Общие принципы составления уравнений динамики систем автоматизированного управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Общие принципы составления уравнений динамики систем автоматизированного управления

Работу САУ можно описать словесно, которое помогает понять принцип действия системы, ее назначение, особенности функционирования и т.д. Однако этот способ не является универсальным и, что самое главное, не дает количественной оценки характеристикам системы и качеству регулирования. Поведение САР в процессе функционирования представляет собой сочетание статических и динамических режимов. Для проведения теоретических исследований САР и её отдельных элементов необходимо иметь уравнения, описывающие их поведение при изменяющихся внешних воздействиях. Эти уравнения представляют собой выраженные в математической форме соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и воздействия. С целью упрощения получения математических соотношений обычно вводят следующие допущения:- САР и ее элементы обладают свойством стационарности;-элементы САР являются линейными;- протекающие процессы являются непрерывными функциями времени при выполнении нулевых начальных условий.

Существуют аналитические, экспериментальные и комбинированные методы получения математического описания объектов управления. Аналитические методы базируются на использовании законов сохранения вещества и энергии (уравнения материального баланса). В настоящее время для многих классов объектов управления получены их математические модели. При получении таких описаний обычно оперируют с дифференциальными уравнениями в частных производных, т.к. переменные изменяются как во времени, так и в пространстве.

Достоинства аналитических методов:- не требуют проведения экспериментов на реальном объекте;- позволяют определить математическое описание еще на стадии проектирования системы управления;- позволяют учесть все основные особенности динамики объекта управления, как-то наличие нелинейностей, нестационарность, распределенные параметры и т.д.;- обеспечивают получение универсального математического описания, пригодного для широкого класса аналогичных объектов управления.

Недостатки: - трудность получения достаточно точной математической модели, учитывающей все особенности реального объекта;- проверка адекватности модели и реального процесса требуют проведения натурных экспериментов;- многие математические модели имеют ряд трудно оцениваемых в численном выражении параметров (например, потокосцепление асинхронного двигателя).

Экспериментальные методы предполагают проведение серии экспериментов на реальном объекте управления. Обработав результаты экспериментов, оценивают параметры динамической модели объекта, задавшись предварительно ее структурой. Экспериментальные методы определения динамических характеристик объектов управления делятся на два класса:- методы определение временных характеристик объекта управления;- методы определение частотных характеристик объекта управления.

Временные методы определения динамических характеристик делятся, в свою очередь, на активные и пассивные.

Активные методы предполагает подачу на вход объекта пробных тестирующих сигналов, каковыми являются регулярные функции времени (ступенчатый или прямоугольный импульсы, гармонический сигнал, периодический двоичный сигнал), пробные сигналы случайного характера. Достоинствами активных методов являются:- достаточно высокая точность получения математического описания;- относительно малая длительность эксперимента.

В САУ используются три первичные переменные: вход, выход, ОУ, изображаемые посредством следующей функциональной схемы.

Вход Выход

Рис. 1.

Покажем как пользоваться этими переменными на примере 2-го закона Ньютона. Изменение импульса материальной точки пропорционально приложенной к ней движущей силе F и осуществляется по направлению прямой, вдоль которой эта сила действует.

, (1)

где: - количество движения (импульс материальной точки).

После дифференцирования, получим.

, (2)

где: = (.) - обозначение производной, введенное Ньютоном.

Если = Const, то уравнение (2.) примет вид

,(3.)

где: .

В соответствии с Рис.1. - ОУ-материальная точка, вход - сила F, выход - ускорение .

Причём материальная точка имеет параметр, сосредоточенная в ней масса (m).

Второй закон Ньютона описывает движение материальной точки во времени и в пространстве. Для привязки к пространству необходимо ввести начало отсчёта и систему координат. Поскольку в законе говорится о прямой вдоль которой действует сила, то система координат в неявном виде уже задана. Выберем в качестве направления движения ось Оz в системе отсчёта Oxyz. Тогда z будет обозначать координата положения материальной точки на оси Оz. Введём обозначения и . С учётом этого перепишем (2.) виде:

.

В ТАУ принято в качестве математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями, использовать приведённые уравнения, в которых коэффициент при старшей производной равен единице. Поэтому в предположении, что поделим обе части рассматриваемого уравнения на . В результате получим уравнение вынужденного движения объекта управления виде

(4.)

В уравнении (4.) рассматривается материальная точка и в ней сосредоточена её масса - т.е. рассматривается система с сосредоточенными параметрами. Если же рассматривается движение объекта масса которого распределена в некотором объёме (например ракета), то получим САУ с распределёнными параметрами. Система с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Их решениями являются функции одной независимой переменной (функции скалярного аргумента), в нашем примере это время. Система с распределёнными параметрами описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Отличительной их особенностью является то, что их решениями являются функции нескольких независимых переменных, т.е. функции векторного аргумента.

В уравнении (4.) время t - непрерывная независимая переменная. Но время может быть и дискретным. С помощью дискретного времени описываются цифровые системы. Термин входное воздействие является собирательным названием терминов: «внешнее воздействие», «управляющее воздействие».

Если коэффициенты уравнений не зависят от времени - САУ стационарная, зависят - САУ нестационарная. Режим работы САУ - описываемый дифференциальными уравнениями называют динамическим, а описываемый алгебраическими уравнениями - статическим.

Если связь между входом и выходом осуществляется через ОУ, то такая САУ называется разомкнутой (Рис.1.). Закон управления физически реализуется посредством регулятора (Рис.2.).

Вход Выход

Рис. 2.

Управление, воздействующее на объект независимо от результатов этого воздействия, называется программным управлением или управлением по разомкнутому циклу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 3.

