Размещено на http://allbest.ru

Реферат

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ



Содержание

1. Общие понятия

2. Нерекурсивные фильтры

3. Рекурсивные фильтры

4. Импульсная реакция фильтра

5. Передаточные функции фильтров

6. Устойчивость фильтров

7. Частотные характеристики фильтров

8. Фильтрация случайных сигналов

9. Структурные схемы цифровых фильтров

Литература



1. Общие понятия

В одномерной дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала - отсчетами), задается линейным оператором преобразования L:

y[k?t]= L{x[k?t]}.

Это выражение отображает краткую запись линейного разностного уравнения:

a_m y[k Dt - m Dt] =b_n x[k D t- n Dt], (1)

где k = 0, 1, 2,..- порядковый номер отсчетов,

Dt - интервал дискретизации сигнала,

a_m и b_n - вещественные или, в общем случае, комплексные коэффициенты.

Положим a₀ = 1, что всегда может быть выполнено соответствующей нормировкой уравнения (1), и, принимая в дальнейшем Dt = 1, приведем его к виду:

y(k) = b_n x[k - n] -a_m y[k - m]. (2)

Оператор, представленный правой частью данного уравнения, получил название цифрового фильтра (ЦФ), а выполняемая им операция - цифровой фильтрации данных (информации, сигналов).

Если хотя бы один из коэффициентов a_m или b_n зависит от переменной k, то фильтр называется параметрическим, т.е. с переменными параметрами.

Ниже мы будем рассматривать фильтры с постоянными коэффициентами (инвариантными по аргументу).

2. Нерекурсивные фильтры

При нулевых значениях коэффициентов a_m уравнение (2) переходит в уравнение линейной дискретной свертки функции x[k] с оператором b_n:

Y[k] = b_n x[k-n]. (3)

Значения выходных отсчетов свертки (3) для любого аргумента k определяются текущим и "прошлыми" значениями входных отсчетов. Такой фильтр называется нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ). Интервал суммирования по n получил название "окна" фильтра.

Окно фильтра составляет N+1 отсчет, фильтр является односторонним каузальным, т.е. причинно обусловленным текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, и выходной сигнал не опережает входного.

Каузальный фильтр может быть реализован физически в реальном масштабе времени.

При k < n, а также при k < m для фильтра (2), проведение фильтрации возможно только при задании начальных условий для точек x[-k], k = 1, 2,.., N, и y[-k], k = 1,2,..,M.

Как правило, в качестве начальных условий принимаются нулевые значения или значения отсчета х[0], т.е. продление отсчета x[0] назад по аргументу.

При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности снимается.

В программном распоряжении фильтра могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входной последовательности отсчетов относительно текущей точки вычислений k, при этом уравнение (3) будет иметь вид:

y[k] =b_n x[k-n]. (4)

При N' = N фильтр называется двусторонним симметричным. Симметричные фильтры, в отличие от односторонних фильтров, не изменяют фазы обрабатываемого сигнала.

Техника выполнения фильтрации не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных (рис. 1).

Рис. 1. Нерекурсивный ЦФ.

Процесс вычисления является основной операцией цифровой фильтрации, и называется сверткой в вещественной области массива данных x[k] с функцией (оператором) фильтра b_n (массивом коэффициентов фильтра). Для математического описания наряду с формулами (3 - 4) применяется также символическая запись фильтрации:

y[k] = b_{n *} x[k-n].

Сумма коэффициентов фильтра определяет коэффициент передачи (усиления) средних значений сигнала в окне фильтра и постоянной составляющей в целом по массиву данных (с учетом начальных и конечных условий). Как правило, сумма коэффициентов фильтра нормируется к 1.

Операции нерекурсивной цифровой фильтрации: Методы сглаживания отсчетов в скользящем окне постоянной длительности. Так, для линейного сглаживания данных по пяти точкам с одинаковыми весовыми коэффициентами используется формула:

y_k = 0,2(x_k-2+x_k-1+x_k+x_k+1+x_k+2).

