Характеристика и методика расчета колебаний, возникающих в объемных резонаторах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В природе и технике, кроме поступательного и вращательного движений, часто встречается еще один вид механического движения это колебания. Говоря «колебания», мы сразу представляем себе колебание грузика, подвешенного к нити, или прикрепленного к пружине. Однако колебания означают не только механическое движение физического тела «туда - обратно». Под колебаниями следует понимать изменение какой-либо величины, то есть изменение, при котором значение этой величины повторяется через определенный промежуток времени. Среди различных механических движений особо важное значение имеют периодические движения, или колебания. Такие движения мы встречаем в небесной механике (движение планет) и в различных механических машинах. Они лежат в основе изменения времени (часы). Механическими колебаниями объясняются также звуковые явления. Открытие электромагнитной индукции углубило наши представления об электромагнитном поле. Но дело не только в этом. Благодаря самоиндукции возможны колебания заряда, силы тока и других величин, характеризующих и имеют много общего с механическими колебаниями. Подобно этому, среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически. Электромагнитные колебания используют в различных важных технических устройствах и принимают для целей связи (телефония, телеграфия, радиосвязь). Технические переменные токи также являются электрическими колебаниями. Укажем, наконец, что световые явления представляют собой не что иное, как электромагнитные колебания.

Таким образом, приступая к изучению электромагнитных колебаний, полезно вспомнить колебания механические, несколько уточнить и расширить знания по данной теме.

1. Общие сведения об объемных резонаторах

Объемные резонаторы, широко используемые в технике сверхвысоких частот (в частности для измерения частоты), являются аналогом обычного колебательного контура. Контуры, выполненные из сосредоточенных элементов (индуктивностей и емкостей) могут применяться до частот порядка нескольких сотен мегагерц. На более высоких частотах используются коаксиальные резонаторы (примерно до 5 гигагерц), на еще более высоких - прямоугольные и цилиндрические объемные резонаторы.

Упрощенно объемный резонатор можно себе представить как отрезок линии передачи (коаксиальная линия, прямоугольный или круглый волноводы) длиной , закороченный с двух концов. При этом получается соответственно коаксиальный, прямоугольный или цилиндрический резонаторы.

На резонансную частоту коаксиального резонатора влияет только размер , для прямоугольного или цилиндрического резонаторов кроме размера влияют также размеры и и соответственно, а также тип колебаний в резонаторе. На добротность резонаторов влияют все размеры резонатора, а также тип колебаний в нем.

Классификация типов колебаний в резонаторах основана на тех же принципах, что и для линий передачи.

Так, если поле в прямоугольном резонаторе имеет компоненту , а компонента , то имеем колебания типа . Если наоборот, , а , то имеем колебания типа . Аналогично классифицируются типы колебаний в цилиндрическом резонаторе, где размер отсчитывается по направлению оси . В коаксиальном резонаторе существуют колебания типа . Чаще всего объем резонатора заполнен воздухом (с параметрами и ), если резонатор заполнен диэлектриком, то на его резонансную частоту и добротность влияют также параметры диэлектрика и .

2. Колебания типа в прямоугольных резонаторах

Для того, чтобы исследовать колебания типа в прямоугольном резонаторе, необходимо определить наличие и зависимость всех компонент поля от координат и параметров резонатора, а также зависимость резонансной длины волны (или частоты ) от параметров резонатора для данного типа колебаний.

Здесь мы фактически рассматриваем только возможность существования тех или иных типов колебаний в объемном резонаторе, не исследуя вопрос, как они возбуждаются конкретными источниками.

Поскольку все поперечные компоненты поля могут быть выражены через продольные , то достаточно найти выражение для компоненты . Для этого необходимо решить однородное волновое уравнение вида

(2.1)

во внутренней области прямоугольного резонатора. Стенки резонатора полагаем идеально проводящими, среда внутри резонатора не имеет потерь и характеризуется параметрами и .

Полученное решение для компоненты должно:

1) Удовлетворять граничным условиям на поверхности стенок резонатора.

2). Быть конечным в той области, где ищется решение.

При решении используем декартову систему координат , ,.

Заметим, что в отличие от волноводов, где мы полагали, что все компоненты поля зависят от координаты по закону , на поле в резонаторе такое ограничение не налагается. Тогда соотношение (2.1) примет вид:

(2.2)

Уравнение (2.2) решаем методом разделения переменных.

