Размещено на http://allbest.ru

Реферат

ЦИФРОВЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ



Содержание

Введение

1. Системы цифровой обработки сигналов

2. Дискретизация сигналов и теорема отсчетов

3. Представление дискретных сигналов с помощью функциональных рядов

4. Цифровые сигналы

Литература



Введение

Обработкой сигнала называют процесс преобразования сигнала, исходящего от источника информации, с целью освобождения от различного рода помех и от информации, вносимой косвенным характером измеряемого физического процесса и нелинейными характеристиками датчиков, а также с целью представления полезной информации в наиболее удобной форме. Если сигнал представляется в цифровой форме и в таком виде подвергается обработке, то говорят о цифровой обработке сигналов - ЦОС.

Основным методом, применяемым в ЦОС, является метод математического моделирования. С учетом математической модели сигнала и задач обработки строится математическая модель процесса ЦОС. Реализация модели в виде отдельного специализированного устройства позволяет рассматривать ее как модель системы ЦОС. Конкретный вид реализации определяется с учетом требований к производительности системы, быстродействию, конструктивному исполнению, гибкости перестройки и др.

Эффективность ЦОС определяется объемом вычислений и точностью реализации математической модели процесса ЦОС с помощью ЦВМ или специализированного вычислительного устройства.

Классы моделей систем ЦОС отличаются по видам решаемых задач, применяемого для описания сигнала математического аппарата и другим признакам.

В радиотехнических системах можно выделить классы задач радиолокации, передачи информации, управления и навигации. Каждый из этих классов содержит ряд подклассов первичной (локальной) и вторичной (глобальной) обработкой, связанной с обнаружением, различением и фильтрацией, выделением сигналов, прогнозом и оценкой их параметров в различных условиях передачи, распространения и приема. Можно выделить классы базовых моделей часто применяющихся при обработке многих видов сигналов. К таковым относятся классы моделей свертки, линейной фильтрации и оценки, спектральных преобразований и анализа.

По виду применяемого для описания сигналов математического аппарата модели ЦОС подразделяются на детерминированные и статистические. В свою очередь каждый из этих классов можно разделить на подклассы в зависимости от конкретной задачи и используемых математических методов и теорий.

Выбор модели зависит от ее точности (адекватности оригиналу) и от структуры алгоритма, получающегося при реализации модели. В цифровых моделях учитывается эффект дискретизации сигнала во времени. Аппарат непрерывной математики заменяется аппаратом дискретной математики. Реализация таких моделей с помощью вычислительной техники подразумевает выполнение квантования сигналов по уровню, записав выборочные значения непрерывного сигнала в виде кодовых комбинаций.

Таким образом осуществляется процесс аналого-цифрового преобразования. Далее, по полученному цифровому сигналу строится цифровая модель обработки.



1. Системы цифровой обработки сигналов

Системы цифровой обработки сигналов непосредственно оперируют с последовательностями цифровых кодов (чисел), которые называют цифровыми сигналами. Цифровой сигнал в радиоэлектронных системах образовывается в результате аналого-цифрового преобразования непрерывных (континуальных) сигналов. Аналого-цифровое преобразование (АЦП) включает три этапа: дискретизацию сигнала по времени (пространству), квантование по уровню и цифровое кодирование.

На первом этапе образуется дискретный сигнал x[], который является функцией дискретной переменной , принимающей только фиксированные значения. Если эти значения являются равноотстоящими =nT, (T=const), то выбрав соответствующий масштаб, их можно приравнять натуральным числам. В этом случае дискретный сигнал определяют функцией номера отсчета (выборки) x[n]. Говорят, что T=1/f это период дискретизации, f - частота дискретизации, а n- номер отсчета.

Второй этап АЦП дает дискретный квантованный сигнал x_кв[nT], отличающийся конечным множеством принимаемых им значений. На третьем этапе получается цифровой сигнал x_ц[nT] в виде последовательности цифровых кодов с заданным числом разрядов.

Вычислительные средства в соответствии с заданным алгоритмов цифровой обработки преобразуют сигнал x_ц[nT] в выходной цифровой сигнал y_ц[nT] = {x_ц[nT]}. В цифровых системах с аналоговым выходом цифровая форма выходного сигнала y_ц[nT] преобразуется в аналоговую y(t) с помощью цифро-аналогового преобразования.



2. Дискретизация сигналов и теорема отсчетов

Наиболее удобным с точки зрения организации обработки и естественным способом дискретизации является представление сигналов в виде выборок их значений (отсчетов) в отдельных, регулярно расположенных точках T = . Практически операция дискретизации осуществляется путем измерения значений сигнала с помощью датчика, действие которого можно описать как свертку с некоторым ядром :

(1)

Набор значений составляет дискретное представление сигнала. Ядро называется апертурой дискретизации. Восстановление непрерывного сигнала из приближенных значений выполняется путем интерполяции

(2)

с помощью интерполирующей функции , которая называется апертурой восстановления.

Если исходить только из точности аппроксимации, то существует важный класс сигналов и соответствующие ему базисные функции, для которых распределения (1) и (2) являются абсолютно точными. Это сигналы, спектр Фурье которых U(f)=F{u(t)} отличен от нуля только в пределах ограниченного участка области определения (сигналы с ограниченным спектром). цифровой дискретный сигнал

Пусть сектор сигналов отличен от нуля на интервале , т.е.

. (3)

где .

Для таких сигналов базисы дискретизации и восстановления образуются из функций отсчетов:

; , (4)

а (1) и (2) переходят в точные равенства:

(5)

. (6)

Эти соотношения называются теоремой отсчетов. Равенство (5) означает, что отсчетами сигнала являются его значения в точках , полученные после пропускания сигнала через инвариантный к сдвигу «идеальный» фильтр с импульсной и частотной характеристиками:

, (7)

. (8)



Равенство (6) означает, что процедуру восстановления непрерывного сигнала из его отсчетов можно представить как пропускание через идеальный фильтр нижних частот (7), (8) непрерывного сигнала вида

, (9)

спектр которого представляет собой периодически продолженный с периодом спектр сигнала :

. (10)

Действительно, при такой фильтрации спектр умножается на частотную характеристику фильтра (8), выделяющую только один период спектра, соответствующий и равный спектру сигнала .

Периодическое продолжение спектра (10) возможно, если шаг растрирования меньше или равен величине, обратной протяженности спектра. В противном случае происходит перекрытие (наложение) соседних периодов спектра сигнала , и идеальным фильтром нижних частот уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде (рис 1).

В восстановленном сигнале появляются излишние компоненты за счет наложения слева и справа на основной (нулевой) период спектра фрагментов спектра плюс первого, минус первого и следующих порядков. При этом, если в исходном сигнале они имели частоту, скажем, , то в восстановленном сигнале их частота оказывается равной , то есть более низкой.



Рис. 1

Это влияние снижения частоты периодических составляющих в сигнале при дискретизации с шагом, не соответствующей максимальной частоте сигнала, называется эффектом наложения. Для того чтобы этих искажений не было, очевидно, необходимо перед растрированием с шагом пропустить сигнал через идеальный фильтр нижних частот (антиэлайсинговый) с полосой пропускания . Сходные по своей природе искажения возникают, если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания шире, чем .

Теорема отсчетов может быть обобщена на сигналы, содержащие несущую частоту f₀. Это сигналы, спектр которых отличен от нуля на ограниченных интервалах, смещенных относительно нулевой частоты. Дискретизацию сигналов с несущей частотой можно выполнить несколькими способами.