С позиций цифровой фильтрации это не что иное, как двусторонний симметричный нерекурсивный цифровой фильтр:

y_k =b_n x_k-n, b_n = 0,2. (5)

Аналогично, при сглаживании данных методом наименьших квадратов (МНК) на основе кубического уравнения:

y_k = (-3x_k-2+12x_k-1+17x_k+12x_k+1-3x_k+2)/35. (6)

Это также НЦФ с коэффициентами:

b₀ = 17/35, b₁ = b_-1 = 12/35, b₂ = b_-2 = -3/35.

Основные свойства операции фильтрации:

1. Дистрибутивность:

h[t] _* [a(t)+b(t)] = h[t] _* a(t)+h[t] _* b(t).

2. Коммутативность:

h[t] _* a(t) _* b(t) = a(t) _* b(t) _* h[t].



3. Ассоциативность:

[a(t) _* b(t)] _* h[t] = h[t] _* a(t) _* b(t).

Фильтрация однозначно определяет выходной сигнал y[t] для установленного значения входного сигнала s(t) при известном значении импульсного отклика фильтра h[t].

3. Рекурсивные фильтры

Рис. 2. Рекурсивный ЦФ.

Фильтры, которые описываются полным разностным уравнением (2), принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ). В вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов.

Рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов a_m.

По существу, полное окно рекурсивного фильтра состоит из двух составляющих: нерекурсивной части b_n, ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и “будущих” отсчетов сигнала) и рекурсивной части a_m, которая работает только с "прошлыми" значениями выходного сигнала.

Техника вычислений для РЦФ приведена на рис. 2.

Пример. Уравнение РЦФ:

y[ k] = b _o x[k] + a ₁ y[k - 1], при b_o = a₁ = 0.5, y[-1] = 0

Входной сигнал: x [k]= {0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1....}.

Расчет выходного сигнала:

y [0] = 0,5x [0] + 0,5y[ -1][= 0;

y [1] = 0,5x [1] + 0,5y [0][=]0;

y [2] = 0,5x [2] + 0,5y [1]= 0.5;

y [3] = 0,5x [3] + 0,5y [2] = 0.25;

y [4] = 0,5x [4] + 0,5y [3] = 0.125;

y [5] = 0,5x [5] + 0,5y [4] = 0.0625;

y [6] = 0,5x [6] + 0,5y [5] = 0.03125; и т.д.

Выходной сигнал: y [k] = {0, 0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625,...}

Рис. 3. Рекурсивная фильтрация

Реакция РЦФ на конечный входной сигнал может иметь бесконечную длительность, в отличие от реакции НЦФ, которая всегда ограничена количеством членов b_k (окном фильтра).

Пример. Уравнение РЦФ:

y [k] = b_o x [k] - a₁ y [k-1], при b_o = 0.5, a₁=1.1, y [-1] = 0.

Входной сигнал: x [k] = {0, 10, 0, 0, 0,....}.

Выходной сигнал:

y [k] = {0,0,5,-5.5,6.05,-6.655,7.321,-8.053,8.858,-9.744,10.718,-11.79,… и т.д.}

Коэффициент обратной связи больше 1 (рис. 4).

Рис. 4. Неустойчивый рекурсивный фильтр.

Операции рекурсивной фильтрации: Операции, относящиеся к рекурсивной фильтрации, также известны в обычной практике, например - интегрирование. При интегрировании по формуле трапеций:

y_k = (x_k+x_k-1)/2 + y_k-1, (7)

т.е. здесь мы имеем РЦФ с коэффициентами: b_o = b₁ = 0.5, a₁ = 1.

Пример. Уравнение РЦФ:

y_k=(x_k+x_k-1)/2+y_k-1,

начальные условия - нулевые

Входной сигнал: x_k={0,0,2,2,4,0,0,0,4,4,4,0,0,0,5,0,0,0,....}

В результате фильтрации получаем (рис.5)

y_k= {0,0,0,1,3,6,8,8,8,10,14,18,20,20,20,22.5,25,25,25...}

Рис.5. Интегрирующий рекурсивный фильтр

4. Импульсная реакция фильтра

Если на вход фильтра подать единичный импульс (импульс Кронекера), расположенный в точке k = 0, то на выходе фильтра мы получим его реакцию на единичный входной сигнал, которая однозначно определяется оператором преобразования:

y[k] = L[d(0)] = b_{n *} d(0 - n) = h[k]? b_n. (8)(1.2.1)

Функция h[k], которая связывает вход и выход фильтра по реакции на единичный входной сигнал, получила название импульсного отклика фильтра (функции отклика). Если произвольный сигнал на входе фильтра представить в виде линейной комбинации взвешенных импульсов Кронекера

x[k] =d₀ x[k - n],

то, с использованием функции отклика, сигнал на выходе фильтра можно рассматривать как суперпозицию запаздывающих импульсных реакций на входную последовательность взвешенных импульсов:



y[k] = h[n] ?d₀ x[k - n]) h[n] x[k - n].

Пределы суммирования в последнем выражении устанавливаются непосредственно по длине импульсного отклика h[n].

Импульсная функция. Импульсная функция для НЦФ при известных значениях коэффициентов b_n, как это следует из выражения (1), специального определения не требует: h[n] ? b_n. Вычисления ИФ требуется только для рекурсивных фильтров. Если выражение для системы известно в общей форме (2), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях. Сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы.

Пример. Уравнение РЦФ:

y [k] = x [k] + 0.5y [k-1]

Входной сигнал: x [k] = d₀= {1,0,0,0,...}.

Расчет выходного сигнала при нулевых начальных условиях:

y [0]= x [0] +0.5 y [-1] = 1+0 = 1 = h [0].

y [1] = x [1] +0.5 y [0]= 0+0.5 = 0.5 = h [1].

y [2] = x [2] +0.5 y [1] = 0+0.25 = 0.25 = h [2]

y [3] = x [3] +0.5 y [2] = 0.125 = h [3]. и т.д

Импульсный отклик фильтра: h [k]= (0.5)^k, k = 0,1,2....

Определение импульсной реакции физической системы обычно производится подачей на вход системы ступенчатой функции (функции Хевисайда), которая равна u_o(k) = 1 при k 0, и u_o(k) = 0 при k < 0:



G[k] =h[n] u_o[k-n]=h[n].

Отсюда:

H[k] = g[k]- g[k-1].

Функция g[k] получила название переходной характеристики системы (перехода из одного статического состояния в другое).

5. Передаточные функции фильтров

Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является Z-преобразование.

Применяя Z-преобразование к обеим частям равенства (1), c учетом сдвига функций (y(k-m) z^m Y(z)), получаем:

Y(z)a_m z^m = X(z) b_n zⁿ, (9)

где X(z),Y(z)- соответствующие Z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a₀ = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом - уравнение передаточной функции системы в Z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) =b_n zⁿ(1+a_m z^m). (10)



Для нерекурсивного фильтра:

H(z) =b_n zⁿ. (11)

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(щ), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. цифровой импульсный фильтр

В общей форме для выходных сигналов фильтра:

Y(z) = H(z)·X(z).

Y(z)·(1+a_m·z^m) = X(z)·b_n·zⁿ

Y(z) = X(z)·b_n·zⁿ - Y(z)·a_m·z^m. (12)

После обратного Z-преобразования выражения (12):

y[k] =b_n·x[k - n] -a_m·y[k - m]. (13)

При подаче на вход фильтра единичного импульса Кронекера d, имеющего Z-образ d(z) = zⁿ = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y[k] ? h[k], при этом:

H(z) = Y(z)/?(z) = Y(z) = Z{y[k]} =h[k] z^k, (14)

т.е. передаточная функция фильтра является Z-образом ее импульсной реакции.

При обратном Z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику фильтра:

h[k] H(z). (15)

Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, что, как правило, характерно для нерекурсивного фильтра, то обратное Z-преобразование осуществляется элементарно идентификацией коэффициентов по степеням z.

Передаточная функция рекурсивного фильтра также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (10), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику.

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой получили название БИХ-фильтров. Фильтры с конечной импульсной характеристикой - КИХ-фильтров. Нерекурсивные фильтры всегда являются КИХ-фильтрами, т.к. длительность импульсной реакции нерекурсивного фильтра определяется окном фильтра.

Пример. Передаточная функция РЦФ равна:

H(z) = (1-z⁵)/(1-z).

Прямым делением числителя на знаменатель получаем:

H(z) = 1+z+z²+z³+z⁴,

H(z) h[n] = {1,1,1,1,1}.

Фильтр РЦФ может быть преобразован в эквивалентный КИХ-фильтр.

Пример. Передаточная функция:



H(z) = 1/(1- 2z).

Методом обратного Z-преобразования получаем: h[n] = 2ⁿ.

Фильтр РЦФ является БИХ-фильтром.

6. Устойчивость фильтров

Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие также ограничена.

Критерием устойчивости фильтра является абсолютная сходимость отсчетов его импульсного отклика:

|h[n]| < . (16)

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции.

В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| 1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) на и внутри единичного круга на z-плоскости. Полюсы H(z) определяются корнями многочлена знаменателя передаточной функции (10).

Пример. Передаточная функция фильтра

H(z) = b₀/(1 - a₁z).

При а₁= 0.5 полюс знаменателяравен z_р= 2, при этом |z_р| > 1.

Фильтр устойчив.

Пример. Передаточная функция фильтра



H(z) = b₀/(1+a₁z).

При а₁= 1.1 полюс знаменателя равен z_р= -0.909, модуль |z_р| < 1. Фильтр неустойчив.

Пример. Передаточная функция фильтра

H(z) = 0.5(1+z)/(1-z).

Полюс знаменателя равен z_р = 1.

Фильтр на грани устойчивости. Неустойчивость проявляется только при k = ?.

Импульсный отклик фильтра h[n] = {0.5,1,1,1, ….},

сумма которого равна ? только при n = ?, т.е. при интегрировании бесконечно больших массивов. При интегрировании конечных массивов результат всегда конечен.

Приведенный критерий устойчивости относится к несократимой дроби. В противном случае возможна компенсация полюса нулем передаточной функции, и следует проверить наличие однозначных нулей и полюсов.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.

7. Частотные характеристики фильтров

Метод передаточных функций. Используя передаточные функции, путем подстановки z = exp(-jwDt) в уравнение (2) можно перейти к Фурье-образам функций, т.е. к частотным спектрам сигналов и частотной характеристике фильтров (функциям спектральных плотностей).

Метод разностных уравнений. Цифровая фильтрация относится к числу линейных операций.

Применяя для сигнала на входе фильтра выражение

x[kDt] = B(w) exp(jwkDt),

можно ожидать на выходе фильтра сигнал

y[kDt] = A(?) exp(jwkDt).

Подставляя выражения в разностное уравнение фильтра (1), получаем:

a_m A(w) exp(jwk?t-jwmDt) =b_n B(w) exp(jwkDt-j?nDt).

A(w) exp(jwkDt) a_m exp(-jwm?t) = B(w) exp(j?kDt)b_n exp(-jwnDt).

A(w)a_m exp(-jwmDt) = B(w)b_n exp(-jwnDt). (17)

Передаточная частотная функция (частотная характеристика при а_о=1) равна:

H(w) = A(w)/B(?) =b_n exp(-jwnDt)[1+a_m exp(-jwmDt)]. (18)

Нетрудно убедиться, что полученная частотная характеристика повторяет функцию (10) при z = exp(-jwDt), что и следовало ожидать. Аналогично z-преобразованию (15), частотная характеристика фильтра представляет собой Фурье-образ его импульсной реакции, и наоборот. При Dt = 1:



H(w) =h[n] exp(-jwn), (19)

h[n] = (1/2p)H(w) exp(jwn) dw. (20)

В общем случае H(w) является комплексной функцией, модуль которой R(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент j(w) - фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

A(w)--=--|H(w)| =

j(w) = arctg(-Im H(w)/Re H(w)).

На рис. 6-7 приведены частотные характеристики фильтров (модули и аргументы спектральных плотностей). Графики приведены в границах главных диапазонов спектров, и получены непосредственной подстановкой z=exp(-jwDt) при Dt = 1 в уравнения передаточных функций H(z).

Рис. 6. Спектр не имеет особых точек.

Рис. 7. Спектр имеет особые точки на границах диапазонов.



Рис. 8. Спектр интегрирующего фильтра: особая точка на нулевой частоте.

При обработке ограниченных массивов амплитуда центрального пика равна количеству точек массива.

Основные свойства частотных характеристик фильтров:

1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.

2. При дискретизации данных по интервалам Dt функция H(w) является периодической. Период функции H(w) равен частоте дискретизации входных данных F = 1/Dt. Первый низкочастотный период (по аргументу w от -p/Dt до p/Dt, по f от -1/2Dt до 1/2Dt) называется главным частотным диапазоном. Граничные частоты главного частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста w_N, w_N = p/Dt. Частота Найквиста определяет предельную частоту обработки данных.

3. Для фильтров с вещественными коэффициентами импульсной реакции h[nDt] функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого частотные характеристики фильтров обычно задаются только на интервале положительных частот (0 - w_N) главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно сопряженными со значениями на интервале положительных частот.

Как правило, при частотном анализе фильтров значение Dt интервала дискретизации принимают за 1, что соответственно определяет задание частотных характеристик на интервале (0,p) по частоте w или (0,1/2) по f.

Фазовая и групповая задержка. Задержка сигналов во времени относится к характерной особенности каузальных систем в целом, а, следовательно, рекурсивных и односторонних нерекурсивных фильтров.

Фазовая задержка, это прямая характеристика временной задержки фильтром гармонических колебаний. При подаче на вход фильтра гармоники sin(wt), сигнал на выходе каузального фильтра, без учета изменения его амплитуды, равен sin( wt - j ), при этом:

sin( wt - j--) = sin[ w(t - t_p)], [ щt - j--] = щ(t - t_p).

Отсюда, фазовая задержка t_p на частоте w равна:

t_p = j?/щ. (21)

При распространении (1.4.5) в целом на спектральную передаточную функцию фильтра получаем:

t_p(w)= j(w)--/щ. (22)

Постоянство значения t_p(w) в определенном частотном диапазоне обеспечивает для всех гармоник сигнала такое же соотношение их фазовых характеристик, какое было на входе системы, т.е. не изменяет формы сигнала, если его спектр полностью сосредоточен в этом частотном диапазоне, и значения АЧХ в этом диапазоне также имеют постоянное значение. Это условие является определяющим, например, для систем передачи данных, для сглаживающих и полосовых частотных фильтров.

Что касается каузальных фильтров, то они, как правило, имеют в рабочем диапазоне определенную зависимость значения t_p от частоты, которая характеризуется групповым временем задержки.



8. Фильтрация случайных сигналов

Для описания реакции фильтра на случайный входной сигнал используется статистический подход.

Если параметры входного сигнала специально не оговариваются, то по умолчанию принимается, что на вход фильтра поступает реализация случайного стационарного сигнала x[k·Dt] с нулевым средним, которая вызывает сигнал y[k·Dt] на выходе фильтра. Значение Dt, как обычно, принимаем равным 1.

Если на вход фильтра поступает случайный сигнал, выходной сигнал фильтра также является случайным и содержит те же самые случайные параметры, что и входной сигнал, а, следовательно, для него существуют определенные статистические характеристики.

Пример. Допустим, что фильтр имеет импульсный отклик

h[n] = exp(-a·n), n 0.

Зададим на входе фильтра стационарный квазидетерминированный случайный сигнал, который не обладает свойством эргодичности, но имеет все свойства случайного сигнала, и может быть описан в явной математической форме:

x[k] = A + cos(2·k+j),

где A и j - взаимно независимые случайные величины, причем значение j равномерно распределено в интервале [0, 2p]. При этом выходной сигнал определится выражением:



y[k] = h[n] x[k - n] h[n]x[k-n] = A/3 + [3·cos(2k+j) + 2·sin(2k+j)]/13.

