Размещено на http://www.allbest.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

Математические основы цифровой обработки сигналов

По дисциплине: «Цифровая обработка сигналов»

Новосибирск, 2014 г

Задана структурная схема рекурсивной цепи второго порядка.

В соответствии с заданными коэффициентами ; постройте схему дискретной цепи. Период дискретизации .

1. Определите передаточную функцию цепи и проверьте устойчивость цепи.

Если цепь окажется неустойчивой, измените коэффициенты , добившись устойчивости.

2. Рассчитайте амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазо-частотную характеристику (ФЧХ) цепи ( точек), постройте графики АЧХ и ФЧХ (предварительно определив ).

3. Определите разностное уравнение цепи по передаточной функции

4. Определите импульсную характеристику цепи:

а) по передаточной функции (первые пять отсчетов);

б) по разностному уравнению(первые пять отсчетов).

5. Определите сигнал на выходе цепи по формуле свертки (первые семь отсчетов).

6. Определите разрядность коэффициентов и , если допуск на отклонение системных характеристик составляет 1%

7. Рассчитайте шумы квантования на выходе цепи, полагая разрядность АЦП равной 8.

8. Рассчитайте масштабный множитель на выходе цепи:

а) по условию ограничения максимума сигнала;

б) по условию ограничения энергии сигнала;

в) по условию ограничения максимума усиления цепи.

Вариант
13	0	0	0,75	0,35	0,36	0,6; 0,7; 0,8

1. Исследование характеристик дискретной цепи

Известно, что дискретной цепью называют любую систему (цепь) преобразующую одну последовательность х(n) в другую последовательность y(n). цепь дискретный квантование шум

Будем считать, что дискретная цепь обладает свойством линейности (выходная реакция на сумму дискретных сигналов равна сумме реакций на эти сигналы) и свойством стационарности (задержка входного дискретного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного дискретного сигнала).

Важно помнить, что:

- в схеме не указывают умножители, коэффициенты которых равны 0;

- умножители, коэффициенты которых равны 1, в схеме представляют собой короткозамкнутый проводник.

Изобразим дискретную цепь с заданными коэффициентами

2. Передаточная функция цепи

Для проверки устойчивости цепи полином знаменателя передаточной функции приравняем к нулю и найдём корни уравнения

z²•(1 - 0,35z^-1 - 0,36z^-2) = z² - 0,35z - 0,36 = 0

z₁ = -0,45 z₂ = 0,8.

Условие |z_k| < 1 выполняется, значит, цепь устойчива.

3. Частотная характеристика цепи

Частотную характеристику цепи получим из передаточной функции H(z), выполнив замену z^k > e^jщkT:

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ

Таблица 2

щ	0	0,125щд	0,25щд	0,375щд	0,5щд	0,625щд	0,75щд	0,875щд	щд
щТ	0	0,25р	0,5р	0,75р	р	1,25р	1,5р	1,75р	2р
sinщT	0	0,707	1	0,707	0	-0,707	-1	-0,707	0
cosщT	1	0,707	0	-0,707	-1	-0,707	0	0,707	1
H1(jщ)	0,75	-j0,75	-0,75	j0,75	0,75	-j0,75	-0,75	j0,75	0,75
H2(jщ)	0,27	0,753+ j0,607	1,36+ j0,35	1,502- j0,00707	0,99	1,247+ j0,753	1,36- j0,35	0,753- j0,607	0,27
H(щ)	2,78	0,444	0,612	0,603	0,758	0,603	0,612	0,444	2,78
ц(щ)0	0	128,91	194,43	265	360	455	525,5	591	720

Частота дискретизации

Рис. 3. АЧХ цепи



Рис. 4. ФЧХ цепи

4. Перейдём от передаточной функции цепи к разностному уравнению:

Y(z) = 0,75z^-2·X(z) + 0,35z^-1·Y(z) + 0,36z^-2·Y(z)

Этому уравнению соответствует разностное уравнение:

y(n) = 0,75x(n-2) + 0,35y(n-1) + 0,36y(n-2)

5. Определим импульсную характеристику цепи по разностному уравнению

y(n) = 0,75x(n-2) + 0,35y(n-1) + 0,36y(n-2)

д(n) = {1; 0; 0; 0;…}

h(n) = y(n) при x(n) = д(n)

n = 0 h(0) = 0

n = 1 h(1) =0

n = 2 h(2) =0,75

n = 3 h(3) =0,35*0,75=0,2625

n = 4 h(4) =0,35*0,2625+0,36*0,75=0,362

n = 5 h(5) =0,35*0,362+0,36*0,2625=0,221

n = 6 h(6) =0,35*0,221+0,36*0,362=0,208

n = 7 h(7) =0,35*0,208+0,36*0,221=0,152

6. Сигнал на выходе цепи

Входной сигнал x(n) = {0,6; 0,7; 0,8}.

· по формуле линейной свертки

Импульсная характеристика:

h(n) = {0; 0; 0,75; 0,2625; 0,362; 0,221; 0,208; 0,152; …}

Выходной сигнал:

y(0) = x(0)•h(0) =0;

y(1) = x(0)•h(1) + x(1)•h(0) = 0;

y(2) = x(0)•h(2) + x(1)•h(1) + x(2)•h(0) = 0,6•0,75 = 0,45

y(3) = x(0)•h(3) + x(1)•h(2) + x(2)•h(1) + x(3)•h(0) = 0,6•0,2625 + 0,7•0,75 = 0,6825;

y(4) = x(0)•h(4) + x(1)•h(3) + x(2)•h(2) + x(3)•h(1) + x(4)•h(0) = 0,6•0,362 + 0,7•0,2625+

+ 0,8•0,75 + 0 = 1,00095;

y(5) = x(0)•h(5) + x(1)•h(4) + x(2)•h(3) + x(3)•h(2) + x(4)•h(1) + x(5)•h(0) =

= 0,6•0,221 + 0,7•0,362+ 0,8•0,2625 + 0 = 0,596 ;

y(6) = x(0)•h(6) + x(1)•h(5) + x(2)•h(4) + x(3)•h(3) + x(4)•h(2) + x(5)•h(1) +

+ x(6)•h(0) = 0,6•0,208 + 0,7•0,221+ 0,8•0,362 + 0 = 0,569 ;

y(7) = x(0)•h(7) + x(1)•h(6) + x(2)•h(5) + x(3)•h(4) + x(4)•h(3) + x(5)•h(2) +

+ x(6)•h(1) + x(7)·h(0) = 0,6•0,152 + 0,7•0,208+ 0,8•0,221 + 0 = 0,414 ;

7. Определить разрядность коэффициентов a_i и b_i, если допуск на отклонение системных характеристик составляет 1%

Схема цепи с учетом реальных коэффициентов a_i, b_j.

Рис.5. Схема цепи

а₂=0,75 b₁=0,35 b₂=0,36.

Представим коэффициенты в виде 8-разрядного двоичного кода. В этом случае разрядная сетка содержит один знаковый разряд и восемь числовых. Запятая зафиксирована между знаковым и числовыми разрядами. Значение знакового разряда равно нулю, если коэффициент положителен, и единице в противном случае.

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в двоичную необходимо последовательно умножать данную дробь на 2 (перемножая только дробные части), и выписать последовательно все целые части полученных произведений, начиная с первого. Нам при расчете необходимо получить восемь числовых разрядов плюс один дополнительный для выполнения операции округления.

0,75	1,5	1	0	0	0	0	0	0	0
	1	1	0	0	0	0	0	0	0

0,35	0,7	1,4	0,8	1,6	1,2	0,4	0,8	1,6	1,2
	0	1	0	1	1	0	0	1	1

0,36	0,72	0,144	0,88	1,76	1,52	1,04	0,08	0,16	0,32
	0	1	0	1	1	1	0	0	0

Оценим влияния ошибки квантования на импульсную характеристику цепи при 8 двоичных разрядах.

Округлим:

а₂ = b₁ = b₂ =

Округленные значения:

0,75₁₀ = 0,11000000₂

0,35₁₀ = 0,01011010₂

0,36₁₀ = 0,01011100₂

Восстановим эти коэффициенты в десятичной системе:

0,75>2^-1+2^-2=0,75

0,35>2^-2+2^-4+2^-5+2^-7=0,351

0,36>2^-2+2^-4+2^-5+2^-6=0,3594

В результате деления числителя на знаменатель получили:

h(n) = {0; 0; 0,75; 0,2601; 0,359; 0,219; 0,21; 0,1498}

Отклонение импульсной характеристики в результате округления при 8 разрядах не превышает 1%.

