Методика составления векторно-матричных дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методика составления векторно-матричных дифференциальных уравнений

Матричные методы дают возможность обращаться с n уравнениями подобно тому, как это делается с одним уравнением. На рис.1. показана структурная схема системы управления, соответствующая стандартной форме описания систем в пространстве состояний; двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи.

(2.8)

Входной сигнал у(t) можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной pⁿy(t). Для этого потребуется n последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от pⁿy(t) до рy(t) (рис.2.).

Рис. 2.

Согласно уравнению (2.8) очевидно, что старшая производная Sⁿy(t) равна переменной b_my(t) минус сумма выходных сигналов интеграторов, умноженных на коэффициенты а₁, а₂ ... а_n. Тогда получим структурную модель, представленную на рис. 3.

Рис.3. Модель САУ

Введем обозначения

x₁(t)=y(t), x₂(t)=py(t)...x_n(t)=p^n-1>y(t)

и уравнение n-го порядка (2.7) запишем в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка:

(2.9)

Система уравнений (2.9) является одной из форм представления динамических процессов структурной модели, изображенной на рис. 2.7. В матричной форме система уравнений (2.9) имеет вид:

В сокращенном виде матричная форма записывается следующим образом:

x'(t)=Ax(t)+B(t), где x(t)=[x₁(t),x₂(t),...,x_n(t)]

n-мерный вектор состояния; A - квадратная матрица размером n n; B -

вектор-столбец управления. Ввиду того, что имеется множество эквивалентных (с точки зрения входо-выходных соотношений) способов представления уравнений состояния системы, можно выбрать из них "наилучшие" - наиболее удобные для использования в рассматриваемой задаче. Такие формы записи уравнений называются каноническими. Поскольку может быть много различных приложений, известно и много канонических форм [25]. Наиболее распространенные из них: блочно-диагональная вещественная форма Жордана; управляемая форма Луенбергера (матрица Фробениуса). На рис.2. приведен пример представления системы матрицей Фробениуса, когда характеристическое уравнение располагается в последней строке. Структурная математическая модель динамических процессов САУ обладает рядом преимуществ перед аналитическими описаниями или передаточными функциями. Во-первых, структурная модель дает ясное и наглядное представление понятию "состояние систем", как совокупность сигналов на выходах интеграторов. Во-вторых, однозначно представляется структура взаимодействий между переменными в виде системы с обратными связями, которые и определяют протекание динамических процессов. Одновременно структурные модели оказывают помощь при моделировании САУ на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.

дифференциальный уравнение динамический звено

Типовые динамические звенья

При анализе элементов автоматических систем выясняется, что разнообразные элементы, отличающиеся назначением, конструкцией, принципом действия и физическими процессами, описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями т.е. являются сходными по динамическим свойствам. В ТАУ элементы автоматических систем с точки зрения их динамических свойств представляются с помощью небольшого числа элементарных (типовых) динамических звеньев. Под элементарным динамическим звеном понимается математическая модель искусственно выделяемой части системы, характеризуемая некоторым простейшим алгоритмом. Элементарные динамические звенья составляют основу для построения математической модели системы любой сложности. Классификация основных типов динамических звеньев приведена в таблице 3.2. Основные типы звеньев делятся на четыре группы: позиционные, интегрирующие, дифференцирующие и неминимально-фазовые [2,4,5,12]. Позиционные, интегрирующие и дифференцирующие звенья относятся к минимально-фазовым. Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудной характеристике всегда можно определить фазовую и наоборот. Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью САУ, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы. Передаточная функция (ПФ) звена или системы представляет собой отношение изображение по Лапласу выходной величины Y ( р ) к изображению входной величины Х ( р ) при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах элемента (системы), т.е.

,

Y(p), X(p) - изображения по Лапласу выходной и входной величин элемента (системы);

,

полиномы знаменателя и числителя передаточной функции W(p).

Рис.2.9. Структурная схема САУ

Поскольку для линейных систем можно применить принцип наложения, то для типовой структурной схемы замкнутой САУ различают 3 основные ПФ, применяемые для исследований (рис.2.9): ПФ разомкнутой системы:

ПФ замкнутой САУ по управляющему (возмущающему) воздействию -

ПФ замкнутой САУ по ошибке от управляющего (возмущающего) воздействия

Полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы называется характеристическим уравнением, который при исследованиях приравнивают к нулю, т.е. вместо него можно использовать W_p(p) а также полиномы числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы R(p) и

Q(p): 1+W_p(p) = R(p)+Q(p) = 0

характеристический полином замкнутой САУ. Передаточные функции содержат особые точки на комплексной плоскости -нули и полюса. Полюса - это те значения р, при которых передаточная функция превращается в бесконечность. Для определения полюсов необходимо собственный оператор (знаменатель передаточной функции) приравнять к нулю и произвести решение алгебраического уравнения относительно р. Нули - это те значения р, при которых передаточная функция равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной функции приравнивается к нулю и полученное алгебраическое уравнение решается относительно р. В связи о этим передаточная функция может быть представлена как отношение произведений элементарных сомножителей:

,

где при i - полюса передаточной функции; при k - нули передаточной функции. Если задана структура САР, то можно определить передаточную функцию относительно любых двух точек структуры. При этом необходимо использовать существующие правила структурных преобразований. Передаточные функции элементов или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы, а в случае необходимости перейти к дифференциальному уравнению.

Размещено на Allbest.ru