1. Дискретизация с использованием аналитического сигнала. Вместо действительного сигнала u(t) можно рассмотреть аналитический сигнал , где - преобразование Гильберта u(t). Аналитический сигнал имеет односторонний спектр и к нему теорема отсчетов применима уже в своем обычном виде:

, (11)

где - отсчеты аналитического сигнала,

,

f_l = (f₀ - F) и f_h = (f₀ + F) - границы частотного интервала в положительной части спектра.

Сигнал на несущей частоте описывается отсчетами своей огибающей и фазы следующим образом:

Количество отсчетов определяется только шириной полосы частот сигнала 2F.

Вещественный узкополосный процесс u(t) может быть представлен посредством ряда с периодически повторяющимися отсчетами после непосредственного выделения вещественной части (11)



.

Заметим, что в том и в другом случае при временной периодической дискретизации вещественного узкополосного процесса нужно иметь отсчеты не только самого процесса u(t), но также отсчеты квадратурно сопряженного процесса u_H(t).

2. Другой способ дискретизации состоит в следующем. Попытаемся представить вещественный узкополосный сигнал в виде ряда, коэффициентами которого являются отсчеты самого процесса. Спектр вещественного сигнала с несущей частотой занимает две спектральные полосы. Поэтому при дискретизации такого сигнала с интервалом дискретности, равным величине, обратной ширине спектра периодическое повторение полосы всегда наложится на полосу и наоборот. В результате спектр дискретного, решетчатого процесса не будет совпадать со спектром исходного процесса.

Эта трудность может быть преодолена путем увеличения частоты дискретизации, что приведет к увеличению периода повторения 1/T>2F в спектральной области. Интервал дискретности T выберем таким образом, чтобы при периодическом повторении спектра U(f) полоса при любом целом m не накладывалась на полосу .Примем , где -коэффициент, величину которого нужно определить. Требование неперекрытия полос приводит к неравенству

.



Целое число m выбираем из условия минимизации с учетом ограничения 0. Это дает , где - целая часть числа a. Если (f₀/2F)-1/2 - целое число, то =0 и T=1/4F. Во всех остальных случаях >0 и период временной дискретизации несколько меньше величины 1/4F.

3. Представление дискретных сигналов с помощью функциональных рядов

В системах обработки сигналы задаются на определенном интервале изменения переменной. Для дискретного сигнала - это счетное множество точек, например [0, N-1] или [0, ]. В первом случае говорят, что дискретные сигналы определены на конечном интервале [0, N-1], включающем в себя N точек.

Дискретное представление можно рассматривать как аппроксимации аналоговых сигналов с помощью рядов. При этом происходит замена непрерывных значений коэффициентами ряда. Дискретные сигналы представляются в виде линейной комбинации базисных функций. Процесс представления заключается в проектировании сигнала на заданный базис. Коэффициенты представления находятся как скалярные произведения сигнала на соответствующие базисные функции:

(12)

Размерность базиса (количество коэффициентов ) ограничивают, основываясь на требуемой точности аппроксимации сигналов , конечной суммой



(13)

Оптимальные базисы дискретного представления сигналов. Естественно считать оптимальным такой способ дискретизации, при котором размерность базиса минимальна при заданной точности восстановления сигнала.

Пусть - сигнал, удовлетворяющий следующим условиям:

, (14)

где - оператор стробирования, выделяющий из сигнала участок протяженностью ; - идеальный полосовой фильтр, пропускающий только частоты спектра в интервале ; - ошибки такого усечения по протяжённости и по спектру.

Тогда наилучшим является представление сигнала по функциям, являющимися решением уравнения

, (15)

и называемым сфероидальными волновыми функциями (СВФ), причём

, (16)



если - наименьшее целое число, превышающее [3]. При - сфероидальные волновые функции приближаются к отсчётным функциям , и разложение по ним переходит в разложение по теореме отсчётов. При конечном представление (13) по СВФ сигналов, заданных (14), лучше их разложения по отсчётным функциям при том же .

