Теоретико-ймовірнісний аналіз випадкових величин та статистична обробка даних

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Інститут аеронавігації

Кафедра Електроніки

Курсова робота

Дисципліна : Ймовірнісні основи обробки сигналів та даних

На тему:« Теоретико-ймовірнісний аналіз випадкових величин та статистична обробка даних»

Автор работи

студент 2 курсу

205 групи Пушкарьов Д.М.

Керівник

Професор Бойко І.Ф.

Київ-2014



Зміст

Вступ

Мета та завдання розрахункової роботи

Завдання 1. Характеристики випадкових величин

Завдання 2. Перетворення випадкових сигналів

Завдання 3. Векторні випадкові величини

Завдання 4. Оцінка параметрів розподілу

Висновки

Література

Додаток



Вступ

Теорiя ймовiрностей займається вивченням математичних моделей випадкових явищ. Якщо ми маємо адекватну математичну модель деякого випадкового явища, то можемо розраховувати ймовiрностi тих чи iнших подiй i за цими ймовiрностями можемо передбачати частоти цих подiй. Якщо ймовiрнiсна модель вибрана правильно, то такi передбачення будуть виконувати лише з випадковими похибками, якi теж можемо розрахувати в рамках вибраної моделi.

Математична статистика видiляється з теорiї ймовiрностей в самостiйну область,хоча основнi методи залишаються тими ж . Причиною цього є специфiчнiсть задач математичної статистики, якi є певним чином оберненими до задач теорiї ймовiрностей. Якщо в теорiї ймовiрностей ми вважаємо, що модель задана явища i проводимо розрахунки можливих реальних змiн цього явища, то в математичнiй статистицi ми виходимо з вiдомих реалiзацiй деяких випадкових подiй, з так званих статистичних даних. Математична статистика розробляє рiзноманiтнi методи, якi дозволяють за цими статистичними даними пiдiбрати потрiбну ймовiрнiсну модель.

випадковий одномірний сигнал ймовірність



Мета та завдання розрахункової роботи

Метою виконання розрахункової роботи є закріплення знань, отриманих на лекціях та набуття умінь для виконання дослідження технологічних об'єктів та систем керування за результатами експериментів.

Основні завдання, які стоять перед розрахунковою роботою, наступні:

- проаналізувати характеристики випадкових величин(навчитись будувати графіки одновимірних щільності розподілу і функції розподілу ймовірностей випадкової величини; знаходити математичне сподівання, дисперсію і одновимірну функцію розподілу ймовірностей випадкової величини ??);

- Перетворення випадкових сигналів та будувати їх щільності випадкових величин;

-Знаходити двовимірну функцію розподілу ;маргінальні щільності розподілу і ;маргінальні функції розподілу і ;умовні щільності розподілу і ;умовні функції розподілу;

- визначення властивостей емпіричних законів розподілу ймовірностей, зокрема точкових оцінок їх параметрів;



Завдання 1. Характеристики випадкових величин

Задано одновимірну щільність розподілу ймовірностей випадкової величини. Знайти математичне сподівання, дисперсію і одновимірну функцію розподілу ймовірностей цієї випадкової величини .

Побудувати графіки одновимірних щільності розподілу і функції розподілу ймовірностей випадкової величини . Щільності розподілу задані в табл. 1.

Таблиця 1

Номер варіанта	Щільність розподілу імовірностей	Область значень випадкового процесу	Заданий параметр
3			=10

Виконання завдання

Побудуємо графік одновимірної щільності розподілу ймовірностей:

Задано щільність розподілу ймовірностей з параметром b=10.

Після побудови графіка можемо визначити що це показниковий (експоненціальний) розподіл, коли випадкова величина має густину розподілу у вигляді:

де л - параметр розподілу і він дорівнює 1/b.

Знайдемо інтегральну функцію розподілу:

,

Тобто

.

Знайдемо числові характеристики показникового розподілу:

а) математичне сподівання;

тобто ;

M(X)=10

б) дисперсія:

D(X)=100

Завдання 2. Перетворення випадкових сигналів

На безінерційне радіотехнічне коло діє стаціонарний випадковий сигнал . Знайти у загальному вигляді щільність розподілу сигналу на виході цього пристрою, якщо відома щільність розподілу ймовірностей (див. табл. 1) вхідного випадкового сигналу та задано зовнішню характеристику пристрою (табл. 2).

Побудувати графік залежності .

Номер варіанта у табл. 2 дорівнює числу =3,

де m=0 - передостання, а n=3 - остання цифри номера студентського квитка.

Таблиця 2

Номер варіанта	Характеристика радіотехнічного кола
3	,

Виконання завдання

Задано щільність розподілу ймовірностей з параметром b=10.(Табл.1)

Якщо функціональний зв'язок між та взаємно однозначний, то закон розподілу визначається за формулою (9).

де - функція, зовнішня характеристика пристрою

Побудуємо щільність оберненої функції ,тут же побудуємо щільність данного розподілу до перетворення . Візуально зрівняєм щільність до перетворення і після.



Перевірим:

Завдання 3. Векторні випадкові величини

Двовимірний випадковий вектор має сумісну щільність розподілу ймовірностей виду:

Параметр розподілу a=0.3.

Знайти:

1. Двовимірну функцію розподілу .

2. Маргінальні щільності розподілу і .

3. Маргінальні функції розподілу і .

4. Умовні щільності розподілу і .

5. Умовні функції розподілу і .

Виконання завдання

Знайдемо число , що визначає область визначення щільності розподілу виходячи з умови норміровки щільності розподілу.

Насамперед зобразимо область визначення щільності розподілу.



Отже,

1.Знайдемо двовимірну функцію розподілу .

Отже,

2. Маргінальні щільності розподілу і .

3. Маргінальні функції розподілу і .

4.Умовні щільності розподілу і .

5.Умовні функції розподілу і .

Завдання 4. Оцінка параметрів розподілу

Використовуючи таблицю нормально розподілених випадкових чисел (див. додаток), одержати реалізацію вибірки , де , мають один і той же нормальний розподіл з параметрами і Обсяг вибірки .

Знайти:

а) варіаційний ряд і емпіричну функцію розподілу (побудувати її графік і графік теоретичної функції розподілу);

б) гістограму (побудувати її графік і графік теоретичної щільності розподілу ймовірностей);

в) точкові оцінки математичного сподівання , дисперсії ;

г) довірчий інтервал для математичного сподівання з довірчим коефіцієнтом (вважати невідомим).

Варіант завдання: , a=0 ,



Виконання завдання

а) Знайдемо варіаційний ряд і емпіричну функцію розподілу
(побудуємо її графік і графік теоретичної функції розподілу)

Упорядкуємо даний розподіл.

Таблиця 4.1.

-2.352	-2,256	-1,851	-1,558	-0,634	-0,555
-0,531	-0,472	-0,354	-0,323	-0,194	-0,068
0,046	0,06	0,137	0,296	0,321	0,543
0,571	0,697	0,926	1,022	1,279	1,375
1,394	1,486	1,974	2,455	2,945	3,521

1.Знайдемо максимальне і мінімальне значення варіанта.

2.Знайти розмах варіанту

3.Знайдемо довжину інтервалів за формулою Стерджеса.

4.Розділимо інтервали по границям:



Таблиця 4.2.

№	Інтервали	Частота	Частість	Нагромад-жена частота	функція розподілу	Теоретична функція розподілу
1	-2.847->-1.857	2	0.06	2	0.06	0.0606
2	-1.857->-0.597	3	0.1	5	0.16	0.1606
3	-0.597->0.393	12	0.4	17	0.56	0.5606
4	0.389->1.389	7	0.23	24	0.8	0.805
5	1.389->2.373	3	0.1	27	0.9	0.903
6	2.373->3.363	2	0.06	29	0.96	0.9604
7	3.363->4.353	1	0.03	30	1	1

Будуємо графік емпіричної функції:

Побудуємо графік теоретичної функції розподілу:



б) гістограму (побудувати її графік і графік теоретичної щільності розподілу ймовірностей);

Таблиця 4.3.

Інтервали	Густина частоти
-2.847->-1.857	0.0601
-1.857->-0.597	0.101
-0.597->0.393	0.401
0.393->1.389	0.2301
1.389->2.373	0.101
2.373->3.363	0.0601
3.363->4.353	0.0301



Таблиця 4.4.

Інтервали	Теоретична щільність розподілу
-2.352	0.0605
-1.227	0.140
-0.102	0.407
0.891	0.2308
1.881	0.107
2.868	0.0605
3.858	0.0309

в)Знайдемо точкові оцінки математичного сподівання , дисперсії ;

Формула для знаходження точкової оцінки математичного сподівання має вигляд:

.

В тому випадку, коли дисперсія невідома, точкова оцінка дисперсії знаходиться згідно з наступною формулою:

.

г)Знайдемо довірчий інтервал для математичного сподівання з довірчим коефіцієнтом (вважати невідомим).

За заданим статистичним розподілом вибірки

Таблиця 4.6.

№	Інтервали	Частота
1	-2.847->-1.857	2
2	-1.857->-0.597	3
3	-0.597->0.393	12
4	0.389->1.389	7
5	1.389->2.373	3
6	2.373->3.363	2
7	3.363->4.353	1

Знайдемо вибіркову середню х_В, дисперсію D_В, середнє квадратичне відхилення _В.

Значення вибіркових середньої, дисперсії, середнього квадратичного відхилення можна знайти за формулами:



_В = D_В

де n - обсяг вибірки , n = m_i.

Для спрощення обчислень введемо умовну варіанту

x_і' = (x_і-a)/x,

де а - варіанта з найбільшою частотою m_i; x - крок варіювання:

x = x_і+1 - x_і.

За допомогою умовної варіанти знаходимо х_В і D_В за формулами:

.

Шукані значення вибіркових середньої й дисперсії визначають таким чином:

х_В = х_В' * x + а, D_В=D_В' * (x)².

Найбільшу частоту (n₃ = 12) має х₃ = -0.102, тому в якості а приймаємо -0.102; x=0.991, тоді x_і' = (x_і--0.102)/ 0.991.



Розрахунки виконуємо в таблиці 4.7.

Інтервали	Частота	xi'	xi'*mi	(xi')2*mi
-2.352	2	-2.270	-4.54	10.30
-1.227	3	-1.135	-3.405	3.86
-0.102	12	0	0	0
0.889	7	1	7	7
1.881	3	2.001	6.003	12.012
2.868	2	2.996	5.992	17.95
3.858	1	3.995	3.995	15.96

х_В' = 15.045/30=0.5015, D_В'=67.082/30 - (0.5015) ²=1.98 .

Шукані значення вибіркових характеристик:

х_В = 0.5015*0.991+-0.102=0.39;

D_В =1.98 *0.991²=1.94;

_В = 1.94= 1.39.

Для визначення довірчого інтервалу використаємо формулу

Р(|х_В-m|<) = = 2*Ф(* п /).

Довірчий інтервал знаходимо у вигляді х_В-<m<х_В+ .

За умовою 2*Ф(* п /)=0,95, звідки Ф(* п /)= 0,475. З таблиці значень функції Лапласа знаходимо (* п /)=1,96;

Тоді, =1,96*1.39 /30=0.497.

Довірчий інтервал для оцінки m, що відповідає довірчої ймовірності :

0.39-0.497< m < 0.39+0.497,

або

-0.107 < m < 0.887.



Висновки

В результаті виконаної курсової роботи я підтвердив на практиці свої знання лекційного матеріалу шляхом виконання практичних завдань, а саме:

-Завдання 1 Характеристики випадкових величин;

-Завдання 2 Перетворення випадкових сигналів;

-Завдання 3 Векторні випадкові величини;

-Завдання 4 Оцінка параметрів розподілу.

В 1 завданні я будував графіки одновимірних щільностей розподілу і функції розподілу ймовірностей випадкової величини , знайшов математичне сподівання, дисперсію і одновимірну функцію розподілу ймовірностей цієї випадкової величини .В 2 завданні знаходив у загальному вигляді щільність розподілу сигналу на виході пристрою коли відома щільність розподілу ймовірностей вхідного випадкового сигналу та заданої зовнішньої характеристики пристрою , будував графік залежності . В 3 завданні за допомогою заданого параметра розподілу a знаходив двовимірну функцію розподілу ;маргінальні щільності розподілу і ;маргінальні функції розподілу і ;умовні щільності розподілу і ;умовні функції розподілу. В 4 завданні використовуючи таблицю нормально розподілених випадкових чисел(Додаток), одержав реалізацію вибірки , де , мають один і той же нормальний розподіл з параметрами і Знайшов варіаційний ряд і емпіричну функцію розподілу;гістограму ;точкові оцінки математичного сподівання , дисперсії ; довірчий інтервал для математичного сподівання з довірчим коефіцієнтом (це завдання було непростим бо невідоме середньо квадратичне відхилення , потрібно було спочатку знайти середину варіанти а потім дисперсію і як вже це все відомо можна було знаходити довірчий інтервал для математичного сподівання).

Література

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. Для вузов по спец. «Радиотехника». - М.: Высш. шк., 1988. - 448 с.

2. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. Изд. 2-е, перераб. и доп.. - М.: Сов. радио, 1974. - 552 с.

3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника

4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - 3-е изд., перераб. и доп.. - М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

5. Левин. Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга вторая. Изд. 2-е, перераб. и доп.. - М.: Сов. радио, 1975. - 392 с.

6. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.

7. Бабак В.П., Марченко Б.Г., Фриз М.Є. Теорія ймовірностей, випадкові процеси та математична статистика: Підруч. для вузів. - К.: Техніка, 2004. - 288 с.



Додаток

Нормально розподілені випадкові числа

Наведені в таблиці числа можна розглядати як реалізації незалежних випадкових величин, що мають нормальний розподіл з параметрами

-2.352	0,137	2,455	-0,323	-0,068	0,296
0,060	-2,256	-0,531	-0,194	0,543	-1,558
1,486	-0,354	-0,634	0,697	0,926	1,375
1,022	-0,472	1,279	3,521	0,571	-1,851
1,394	-0,555	0,046	0,321	2,945	1,974

Размещено на Allbest.ru

...