Математичні моделі та елементи інформаційної технології для магнітометричних систем вимірювання малих переміщень

У вступі обґрунтовується актуальність розв'язуваної у дисертаційній роботі задачі, сформульовані мета та завдання дослідження, наукова новизна та практична цінність отриманих результатів, наведені відомості про особистий внесок здобувача, апробацію результатів роботи та наявні публікації. електромагнітний гравіметр програмний

У першому розділі виконані огляд і аналіз відомих систем (А.Г. Смагін, В.Б. Брагінський, М.І. Ярославський, В.П. Митрофанов, В.І. Панов, А.Б. Манукін, М.Г. Смирнов, Ю.А. Щепеткін, А.Т. Кізімов, Л.Д. Гік, А. Бернар, Е. Іконен, Х. Сеппя, К. Шефер), призначених для реєстрації малих переміщень і побудованих за різними фізичними принципами. В розділі наведені схеми та характеристики радіотехнічних, оптичних і індукційних датчиків малих переміщень. Проаналізовані їхні відмінності з фізичної точки зору та зазначені обмеження області застосування.

Здобувачем обґрунтовується нове оригінальне конструктивне вирішення датчика переміщень, названого індукційним датчиком малих переміщень. У його конструкції ураховано сучасні концепції розвитку високоточної техніки.

Принципово "гравіметр" складається з корпуса-екрана, в якому вздовж однієї осі полюсами назустріч один одному розміщені три постійні магніти: два нерухомі силові магніти (верхній та нижній) і рухома частина підвісу з силовим магнітом-маятником у центрі. В площинах торцевих поверхонь центрального магніту розташовані надпровідні котушки трансформатора магнітного потоку надпровідного квантового інтерферометра (SQUID-а), які разом з додатковою котушкою утворюють магнітометр, індуктивно зв'язаний з контуром квантування SQUID-а.

При зміщенні центрального магніту відносно силових магнітів змінюється магнітний потік через котушки, реєстрація змін якого і є тією корисною інформацією, що використовується для вирішення задачі визначення координат (місцезнаходження) об'єкта.

Таким чином, у розділі сформульована наступна наукова задача, яка розв'язується в дисертаційній роботі: за відомими геометричними розмірами чутливої частини вимірювального приладу, параметрами його магнітної системи і характеристиками зовнішнього простору побудувати математичні моделі та розрахувати інтегральні характеристики датчика переміщень, а саме, визначити максимальну розрізнювальну спроможність усього пристрою.

У другому розділі обґрунтовані та досліджені математичні моделі з розрахунку електромагнітних процесів у робочій зоні системи вимірювання малих переміщень, побудованої із застосуванням постійних магнітів, що створюють поле з заданими властивостями.

У цьому розділі розроблені методики побудови математичних моделей для трьох варіантів конструкцій чутливої частини пристрою:

з магнітною системою з постійними магнітами прямокутної форми, без урахування впливу контейнера-екрана;

з магнітною системою, побудованою із застосуванням постійних магнітів циліндричної форми, також без урахування впливу екрана;

з магнітною системою на основі постійних магнітів циліндричної форми, яка знаходиться в магнітному екрані, вплив якого враховується.

У зв'язку з тим, що електромагнітними процесами, які відбуваються в робочій зоні пристрою, визначають основні характеристики датчика переміщень, у розділі розробляються математичні моделі, призначені для дослідження просторової структури стаціонарного магнітного поля.

У випадку магнітостатичного поля система рівнянь Максвелла може бути записана у вигляді (1). Доповнена крайовими умовами на поверхні надпровідника (2), вона є теоретичною моделлю електромагнітних процесів в зоні чутливого елемента датчика переміщень.

(1)

.(2)

Прийнявши ряд припущень, які відображають специфіку розглянутого класу електромагнітних полів, на підставі теоретичної моделі одержуємо математичні моделі.

В разі, коли вплив надпровідного екрана не враховується, розв'язання рівняння Лапласа для зовнішнього поля в будь-якій точці однорідного середовища може бути отримане у вигляді:

.(3)

Знаючи вираз для векторного магнітного потенціалу, можна визначити складові індукції.

Якщо магнітна система приладу побудована на основі постійних магнітів прямокутної форми, тоді рівняння для компонентів напруженості магнітного поля можуть бути виражені через звичайні функції.

Для математичної моделі, яка описує електромагнітні процеси в системі з постійними магнітами циліндричної форми, рівняння (3) може бути перетворене до вигляду:

,(4)

де і - повні еліптичні інтеграли по модулю , відповідно, 1-го та 2-го роду.

Для врахування впливу надпровідного екрана на електромагнітні процеси в робочій зоні датчика переміщень застосуємо метод "вторинних джерел", запропонований Г.А. Грінбергом, який полягає у наступному: якщо на межі розділення середовищ ввести шар "вторинних" джерел і відповідним чином його визначити, то кусково-однорідне середовище можна розглядати як однорідне у всьому просторі. У цьому випадку векторний потенціал можна виразити в замкнутій формі через розподіл усієї сукупності джерел полів (первинних і "вторинних").