Иногда для обозначения этого типа управления используется термин управление по возмущению. А система САУ называется разомкнутой.

Управление, воздействующее на объект с учётом результатов этого воздействия, называется управлением по замкнутому циклу (или управление по принципу обратной связи). Иногда используется термин управление по отклонению. А САУ называется разомкнутой.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 4.Классификация регуляторов

Простейшими законами регулирования являются:

1. Пропорциональный закон

,

где - коэффициент передачи. В этом случае говорят САУ с П-регулятором.

2. Интегральный закон . CАУ с И-регулятором.

3. Дифференциальный закон . САУ с Д -регулятором.

Возможны различные сочетания рассматриваемых вариантов регулирования ПИ, ПИД-регуляторы.

2. Дифференциальные уравнения САУ. Форма вход-выход, операторная форма вход-выход и форма Коши описания САУ с сосредоточенными параметрами

Вернёмся к уравнению прямолинейного движения точечного объекта с переменной массой (4).

,

где - сила, действующая на объект (вход);

- координата положения объекта - (выход);

- масса объекта (параметр).

Рассматриваемое уравнение называется уравнением в форме вход-выход.

В ТАУ есть неписанные установившиеся традиционные правила, касающиеся символьного описания объекта безотносительно к его природе.

Коэффициенты уравнения принято обозначать греческими буквами

;

.

Сила, если она выступает в роли внешнего воздействия, то её обозначают F, а если в роли управляющего, то U.

Таким образом, уравнение (4) примет вид.

. (5)

Любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно представить виде системы n уравнений первого порядка или в форме Коши (иначе говорят уравнениями в пространстве состояний). Продемонстрируем это на примере (5). Введём обозначения , , где х_i=(i=1,2) - компоненты вектора состояний. С учётом этих обозначений уравнение (5) можно переписать в виде систем уравнений в форме Коши.

.

3. Линеаризация уравнения динамики САУ

Достаточно часто встречаются звенья, имеющие нелинейную зависимость между входной и выходной координатами. Если для малых отклонений от установившегося режима нелинейность несущественна, то в этом случае до составления исходных дифференциальных уравнений САУ выполняют процедуру линеаризации. Линеаризацией называется замена реальных нелинейных уравнений статических характеристик элементов близкими к ним линейными уравнениями. Линеаризация возможна, если нелинейная характеристика непрерывна и имеет непрерывные частные производные. На рис.2.1. приведена геометрическая интерпретация линеаризации по методу малых отклонений.

Рис.2.1. Геометрическая интерпретация линеаризации

Разложив функцию y=f(x) в ряд Тейлора, получим

где y₀- значение выхода, соответствующее входу x₀; d^ky/dx^k - значения производных, взятых в точке А(x₀;y₀). Тогда для малых отклонений x:

или

где

при x=x₀.

Если выходная величина элемента зависит от нескольких входных воздействий, то при линеаризации по методу малых приращений следует определять частные производные по всем воздействиям, а приращение выхода является суммой частных приращений, т.е.

где x₁, x₂, …, x_n - приращения входных воздействий;

- частные производные.

4. Обобщение уравнений динамики САУ

К линеаризованной САУ можно применить принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет звено с двумя входами u и f разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход и один выход (рис.27). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением поведения систем и звеньев с одним входом, уравнение динамики которых имеет вид:

Это уравнение описывает САУ в динамическом режиме лишь приближенно с той точностью, которую дает линеаризация. Однако следует помнить, что линеаризация возможна только при достаточно малых отклонениях величин и при отсутствии разрывов в функции F в окрестностях интересующей нас точки, которые могут быть созданы различными выключателями, реле и т.п.

Обычно n m, так как при n < m САУ технически нереализуемы.

5. Передаточная функция САУ

В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора

p = d/dt

так, что,

dy/dt = py, а

pⁿ = dⁿ / dtⁿ.

Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:

Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени y(t), u(t) (оригиналы), а не их изображения Y(p), U(p), получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так оператор p можно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то есть pyyp. Его можно выносить за скобки и т.п.

Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:

Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени:

W(p) = y(t)/u(t),

поэтому ее еще называют динамическим коэффициентом усиления. В установившемся режиме

d/dt = 0,

то есть p = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = b_m/a_n.

Знаменатель передаточной функции

D(p) = a_opⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} + ... + a_n

называют характеристическим полиномом. Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции.

Числитель

K(p) = b_op^m + b₁p^{m - 1}+ ... + b_m

называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при которых K(p) = 0 и W(p) = 0, называются нулями передаточной функции.

Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция

W_и(p) = 1/p.

Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной.

6. Элементарные динамические звенья

автоматический управление математический коши

Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:

W_э(p) = .

Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета модно записать

D(p) = a_opⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} + ... + a_n = a_o(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n),

где p₁, p2, ..., p_n - корни полинома D(p). Аналогично

K(p) = b_opm + b₁p^{m - 1}+ ... + bm = b_o(p - p^~₁)(p - p^~₂)...(p - p^~m),

где p^~₁, p^~₂, ..., p^~m - корни полинома K(p). То есть

Корни любого полинома могут быть либо вещественными p_i = a_i , либо комплексными попарно сопряженными

p_i = a_i ± j_i .

Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - a_i ). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как

(p - a_i + j_i )(p - a_i - j_i ) = (p - ai)² + _i ² = p² - 2pa_i + (a_i ² + _i ²).

То есть

Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.

В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть

W(p) = , W(p) = , W(p) = 1/p, W(p) = p, W(p) = Tp + 1, W(p) = k.

Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.

Размещено на Allbest.ru