При статистическом описании сигналов оптимальный - мерный базис для представления отдельных реализаций сигналов обычно определяют как базис, при котором норма ошибки, усреднённая по ансамблю реализаций, минимальна. В этом случае получается результат, известный как теорема Карунена - Лоэва [3]. Минимальное значение нормы ошибки при представлении сигналов на интервале протяженностью достигается при использовании в качестве базиса собственных функций, составляющих наибольших собственных значений оператора _k, ядром которого является корреляционная функция сигналов :

. (17)

Минимальное значение нормы ошибки при этом равно

. (18)

Такое представление называется разложением Карунена - Лоэва. Коэффициенты разложения Карунена - Лоэва являются некоррелированными (ввиду ортогональности ) случайными величинами).

Для стационарных процессов, когда корреляционная функция зависит только от разности аргументов , при (становится достаточно большим по сравнения с протяжённостью ) собственные функции приближаются к комплексным дискретным экспоненциальным функциям с частотами .

В случае бесконечного интервала определения дискретные сигналы представляются с помощью дискретного преобразования Лапласа (ДПЛ)

Здесь изображение X(s) есть периодическая функция непрерывной комплексной переменной s= + j.. Для удобства ДПЛ часто используют в несколько модифицированном виде, носящим название Z преобразование и получающее путем введения новой переменной z=exp(s).

Z- преобразование дискретной последовательности имеет вид

,

интегрирование осуществляется в области сходимости функции.

В частотно временной области сигнал x[n] может быть описан с помощью дискретного во времени преобразования Фурье

, .

Дискретное во времени преобразование Фурье связано с преобразованием Фурье непрерывного сигнала



соотношением

.

В случае конечного интервала определения, для периодического дискретного сигнала, повторяющегося с периодом NT, x[n] = x[n+lN], удобно использовать базис ортогональных дискретно экспоненциальных функций (ДЭФ). Такое представление называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и имеет вид

.

Здесь сигнал x[n] и его спектр X(k) являются дискретными функциями, определенными на конечном интервале N.

Для анализа нестационарных, всплесковых, сигналов часто используют представление с помощью вейвлетных функций в виде коротких, солитоноподобных колебаний

Понятие частоты классического спектрального анализа при этом заменяется масштабом a, а чтобы перекрыть всю временную ось вводится сдвиг функции во времени b.



4. Цифровые сигналы

Операция квантования непрерывной величины состоит в том, что континуум ее возможных значений заменяется счетным числом значений.

Существующие устройства квантования обычно осуществляют равномерное квантование сигналов, при котором границы интервалов квантования размещаются равномерно в заданном диапазоне значений сигнала, а представители уровней квантования располагаются посередине между этими границами.

В случае равномерной процедуры количество порогов квантования оценивается величиной

,

где и - максимальная и минимальная амплитуды дискретизируемого сигнала. Пороги квантования разбивают интервал на (r + 1) интервалов - уровней квантования.

Отсчет непрерывного процесса в АЦП преобразуется в двоичный код из m разрядов, каждый из которых представлен нулем или единицей. Число разрядов определяется числом уровней квантования

.

При когерентной обработке, когда требуется осуществлять цифровую фильтрацию сигналов, когерентную компенсацию помех, число уровней квантования нужно увеличивать, чтобы уменьшить по возможности искажения (из-за квантования) сигналов и помех.

На практике часто выбирают , где - дисперсия собственного шума приемника.

При этом, число порогов квантования равно

,

где - динамический диапазон аналоговой части приемника. Отсюда получаем требуемое число разрядов кода и соответственно число разрядов АЦП:

.

Системы счисления в системах цифровой обработки сигналов. Цифровая система обработки является конечной машиной, работающая с конечным множеством чисел. Невозможно использовать это множество для выполнения арифметических операций в поле вещественных чисел (R, +, ), поскольку R - бесконечное множество, большинство элементов которого непредставимо в вычислительной машине.