У залежності від форми поверхні, якою обмежений надпровідник, можна виділити дві задачі розрахунку магнітного поля системи постійних магнітів, які знаходяться в надпровідному екрані:

першу, коли надпровідник, розміщений у зовнішньому магнітному полі, обмежений однозв'язною поверхнею;

другу, коли надпровідник, розміщений у зовнішньому полі, обмежений двозв'язною поверхнею.

Математичні моделі електромагнітних процесів в робочій зоні датчика малих переміщень, які враховують наявність надпровідного екрана, визначаються рівняннями (5) для першої задачі та (6) для другої задачі.

.(5)

.(6)

На основі цих рівнянь знаходиться розподіл "вторинних" джерел. Результуюче поле визначається шляхом складання полів від усіх джерел (первинних і наведених).

У підсумку, в даному розділі обґрунтовані та отримані математичні моделі, які описують електромагнітні процеси в робочій зоні пристрою. Знаходження розв'язків для цих моделей дозволяє виконати розрахунок вихідних характеристик датчика малих переміщень.

У третьому розділі здійснено дослідження рівнянь математичних моделей електромагнітних процесів та виконано їх перетворення. В аналітичному вигляді отримані оригінальні співвідношення, які необхідні для виконання програмної реалізації алгоритму розрахунку електромагнітних процесів у датчику малих переміщень для кількох варіантів конструкцій.

Для математичної моделі, яка враховує вплив надпровідного екрана на електромагнітні процеси в робочій зоні датчика переміщень, рівняння (5), (6) доповнюються інтегральним співвідношенням властивостей шуканого поля.

Виконавши перетворення, отримуємо для першої задачі (надпровідник обмежений однозв'язною поверхнею) інтегральне рівняння для розподілу "вторинних" джерел:

,(7)

де;

;

;.

Для другої задачі (надпровідник обмежений двозв'язною поверхнею) запишемо інтегральне рівняння, рішення якого може бути найдене методами обчислювальної математики (наприклад, методом послідовних наближень):

.(8)

Рівняння (7) можна записати в операторній формі:

.(9)

Один з найбільш поширених наближених методів вирішення інтегральних рівнянь полягає у приведенні їх до системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Припустивши, що контур розрахунку являє собою сукупність кусково-гладких відрізків без точок зламу, а це і припускає достатню гладкість розв'язання, що використовують при чисельному інтегруванні, запишемо наближене співвідношення:

.(10)

Надаючи індексу значення від 1 до , після виконання перетворень отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язання якої може бути найдене за допомогою прямих методів обчислювальної математики.

У розділі отримані співвідношення, які відображають суттєвість математичних моделей електромагнітних процесів у робочій зоні "гравіметра", необхідні для розробки програмного забезпечення та проведення чисельного моделювання з дослідження його характеристик.

Четвертий розділ присвячений питанням розробки пакета прикладних програм для чисельного моделювання електромагнітних процесів у робочій зоні датчика переміщень та розрахунку його вихідних характеристик.

На основі отриманих у попередніх розділах математичних моделей розроблено комплекс програм для розрахунку характеристик датчика переміщень. Для цього були створені нові бібліотечні функції, а загальна для всіх програмних модулів інформація розміщувалась у спеціальних файлах ініціалізації.

Комплекс прикладних програм містить такі основні модулі:

вводу вхідної інформації та формування масивів початкових даних;

розрахунку значень елементів матриці та вектора правої частини інтегрального рівняння;

розв'язання системи алгебраїчних рівнянь;

розрахунку результуючого поля від усіх джерел у робочій зоні приладу;

розрахунку вихідних характеристик приладу;

читання/запису результатів розрахунків з/в спеціальні файли параметрів;

графічного відображення результатів розрахунків.

Алгоритм повного циклу розрахунку чутливості "гравіметра", реалізований у пакеті прикладних програм, складається з таких етапів:

на першому етапі виконується зчитування й перетворення вхідних параметрів, на підставі яких формуються масиви вхідних даних. Далі виконується розрахунок компонентів напруженості магнітного поля в заданих точках без урахування впливу магнітного екрана на процеси, які відбуваються в робочій зоні датчика переміщень;

на наступному етапі розраховуються значення вектора правої частини системи лінійних алгебраїчних рівнянь і формується матриця коефіцієнтів. Отримані дані складають основу для розв'язання системи рівнянь. А розв'язання цієї системи є розподілом щільності "вторинних" джерел уздовж межі розділення середовищ. За відомим розподілом щільності фіктивних джерел на контурі магнітного екрана розраховуються компоненти вектора напруженості "вторинного" магнітного поля, вплив якого враховується при розрахунку сумарного поля в робочій зоні датчика малих переміщень;