Математическое ожидание произвольного входного случайного стационарного сигнала x[k] на выходе фильтра определится выражением:

= М{y(k)}= M{h[n]·x[k-n]}=M{x[k-n]}h[n]?=

= h[n]?=·К_пс(23)

Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов фильтра равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на коэффициент усиления фильтром постоянной составляющей. При К_пс = 1 среднее значение выходных сигналов не изменяется и равно среднему значению входных сигналов. Если фильтр не пропускает постоянную составляющую сигналов (сумма коэффициентов импульсного отклика фильтра равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.

Корреляционные соотношения. Для центрированных входных сигналов x[k] размером (0 - К) функция автокорреляции (АКФ) вычисляется по формуле:

R_x(n) = [1/(K + 1 - n)]x[k]^*·x[k + n].

По аналогичной формуле может быть вычислена и АКФ выходных сигналов. Для произведения выходных сигналов y(k) и y(k+n), образующих функцию автокорреляции выходных сигналов, можно также записать:



y[k]y[k + n] = h[i]^* h(j) x[k - i]^* x(k + n- j)?

Если взять математические ожидания от обеих частей этого равенства, то, с учетом соотношения в правой части под знаками сумм

M{x[k - i]^* x[k + n - j]} = -R_x( k- i - k - n + j) = R_x(n + i - j),

получим:

R_y(n) =h[i]^* h[j] R_x(n + i - j)??R_x(n) h[n+i] h[n - j].--(24)

Таким образом, функция автокорреляции выходного сигнала равна АКФ входного сигнала, свернутой дважды, в прямом и обратном направлении, с импульсным откликом фильтра, что сохраняет четность АКФ выходного сигнала. Для нецентрированных процессов аналогичное заключение действительно и для ковариационных функций.

Для свертки импульсных откликов, производя замену n - j = m, мы имеем равенство:

h[n + i] h[ n - j] = h[m + i + j] h[m] = h[m] h[m + p] = K_h(m),

где K_h(m) - функция ковариации импульсного отклика фильтра.

Отсюда:

R_y(n) = R_x(n) K_h(m). (25)

Это означает появление в случайном сигнале на выходе фильтра определенной корреляционной зависимости, определяемой инерционностью фильтра. Эффективный интервал t_k корреляции данных в сигнале тем меньше, чем выше верхняя граничная частота w_в его спектра (по уровню 0.5):

t_к =--p/w_в =1/2f_в.

Оценка интервала корреляции для конечных (непериодических) функций, как правило, производится непосредственно по функциям автокорреляции R(n):

t_k = 2·S_n|R(n)/R(0)| - 1,

где значение n ограничивается величиной 3-5 интервалов спада центрального пика до величины порядка 0.1R(0) (дальше обычно начинаются статистические флюктуации значения R(n) около нулевой линии, вызванные ограниченностью выборки). Без такого ограничения за счет суммирования модуля флюктуаций, не несущих информации, значение t_k завышается относительно расчетного по спектральной характеристике сигнала.

Рис. 9. Функции корреляционных коэффициентов большой выборки

Функция R_x(n) случайных статистически независимых отсчетов близка к функции, свертка которой с K_h(m) приведет к формированию на выходе выходного сигнала, форма АКФ которого будет стремиться к форме K_h(m). При достаточно большой выборке случайных отсчетов входного сигнала это означает практически полное повторение функцией R_y(n) формы ковариационной функции импульсного отклика, как это можно видеть на рис. 9. Интервал корреляции выходных сигналов для случайной входной последовательности можно определять непосредственно по функции ковариации импульсного отклика фильтра:

t_k = 2·S_n|K_h(n)/K_h(0)| - 1, n ? 0.

Для взаимной корреляционной функции (ВКФ) R_xy входного и выходного сигналов соответственно имеем:

x[k]_*y[k + n] =h[i] x[k]·y[k + n - i]?

R_xy(n) =h(i) R_x(n - i)?? h(i) _* R_x(n - i) (26)

т.е. функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов равна свертке АКФ входного сигнала с функцией импульсного отклика фильтра. Заключение действительно и для функций ковариации.

