)

Здесь ₀-частота, соответствующая началу координат или началу декады.

Обратная задача, т.е. определение значения частоты по положению соответствующей ей точки на оси частот, решается использованием формулы

(1.39)

При построениях ЛЧХ вручную удобным является масштаб равный

m=50 мм/дек.

Во многих случаях передаточную функцию системы можно представить в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев

Тогда

В соответствии с правилами о логарифме произведения и произведении показательных функций получим

(1.40)

(1.41)

Таким образом, логарифмические характеристики сложной системы могут быть получены суммированием ЛЧХ составляющих ее простых звеньев.

Пример. Определить ЛЧХ для САУ с передаточной функцией

Используя результаты предыдущего примера, получим

При величина и Это уравнение прямой, параллельной оси частот.

При величина и

Это уравнение прямой имеющей наклон к оси частот, равный -20 дБ/дек и сопрягающейся с предыдущей прямой в точке ₀=1/T.

Таким образом, ЛАХ данной системы может приближенно построена в виде двух сопрягающихся отрезков прямых. Такая ЛАХ называется асимптотической. Возможность замены кривых асимптотическими ЛАХ является важным достоинством ЛЧХ. Ошибка при такой замене для большинства простых систем не велика и для рассматриваемой системы ее максимальное значение в точке =₀ не превышает 3 дБ.

Фазовая характеристика исследуемой системы определена выше.

Частота ₀=1/T называется частотой сопряжения. Частота _с, при которой ЛАХ пересекает ось частот, что соответствует значению А()=1, называется частотой среза системы.

 () L()

20lgk

-20дБ/дек

-180⁰ 0 _c

₀=1/T lg

-90⁰

-45⁰

Л ФХ

0

Рис. 1.10 ЛЧХ системы с передаточной функцией

В заключение отметим, что так как для физически реализуемых систем n>m, то

Это означает, что все реально осуществимые системы являются фильтрами нижних частот.

Библиографический список

1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Э.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1965. 390 с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.

3. Бесекерский В.А. и др. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1978. 510 с.

4. Гусев А.Н.,Вьюжанин В.А., Закаблуковский В.Д. Основы теории автоматического управления. Самар. аэрокосм.ун - т. Самара, 1996. 110 с.

5. Д.Сю, Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. 552 с.

6. Джон М. Смит. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. М.: Машиностроение, 1980. 272 с.

7. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Издательство ЛГУ, 1972.

8. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. М.: Машиностроение, 1978. 736 с.

9. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Гос.науч. - техн. изд - во машиностроительной лит - ры, 1962. 672 с.

10. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. Под редакцией Топчеева Ю.И. М.: Машиностроение, 1970. 567 с.

11. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Главная редакция физико - математической литературы, 1973. 584 с.

12. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464 с.

13. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970. 304 с.

14. Солодовников В.В. Плотников В.Н. Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1985. 536 с.

15. Теория автоматического регулирования. Книга 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования. Под редакцией Солодовникова В.В. М.: Машиностроение, 1967. 768 с.

16. Теория автоматического регулирования. Книга 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. Под редакцией Солодовникова В.В. М.: Машиностроение, 1967. 680 с.

17. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. Л.: Энергия, 1969. 375 с.

Размещено на Allbest.ru

...