на основі отриманих даних визначаються магнітні потоки, які проходять через нижню та верхню прийомні котушки, і знаходиться їх різниця. У випадку абсолютної симетрії системи магнітного підвісу ("маятник" знаходиться у геометричному центрі датчика) ця різниця дає значення 0. При зміщенні "маятника" відносно силових магнітів, магнітні потоки, які проходять через котушки, перестають бути рівними. На виході системи з'являється сигнал, реєстрація якого і слугує для розв'язання задачі визначення величини переміщення "пробного тіла";

на останньому етапі порівнюються отримане значення чутливості за потоком та чутливість SQUID-а. При одержанні необхідного значення (шляхом оптимізації параметрів конструкції - вхідних даних) визначається чутливість "гравіметра".

Основні результати чисельних експериментів показані на рисунках і графіках.

На рис. 1 показано приклад розрахунку магнітного поля в робочій зоні датчика переміщень у площині, що проходить через геометричний центр (по осі ) пристрою. Ліва частина рисунка відповідає полю від фіктивних ("вторинних") джерел, а права частина - первинному полю.

Рис. 1. Картина магнітного поля в робочій зоні датчика

Питання проектування оптимальної конструкції чутливої частини датчика вирішується на етапі оптимізаційного розрахунку пристрою, коли змінюються вхідні параметри й аналізуються вихідні характеристики системи вимірювання малих переміщень.

Наступним кроком було проведення чисельних експериментів з дослідження впливу зміни вхідних параметрів (геометрії приладу, характеристик магнітної системи та зовнішнього середовища) на вихідні характеристики датчика.

Оскільки чутливість приладу по відношенню до величини переміщення "пробного тіла" визначається значенням градієнту потоку, то спочатку розраховується значення , а потім визначається чутливість "гравіметра" .

Таким чином, на основі запропонованих і досліджених у дисертаційній роботі математичних моделей і алгоритмів розроблено узагальнену схему перетворення інформації для проектування оптимальної конструкції датчика малих переміщень, яка включає такі основні частини:

вхідна інформація: початкові величини параметрів, що характеризують датчик переміщень;

технологія перетворення інформації: математичні моделі, методи та алгоритми, реалізовані у вигляді інструментальних програмних засобів;

вихідна інформація: результати чисельного моделювання у вигляді інтегральних характеристик датчика переміщень;

експертна оцінка вихідної інформації та, при необхідності, зміна вхідних параметрів;

оптимальна конструкція: результуючі величини параметрів, що характеризують конструкцію датчика малих переміщень.

На основі аналізу впливу зміни кожного із вхідних параметрів, які є складовими математичної моделі, отримані результати дозволяють виконати проектування оптимальної конструкції (за заданими критеріями та/або обмеженнями) чутливої частини датчика переміщень.

Додаток А містить документи, що підтверджують практичне використання результатів, отриманих у дисертаційній роботі.

Додаток Б містить опис по використанню пакета прикладних програм, призначеного для проведення чисельного моделювання вихідних характеристик датчика малих переміщень.

Висновки

У дисертаційній роботі здійснено теоретичне обґрунтування та практичну реалізацію розв'язання важливої науково-технічної задачі з дослідження та оптимізації вихідних характеристик чутливої частини магнітометричної системи вимірювання малих переміщень.

Найважливіші наукові та практичні результати дисертаційної роботи такі:

На основі методу "вторинних джерел" уперше запропоновано, розроблено та досліджено нові математичні моделі електромагнітних процесів в області чутливої частини датчика малих переміщень, які, на відміну від відомих, ураховують вплив надпровідного екрана на характеристики "гравіметра".

Уперше отримані аналітичні співвідношення для опису електромагнітних процесів в системі підвісу чутливого елемента "гравіметра", які дозволили визначити основні параметри вхідного сигналу пристрою за заданими геометричними розмірами, характеристиками магнітів, параметрами магнітного екрана та величиною переміщення "пробного тіла".

На основі запропонованих моделей розроблено комплекс програм для аналізу просторової структури магнітного поля в робочій зоні датчика та моделювання його вихідних характеристик.

Уперше виконано розрахунок розподілу компонентів напруженості магнітного поля та градієнта потоку в робочій зоні пристрою і здійснено оптимізацію його характеристик.

Отримані в дисертаційній роботі математичні моделі використані при розробці зразків нової техніки.

Запропоновані в дисертаційній роботі математичні моделі, алгоритми та програмне забезпечення дозволяють вирішувати не тільки задачу з розрахунку впливу надпровідного екрана на вихідні характеристики датчика малих переміщень, а також можуть бути застосовані для розв'язання задач проектування магнітних систем, які є композицією феромагнітних тіл та провідників зі струмом.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях