Типы и параметры фильтров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Типы и параметры фильтров

В электрических, радиотехнических, телекоммуникационных и телеметрических системах и устройствах, часто решается задача выделения узкополосных сигналов из смеси сигналов, занимающих широкую полосу частот. Эту задачу решают с помощью частотных электрических фильтров.

К частотным электрическим фильтрам предъявляются два основных требования. В одной области частот, которая называется полосой пропускания (или полосой прозрачности), спектральные составляющие выделяемого сигнала не должны ослабляться, а в другой, называемой полосой задерживания (заграждения, подавления, режекции), их ослабление (затухание) должно быть не меньше определенного значения.

В зависимости от расположения диапазонов частот пропускания и подавления фильтры классифицируют следующим образом: фильтры нижних частот - ФНЧ, фильтры верхних частот - ФВЧ, полосовые фильтры - ПФ и заграждающие (режекторные) - РФ

щ_с - частота среза для ФНЧ и ФВЧ;

щ_сн, щ_св - нижние и верхние частоты среза для ПФ и РФ.

Рис. 1. АЧХ идеальных частотных фильтров

У идеального фильтра в полосе пропускания ослабление отсутствует и фазово-частотная характеристика линейна (в этом случае фильтр не искажает форму сигналов), а вне полосы пропускания спектральные составляющие сигналов полностью подавляются, т.е. идеальные фильтры должны иметь прямоугольные амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), (рис. 1). Идеальные фильтры физически нереализуемы. У реального фильтра переход от диапазона частот пропускания к диапазону частот задержания не скачкообразный а плавный (рис. 2). У них различают три зоны:

1) диапазон (полосу) частот пропускания - в ней коэффициент передачи изменяется не более чем на заданную величину R_p;

2) диапазон (полосу) частот задерживания - в ней коэффициент передачи изменяется не более чем на заданную величину R_p;

3) пограничную зону, в ней коэффициент передачи фильтра изменяется от R_p до R_s

Основными характеристиками фильтра являются следующие:

1) зависимость затухания фильтра от частоты K(щ), либо амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - модуль комплексного коэффициента передачи ;

2) зависимость фазовой задержки сигнала от частоты - фазо-частотная характеристика ц(щ)=arg;

3) зависимость групповой задержки сигнала от частоты .

Вид характеристик затухания реальных фильтров приведен на рис. 2, где приняты следующие обозначения:

* - граничная частота полосы пропускания;

* - граничная частота полосы задерживания;

* R_p - максимальное подавление в полосе пропускания;

* R_s - минимальное подавление в полосе задерживания.

Частота среза в этом случае является условной границей между полосами пропускания и задерживания, которая определяется либо по уровню подавления в 3 дБ, либо как средне геометрическое частот щ_p и щ_s для эллиптических фильтров.

Рис. 2. АЧХ реальных частотных фильтров

фильтр диапазон частота режекторный

При разработке фильтра требуемую характеристику затухания аппроксимируют некоторыми реализуемыми передаточными функциями, АЧХ у которых приближается к одной из идеальных характеристик. Такая передаточная функция характеризует устойчивое физически реализуемое звено фильтрации.

1) Баттервортовские фильтры имеют частотную характеристику, которая описывается функцией

где щ_s - частота среза фильтра, n - целое число, называемое порядком фильтра.

Коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте равен 1, на частоте среза ? 0,707 = -3дБ независимо от порядка фильтра. АЧХ такого фильтра является максимально плоской при щ=0 и щ>? и монотонно спадает от 1 до 0 с ростом щ.

2) Чебышевские фильтры характеризуются двумя типами частотных характеристик.

Чебышевские фильтры первого рода (их называют также прямыми чебышевскими фильтрами) имеют частотную характеристику, которая описывается функцией

,

где е - параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания;

T_n(x) - полином Чебышева n - го порядка.

АЧХ чебышевского фильтра первого рода в полосе пропускания колеблется в пределах (, 1), а вне полосы пропускания монотонно стремится к нулю.

Параметр R_p и уровень пульсаций е связаны следующим образом:

Чебышевские фильтры второго рода (инверсные чебышевские фильтры) имеют частотную характеристику, которых описывается функцией

,

где е - параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе задержания.

АЧХ чебышевского фильтра второго рода в полосе задержания колеблется в пределах (0, ), а полосе пропускания монотонно затухает.

Параметр R_s и уровень пульсаций е связаны следующим образом:

Фильтр Чебышева по сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка обладает более крутым спадом АЧХ в пограничной области (при переходе от полосы пропускания к полосе задержания).

3) Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра, фильтры Золотарева) имеют частотную характеристику, которая аппроксимируется функцией

,

где е и L - параметры, определяющие величину пульсаций АЧХ в полосах пропускания и задержания;

R_n(x) - рациональная функция Чебышева n - го порядка.

Эллиптический фильтр при заданном порядке обеспечивает максимальную крутизну спада АЧХ в пограничной области в сравнении с другими типами фильтров.

4) Бесселевские фильтры - фильтры, АЧХ которых по форме близка к гауссовой (колоколообразной) кривой, точнее стремится к ней при увеличении порядка фильтра. Замечательным свойством фильтра Бесселя является высокая линейность ФЧХ в полосе пропускания и как следствие малое изменение времени групповой задержки сигнала.

