Дискретные сигналы, преобразования Фурье и Лапласа
Дискретизация непрерывных сигналов, их последовательность и выражение через исходный непрерывный сигнал. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов. Основные теоремы Z-преобразования.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.09.2015 |
| Размер файла | 84,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
- ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
- Содержание
- 1. Дискретизация непрерывных сигналов
- 2. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов
- 3. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов
- 4. Z - преобразование
- 5. Основные теоремы Z - преобразования
- 6. Дискретное преобразование Фурье
- Литература
- 1. Дискретизация непрерывных сигналов
- Обработка сигналов на цифровых устройствах начинается с замены непрерывного сигнала x(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения
- x(nT) , x(n) , xn , {x0 ; x1 ; x2 ; … } ;
- x[n]; {x[0], x[1], x[2]….}.
- Дискретизация осуществляется элемента дискретизации через интервалы времени T (Tд) (рис.1.1).
Размещено на http://www.allbest.ru/
- Рис.1.1
- Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал x(t) в виде решетчатой функции x(nT). Частота действия элемента дискретизации fд и шаг дискретизации T связаны формулой
- fд = 1 / T . (1.1)
- Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом
- x(nT) = x(t)d(t - nT) , (1.2)
- где d(t) - дискретная d - функция (рис. 1.2, а),
- d(t - nT) - последовательность d - функций (рис. 1.2, б).
- 2. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов
- Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом
- X(jw) =x(nT) e-jwt dt =x(t)d(t - nT) e-jwt dt .
- Периодическую последовательность d - функций здесь можно разложить в ряд Фурье
- d(t - nT) =,
- где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов
- дискретный непрерывный сигнал преобразование
- , поскольку Fd(jw) = 1.
После замены в исходном выражении периодической последовательности d - функций ее разложением в ряд Фурье получим
X(jw) =x(t)() e-jwt dt =x(t)e-jwt dt .
Учитывая теорему смещения спектров, можно заметить, что если
f(t) ® F(jw),
то
f(t)® F[j(w ± w0)] ,
последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(jw) и аналогового Xa(jw) сигналов
X(jw) =Xa[j(w -)] . (1.3)
Из выражения (1.3) следует:
Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации wд (рис.1.3.)
Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5wд ; 0,5wд], если удовлетворяется неравенство
wв Ј 0,5wд , (1.4)
где wв - верхняя частота спектра аналогового сигнала.
Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте wд.
Смежные спектры Xa(jw) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.
Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого wс = 0,5wд. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе фильтра и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). В противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.
Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота wв не известна, то выбор из wд определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.
3. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов
Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку
то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид
Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.
Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому после замены
x(nT) ® x(nT) / T
преобразование Фурье принимает окончательный вид
(1.5)
Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1.5) после обобщения частоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть jw ® p = + jw
(1.6)
4. Z - преобразование
Эффективность частотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа Z - преобразованием. В этом случае изображение сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной p = + jw, заменяется Z - изображением сигнала X(z), которое является рациональной функцией переменной z= x + jy.
Формулы Z - преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных
epT = z . (1.7)
Подстановка (1.7) и ее производной
dz / dp = TepT
в (1.6) приводит к формулам прямого и обратного Z - преобразования
(1.8)
Точки на мнимой оси комплексного переменного p = + jw, то есть точки p = jw, определяют реально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскости Z единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)
z = ejwT = (1.9)
Поэтому непрерывному росту переменной на мнимой оси плоскости p = d + jw, соответствует многократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (рис. 1.4). Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование в формуле обратного z - преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичной окружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимой плоскости p.
Учитывая вышеизложенное и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскость переменного p = + jw отображается на плоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость - на плоскость Z за пределами единичного круга.
Подстановка (1.9) в z - изображение сигнала приводит к спектру этого сигнала, подстановка (1.7) дает изображение по Лапласу.
Пример. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала x(nT) = {a ; b} (рис. 1.5, а).
Решение
Z - изображение сигнала согласно (1.8)
X(z) =x(nT) z-n = x(0T) z-0 + x(1T) z-1 = a + bz-1
Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала
z(jw) = a + be-jwT.
Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; wд].
Вне интервала частот [0 ; wд] частотные зависимости повторяются с периодом wд.
5. Основные теоремы Z - преобразования
Основные теоремы Z - преобразования (без доказательства)
1. Теорема линейности.
Сигнал во времени x(nT) = ax1(nT) + bx2(nT) ,
Z-образ X(z) = a X1(z) + bX2(z).
2. Теорема запаздывания.
Сигнал во времени = x1(nT - QT) ,
Z-образ X(z) = X1(z) z - Q.
Теорема о свертке сигналов.
Сигнал во времени X(nT) = x1(kT) x2(nT - kT) ,
Z-образ X(z) = X1(z) X2(z).
Теорема об умножении сигналов.
Сигнал во времени x(nT) = x1(nT) x2(nT) ,
Z-образ X(z) = X1(V) X2() V -1 dV,
где V, z - переменные на плоскости Z.
Теорема энергий (равенство Парсеваля).
x2(nT) =X(z) X(z -1) z -1 dz.
Z - преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.
6. Дискретное преобразование Фурье
Если сигнал ограничен во времени значением tu , а его спектр - частотой wв, то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной, так и в частотной областях (рис. 1.7, а, б) :
N = tu/T - во временной области, где T = 1/fд ,
N = fд/f1 - в частотной области, где f1 = 1/tu .
Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, дискретному спектру будет соответствовать периодический сигнал. В этом случае отсчеты
x(nT) = {x0 ; x1 ; … xN-1}
являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(jkw1), период, который равен wд.
Соответственно, отчеты X(jkw1) = {X(0); X(1); … X(N-1)} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности x(nT), период, который равен tu.
Связь отсчетов сигнала и спектра устанавливается формулами дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Формулы ДПФ следуют из формул Фурье для дискретных сигналов (1.5), если непрерывную переменную w заменить дискретной переменной kw1, то есть
w ® kw1 , dw ® w1.
После замены переменной в (1.5) получим
X(jkw1) = x(nT),
x(nT) =X(jkw1).
Отсюда после подстановки w1 = wд/N, T = 2p /wд формулы ДПФ принимают окончательный вид
X(jkw1) =x(nT)- прямое ДПФ ,
x(nT) =X(jkw1)- обратное ДПФ (1.10)
Сигнал с ограниченным спектром имеет, строго говоря, бесконечную протяженность во времени и, соответственно бесконечное число отсчетов и непрерывный спектр. Спектр останется непрерывным, если число отсчетов сигнала ограничить конечным числом N. Формулы (1.10) в этом случае будут выражать связь между N отсчетами дискретного сигнала и N отсчетами его непрерывного спектра, который можно полностью восстановить по его отсчетам.
Пример. Определить отсчеты спектра сигнала на рис. 1.5, а.
В данном случае N = 2 поэтому
X(jkw1) =x(nT) e-jpkn
следовательно
X(j0w1) =x(nT)e-j0 = x(0T) + x(1T) = a + b
X(j1w1) =x(nT)e-jpn = x(0T) e-j0 + x(1T) e-jp = a - b.
График отсчетов спектра приведен на рис. 1.5, б, где w1 = wд/N = 0,5wд.
Сигнал с конечным числом отсчетов N имеет спектр, который повторяет с конечной погрешностью спектр сигнала с бесконечным числом отсчетов : спектры совпадают на отсчетных частотах kw1 и отличаются на других частотах. Отличие спектров тем меньше, чем больше N. В самом деле, реальные сигналы обладают конечной энергией и, следовательно, начиная с некоторого номера отсчета остальными номерами можно пренебречь ввиду их малости, что не окажет заметного влияния на спектр сигнала.
Пример. Осуществить дискретизацию экспоненциального импульса
x(t) = Ae-at = 1 e-10t
и сравнить спектры исходного и дискретного сигналов.
Решение
График сигнала x(t) представлен на рис. 1.8
Пусть T = 0,02с. В этом случае плавным соединением отсчетов сигнала (штриховая линия на рис. 1.8) сигнал восстанавливается удовлетворительно хотя заметны искажения в окрестности точки t = 0, поэтому ошибки наложения будут некоторым образом влиять на спектральные характеристики.
Положим tu = 0,4с. В этом случае
N = tu/T = 20.
Расчет спектра по формуле прямого ДПФ в точке w = 0 (k = 0) запишется так
X(j0w1) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 + 0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41
Истинное значение спектра в точке w = 0 можно определить, зная спектр аналогового экспоненциального импульса
Xa(jw) =, следовательно Xa(j0) == 0,1.
Чтобы сравнить спектры дискретного и непрерывного сигналов, дискретный спектр необходимо нормировать умножением на T, так как формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде.
Поэтому
X(j0w1) = 5,41 T = 5,42Ч0,02 = 0,1082.
Таким образом, совпадение спектров Xa(jw) и X(jw) в точке w = 0 вполне удовлетворительное. Некоторая неточность объясняется влиянием ошибок наложения.
Выбор шага дискретизации достаточно контролировать в точках максимальной крутизны исходной функции x(t). В рассмотренном примере такой точкой является момент времени t = 0.
Литература
1. Бизин А. Т. Введение в цифровую обработку сигналов. Новосибирск : Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики, 1998.
2. Введение в цифровую фильтрация. Под ред Р.Богнера, А. Константинидиса. М.: Мир, 1976.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сигнал - материальный носитель информации и физический процесс в природе. Уровень, значение и время как основные параметры сигналов. Связь между сигналом и их спектром посредством преобразования Фурье. Радиочастотные и цифровые анализаторы сигналов.
реферат [118,9 K], добавлен 24.04.2011Исследование математических методов анализа сигналов с помощью преобразований Фурье и их связь. Соотношение Парсеваля, которое выполняется для вещественной, частотно-ограниченной функции f(t), интегрируемой на интервале, соответствующем одному периоду.
