Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний університет “Львівська політехніка”

УДК 621.391.82.016.35:621.372

Теоретичні засади та методи забезпечення завадостійкості пристроїв фазової синхронізації на етапі проектування

05.12.13 - радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікації

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

БОНДАРЄВ Андрій Петрович

Львів 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному університеті "Львівська політехніка" Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Мандзій Богдан Андрійович, професор кафедри теоретичної радіотехніки і радіовимірювань Національного університету "Львівська політехніка"

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Лісовий Іван Павлович, професор Одеської національної академії зв'язку ім. О.С.Попова (м. Одеса)

доктор технічних наук, професор Кичак Василь Мартинович, директор інституту радіотехніки, зв'язку та приладобудування Вінницького національного технічного університету (м. Вінниця)

доктор технічних наук, доцент Коваль Валерій Вікторович, завідувач кафедри радіомоніторингу та радіочастотного менеджменту Державного університету інформаційно-комунікаційних технологій (м. Київ).

Захист відбудеться “ 19 ” травня 2008 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.10 у Національному університеті "Львівська політехніка" за адресою: 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12, ауд. 218, ХІ навчального корпусу.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Національного університету „Львівська політехніка” (79013, м.Львів-13, вул. Професорська, 1) .

Автореферат розісланий “ 25 ” березня 2008 р.

В.о. вченого секретаря

спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Рицар Б.Є.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Пристрої фазової синхронізації широко застосовують у приймачах систем радіозв'язку, радіолокації та навігації. У сучасних приймачах цифрових сигналів такий пристрій є невіддільною складовою частиною, котра визначає якість і саму можливість функціонування приймача.

З теорії оптимальної нелінійної фільтрації випливає, що оптимальним фільтром для вузькосмугового сигналу з частотними та фазовими флуктуаціями на фоні широкосмугового шуму є власне пристрій фазового автопідстроювання частоти (ФАПЧ). У теоретичному плані пристрій ФАПЧ є представником класу динамічних систем із періодичною нелінійністю і результати його аналізу без втрати загальності можна перенести на інші системи класу (схеми стеження за доріжкою лазерного диску, пристрої на контакті Джозефсона, синхронні машини тощо). Це обумовлює значний інтерес до дослідження пристроїв ФАПЧ. Великий внесок у розвиток теоретичних засад фазових систем, методів оптимального синтезу ФАПЧ, методів забезпечення завадостійкості синхронних фазових вимірювачів, методів аналізу впливу детермінованих та випадкових збурень належить таким вченим: Белюстина Л.М., Бест Р., Ван Тріс Г., Вітербі Е.Д., Ґарднер Ф., Еґан В., Жодзішський М.І., Зюко А.Г., Кроупа В., Пєстряков В.Б., Стеклов В.К., Шахґільдян В.В.

У працях зазначених та багатьох інших вчених визначені структури та значення параметрів пристроїв, які реалізують потенційну завадостійкість, максимальну точність та швидкодію. Розроблені аналітичні та числові методи аналізу, які дозволяють враховувати випадкові або детерміновані завади, аналізувати пристрої високих порядків.

Велика кількість робіт сучасних зарубіжних авторів присвячена розробці керованих генераторів НВЧ діапазону та інженерному розрахунку фільтрів. З початку ХХІ сторіччя кількість публікацій, присвячених методам проектування ФАПЧ, помітно зросла, що зумовлено появою мікросхем НВЧ діапазону, у яких реалізовані основні функціональні елементи ФАПЧ.

Однак, залишились невирішеними проблеми, які обмежують можливості застосування пристроїв фазової синхронізації у складній сигнально-завадовій обстановці та можливості застосування існуючих методів аналізу цих пристроїв. Існуючі методи оптимізації параметрів ФАПЧ забезпечують підвищення завадостійкості виключно за рахунок погіршення динамічних характеристик пристрою. Ці методи вимагають від проектувальника апріорно задавати параметри завад і не гарантують збереження працездатності за умов зміни цих параметрів на етапі експлуатації. Крім того, методи аналізу впливу детермінованих і випадкових завад є несумісними як за постановкою задачі, так і за формою подання результатів.

Таким чином, подальше проведення теоретичних і прикладних досліджень для розробки методів підвищення завадостійкості пристроїв синхронізації зі збереженням їх динамічних властивостей є актуальною науково-прикладною проблемою.

Дисертаційна робота є розвитком та узагальненням досліджень завадостійкості пристроїв ФАПЧ, які проводились автором з 1982 року, у напрямку аналізу завадостійкості за умов дії складніших за структурою завад, а також не тільки параметричного, а і схемотехнічного синтезу завадостійких пристроїв.

Зв'язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами і темами. Задачі, які розглядаються в даній дисертаційній роботі, є складовою частиною наукових проектів, які здійснюються на кафедрі теоретичної радіотехніки та радіовимірювань Національного університету "Львівська політехніка", відповідають науковому напряму та тематиці досліджень кафедри.

Дослідження, висвітлені в дисертаційній роботі, проводилися згідно з планом науково-дослідних робіт Національного університету "Львівська політехніка" в рамках держбюджетної теми ДБ "КРОКІТ" ("Розробка комп'ютерних макромоделей радіоелектронних систем та їх функціональних вузлів, адаптованих до задач надійнісного проектування", державний реєстраційний номер 0107U000836), де автор брав участь як виконавець.

Мета роботи. Метою роботи є розвинення теоретичних засад та розроблення ефективних методів підвищення завадостійкості пристроїв фазової синхронізації зі збереженням їх динамічних властивостей.

Для досягнення цієї мети в роботі вирішувались такі основні задачі:

1. Створення теоретичних передумов для формування єдиного математичного та алгоритмічного підходу до аналізу процесів у пристроях ФАПЧ під впливом детермінованих і випадкових збурень.

2. Побудова математичної моделі пристрою ФАПЧ, яка враховує дію широкосмугової завади, кутової модуляції або маніпуляції, зміну носійної частоти сигналу у процесі синхронізації, фазову та частотну нестабільності носійного коливання.

3. Параметричний синтез пристроїв синхронізації за критерієм забезпечення працездатності в умовах максимальних відхилень параметрів сигналу і завад від апріорно заданих.