В MatLab (пакет Signal Toolbox) реализован ряд функций, с помощью которых выбирается параметры аппроксимирующих функций для фильтров низких частот Это функции buttord, cheblord, cheb2ord, ellipord, которые используются для определения минимального порядка и частоты среза фильтра по заданным характеристикам фильтра:

Wp - граничной частоте пропускания;

Ws - граничной частоте задерживания;

Rp - максимально допустимому подавлению в полосе пропускания, дБ;^;

Rs - минимально допустимому подавлению в полосе задерживания, дБ.

Более подробно о выборе аппроксимирующих функций можно ознакомиться в работе [1, с. 128 - 138].

Математические модели фильтров

Математической моделью фильтра является его представление в форме некоторой математической функции или уравнения. От вида такой модели (формы представления) зависит форма и способ реализации фильтра и могут зависеть его некоторые характеристики, важные для его реализации. По этой причине надо уметь переходить от одной математической модели к другой.

Наиболее распространенной формой математической модели фильтра является его представление своей передаточной функций (tf - представление):

где s=б+jщ - лапласовская переменная;

Характеристики фильтров полностью определяются векторами коэффициентов полиномов числителя [b]=[b₀, b₁, …, b_m] и знаменателя [a]=[a₀, a₁, …, a_n]. Порядок полинома знаменателя n называют порядком фильтра. Для аналогового фильтра должно выполняться условие (m ? n). Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции, корни знаменателя - полюсами.

АЧХ и ФЧХ фильтров связаны с передаточной функцией следующим образом:

K (щ) = |H(jщ)|, .

Менее широко используется представление модели фильтра в пространстве состояний (ss-представление). В этом случае модель фильтра представляется или в виде дифференциального уравнения, либо системы уравнений в форме

,

где x и y - сигналы на входе и выходе фильтра;

н - вектор состояний внутренних сигналов фильтра.

В этом случае фильтр задается совокупностью четырех матриц ||А||, ||В||, ||С|| и ||D||.

В MatLab (пакет Signal Toolbox) реализован ряд функций, позволяющих преобразовать математическую модель фильтра из одной формы в другую.

Преобразование коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи в параметры пространства состояний и обратно реализуют следующие функции MatLab:

[A, B, С, D] = tf2ss (b, a).

[b, a] = ss2tf (A, B, С, D).

Для реализации аналоговых фильтров удобно использовать каскадную форму, при которой фильтр реализуется в виде последовательной цепочки звеньев второго порядка.

Каскадная реализация аналоговых фильтров

Для схемотехнической реализации аналоговых фильтров широко используют представление их передаточных функций в каскадной форме (sos-представление), когда передаточная функция фильтра представляется в виде произведения передаточных функций второго порядка:

Параметры такого представления задаются в виде вещественной матрицы ||sos||, сроки которой представляют собой векторы [b] и [a] коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции звеньев второго порядка.

Для нахождения матрицы ||sos|| можно воспользоваться следующими функциями MatLab:

[sos]= tf2sos (b, a);

[sos]= ss2sos (A, B, С, D),

а обратное преобразование можно выполнить с помощью функций

[b, a] = sos2tf(sos);

[A, B, С, D]=sos2ss(sos).

Первая пара функций позволяет вычислить матрицу ||sos||, когда фильтр задается векторами [b] и [a] коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции или параметрами пространства состояний - матрицами ||А||, ||В||, ||С|| и ||D||. Вторая пара решает обратную задачу по матрице ||sos|| вычисляет коэффициенты полиномов числителя [b] и знаменателя [a] передаточной функции или параметры пространства состояний - матрицы ||А||, ||В||, ||С|| и ||D||.

Пример. Рассчитаем параметры передаточной функции эллиптического фильтра четвертого порядка с параметрами Rp=0,5; Rs=20; Wp=0,6 и представим его в виде цепочки звеньев второго порядка.

>> [b, a] = ellip (4,0. 5,20,0.6)

b =

0.3209 0.8048 1.1046 0.8048 0.3209

a =

1.0000 0.7873 1.2361 0.3062 0.2252

>> sos = tf2sos (b, a)

sos =

0.3209 0.5183 0.3209 1.0000 0.1677 0.2575

1.0000 0.8927 1.0000 1.0000 0.6196 0.8746

Результаты моделирования фильтра четвертого порядка и эквивалентного фильтра в виде цепочки из двух звеньев второго порядка представлены на рис. 3.

Рис. 3. Результаты моделирования эллиптического ФНЧ четвертого порядка

Выводы и результаты

1. При разработке фильтров характеристику их затухания в диапазоне частот аппроксимируют одной из функций, позволяющих получить устойчивый физически реализуемый фильтр. Наиболее распространенными типами аппроксимирующих функций являются баттервортовская, чебышевская (первого и второго рода), кауэровская (эллиптическая) и бесселевская.

2. Для реализации аналоговых фильтров удобно использовать каскадную форму, при которой фильтр реализуется в виде последовательной цепочки звеньев второго порядка. MatLab (пакет Signal Toolbox) содержит большое количество функций для выбора параметров математических моделей фильтров с соответствующей аппроксимацией АЧХ фильтров и преобразования математических моделей фильров из одной формы в другую.

Список литературы

1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. - СПб.: Питер, 2006. - 751 с.: ил.

2. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: расчет и реализация / Г. Лэм; пер. с англ. Левина В.Л. [и др.]. - М.: Мир, 1982. - 592 с.: ил.

3 Новгородцев, А.Б. Расчет электрических цепей в MATLAB: учеб. курс / А.Б. Новгородцев. - СПб.: Питер, 2004. - 249 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru