Размещено на http://allbest.ru

Реферат

Цифровой фильтр, оптимальный по критерию максимума отношения сигнал шум



• Содержание
• Отношение сигнал-шум на выходе фильтра
• Согласованный фильтр для детерминированного сигнала в аддитивной смеси с шумом
• Структура фильтра при коррелированном шуме
• Случайный сигнал в аддитивной смеси с помехой
• Литература


Отношение сигнал-шум на выходе фильтра

Такой тип фильтра может использоваться для обнаружения сигнала в аддитивной смеси шумом (помехой)

Пусть наблюдается величина

x[n] = s[n] + v[n], (1)

где s[n] - отсчеты сигнала; v[n] - отсчеты шума (помехи), n = 1, 2, …, N.

Сигнал и шум представляют собой дискретные величины, зависящие от интервала дискретизации T. Уравнение (1) представляет собой дискретную версию уравнения наблюдения.

Определим линейный цифровой фильтр, оптимальный по критерию максимума отношения сигнал-шум на его выходе. Будем рассматривать две разновидности сигнала s[n].

Первая разновидность представляет собой детерминированный по форме сигнал

s[n] = s₀ [n] , n = 1, 2, …, N, (2)

где s₀ [n] - полностью известная форма сигнала s[n].

Вторая разновидность предполагает, что принимается случайный сигнал с известной корреляционной матрицей R_s .

В выражении (1) предполагается, что сигнал и помеха некоррелированы и имеют нулевые средние значения.

Отклик нерекурсивного фильтра с отсчетами импульсной характеристики h[n] при входном воздействии x[n] имеет вид



, (3)

где h[m] = 0 при m вне интервала [0, n]. При n < 0 y[n] = 0, так как входное воздействие x[m] также равно нулю вне интервала [0, n].

В конце интервала (при n = N - 1) отклик равен

. (4)

Определим векторы h, x, s, v и их инверсии h , x, s, v следующим образом

;

;

;

.

Свертку (4) можно записать в векторном виде

. (5)

Мощность отклика определяется соотношением

,



где - корреляционная матрица процесса x. Для стационарного процесса справедливо равенство .

Таким образом, получаем

.

Аналогичным образом можно определить мощности сигнала и помехи

, , (6)

где , - корреляционные матрицы сигнала (если он случайный) и помехи.

Отношение сигнал-шум на выходе фильтра запишется в виде

. (7)

Согласованный фильтр для детерминированного сигнала в аддитивной смеси с шумом

Белый шум имеет корреляционную матрицу вида

,

где I - единичная матрица, - дисперсия шума.

Мощность сигнала запишется как



,

отношение сигнал-шум принимает вид

. (8)

Используя неравенство Коши - Буняковского

, (9)

выражение (8) можно привести к виду

. (10)

Максимальное отношение сигнал-шум на выходе оптимального фильтра запишется как

.

Неравенство (10) переходит в равенство и q = q_m при h = c s. При с =1 получаем соотношение

. (11)



Отсчеты импульсной характеристики фильтра h представляют собой зеркальное отражение отсчетов сигнала. Оптимальный фильтр с таким вектором импульсной характеристики называется цифровым согласованным фильтром. импульсный цифровой фильтр

Сигнальная составляющая на выходе фильтра имеет вид

. (12)

Пример. Сигнал s[n] имеет вид

,

где 1[n] - дискретная функция единичного скачка.

Шум v [n] - белый с дисперсией

Найти импульсную характеристику согласованного фильтра и отношение сигнал-шум при =0,25.

Решение. Если сигнал имеет конечную длительность по числу отсчетов, равных N, то по выражению (11) находим отсчеты импульсной характеристики

.

Отношение сигнал-шум равно

.



Отклик согласованного фильтра

.

Структура фильтра при коррелированном шуме

Любую симметричную матрицу A можно представить в виде произведения

A = L L^T , (13)

где L - нижняя треугольная матрица, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю

;

L^T - верхняя треугольная матрица.

Такое разложение A = L U (U = L^T) называют LU - разложением матрицы.

Выразим корреляционную матрицу шума следующим образом

.



В знаменателе выражения

(14)

Получим

.

Преобразуем числитель (14) следующим образом

.

Подставим полученные выражения в отношение (14)

Используя неравенство Коши - Буняковского

приходим к неравенству

. (15)



С другой стороны

.

Используя свойство

, (16)

Получим

. (17)

Неравенство Коши - Буняковского обращается в равенство q = q_m при условии пропорциональности

.

Отсюда, после умножения слева на получим выражение для оптимального вектора коэффициентов фильтра

. (18)

В частном случае при белом шуме и приходим к выражению (11).

Положим c = 1, запишем отклик фильтра



.

С учетом факторизации , получим

, (19)

где; .

Отношение сигнал-шум в этом случае равно

.

Структурная схема оптимального цифрового фильтра показана на рис. 1

Рис. 1

Оптимальный фильтр содержит обеляющий фильтр с коэффициентом передачи L^T.



Пример. Входная последовательность состоит из двух отсчетов

x =[x₁, x₂]^T, сигнал равен

s = [s₁, s₂]^T ,

где s₁ = s[0] = A;

s₂ = s[1] = A.

Спектральная плотность мощности шума равна

,

где -нормированная частота.

Требуется найти импульсную характеристику фильтра и максимальное отношение сигнал-шум.

Решение. Определим корреляционную функцию шума

Дисперсия шума равна

,

где f_н,s - нормированная частота.

Коэффициент корреляции



.

Корреляционная матрица шума

.

Обратная корреляционная матрица

.

Матрица L разложения матрицы R_v^-1 имеет элементы

; ; ;

где R_i,j - элемент матрицы R_v^-1.

Матрица L имеет вид

,

.

Сигналы на выходах формирующих фильтров имеют вид



,

.

Фильтр реализует алгоритм

,

где , .

Импульсная характеристика фильтра равна

,

где .

По условию задачи s₁ = s₂ = A, тогда

.

Максимум отношения сигнал-шум

.



Случайный сигнал в аддитивной смеси с помехой

В том случае, если помеха белый шум, то корреляционная матрица помехи равна

.

Отношение сигнал-шум на выходе фильтра

.

Отношение типа

называется отношением Релея. Для собственных чисел матрицы A справедливы неравенства

_min q _max.

При известной матрице A = R_s можно найти максимальные значения отношения сигнал-шум



Составим однородную систему уравнений

(A - q_mI) h = 0.

Решение системы дает значения оптимального вектора h_opt.

Если матрица R_s - симметрическая, то для неё справедливо разложение

R_s = UU^T,

где =diag (₁, ₂, … , _n); _i, i= 1,2,…,n собственные числа сигнальной корреляционной матрицы R_s ;

U - ортогональная матрица, её векторы-столбцы {u_m}, m = 1, 2, …, n - ортонормированные собственные векторы корреляционной матрицы R_s.

В результате синтеза цифрового оптимального фильтра получаем

; ,

где u_max -собственный вектор матрицы R_s, соответствующий eё максимальному собственному числу.

Коррелированный шум. Поиск максимума отношения сигнал-шум можно вести в следующем порядке.

Будем варьировать вектор импульсной характеристики h, считая заданными матрицы корреляционных значений сигнала и шума.

Вычислим производную по вектору q / h и приравняем её нулю. Из условия



найдем выражение для h_opt.

Вычисление производных сопряжено с некоторыми особенностями. Известны следующие производные по вектору x от квадратичных форм вида x^TAx, где A - симметрическая матрица

.

Учитывая, что значением квадратичной формы является скалярная величина, после дифференцирования получаем производную отношения квадратичных форм

.

Найдем производную отношения сигнал-шум

.

Уравнение нахождения максимума имеет вид

.



Тогда

,

или

.

После умножения слева на обратную матрицу (при условии, что исходная матрица невырожденная) получаем уравнение для определения h_opt

,

где .

Задача теперь сводится к получению собственных векторов и собственных значений матрицы A.

Умножим уравнение слева на h^T и выразим q

.

При известной матрице A можно найти отношение сигнал-шум

и решив однородную систему уравнений

,



найти оптимальную импульсную характеристику h = h_opt .

Пример. Расчет цифрового оптимального фильтра при наличии широкополосного сигнала и коррелированной помехи.

Корреляционная матрица широкополосного сигнала имеет вид

.

Коэффициент корреляции помехи

.

На выходе оптимального фильтра максимальное отношение сигнал-шум равно

и обеспечивается при выборе импульсной характеристики h = h_opt равной собственному вектору матрицы помехи R_v, соответствующему минимальному собственному числу матрицы.

Пусть = 0,9, N = 4, тогда

.



Минимальному собственному числу матрицы R_v

_min = 2,49410^-3

соответствует собственный вектор

h = h_opt = [0,2625; -06566; 0,6566; -0,2625]^T = [h₁, h₂, - h₂, - h₁]^T.

Системная функция фильтра равна

H(z) = h₁ + h₂ z ^-1 - h₂ z -² - h₁ z ^-3.



Литература

1. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. Т.1. Линейные преобразования. - М.: Гелиос АРВ, 2006. - 464 с.

2. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. Т.1, 2, 3. Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 2004.

Размещено на Allbest.ru

...