На практике в процессе обработки осуществляют аппроксимацию арифметики в поле (R,+,). Часто для такой аппроксимации используется множество F так называемых чисел с плавающей точкой (или машинных чисел). Множество F является частью множества вещественных чисел со следующими свойствами.

F - конечное подмножество множества рациональных чисел Q .

Элементы F распределены неравномерно на вещественной прямой. Интервал между двумя “соседними” машинными числами очень мал вблизи нуля, а при удалении от него постепенно увеличивается. Интервал между максимально возможным машинным числом и соседним с ним очень велик.

Система (F, +, ) не будет полем (главным образом из-за того, что нет замкнутости относительно обеих указанных бинарных операций.

Практичный выход из возникающих трудностей состоит в представлении вещественного числа x ближайшим к нему машинным числом ; тем самым вводя ошибку округления .

Из-за отсутствия замкнутости ошибки округления возникают также в результате арифметических операций над элементами F.

Например, если и - два соседних элемента F , то число уже не принадлежит F. Его следует заменить на - элемент в F, ближайший к z.

В этом примере совпадает либо с , либо с .

Представление целых чисел в системе счисления по смешанным основаниям.

Рассмотрим упорядоченный набор из n целых чисел

,

компоненты которого r₁, r₂,…,r_n называются основаниями. Пусть N есть произведение оснований, т.е. . Известно, что каждое целое число s, такое, что можно представить в виде

,

где d₀, d₁,…,d_n-1 являются цифрами стандартного представления для смешанного основания и удовлетворяют неравенствам i = 0,1,…, n-1.

Упорядоченный набор цифр d₀, d₁,…,d_n-1 для данного s записывается в виде кода .

Например, если = [2, 3, 5], то N = 30, Следовательно, число 29 можно записать в виде 29 = 1+2(2)+4(23) и представление числа по смешанному основанию имеет вид (29) =(1, 2, 4).

Стандартной системой счисления со смешанным основанием называется множество всевозможных наборов цифр типа для целых чисел s[0, N). В частном случае r₁ = r₂ = … = r_n приходим к известному представлению числа в позиционной системе с фиксированным основанием.



Литература

1. Ямпурин Н.П.: Электроника. - М.: Академия, 2011

2. Воронков Э.Н.: Твердотельная электроника. - М.: Академия, 2010

3. Гуртов В.А.: Зарядоперенос в структурах с диэлектрическими слоями. - Петрозаводск: ПетрГУ, 2010

4. Дрейзин В.Э.: Управление качеством электронных средств. - М.: Академия, 2010

5. Институт СВЧ полупроводниковой электроники РАН: Наногетероструктуры в сверхвысокочастотной полупроводниковой электронике. - М.: Техносфера, 2010

6. Прянишников В.А.: Электроника. - СПб.: КОРОНА-Век, 2010

7. рец.: С.П. Вихров, О.А. Изумрудов: Твердотельная электроника. - М.: Академия, 2010

8. Ямпурин Н.П.: Основы надежности электронных средств. - М.: Академия, 2010

9. Под ред. А.А. Орликовского ; Рец.: А.Ф. Александров, А.А. Горбацевич: Наноэлектроника. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

10. Под ред.: А.А. Кураева, Д.И. Трубецкого ; А.В. Аксенчик и др.: Методы нелинейной динамики и теории хаоса в задачах электроники сверхвысоких частот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

11. Шишкин Г.Г.: Электроника. - М.: Дрофа, 2009

12. А.Н. Диденко и др. ; Под ред. И.Б. Фёдорова: Вакуумная электроника. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008

13. Лебедев А.И.: Физика полупроводник. приборов. - М.: Физматлит, 2008

14. Шматько А.А.: Электронно-волновые системы миллиметрвого диапазона. - Харьков: ХНУ им. В.Н. Каразина, 2008

Размещено на Allbest.ru

...