Оценка влияния ошибки квантования на частотную характеристику цепи

Определим величину чувствительности к каждому коэффициенту:

Полюсы функции нашли при определении устойчивости. Они равны -0,45 и 0,8. Для вещественных полюсов добротность Q = |z|. Рассчитаем чувствительность АЧХ для большей добротности.

Так как полюс вещественный положительный, то собственная частота полюса с максимальной добротностью щТ=0, и максимальная чувствительность АЧХ в точке z=1.

Рассчитаем погрешности в записи коэффициентов, не равных нулю, при 8 двоичных разрядах:

Погрешность АЧХ от неточного задания для каждого из этих коэффициентов составит:

Sa₀•дa₀ = 0%

Sa₁•дa₁ = 0%

Sa₂•дa₂ = 0%

Sb₁•дb₁ = 1,207•0,29 = 0,35 %

Sb₂•дb₂ = 1,241•0,17 = 0,211 %

Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит

8. Рассчитать шумы квантования на выходе цепи, полагая разрядность АЦП равной 8 и разрядность умножителей 10

а) для исходной цепи

Источники шума - АЦП и три умножителя (по числу коэффициентов, не равных 0). Итого 4 источника - четыре слагаемых в шумовом уравнении.

Дисперсия шума АЦП при 8 разрядах

Дисперсия шума на выходе 10-разрядных умножителей

Шумы АЦП и составляющих от b₁ и b₂ проходят через всю цепь, поэтому найдём

Сигнал от источника шума а₂ попадает на выход через сумматор, а импульсная характеристика этой части схемы h(n) = 1. Поэтому «шумовое уравнение» имеет вид



б) шумы квантования для цепи в виде каскадного соединения простых звеньев

Нулей функции нет

Полюсы функции z₁ = -0,45 z₂ = 0,8.

Рис. 6. Схема при каскадном соединении звеньев

Пути прохождения шумов на выход цепи:

1. Через цепь с для АЦП и источников е₀, е₁.

2. Через второе звено с для источников е₂, е₃.

3. Через умножитель на сумматор для источника е₄.

Соответствующие импульсные характеристики:

h(n) = {0; 0; 0,75; 0,2625; 0,362; 0,221; 0,208; 0,152;}

0,878 (для АЦП и источников е₀ и е₁).

h₁(n) = {0; 0,517; 0,612; 0,652; 0,674; 0,688; 0,698; 0,705 }

2,98 (для источников е₂ и е₃).

(для источника е₄).

Шумовые уравнения с учетом разрядности АЦП и умножителей:

9. Рассчитать масштабный множитель л

а) по условию ограничения максимума сигнала

Ни при каких условиях не должно произойти переполнение сумматоров

в схеме с учетом реальных коэффициентов 2 сумматора. На вход первого сумматора подаётся сигнал, сформированный рекурсивной частью цепи, имеющей

Этой передаточной функции соответствует импульсная характеристика:

h₁(n)={1; 0,35; 0,483; 0,295; 0,277; 0,203; 0,171; 0,133}

Коэффициент передачи масштабного усилителя для защиты выхода первого сумматора:

б) из условия ограничения энергии сигнала

в) из условия ограничения максимума усиления цепи

Требуется уменьшить вероятность частотных искажений (за счёт резонанса), потребовав, чтобы максимальное значение АЧХ цепи с учётом масштабного усилителя не превышало .

Частотная характеристика рекурсивной части цепи, формирующая сигнал на выходе сумматора:

Полюсы функции H(z) z_k1 = -0,45 z_k2 = 0,8.

Так как полюсы вещественные, то собственная частота полюса с максимальной добротностью щТ = 0, и максимальная чувствительность АЧХ в точке z = 1.

На этой частоте

На вход второго сумматора поступает сигнал, проходящий через всю цепь.

а) Чтобы не перегружался вход сумматора,

б) из условия ограничения энергии сигнала

в) из условия ограничения максимума усиления цепи

Полюсы всей цепи совпадают с полюсами рекурсивной части цепи, поэтому и для этой цепи л = 0,29. Минимальное значение л = 0,29.

Принимаем значение л меньше наименьшего и обеспечивающее более простую реализацию л = 0,25.

Размещено на Allbest.ru

...