4. Схемотехнічне підвищення завадостійкості та аналіз можливостей його застосування у прикладних задачах радіозв'язку, локації і навігації.

5. Створення програмного забезпечення, яке реалізує розроблені методи аналізу завадостійкості та параметричного синтезу пристроїв синхронізації.

Об'єктом дослідження є процес синхронізації пристроїв фазового автопідстроювання частоти (ФАПЧ), призначених для обробки сигналів у радіоприймачах.

Предметом дослідження є методи забезпечення завадостійкості пристроїв ФАПЧ за умов одночасного впливу детермінованих і випадкових збурень. синхронізація пристрій фазовий автопідстроювання

Методи дослідження. В роботі використано методи і основні положення теорії електричних кіл, теоретичної радіотехніки, теорії випадкових процесів, методи числового інтегрування рівнянь у звичайних та часткових похідних, методи якісної теорії диференціальних рівнянь, кумулянтний метод аналізу випадкових процесів.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що:

1. Набула подальшого розвитку теорія випадкових процесів (ВП) у динамічних системах (ДС) в напрямку виявлення якісних змін характерних особливостей ВП при неперервних змінах значень параметрів випадкового збурення та динамічної системи (стохастичних біфуркацій) на відміну від переважно кількісних оцінок у сучасній теорії ВП. Це дало можливість виявити та означити якісні відмінності статистичної динаміки, біфуркаційні значення початкових умов та параметрів ДС і збурення.

2. Вперше запропонований опис статистичної динаміки систем другого порядку поведінкою перетину двовимірного розподілу (еліпсу) на фазовому портреті незбуреної системи, на відміну від існуючих описів нестаціонарним розподілом імовірності або ансамблем реалізацій. Це дало можливість значно скоротити обчислювальну складність аналізу та виявити якісні відмінності статистичної динаміки, аналогічні до біфуркаційних явищ у детермінованих динамічних системах.

3. Вперше виявлені якісно відмінні типи статистичної динаміки ФАПЧ другого порядку. На основі цих якісних відмінностей запроваджено означення шумової смуги схоплення (ШСС), як нової характеристики працездатності пристроїв фазової синхронізації. Уточнено раніше запроваджене означення шумової смуги утримання (ШСУ).

4. Розроблено новий метод аналізу статистичної динаміки нелінійного ФАПЧ, який відрізняється від існуючих можливістю урахування впливу детермінованих і випадкових збурень з однакових позицій - визначення границь працездатності пристрою. Метод і його програмна реалізація не вимагають апріорно задавати параметри завади і дають можливість використовувати на етапі проектування відомий критерій мінімуму фазової похибки, а крім того, вперше запропоновані для такого використання критерії максимальної граничної інтенсивності завад та максимального діапазону стеження.

5. Вперше обґрунтована та розроблена структура пристрою, який забезпечує значне підвищення завадостійкості пристрою ФАПЧ зі збереженням його динамічних властивостей шляхом локального зменшення рівня сигналу розузгодження фазового детектора. Це дає можливість роздільного регулювання фільтруючих властивостей пристрою ФАПЧ та його завадостійкості.

6. Вперше розроблена та досліджена математична модель модифікованого пристрою ФАПЧ, аналіз якої показав можливість підвищення завадостійкості ФАПЧ з інтегруючим фільтром на 4-10 дБ, а ФАПЧ першого порядку - на 14-18 дБ.

7. Вперше визначена область простору параметрів модифікованого пристрою ФАПЧ, в межах якої пристрій є глобально стійким. Це дає можливість проектування завадостійких пристроїв синхронізації з широкою смугою схоплення.

Практичне значення отриманих результатів. Розвинуті у роботі теоретичні положення, отримані математичні моделі та методи утворюють теоретичну базу для забезпечення на етапі проектування підвищеної завадостійкості пристроїв фазової синхронізації приймачів радіосигналів.

Розроблене прикладне математичне забезпечення аналізу та параметричного синтезу пристроїв синхронізації базується на алгоритмах, які мають обчислювальну складність на 2-4 порядки меншу, ніж відомі алгоритми, що уможливлює перебір параметрів пристрою, сигналу і завад у широкому діапазоні. Математичне забезпечення дає можливість розробнику оптимізувати пристрої синхронізації за відомим критерієм мінімуму середньоквадратичного відхилення (СКВ), а також за критеріями максимальної граничної завадостійкості та максимального діапазону стеження з мінімальним обсягом апріорних даних про заваду.

Вперше досліджено структурну схему модифікованого пристрою ФАПЧ (патент України № 66435. Бюл. №5, 2004), яка реалізує підвищення завадостійкості зі збереженням динамічних властивостей пристрою, та розраховані границі діапазонів значень параметрів, за яких проявляються корисні властивості модифікованого пристрою. Досліджена схема знайшла застосування при виконанні науково-дослідних і конструкторських робіт у Львівському науково-дослідному радіотехнічному інституті, ВАТ НДКІ РЕМА та Запорізькому державному підприємстві "Радіоприлад", що підтверджено відповідними актами про впровадження.

На тестових прикладах здійснено вибір структури і параметрів пристрою фазової синхронізації, які на 8-10 дБ підвищують завадостійкість приймання ЧМ сигналів та навігаційних сигналів GPS, а також розраховані параметри приймача радіолокаційного сигналу, за яких необхідний рівень відношення сигнал/шум (ВСШ) на вході приймача зменшується у 3-4 рази, а діапазон стеження розширюється у 2,5 рази.

Особистий внесок автора в отриманні описаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно.

У роботах, написаних у співавторстві, автору належать розробка кумулянтної моделі ФАПЧ [2, 31] та її модифікації для випадку фазової модуляції [18, 39], фазової маніпуляції [28], урахування кумулянтів вищих порядків [17, 19, 36]. У роботі [1] автор розробив і дослідив математичну модель ФАПЧ у диференціальних рівняннях у часткових похідних. У всіх вказаних вище працях автору належить виявлення граничної завадостійкості пристрою ФАПЧ у різних умовах, у праці [10] - для різних видів фазових детекторів, а у працях [25, 44] - для модифікованого ФАПЧ.