Мы уже решали аналогичные уравнения, решение должно удовлетворять граничным условиям вида (2.4), (2.5). Кроме того, поскольку компонента является нормальной к торцевым стенкам резонатора (при и ), то она должна быть равна нулю на поверхности этих стенок. В результате граничные условия запишутся в виде:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Таким образом, окончательно запишем:

(2.6)

Здесь в коэффициент входят , и , , ,

Для вычисления поперечных компонент поля выражение (2.6) дифференцируется по , или .

Из (2.2), подставив значения , и , получаем:

(2.7)

Использовав соотношения и получаем

(2.8)

(2.9)

Где и - соответственно резонансная частота и резонансная длина волны.

Таким образом, в прямоугольном резонаторе может существовать бесконечное число колебаний типа , отличающихся друг от друга индексами ,,, т.е. законом распределения компонент в зависимости от координат и картинами поля, а также резонансной частотой и резонансной длиной волны.

Типы колебаний в резонаторе обозначаются буквой ( или ) и тремя индексами: ,,. Например - колебания вида . Индексы , и имеют простой физический смысл - это число вариаций поля по координатам , и соответственно. Отсюда видно, что, например, поле колебаний в резонаторе можно рассматривать как поле в волноводе для волны , с учетом того, что отрезок волновода закорочен при и . На торцевых стенках резонатора ( и ) должны выполняться граничные условия, индекс определяет число вариаций поля по координате . Это дает возможность при построении картин поля в резонаторе использовать правила для построения картин поля в волноводе. Изложенное справедливо, как для прямоугольных, так и для цилиндрических резонаторов. Токи на стенках резонатора определяются так же, как и для волновода, с использованием соотношения (2.1).

Из анализа соотношения (2.9) видно, что при фиксированной величине чем меньше индексы , и, тем меньше должны быть размеры ,и . При фиксированных размерах , и максимальное значение получается при минимальных значениях индексов , и. Обычно интересуются типами колебаний для которых максимальна при данных размерах , и , т.е. для которых индексы , иминимальны.

Из (2.6) видно, что индексы и одновременно не могут быть равны нулю и индекс также не может быть равен нулю (в этих случаях поле существовать не может). Поэтому взяв минимальные значения индексов , и получаем колебания типа .

Подставив в (2.6) , и получим выражения для компонент поля колебаний

 (2.10)

Из сравнения (2.10) и (2.3) видно, что картина поля в поперечном сечении резонатора (плоскости, параллельные плоскости ) такая же, как для волны в поперечном сечении волновода.

Распределение токов на стенках резонатора, как уже говорилось выше, определяется из соотношения (2.1). Продольные токи существуют на широких и торцевых стенках резонатора (при и ), а поперечные - только на широких и узких боковых стенках. Колебания типа - это низший тип колебаний (как и волна для прямоугольного волновода).

Интересно отметить, что если бы в выражениях (2.6) и полученных из них соотношениях (2.10) вместо коэффициентов , учли все соотношения, связанные с вычислением всех компонент поля через продольные, то в (2.6) получили бы, что компоненты и сдвинуты относительно компонент , , по фазе на 90є. Точно так же в (2-10) получили бы, что компонента сдвинута по фазе на 90є относительно компонент и . Это справедливо и для других типов колебаний в резонаторах, как прямоугольных, так и цилиндрических и коаксиальных. Поскольку все величины (компоненты поля) изменяются во времени по гармоническому закону и записаны с использованием метода комплексных амплитуд, то сдвиг фаз между компонентами и в 90є говорит о том, что энергия электромагнитного поля в резонаторе определяемая соотношением в некоторые моменты времени определяется только электрическим или только магнитным полем. Это явление, как известно имеет место и в обычном колебательном контуре.

3. Колебания типа в прямоугольных резонаторах

Для того, чтобы исследовать колебания типа в прямоугольном резонаторе, необходимо решить однородное волновое уравнение вида:

(3.1)

Полученное решение должно быть конечным в области, где оно ищется и, кроме того, удовлетворять граничным условиям:

(3.2)

(3.3)

Условие (3.3) может быть получено из уравнений Максвелла.

Для определения резонансной длины волны получим такое же соотношение, как и для колебаний типа .

(3.4)

В прямоугольном резонаторе может существовать бесконечное число колебаний типа , отличающихся друг от друга индексами ,,, т.е. законом распределения компонент в зависимости от координат и картинами поля, а также резонансной длиной волны.

Рассмотрим колебания типа при минимальных значениях индексов , и . Видно, что ни ни не может быть равно нулю, а индекс может быть равен нулю. Тогда получаем низший тип колебаний .

Подставив в (3.3) и (3.4) и получим:

(3.5)

(3.6)

Интересно, что в отличие от колебаний в данном случае компоненты поля от координаты не зависят и не зависит от размера . Картины поля в резонаторе могут быть построены, если взять за основу поле волны в прямоугольном волноводе и дополнительно потребовать выполнение граничных условий на торцевых стенках при и .

4. Колебания типа и в цилиндрических резонаторах

Для того, чтобы исследовать колебания типа и в цилиндрических резонаторах, можно использовать подход, связанный с решением волнового уравнения. В результате получим, что в цилиндрическом резонаторе (как и в прямоугольном) может существовать бесконечное число колебаний типа и , отличающихся друг от друга индексами , и , т.е. законом распределения компонент и картинами поля, а также резонансной длиной волны. Мы, однако, решать волновые уравнения не будем, а для построения картины поля в резонаторах воспользуемся аналогией с полем в круглом волноводе. Картины поля для колебаний типа и можно получить, взяв за основу картины поля в круглом волноводе для волн и и потребовав выполнения граничных условий на торцевых стенках при и . Индексы и при этом имеют тот же физический смысл, что и для круглого волновода (число вариаций поля по окружности и по радиусу волновода), а индекс - число вариаций поля по координате (вдоль размера ). При этом для колебаний типа индекс может быть равен нулю, а для колебаний типа он не может быть равен нулю.

Рассмотрим колебания типа . Известно , что в круглом волноводе низшим типом электрических волн является . В цилиндрическом резонаторе дополнительно потребуем, чтобы при отсутствовало изменение поля вдоль координаты , а линии вектора подходили к торцевым стенкам под прямым углом. Поле в резонаторе имеет компоненты и , токи, протекающие на стенках резонатора, изображены на рис. 7б. Резонансная длина волны и не зависит от размера . Однако, для того, чтобы этот тип колебаний существовал, необходимо, чтобы размер был достаточно малым. Если размер увеличить так, что вдоль него сможет уложиться вариация поля, то в резонаторе будут существовать колебания типа . Это связано с тем, что в круглом волноводе основной тип волны и если вдоль размера уложится вариация поля, то будут колебания типа . Картина поля в резонаторе для колебаний типа может быть получена, если взять картину поля для волны и дополнительно потребовать, чтобы вдоль размера укладывалась вариация поля, а на торцевых стенках выполнялись граничные условия. Резонансная длина волны

(4.1)

токи на стенках резонатора как продольные, так и поперечные.

5. Скин-эффект

резонатор колебательный электромагнитный сверхвысокий

Скин-эффект (от англ. skin - кожа, оболочка), поверхностный эффект, ослабевания электромагнитных волн по мере их проникновения в глубь проводящей среды, в результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты или переменный ток по сечению проводника или переменный магнитный поток по сечению магнитопровода, при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в причины эффекта

Причины эффекта.

Скин-эффект обусловлен тем, что при распространении электромагнитной волны в проводящей среде возникают вихревые токи, в результате чего часть электромагнитной энергии преобразуется в теплоту. Это и приводит к уменьшению напряжённостей электрического и магнитного полей и плотности тока, т.е. к затуханию волны.

Вихревые токи, токи Фуко, замкнутые электрические токи в массивном проводнике, которые возникают при изменении пронизывающего его магнитного потока. Вихревые токи являются индукционными токами и образуются в проводящем теле либо вследствие изменения во времени магнитного поля, в котором находится тело, либо вследствие движения тела в магнитном поле, приводящего к изменению магнитного потока через тело или какую-либо его часть. Величина Вихревого тока тем больше, чем быстрее меняется магнитный поток. Чем выше частота n электромагнитного поля и больше магнитная проницаемость m проводника, тем сильнее (в соответствии с Максвелла уравнениями) вихревое электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем, а чем больше проводимость а проводника, тем больше плотность тока и рассеиваемая в единице объёма мощность (в соответствии с законами Ома и Джоуля - Ленца). Т.о., чем больше n, m и s, тем сильнее затухание, т.е. резче проявляется Скин-эффект. Максвелла уравнения, фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в произвольной среде. Максвелла уравнения сформулированы Дж.К. Максвеллом в 60-х годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М. Фарадея о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются посредством электромагнитного поля, Максвелл создал теорию электромагнитных процессов, математически выражаемую Максвелла уравнения Современная форма Максвелла уравнения дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом. Максвелла уравнения связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, то есть с распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В пустоте электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В. Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задаётся плотностью заряда r (зарядом в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов). Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе), кроме векторов Е и В, вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость магнитного поля Н. Максвелла уравнения позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля j и r как функции координат и времени. Максвелла уравнения могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они даны в абсолютной системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц). Максвелла уравнения в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности. Первое Максвелла уравнения является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

