Методы обработки сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

Учебно-методическое пособие

Методы обработки сигналов

М.М. Анишин

Содержание

Введение

1. Методы обработки сигналов

1.1 Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

1.2 Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование

1.3 Частота Найквиста

1.4 Ряд Фурье

1.4.1 Синусно-косинусная форма

1.4.2 Вещественная форма

1.4.3 Комплексная форма

Введение

Сущность цифровой обработки состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и т. д.) преобразуется в последовательность чисел, которая затем подвернется математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. Трансформированный цифровой сигнал (последовательность чисел) при необходимости может быть преобразована обратно в напряжение или ток. Далее будут рассмотрены принципы математического описания и анализа дискретных сигналов. Но прежде всего следует пояснить некоторые терминологические тонкости.

Комплексной целью данного учебно-методического пособия является укрепление и повышение знаний связанных с теоретическим курсом лекций - «Цифровые методы обработки сигналов». Данное пособие призвано поддержать теоретический курс с тем, чтобы студенты на практике при помощи персонального компьютера изучили основные методы обработки сигналов.

Задачами учебно-методического пособия являются:

- знакомство с принципами аналого-цифровым и цифро-аналоговым преобразованием;

- изучение непрерывного и дискретного преобразования Фурье и его свойств;

- изучение различных алгоритмов быстрого дискретного преобразования Фурье;

- знакомство с понятиями свертки и корреляционной функцией сигнала.

1. Методы обработки сигналов

1.1 Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

Исходный физический сигнал является непрерывной функцией времени. Такие сигналы, определенные во все моменты времени, называют аналоговыми, последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке, является дискретным рядом и не может полностью соответствовать аналоговому сигналу. Числа, составляющие последовательность, являются колебаниями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются отсчетами сигнала. Отсчеты берутся через равные промежутки времени Т, называемые периодом дискретизации (или интервалом , шалом дискретизации). Величина, обратная периоду дискретизации, называется частотой дискретизации: f_д = 1/Т. Соответствующая ей круговая частота определяется следующим образом: _д = 2р f_д.

Ясно, что в общем случае представление сигнала набором дискретных отсчетов приводит к потере информации, так как мы ничего не знаем о поведении сигнала в промежутках между отсчетами. Однако, как будет показано далее, существует класс аналоговых сигналов, для которых такой потери информации не происходит, и которые могут быть точно восстановлены по значениям своих дискретных отсчетов. Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования -- дискретным сигналом. При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню , а возникающие при этом ошибки округления -- ошибками (или шумами) квантования. Сигнал, дискретный во времени, но не квантованный по уровню, называется дискретным сигналом. Сигнал, дискретный во времени и квантованный по уровню, называют цифровым сигналом. Сигналы, квантованные по уровню, но непрерывные во времени, на практике встречаются редко. Разницу между аналоговыми, дискретными и цифровыми сигналами иллюстрирует рис. 1.

Рис. 1. Аналоговый (слева), дискретный (в центре) и цифровой (справа) сигналы

Вычислительные устройства, предназначенные для обработки сигналов, могут оперировать только цифровыми сигналами. Существуют также устройства, построенные в основном на базе аналоговой схемотехники, которые работают с дискретными сигналами, представленными в виде импульсов различной амплитуды или длительности.

В дальнейшем речь пойдет о дискретных сигналах и методах их обработки, поскольку эффекты, связанные с квантованием по уровню, в большинстве случаев не будут приниматься во внимание.

1.2 Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование

Обобщенная структура системы цифровой обработки сигналов приведена на рис. 2. На вход поступает аналоговый сигнал s_BX(t). Его временная дискретизация и квантование по уровню производятся в аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Выходным сигналом АЦП является последовательность чисел, поступающая в цифровой процессор ЦП, выполняющий требуемую обработку. Процессор осуществляет различные математические операции над входными отсчетами. Результатом работы процессора является новая последовательность чисел, представляющих собой отсчеты выходного сигнала. Аналоговый выходной сигнал s_BbIX(t) восстанавливается по последовательности чисел с помощью цифро-аналогового преобразователя ЦАП. Напряжение на выходе ЦАП имеет ступенчатую форму при необходимости, оно может быть преобразовано в плавно меняющийся выходной сигнал с помощью сглаживающего фильтра Ф.

Рис. 2. Структурная схема системы цифровой обработки сигналов

1.3 Частота Найквиста

Гармонический сигнал может быть адекватно представлен дискретными отсчетами, если его частота не превышает половины частоты дискретизации (эта частота называется частотой Найквиста

f_N = f_д /2 = 1/(2Т)

_n = _д/2 = р/Т)

Происхождение этого ограничения поясняет рис. 3. В зависимости от соотношения между частотой дискретизируемого гармонического сигнала и частотой Найквиста возможны три случая:

Если частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста, дискретные отсчеты позволяют правильно восстановить аналоговый сигнал (рис. 3, а).

Если частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста, то дискретные отсчеты позволяют восстановить аналоговый гармонический сигнал с той же частотой, но амплитуда и фаза восстановленного сигнала (он показан пунктирной линией) могут быть искажены (рис. 3, б). В худшем случае все дискретные отсчеты синусоиды могут оказаться равными нулю.

3.Если частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста, восстановленный по дискретным отсчетам аналоговый сигнал (как и в предыдущем случае, он показан пунктирной линией) будет также гармоническим, но с иной частотой (рис. 3, в). Данный эффект носит название появления ложных частот.

Рис. 3. Дискретизация гармонических сигналов с разной частотой

1.4 Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле: сигнал аналоговый цифровой найквист

1. не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);

2. число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным;

3. число экстремумов должно быть конечным (в качестве примера функции, которая на конечном интервале имеет бесконечное число экстремумов, можно привести sin(l/x) в окрестности нуля).

В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье.

1.4.1 Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь ₁ = 2р/Т -- круговая частота, соответствующая периоду Т повторения сигнала. Входящие в формулу кратные ей частоты k₁ называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом k, частота _k = k₁ называется k - й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда аk и bk рассчитываются по формулам:

Константа a₀ рассчитывается по общей формуле для a_k. Ради этой общности и введена несколько странная на первый взгляд форма записи постоянного слагаемого (с делением на два). Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде

1.4.2 Вещественная форма

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (то есть для каждой гармоники с частотой k₁ ) в формуле фигурируют два слагаемых -- синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

(1)

Если s(t) является четной функцией, фазы ц_k могут принимать только значения 0 и р, а если s(t) -- функция нечетная, то возможные значения для фазы равны ±р/2.

1.4.3 Комплексная форма

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера ):

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое а₀/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:

(2)

Комплексные коэффициенты ряда связаны с амплитудами A_k и фазами ц_k, фигурирующими в вещественной форме записи ряда Фурье (1), следующими несложными соотношениями:

, , .

Несложно выглядят и формулы связи с коэффициентами а_k и b_k синусно-косинусной формы ряда Фурье

, , .

Отсюда сразу же следует и формула непосредственного расчета коэффициентов C_k ряда Фурье в комплексной форме:

(3)

Если s(t) является четной функцией, коэффициенты ряда C_k будут чисто вещественными, а если s(t) -- функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми. Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз -- фазовым спектром.

Размещено на Allbest.ru