У працях, написаних у співавторстві з М.С. Мартинівим [30, 32], автору належить спосіб узгодження параметрів вузькосмугового фільтра (ВСФ) та фільтра верхніх частот (ФВЧ), а також математичне моделювання та виявлення умов реалізації нових корисних властивостей пристрою, що у сукупності із запропонованою співавтором евристичною схемою модифікованого ФАПЧ стало предметом винаходу. В роботах [24, 42] автором крім того надані конкретні рекомендації щодо вибору параметрів модифікованого ФАПЧ.

В роботах [3, 13, 43, 45], написаних у співавторстві зі студентами, аспірантами і здобувачами, автору належать постановка задачі та інтерпретація результатів. Крім того, у роботах [4, 29] автор розробив математичну модель, а у [26] - провів порівняльний аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів роботи. Представлені в даній дисертаційній роботі результати теоретичних досліджень, аналізу, обчислювальних експериментів і проектування доповідалися автором на 15 наукових конференціях, переважно міжнародних. Серед них: Всес. науч.-техн. конференции "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи" (Горький, 1988, Ярославль, 1993); TCSET (Львів-Славсько, 2004, 2006 та 2008); "Сучасні проблеми радіоелектроніки, телекомунікацій та приладобудування” (Вінниця, 2005, 2006 та 2007); Міжвузівська науково-технічна конференція науково-педагогічних працівників (Львів, 2006); "Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке" (Харків, 2006); "Modelowanie i symulacja komputerowa w technice" (Јуdџ, 2006); "ELECTRONICS" (Kaunas, 2006); "Глобальные информационные системы. Проблемы и тенденции развития" (Харьков-Туапсе, 2006); "Сучасні проблеми телекомунікацій" (Львів, 2006); "Комп'ютерні системи в автоматизації виробничих процесів" (Хмельницький, 2007).

Публікації. Результати теоретичних досліджень, проведених аналізів, обчислень і проектування, що описані у дисертаційній роботі, опубліковані автором у 45 наукових працях, серед яких 27 - у фахових виданнях, включених до переліку ВАК України, 15 - матеріали конференцій, 1 патент України на винахід, 22 одноосібних.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел з 239 найменувань на 21 сторінці та 5 додатків на 32 сторінках. Повний обсяг роботи становить 306 сторінок тексту, серед яких 238 сторінок основної частини, 134 рисунки (1 на окремій сторінці) i 17 таблиць.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики і теми дисертаційної роботи. Описано також взаємозв'язок роботи з науковими програмами, планами і тематикою досліджень. Описано мету роботи, головні ідеї, на яких вона ґрунтується, дається перелік розв'язаних в ній задач. Далі обговорюється особистий внесок автора, практичне значення отриманих результатів і дані про їх застосування. Наведено також дані про презентацію цих результатів на семінарах, симпозіумах і наукових конференціях, а також про публікації в наукових журналах. В кінці вступу описано загальну структуру дисертаційної роботи.

Перший розділ дисертаційної роботи містить огляд літературних джерел за темою дисертації, з'ясування стану розробки проблеми та формулювання напрямків досліджень. За результатами огляду зроблено висновки, що, попри широку дослідженість завадостійкості процесу синхронізації, залишились невирішеними проблеми, які обмежують можливості застосування пристроїв фазової синхронізації у складній сигнально-завадовій обстановці та можливості застосування існуючих методів аналізу цих пристроїв. Існуючі методи оптимізації параметрів ФАПЧ забезпечують підвищення завадостійкості виключно за рахунок погіршення динамічних характеристик пристрою. Ці методи вимагають від проектувальника апріорно задавати параметри завад і не гарантують збереження працездатності за умов зміни цих параметрів на етапі експлуатації. Крім того, методи аналізу впливу детермінованих і випадкових завад є несумісними як за постановкою задачі, так і за формою подання результатів. Придатні для практичного застосування результати оптимізації пристроїв ФАПЧ отримані лінеаризованими методами, тобто передбачають низький рівень випадкових та детермінованих збурень. У зв'язку з викладеним вище виникає необхідність теоретичних досліджень по створенню універсальних методів аналізу ФАПЧ та методів підвищення завадостійкості пристроїв синхронізації зі збереженням їх динамічних властивостей.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений розвитку теорії випадкових процесів (ВП) у динамічних системах (ДС) з метою наближення понятійного апарату опису ВП до досконало розвинутої теорії біфуркацій детермінованих ДС.

Розглянуто ВП x(t) у ДС першого порядку, описаний стохастичним рівнянням

dx/dt = - F(x) + n(t) = - dU(x)/dx + n(t), (1)

де F(x) - коефіцієнт зносу, - потенціальна функція, n(t) - білий шум з інтенсивністю енергетичного спектру N. Нестаціонарна густина імовірності P(x,t) такого ВП задовольняє рівняння Фокера-Планка

, (2)

стаціонарним розв'язком якого є

, (3)

де A - нормуючий множник. Поведінка ДС під впливом випадкового збурення еквівалентна до поведінки важкого газу з температурою N/2 на потенціальній поверхні U(x), причому рівняння (1) описує броунівський рух молекул, а рівняння (2) - густину газу. Розподіл густини імовірності так само повно, як набір значень P(x) (рис. 1 а), описує набір перетинів прямими P(x)=const (рис. 1 б).

Абстрагуючись від форми розподілу, можна описати густину імовірності одним перетином (точки x₁ та x₂ на рис. 1 б), який відображає основні характерні риси розподілу - його положення і розмір. В роботі показано, що найпростіше сформулювати умови стаціонарності для перетину, який задовольняє наступному означенню.

Означення. Характерний перетин розподілу імовірності - перетин на рівні 1/е² від максимального значення.

Для нормального розподілу P(x) точки характерного перетину x₁ та x₂ є квантілями p^*_0,023 та p^*_0,977 відповідно, тобто їх координати становлять m±2у, де m і у - середнє значення та СКВ розподілу.

Характерному перетину стаціонарного розподілу притаманна наступна властивість.

Властивість 1. Значення потенціальної функції в усіх точках усталеного характерного перетину дорівнює енергії збудження.

Поняття характерного перетину дає можливість моделювати випадковий процес, описаний рівняннями (1) і (2), не поведінкою усього об'єму важкого газу на потенціальному рельєфі, а поведінкою одного масивного пружного стрижня, кінці якого відповідають точкам характерного перетину. Кінці стрижня невідривно ковзають без тертя по потенціальному рельєфу (рис. 2 а) і відштовхуються один від одного тим сильніше, чим менша відстань між ними і чим більша енергія збурення N. Завдяки масивності стрижень намагається зайняти якомога нижче положення на потенціальному рельєфі. Рівновага, у відповідності до Властивості 1, наступає за виконання умови U(x_1,2) = N. Приклад застосування стрижневої моделі для опису стохастичної поведінки лінійної ДС зі стійким станом рівноваги і коефіцієнтом зносу F(x) = a·x при a>0 наведено на рис. 2 для трьох різних початкових положень стрижня.

б)

Рис. 2 "Стрижнева" модель (а) та еволюція розподілу (б) ВП в околі точки стійкої рівноваги

Порівняння з розв'язками рівняння Фокера-Планка (рис. 2 б), отриманими числовим інтегруванням (2) у часткових похідних для різних початкових розподілів, показує, що стрижнева модель якісно вірно описує еволюцію розподілу. Для кількісного опису використано кумулянтний аналіз, який дає можливість перейти від рівняння (1) до детермінованих рівнянь еволюції кумулянтів:

, (4)

де m - середнє значення, D - дисперсія процесу x(t). І графічна побудова на рис. 2 а і розв'язок (4) приводять до відомого виразу для СКВ , що підтверджує адекватність моделі.

У випадку лінійної ДС з нестійким станом рівноваги, тобто коефіцієнтом зносу F(x) = a·x при a<0, стрижнева модель та її аналітичний опис (4) показують наявність біфуркації, що сформульовано у вигляді наступної теореми.

Теорема 1. Характерний перетин з початковим нульовим розміром може досягти точки нестійкої рівноваги тоді і тільки тоді, якщо різниця значень потенціальної функції у нестійкій точці і центрі початкового розподілу менша від енергії збурення.

Якісно справедливість Теореми 1, доведеної у дисертації, підтверджують як реалізації, отримані розв'язуванням (1), так і нестаціонарні розподіли імовірності (рис. 3). Але за умови N>0 завжди існує скінчена (хоч і мала) імовірність перетину як завгодно великого потенціального бар'єру, а Теорема 1, яка є основою розвитку теорії стохастичних біфуркацій, описує умови, за яких характерний перетин ніколи не перетне потенціального бар'єру.

Для з'ясування питання, чи є описана біфуркація наслідком спрощень стрижневої моделі, чи відображує якісні особливості ВП, була розрахована залежність усталеного значення ймовірності перетину потенціального бар'єру від його висоти (рис. 4 а), яка має різний характер за умов U(x₀)<N та U(x₀)>N. З рис. 4 б видно, що та сама умова є ознакою подолання бар'єру характерним перетином, який є квантілем p^*_0,977.

Це означає, що характерний перетин не тільки є зручним для опису випадкових процесів, оскільки для нього виконуються досить прості енергетичні співвідношення, описані Властивістю 1, - зміна поведінки характерного перетину означає суттєві зміни у імовірнісних залежностях, зокрема є індикатором подолання випадковим процесом енергетичного бар'єру, що описує Теорема 1.

Отже, опис ВП за допомогою кумулянтного метода підтвердив висновки стрижневої моделі про основні якісні особливості поведінки характерного перетину розподілу ВП в околі точок стійкої і нестійкої рівноваги лінійної ДС, дав можливість отримати аналітичні вирази для кількісного аналізу характеристик ВП та визначення біфуркаційних значень інтенсивності випадкового збурення.

ВП у двовимірних лінійних ДС запропоновано описувати характерним перетином двовимірного розподілу густини імовірності, який, згідно з означенням, є замкненою кривою (для нормального розподілу - еліпсом). Всі точки усталеного характерного перетину мають однаковий потенціал, який згідно із Властивістю 1, дорівнює енергії збудження.

Знаходження потенціальної функції ДС другого порядку вимагає афінних перетворень, які маскують фізичну сутність фазових змінних. Тому в теорії коливань стан ДС другого порядку зображують траєкторіями точки на фазовій площині. Стан стохастичної ДС на фазовому портреті відображає поведінка характерного перетину, яка є складнішою, ніж поведінка точки. Для опису перетину необхідні координати центру (положення), характерні відхилення вздовж осей (розміри), нахил головних осей еліпса. Ці параметри однозначно пов'язані зі статистичними характеристиками двовимірного розподілу, поведінку яких кількісно описують рівняння дрейфу кумулянтів, які для ДС другого порядку мають вигляд:

, (5)

де m_x, m_y - середні значення, - дисперсії складових ВП, к=rу_xу_y, r - коефіцієнт кореляції.

Числовим інтегруванням (5) виявлені основні закономірності поведінки характерного перетину в околі особливих точок ДС. Центр перетину завжди рухається вздовж траєкторій фазового портрету незбуреної лінійної ДС. В околі стійких особливих точок (рис. 5) характерний перетин має стійке положення і стійкий розмір, який залежить від інтенсивності шуму. В околі нестійких особливих точок і положення і розмір перетину є нестійкими. Залежно від положення і розмірів початкового перетину, згідно з Теоремою 1, перетин може або досягнути або не досягнути особливої точки. Торкання перетином нестійкої особливої точки або кривої (вхідної сепаратриси) призводить до двостороннього необмеженого зростання розмірів перетину, недоторкання - до односторонньо обмеженого зростання.

Як приклад двовимірної стохастичної ДС розглянуто вплив випадкової напруги на послідовне коливальне коло. В результаті аналізу встановлено, що канонічне рівняння усталеного характерного перетину (еліпсу) на площині "струм котушки - напруга конденсатора" точно збігається з рівнянням енергетичного балансу в колі.