Другая взаимно корреляционная функция R_yx может быть получена из соотношения:

R_yx(n) = R_xy(-n) h[i] R_x(n + i). (27)

Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем импульсном отклике (h[i] = 0 при i <0) функция R_xy(n) также является односторонней, и равна 0 при n < 0, а функция R_yx соответственно равна 0 при n >0.

Спектр мощности выходного сигнала. Если на вход фильтра с импульсным откликом h[k] H(f) поступает случайный стационарный эргодический сигнал x[k] X_Т(f), имеющий на интервале Т функцию автокорреляции R_x(n) и спектр мощности S_x(f), то на выходе фильтра регистрируется стационарный эргодический сигнал y[k] Y_T(f) = X_Т(f)H(f). Соответственно, энергетический спектр выходного сигнала на том же интервале:

|Y_T(f)|² = |X_T(f)|² |H(f)|². (28)

Оценка спектра мощности (спектральной плотности энергии):

S_y(f) (1/T) |X_Т(f)|² |H(f)|²= S_x(f) |H(f)|². (29)

Спектр мощности сигнала на выходе фильтра равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четности корреляционных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной действительной функцией и не имеет фазовой характеристики процесса.

Спектр мощности сигнала и его функция автокорреляции связаны преобразованием Фурье:

R_y(n) |Y(w)|² = S_y(w).

Дисперсия выходного сигнала (средняя мощность) определяется с использованием формулы (29):

s_y² = R_y(0) =S_x(f) |H(f)|² df R_x(0)h²[n] = s_x²h²[n]. (30)

Если сигнал нецентрированный и значение дисперсии входного сигнала неизвестно, то по аналогичным формулам вычисляется сначала средний квадрат выходного сигнала или так называемая средняя мощность сигнала:

== R_y(0) h²[n] S_x(f) |H(f)|² df, (31)

Вывод: средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умноженной на сумму квадратов коэффициентов импульсного отклика фильтра. Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

s_y² = - ² (-²)h²[n]. (32)

Взаимный спектр мощности входного и выходного сигнала:

S_xy(f) (1/T)X_T(f)Y_T(f) = (1/T)|X_T(f)|² H(f) = S_x(f)H(f). (33)

Осуществляя преобразование Фурье левой и правой части выражения, получаем:

R_xy(n) = R_x(n)h[n], (34)

что повторяет формулу (27).

Усиление шумов. Критерием качества при использовании любого метода фильтрации информации можно считать выполнение целевого назначения с минимальным усилением шумов (максимальным их подавлением). Обозначим через e(k) аддитивный шум во входном сигнале с математическим ожиданием M{e(k)}= 0 и дисперсией s². Значения e(k) статистически независимы. С учетом помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе:

y[k] = S_n h[n] [x[k - n]+e(k - n)].

Математическое ожидание значений выходного сигнала:

M{y[k]}= S_n h[n] (x[k-n]+M{e(k-n)})= ?_n h[n] x[ k- n].

Дисперсия распределения отсчетов выходного сигнала:

D{y[k]}= M{[S_n h[n] [x[k - n]+e(k-n)] - M{y[k]}]²}=

= M{[S_n h[n] e(k-n)]²}= S_n h²[n] M{e²(k-n)}= s² ?_n h²[n]. (35)

Сумма квадратов значений импульсного отклика цифрового фильтра представляет собой коэффициент усиления шумов, равномерно распределенных в главном частотном диапазоне фильтра, в процессе фильтрации сигнала.

Прямое использование выражения (31) при S_x(f) = s² дает:

s_y² = s²|H(f)|² df ? s²h²[n]. (36)

Коэффициент усиления фильтром дисперсии статистически распределенных шумов равен:

K_q = h²[n]. (37)



При использовании дискретной передаточной функции фильтра получаем:

K_q = [1/(N+1)] S_n H_n². (38)

Функция когерентности входного и выходного сигналов фильтра оценивается по формуле:

g_xy²(f) = |S_xy(f)|²/[S_x(f)S_y(f)]. (39)

Если функции S_x(f) и S_y(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот f значения функции когерентности заключены в интервале:

0 g_xy²(f) 1.