контрольная работа [903,7 K], добавлен 16.07.2016Методика анализа преобразования сигналов линейными цепями, их физические процессы в различных режимах. Особенности применения дискретного преобразования Фурье и алгоритма быстрого преобразования Фурье в инженерных расчетах. Выходная реакция линейной цепи.
курсовая работа [171,1 K], добавлен 19.12.2009Расчет спектра сигнала через ряд Фурье. Диапазон частот, в пределах которого заключена часть энергии колебания. Восстановленный сигнал из гармоник. Алгоритм восстановления и дискретные значения времени. Изучение спектрального представления сигналов.
лабораторная работа [356,3 K], добавлен 18.05.2019Изучение линейных систем перевода сигнала. Сущность дискретного преобразования Фурье. Объяснения, демонстрации и эксперименты по восстановлению искаженных и смазанных изображений. Рассмотрение теории деконволюции и модели процесса искажения и шума.
дипломная работа [8,0 M], добавлен 04.06.2014Разработка устройства преобразования аналоговых сигналов на базе микроконтроллера PIC16F877 и ЦАП AD5346, осуществляющее преобразование в последовательность двоичных кодов, обработку кодов и преобразование результатов обработки в аналоговые сигналы.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 06.06.2012Состав каналов для передачи дискретных сообщений. Наиболее распространенные способы задания непрерывных каналов, описание их с помощью операторов преобразования входных сигналов и задание действующих помех. Дискретный канал непрерывного времени.
презентация [294,9 K], добавлен 21.04.2015Частотные и спектральные характеристики сигналов приемника нагрузки. Расчет передаточных параметров формирователя входных импульсов. Анализ выходных сигналов корректирующего устройства. Оценка качества передачи линии с помощью преобразования Лапласа.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 23.05.2012Векторное представление сигнала. Структурная схема универсального квадратурного модулятора. Процесс преобразования аналогового сигнала в цифровой. Наложение и спектры дискретных сигналов. Фильтр защиты от наложения спектров. Расчет частоты дискретизации.
курсовая работа [808,3 K], добавлен 19.04.2015Общие сведения о радиотехнических сигналах, их спектральное представление. Анализ периодических сигналов посредством рядов Фурье. Преобразование заданного графического изображения импульса в аналитическую форму, его разложение в тригонометрический ряд.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 28.12.2011Математические модели сообщений, сигналов и помех. Основные методы формирования и преобразования сигналов в радиотехнических системах. Частотные и временные характеристики типовых линейных звеньев. Основные законы преобразования спектра сигнала.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 09.01.2013Понятие, сущность, размерность, виды, классификация, особенности преобразования и спектральное представление сигналов, их математическое описание и модели. Общая характеристика и графическое изображение аналогового, дискретного и цифрового сигналов.
реферат [605,8 K], добавлен 29.04.2010Определение Z-преобразования некоторых дискретных сигналов. Единичный импульс и единичный скачок. Экспоненциальная дискретная функция. Комплексная дискретная экспонента. Свойства Z-преобразования, системная (передаточная) функция дискретного фильтра.
презентация [99,2 K], добавлен 19.08.2013Требования к микросхемам аналогового интерфейса связи. Спектр мощности речевого сигнала. Характеристика сигналов аналоговых сообщений. Последовательность импульсов при передаче точек. Восстановление цифровых сигналов. Уплотнение каналов в телефонии.
презентация [850,5 K], добавлен 22.10.2014Соотношение для спектральных плотностей входного и выходного сигнала, дискретное преобразование Фурье. Статистические характеристики сигналов в дискретных системах. Дискретная спектральная плотность для спектральной плотности непрерывного сигнала.
реферат [189,3 K], добавлен 23.09.2009Особенности методики применения математического аппарата рядов Фурье и преобразований Фурье для определения спектральных характеристик сигналов. Исследование характеристик периодических видео- и радиоимпульсов, радиосигналов с различными видами модуляции.
контрольная работа [491,1 K], добавлен 23.02.2014Основные методы анализа преобразования и передачи сигналов линейными цепями. Физические процессы в линейных цепях в переходном и установившемся режимах. Нахождение реакции цепи операционным методом, методами интеграла Дюамеля и частотных характеристик.
курсовая работа [724,2 K], добавлен 04.03.2012Использование спектра в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. Спектральный анализ, основанный на классических рядах Фурье. Примеры периодических сигналов.
курсовая работа [385,8 K], добавлен 10.01.2017Анализ математических методов анализа дискретизированных сигналов и связи между ними. Число параметров или степеней свободы сигнала. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала. Метод дискретизации Шеннона. Частотное разрешение сигналов.
реферат [468,3 K], добавлен 16.07.2016Понятие сигнала, его взаимосвязь с информационным сообщением. Дискретизация, квантование и кодирование как основные операции, необходимые для преобразования любого аналогового сигнала в цифровую форму, сферы их применения и основные преимущества.
контрольная работа [30,8 K], добавлен 03.06.2009