Особливостями нелінійних ДС є негаусовість стаціонарного розподілу, обмеженість потенціальної функції та наявність більше одного стану рівноваги. Застосування стрижневої моделі до ДС з обмеженою потенціальною функцією (рис. 6 а) показує наявність біфуркації за умов перевищення енергією збурення (N) глибини потенціальної западини. ВП у такій ДС є нестаціонарним, а його дисперсія необмежено зростає незалежно від значення N, але інтегрування рівняння (2) проказало, що для докритичних значень N розподіли в межах западини і поза нею (рис. 6 б) формуються незалежно і мають принципово різний характер, а за рівнів шуму більших від критичного (рис. 6 в) межа потенціальної западини впливає тільки на кількісні показники розподілу. Це підтвердило якісну правильність стрижневої моделі і дало підстави для формулювання таких означень.

Означення. Точка стійкої рівноваги є локально стійкою до шуму, якщо існують початкові розподіли, за яких час встановлення форми розподілу менший, ніж час виникнення моди в околі іншої точки рівноваги.

Означення. Граничним рівнем завад є рівень, за якого зникають локально стійкі до шуму точки.

В якості бістабільної ДС проаналізовано колове каскадне з'єднання двох інерційних інверторів, фазовий портрет якого (рис. 7 а) має два стійких вузли і сідло. За малих рівнів шуму характерний перетин розподілу прямує до стаціонарного, який, залежно від початкових значень, охоплює одну (серії 1, 2 і 3 на рис. 7 б) або обидві (серія 4) точки стійкої рівноваги. Зі збільшенням рівня шуму вище деякого граничного значення розмір характерного перетину необмежено зростає незалежно від початкових умов.

Безпосереднім інтегруванням стохастичного рівняння (1) виявлені якісні особливості реалізацій ВП, які відповідають описаній біфуркації. За малих значень шуму (лінія на рис. 8) ВП є розривно-стаціонарним, тобто релізація перебуває в околі одного зі станів рівноваги із рідкими перескоками в окіл іншого, а за великих (точки на рис. 8) - тривалий час перебуває в околі нестійкої точки, а інтервали стаціонарності в реалізації відсутні. Дослідження бістабільної ДС дало можливість означити такі поняття як область притягання локально стійкої до шуму точки та обмеженість або необмеженість цієї області, а також встановити статистичний зміст цих понять.

Виявлені якісні особливості статистичної динаміки ДС, які означені вище, утворюють понятійний апарат теорії стохастичних біфуркацій. Разом з детермінованим описом ВП кумулянтними моделями цей апарат уможливлює уніфікований підхід до аналізу дії на ДС детермінованих і випадкових збурень, а саме - знаходження гранично допустимих (біфуркаційних) значень параметрів ДС і завад.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений адаптації запроваджених понять теорії стохастичних біфуркацій до особливостей пристроїв фазової синхронізації і розроблення на цій основі методу аналізу граничної завадостійкості пристроїв. Коефіцієнти зносу стохастичних рівнянь, які описують пристрої синхронізації і залежать від різниці фаз, є періодичними і обмеженими функціями, а потенціальна функція відповідних динамічних систем має нескінченну кількість екстремумів і також може бути обмеженою. Стохастичне рівняння (1) для ФАПЧ 1-го порядку має вигляд

, (6)

де - добуток часу і смуги утримання, ц - повна різниця фаз КГ і сигналу, г - нормована початкова розстройка частот КГ і сигналу. У рівняння Фокера-Планка (2) підставлено F(x)=sin x - г, а рівняння еволюції кумулянтів (4) набуває вигляду

(7)

де m_ц, D_ц - середнє значення та дисперсія фазової похибки.

Залежності СКВ фазової похибки від інтенсивності шуму N і початкової розстройки г, розраховані за стрижневою моделлю, кумулянтним методом та за рівнянням Фокера - Планка наведені на рис. 9.

Порівняння показує, що похибка наближених методів у широкому діапазоні параметрів не перевищує 5%, і тільки поблизу границі працездатності сягає 30% для стрижневої та 10% для кумулянтної моделей. Перевагою наближених моделей є значно (на два порядки) менша обчислювальна складність. Крім того, наявність чи відсутність стаціонарного розв'язку рівнянь (7) є індикатором досягнення гранично допустимого рівня шуму, тоді як використання рівняння (2) та рис.9 в вимагає для визначення шумового порогу додаткового розрахунку кількості проковзувань фази і апріорного завдання значень гранично допустимого СКВ. Гранично допустимі рівні шуму, розраховані за кумулянтною моделлю, зображено на рис. 10 і їх порівняння з результатами, отриманими іншими методами, показує придатність кумулянтної моделі до потреб інженерної практики.

Процес синхронізації у ФАПЧ 2-го порядку з пропорційно-інтегруючим фільтром (ПІФ) описує двовимірний ВП (ц,y), який задовольняє систему стохастичних рівнянь

(8)

де ц - фазова похибка синхронізації, ф - нормований до сталої часу ПІФ час, y - нормована до смуги утримання частотна похибка, в - нормована до смуги утримання смуга ПІФ, г - нормована до смуги утримання розстройка сигналу і керованого генератора (КГ), m - параметр ПІФ, Ц(t) - внутрішні збурення, викликані кутовою модуляцією, керуючими впливами або завадами у петлі керування КГ, с - відношення сигнал / шум у смузі ПІФ.

Отримані з (8) рівняння дрейфу кумулянтів, аналогічні до (5), мають вигляд

(9)

де m_ц, m_y - середні значення, - дисперсії фазової та частотної похибок, к₁₁ - взаємний кумулянт, який характеризує кореляцію похибок. Приклади розв'язків математичної моделі (9) за умови Ц(t)=0 та віддаленого від точки рівноваги початкового д-подібного розподілу наведені на рис. 11 у вигляді поведінки характерного перетину (еліпсу) на фазовому портреті незбуреної системи. Параметри еліпсу однозначно пов'язані зі значеннями фазових змінних системи (9).

Числове розв'язування системи рівнянь (9) показало, що залежно від початкових умов та параметрів пристрою і завад можливі три типи розв'язків.

1. За малих рівнів шуму або початкової розстройки після перехідного процесу встановлюються усталені розміри і положення характерного перетину в околі точки стійкої рівноваги, причому існують як завгодно віддалені початкові умови, за яких перехідний процес відбувається без торкання вхідних сепаратрис (рис. 11 а). Середнє значення усталеної частотної похибки дорівнює нулеві.

2. За більших рівнів шуму усталений характерний перетин існує, але досягннути його можна лише за початкових умов з обмеженої області поблизу точки стійкої рівноваги. Вибір віддалених початкових умов призводить до торкання вхідних сепаратрис (рис. 11 б) з подальшим необмеженим зростанням розмірів еліпсу. Середнє значення усталеної частотної похибки відрізняється від нуля.

3. За ще більших рівнів шуму не існує усталений характерний перетин. Навіть при виборі початкових умов у стійкій точці розміри характерного перетину (тобто дисперсії похибок) необмежено зростають, а середня частотна похибка є скінченою.

На підставі визначених типів розв'язків у роботі запроваджені означення, які стосуються простору параметрів пристроїв синхронізації за наявності шуму та характеризують їх працездатність.

Означення. Шумова смуга утримання (ШСУ) - діапазон значень граничної початкової розстройки частот сигналу і керованого генератора, для якої існує стаціонарний характерний перетин розподілу похибки синхронізації.

Означення. Шумова смуга схоплення (ШСС) - область простору параметрів, для якої область притягання стійкого характерного перетину необмежена.

Значне зменшення обчислювальної складності математичної моделі (9) у порівнянні з моделлю (8) та рівнянням Фокера-Планка для двовимірного розподілу уможливило повний перебір параметрів ФАПЧ 2-го порядку і завади та виявлення для кожного набору параметрів умов існування та обмеженості області притягання усталеного характерного перетину. За допомогою спеціально розробленої програми були розраховані граничні значення ШСУ та ШСС ФАПЧ з інтегруючим фільтром (при m=0) у вигляді залежностей г = f (в), які наведені на рис.12 для різних значень ВСШ с. ШСУ позначена на рис. 12 горизонтальними лініями (у випадку m=0 ШСУ не залежить від нормованої смуги фільтра в). Шумова смуга схоплення автономного ФАПЧ за відсутності шуму (N = 0) показана верхньою кривою на рис. 12 і аналогічна до відомої кривої Трікомі. ШСС завжди менша від смуги схоплення автономної системи. Це означає, що характерний перетин у вигляді еліпса при деяких значеннях інтенсивності шуму 1/с>0 не може досягнути стану рівноваги на глобально стійкому фазовому портреті автономної системи. Як видно з рис. 12, існують значення інтенсивності шуму, за яких ширина ШСС дорівнює нулеві, хоча смуга схоплення автономної системи та ШСУ мають значну ширину. Це означає, що за перевищення деякого рівня шуму стає неможливим схоплення в ФАПЧ навіть за точного збігу середніх частот сигналу і керованого генератора.

Отримані результати є корисними для практики проектування пристроїв фазової синхронізації. Однак, кумулянтна модель є наближеною, тому статистичний та фізичний зміст ШСУ та ШСС був додатково з'ясований шляхом безпосереднього інтегрування стохастичних рівнянь (8). За умов вибору параметрів у межах ШСУ типові реалізації ВП є розривно-стаціонарним процесом (рис. 13 а), у якому тривалі проміжки стаціонарних флуктуацій в околі одного зі станів рівноваги чергуються з короткотривалими проковзуваннями в окіл іншого стану рівноваги. Поза межами ШСУ інтервали стаціонарності не спостерігаються (рис. 13 б).

Імовірність P_С квазісинхронного режиму, обчислена як відношення тривалості стаціонарних флуктуацій до тривалості реалізації, показана на рис. 13 в для різних наборів параметрів і демонструє збіг кривої P_С=0,8 з визначеною границею ШСУ. В межах ШСУ імовірність одночасних проковзувань циклів в різних реалізаціях дуже мала (при P_С=0,8 імовірність синхронізму хоча б в одній з трьох реалізацій становить 99%), що уможливлює забезпечення впевненої синхронізації з носійною частотою багатоканальним прийманням. За межами ШСУ (рис. 13 б) імовірність збігу в часі перехідних процесів у різних реалізаціях є великою і багатоканальність не гарантуватиме неперервного синхронізму.

Розв'язки рівнянь (8) за віддалених початкових умов показують, що в межах ШСС перехідний процес закінчується в околі одного стану рівноваги (рис. 14 а), а поза межами ШСС - в околах різних (рис. 14 б). Імовірність P_m попадання ВП в окіл тої самої стійкої точки, що і траєкторії детермінованої системи, зображена на рис. 14 в. З границею ШСС збігається крива P_m=0,9. В межах ШСС тривалості перехідних процесів в детермінованій та стохастичній ФАПЧ однакові. Середня тривалість перехідного процесу поблизу границі ШСС збільшується через більшу імовірність проковзування до віддалених станів рівноваги. Виявлений статистичний зміст ШСС дає змогу визначити граничну інтенсивність шумової завади, за якої тривалість входження в синхронізм лишається незмінною, що важливо для проектування завадостійких ФАПЧ.

Наступним завданням, яке вирішено у третьому розділі, був аналіз впливу вищих кумулянтів густини розподілу фазової похибки на точність отриманих результатів. Для цього були виведені рівняння еволюції перших чотирьох кумулянтів у ексцесному наближенні, на відміну від нормального наближення в системі (7). Обчислювальна складність інтегрування отриманих рівнянь приблизно в 8 разів більша, ніж інтегрування рівнянь (7), але майже на порядок менша, ніж у випадку аналізу ансамблю реалізацій стохастичного рівняння (6) або інтегрування у часткових похідних відповідного рівняння Фокера-Планка. Виявлено, що область стійкості системи рівнянь у ексцесному наближенні значно вужча, ніж рівнянь (7), але похибка визначення СКВ різниці фаз становить десяті і соті частки відсотка, порівняно з одиницями та десятками відсотків у гаусовому наближенні.

Крім ФАПЧ з синусоїдною характеристикою ФД, якому відповідає рівняння (6), розглянуто також застосування ФД з трикутною, трапецевидною, прямокутною характеристиками, а також характеристикою із зонами нечутливості. Для всіх типів характеристик ФД кумулянтним методом виявлені границі завадостійкості ФАПЧ та визначено СКВ фазової похибки за різних значень параметрів. Виявлено, що найбільшу завадостійкість забезпечує ФД з прямокутною характеристикою (фазовий дискримінатор), а найменшу - з трикутною. Крім того, кумулянтним методом проаналізований вплив характеристики ФД на спектр фазових флуктуацій, отримані аналітичні вирази для форми спектру. Одним з результатів аналізу спектрів стало виявлення впливу інтенсивності шуму не тільки на значення спектральних складових, а і на ширину спектру, що типово для нелінійних систем.

Основним результатом третього розділу є розробка і обґрунтування методу аналізу завадостійкості ФАПЧ, який полягає у виявленні умов існування стаціонарного розв'язку кумулянтної математичної моделі (9). Параметри стаціонарного розв'язку характеризують якість синхронізації, а його відсутність означає зрив синхронізму, тобто втрату працездатності пристрою. Мала обчислювальна складність методу уможливлює перебір параметрів пристрою і завад у широкому діапазоні.

В четвертому розділі проведено аналіз та параметричний синтез ФАПЧ 2-го порядку за умов одночасної дії шуму та детермінованих збурень у вигляді фазової модуляції або маніпуляції. У математичній моделі (9) покладено Ф=м sin(г_Mф/в) у випадку фазової модуляції або Ф=м sign sin(г_Mф/в) у випадку маніпуляції (м - індекс, г_M - нормована частота модуляції). За умови м > 0 система (9) є неавтономною і не має стаціонарного розв'язку, тому при аналізі системи здійснюється пошук умов існування і характеристик усталених періодичних розв'язків, які відповідають режиму квазісинхронізму у ФАПЧ.

На рис. 15 зображений перехідний режим у неавтономній системі (9) за віддалених початкових умов. Зі збільшенням рівня шуму характерний перетин (рис. 15 а) може торкнутися вхідної сепаратриси, що призведе до необмеженого зростання його розміру. На відміну від автономної системи (рис. 11) між першим торканням сепаратриси та різким зростанням СКВ фазової похибки може пройти значний проміжок часу, особливо за значень параметрів, близьких до граничних. У наведеному на рис.15 б випадку торкання сепаратриси відбулося за значення часу ф?3..5, а характерні ознаки зриву синхронізму, виявлені інтегруванням через перехідний процес, проявилися лише за значення часу ф?62..63, тобто описаний критерій на порядок скорочує час аналізу.

Приклади усталених періодичних розв'язків неавтономної системи (9) наведені на рис. 16 у вигляді періодичних рухів характерного перетину (а) та часових залежностей довірчого інтервалу частотної похибки (б) і СКВ фазової похибки (в).

За малих рівнів шуму та індексів модуляції на розмах орбіти усталеного руху характерного перетину (рис. 16 а) впливає тільки індекс модуляції, а на його розмір - тільки інтенсивність шуму. Торкання еліпсом вхідної сепаратриси через зростання розміру або розмаху орбіти свідчить про зрив синхронізму. За більших рівнів збурень характерною особливістю періодичних розв'язків є те, що впродовж періоду модулювального збурення змінюється і середнє значення (потовщена лінія на рис. 16 б) і СКВ похибки. Порівняння СКВ фазової похибки за наявності кутової модуляції (крива 1 на рис. 16 в) та за її відсутності (пряма 2) показує, що збільшення індексу модуляції за незмінного рівня шуму суттєво (до 7 разів) збільшує пікові значення СКВ похибки. Отже, отримана математична модель (9) дає можливість аналізувати одночасну дію шумової завади та кутової модуляції і виявляти ефекти, недоступні іншим методам.

Аналогічні особливості усталених періодичних рухів виявив також аналіз статистичної динаміки ФАПЧ за наявності фазової маніпуляції (рис. 17).

Зміни характеристик усталених періодичних розв'язків системи (9), викликані змінами параметрів збурень та пристрою, зображено на рис. 18, де потовщеними лініями відмічений розкид середнього значення за період модуляції, а тонкими - довірчий інтервал фазової похибки (абсциси граничних точок еліпса). Наближення до межі існування синхронного режиму викликає різке зростання СКВ фази незалежно від того, яким параметром це наближення викликано. Залежність від рівня шуму 1/ (рис. 18 а) показує, крім числових значень статистичних характеристик фазової похибки, граничну завадостійкість, що дає можливість оптимізувати параметри пристрою за критерієм максимуму допустимого рівня шуму. Залежність від індексу модуляції м (рис. 18 б) показує зміни фази основної гармоніки модульованого коливання на ±180° та помітні викиди СКВ фазової похибки, коли гармоніка носійної частоти має близьку до нуля амплітуду. Залежність від параметру m ПІФ (рис. 18 в) має мінімум, що уможливлює оптимізацію за відомим критерієм мінімуму СКВ, крім того, ця залежність показує неможливість синхронізму за деяких значень параметрів (m<0,05).

На рис. 19 наведено залежності шумових смуг утримання (рис. 19 а) і схоплення (рис. 19 б) від параметру 1/ (відношення шум/сигнал в смузі ФНЧ) при значеннях індексу модуляції = 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 (криві 1..5 відповідно). Характерною особливістю ШСУ та ШСС є монотонне звуження як з ростом шуму, так і з ростом індексу модуляції. Це обмежує можливість збільшення вихідного відношення сигнал/шум шляхом збільшення індексу модуляції. Різке звуження смуг (особливо ШСС) в області малих шумів показує неможливість за наявності шуму використовувати результати, відомі для детермінованих ФАПЧ.