Для исключения дельта-функции на нулевой частоте (постоянная составляющая сигнала) определение функции когерентности производится по центрированным сигналам.

9. Структурные схемы цифровых фильтров

Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов (цифровых фильтров) представляются в виде структурных схем, базовые элементы которых показаны на рисунке 10 вместе с примерами структурных схем фильтров.



Рис. 10. Структурные схемы цифровых фильтров

Графы фильтров. Наряду со структурной схемой фильтр может быть представлен в виде графа, который отображает диаграмму прохождения сигналов, и состоит из направленных ветвей и узлов.

Рис. 11. Граф фильтра

Пример структурной схемы фильтра с передаточной функцией H(z) = (1+b₁z)/(1+a₁z) и графа, ей соответствующего, приведен на рисунке 11. С каждым i - узлом графа связано значение сигнала x_i(k) или его образа X_i(z), которые определяются суммой всех сигналов или Z-образов входящих в узел ветвей.

В каждой ij - ветви (из узла i в узел j) происходит преобразование сигнала в соответствии с передаточной функцией ветви, например задержка сигнала или умножение на коэффициент.

Соединения фильтров. Различают следующие соединения фильтров.

Рис. 12

1. Последовательное соединение (рис. 12). Выходной сигнал предшествующего фильтра является входным для последующего. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна произведению передаточных функций фильтров, в нее входящих:

H(z) = H₁(z)H₂(z)...H_N(z).

Рис. 13

2. Параллельное соединение (рис. 13). Сигнал подается на входы всех параллельно соединенных фильтров одновременно, выходные сигналы фильтров суммируются. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна сумме передаточных функций фильтров, в нее входящих:

H(z) = H₁(z)+H₂(z)+...+H_N(z).

Рис. 14



3. Соединение обратной связи (рис. 14). Выходной сигнал первого фильтра подается на выход системы и одновременно на вход фильтра обратной связи, выходной сигнал которого суммируется, со знаком плюс или минус в зависимости от вида связи (отрицательной или положительной), с входным сигналом системы. Эквивалентная передаточная функция системы:

H(z) = H₁(z)/(1H₁(z)H₂(z)).

Схемы реализации фильтров. По принципам структурной реализации фильтров различают следующие схемы:

Рис. 15

1. Прямая форма (рис. 15) реализуется непосредственно по разностному уравнению

y_k =b_nx_k-n -a_my_k-m,

или по передаточной функции

H(z) =b_nzⁿ /(1+a_mz^m).



2. Прямая каноническая форма содержит минимальное число элементов задержки. Передаточную функцию РЦФ можно представить в следующем виде:

H(z) = Y(z)/X(z) = H₁(z)H₂(z),

H₁(z) = V(z)/X(z) = 1/(1+a_mz^m),

H₂(z) = Y(z)/V(z) =b_nzⁿ.

Отсюда:

v(k) = x(k) -a_mv(k-m), (40)

y(k) =b_nv(k-n). (41)

В разностных уравнениях (40-41) осуществляется только задержка сигналов v(k). Граф реализации РЦФ в прямой канонической форме приведен на рисунке 16.

Рис. 16

3. Каскадная (последовательная) форма соответствует представлению передаточной функции в виде произведения:



H(z) =H_i(z).

H_i(z) - составляющие функции вида (1-r_iz)/(1-p_iz) при представлении H(z) в факторизованной форме, где r_i и p_i - нули и полюсы функции H(z). В качестве функций H_i(z) обычно используются передаточные функции биквадратных блоков - фильтров второго порядка:

H_i(z) = (b_0i + b_1i z + b_2i z²) / (1 + a_1i z + a_2i z²).

4. Параллельная форма используется много реже, и соответствует представлению передаточной функции в виде суммы биквадратных блоков или более простых функций.



Литература

1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 2009. - 540 с.

2. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник. - М.: Радио и связь, 1985.- 312 с.

3. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 2010.- 256 с.

4. Купер Дж., Макгиллем А. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. - М.: Мир, 2009. - 376 с.

5. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 2008. - 848 с.

6. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. - М.: Недра, 2007. - 221 с.

Размещено на Allbest.ru

...