Залежності, наведені на рис. 18 і 19, отримані за допомогою спеціально розробленої програми, яка здійснює інтегрування системи рівнянь (9) та автоматичну зміну одного (рис.18) або двох (рис. 19) параметрів. Ця програма була використана для оптимізації параметрів ФАПЧ за критерієм максимальної завадостійкості. Вихідними даними для оптимізації за цим критерієм є тільки параметри модуляції (прийнято г_М=0,02 та м=10). Отримані оптимальні значення параметрів (m=0,230; в=0,013) забезпечують максимально допустимий рівень шуму 1/вс=2,8. Для порівняння були також розраховані значення параметрів, оптимальні за критерієм мінімуму СКВ, який вимагає додатково задавати апріорне значення рівня шуму. Отримані значення (m=0,242; в=0,101 для 1/вс=0,1 та m=0,115; в=0,016 для 1/вс=4,0) суттєво відрізняються від рекомендацій розробленої програми. На рис. 20 наведені графіки ШСУ для всіх трьох наборів параметрів, порівняння яких показує, що нелінійний синтез програє малошумовому лінійному біля 20% допустимої розстройки за малих рівнів шуму, але виграє 25% за завадостійкістю. Виграш нелінійного синтезу порівняно з сильно шумовим лінійним за завадостійкості лише 5%, але за граничною розстройкою сягає 25..50%. Крім того, відсутність необхідності апріорно задавати рівень шуму значно полегшує задачу проектування порівняно з лінійним методом, нечутливим до порогу завадостійкості.

Розроблена програма дає можливість оптимізувати параметри пристрою ще за одним критерієм, недоступним для лінійного методу, - за максимумом діапазону стеження. На рис. 21 наведені залежності частотного діапазону стеження від смуги утримання F_УА незбуреної ФАПЧ. За відсутності ФМ (м=0) малі смуги утримання (до 500 Гц) використовуються практично повністю. Але при значному розширенні F_УА (більше 12 кГц) діапазон стеження спадає до нуля через вплив шуму. Рекомендованим значенням коефіцієнта підсилення петлі ФАПЧ є F_УА =8 кГц (досягнутий діапазон 1,7..2,2 кГц в залежності від значення м). Для порівняння на рис. 21, крім точок максимуму діапазону стеження, відмічені точки мінімальної фазової похибки та значення СКВ фази для г=0, які показують, що критерій максимального діапазону програє 10°..15° за якістю синхронізації, але виграє в 2..3 рази за діапазоном стеження.

Отже, з використанням кумулянтної математичної моделі (9) виявлені нові особливості статистичної динаміки ФАПЧ під дією комбінованих збурень, зокрема змінність в часі СКВ фазової похибки та його залежність від індексу модуляції. Розроблена програма аналізу математичної моделі (9) дає можливість проектувальнику оптимізувати параметри пристрою як за відомим критерієм мінімуму СКВ фазової похибки, так і за критеріями максимуму допустимого рівня шуму і максимуму діапазону стеження.

У п'ятому розділі роботи обґрунтована та досліджена структурна модифікація пристрою ФАПЧ, спрямована на усунення основного джерела порогового обмеження завадостійкості, а саме - обмеженості робочої ділянки детекторної характеристики ФД. Зрив синхронізму відбувається, коли сумарна похибка синхронізації (статична, динамічна і шумова) виходить за межі цієї робочої ділянки (±р/2). На етапі проектування це викликає необхідність пошуку компромісу між завадостійкістю (статистична складова похибки) та динамічними властивостями пристрою (динамічна складова).

Ідея підвищення завадостійкості зі збереженням динамічних властивостей полягає у зменшенні викидів різниці фаз перед ФД (щоби фазова похибка не виходила за межі робочої ділянки) і наступному підсиленні вихідного сигналу ФД (щоби відновити динамічні властивості демодулятора). Структурна схема пристрою, який реалізує цю ідею, наведена на рис. 22 і відрізняється від схеми класичного ФАПЧ наявністю вузькосмугового фільтра (ВСФ) перед ФД та активного фільтра верхніх частот (ФВЧ) після нього. ВСФ реалізовано як синхронно-фазовий фільтр, у квадратурних каналах якого використані однакові пропорційно-інтегруючі фільтри (ПІФ) з комплексним коефіцієнтом передавання

. (10)

Покладемо, що ФД має трикутну характеристику і максимальний рівень вихідної напруги U_ФД, а крутість характеристики керованого генератора становить S. Тоді максимальне відхилення частоти КГ (смуга утримання автономного пристрою) становить Щ_УА=S•U_ФД. Нехай також сигнали на виході опорного генератора (ОГ) S_ОГ, на виході КГ S_КГ, і вхідний сигнал S_ВХ(t) становлять

S_ОГ(t)=sin(щ_ОГt), S_КГ(t)=sin[(щ_0КГ-Su₅)t+ц_КГ],

S_ВХ(t)= S₀(t)=cos(щ₀t+ц₀(t)+ц_n(t)). (11)

В (11) позначено: щ_0КГ, ц_КГ - власна частота і початкова фаза КГ; щ₀- носійна частота, ц₀(t)=м sin(Щt) - модулювальна складова фази сигналу; м - індекс, Щ- частота модуляції; ц_n(t) - перерахована у фазовий шум канальна шумова завада; u₅ - керуюча напруга КГ (точка 5 на рис.22). Позначимо також Щ_П=щ₀-(щ_0КГ+щ_ОГ) - відхилення носійної частоти S_ВХ від очікуваної (щ_0КГ+щ_ОГ), тобто початкова розстройка частот; щ=Щ_П-Su₅ - миттєва частотна похибка синхронізації з носійним сигналом; ц(t)=(Щ_П+ Su₅)t -ц_КГ - миттєва фазова похибка синхронізації з носійним сигналом; ц₁(t)=ц(t)+ц₀(t)+ц_n(t) - фазовий зсув сигналу на вході ВСФ відносно опорного генератора; ц₂(t)- різниця фаз сигналів на входах ФД. За таких позначень сигнал на вході ВСФ в усталеному режимі має частоту щ_ОГ, а його фаза становить ц₁(t). За умови Щ_П=0 і відсутності шуму напруги на входах фільтрів квадратурних каналів (точки 1s та 1с на рис 22) становитимуть

u_1S(t)=sin ц= sin (м sin Щt); u_1C(t)=cos ц= cos (м sin Щt), (12)

і при індексах модуляції м<р/2 можна вважати, що спектри цих сигналів містять постійну складову U_1C0 і по одній гармоніці частоти модуляції з амплітудами U_1SM, U_1CM:

...