Первое М. у. имеет вид:

В случае плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси х в хорошо проводящей, однородной, линейной среде (токами смещения по сравнению с токами проводимости можно пренебречь), амплитуды напряжённостей электрического и магнитного полей затухают по экспоненциальному закон:

- коэффициент затухания, m0 - магнитная постоянная На глубине х = d = 1/a амплитуда волны уменьшается в е раз. Это расстояние называется глубиной проникновения или толщиной скин-слоя. Например, при частоте 50 гц в меди (s = 580 ксим/см; m = 1) s = 9,4 мм, в стали (a = 100 ксим/см, (m = 1000) d = 0,74 мм. При увеличении частоты до 0,5 Мгц d уменьшится в 100 раз. В идеальный проводник (с бесконечно большой проводимостью) электромагнитная волна вовсе не проникает, она полностью от него отражается. Чем меньше расстояние, которое проходит волна, по сравнению с d, тем слабее проявляется С[4].

Магнитная постоянная, коэффициент пропорциональности m0, появляющийся в ряде формул магнетизма при записи их в рационализованной форме (в Международной системе единиц). Так, индукция В магнитного поля и его напряжённость Н связаны в вакууме соотношением

В = m0Н,

где m0 = 4pЧ10-7 гн/м» 1,26Ч10-6 гн/м.)).

Для проводников при сильно выраженном Скин-эффекте, когда радиус кривизны сечения провода значительно больше d и поле в проводнике представляет собой плоскую волну, вводят понятие поверхностного сопротивления проводника Zs (поверхностного импеданса). Его определяют как отношение комплексной амплитуды падения напряжения на единицу длины проводника к комплексной амплитуде тока, протекающего через поперечное сечение скин-слоя единичной длины.

Комплексная амплитуда, представление амплитуды А и фазы y гармонического колебания х = Acos (wt + y) с помощью комплексного числа =Aexp (ij)=Acosj + iAsinj. При этом гармоническое колебание описывается выражением

х = Re [(exp(iwt))],

где Re - вещественная часть комплексного числа, стоящего в квадратных скобках. К. а. обычно применяются при расчете линейных электрических цепей (с линейной зависимостью тока от напряжений), содержащих активные и реактивные элементы. Если на такую цепь действует гармоническая эдс частоты w, то использование К. а. тока и напряжения позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Связь между К. а. тока I и напряжения U для активного сопротивления R определяется законом Ома: / =· R. Для индуктивности L эта связь имеет вид I = - а для ёмкости С: I=iwCU. Таким образом, величины iwL и L/iwC играют роли индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Комплексное сопротивление на единицу длины проводника:

где R0 - активное сопротивление проводника, определяющее мощность потерь в нём, X0 - индуктивное сопротивление, учитывающее индуктивность проводника, обусловленную магнитным потоком внутри проводника, lc - периметр поперечного сечения скин-слоя, w = 2pn; при этом R0 = X0. При сильно выраженном С.-э. поверхностное сопротивление совпадает с волновым сопротивлением проводника и, следовательно, равно отношению напряжённости электрического поля к напряжённости магнитного поля на поверхности проводника.

Волновое сопротивление передающих электрических линий, отношение напряжения к току в любой точке линии, по которой распространяются электромагнитные волны. В. с. представляет собой сопротивление, которое оказывает линия бегущей волне напряжения. В бесконечно длинной линии или линии конечной длины, но нагруженной на сопротивление, равное В. с., не происходит отражения электромагнитных волн и образования стоячих волн. В этом случае линия передаёт в нагрузку практически всю энергию от генератора (без потерь). В. с. равно:

.

В тех случаях, когда длина свободного пробега l носителей тока становится больше толщины d скин-слоя (например, в очень чистых металлах при низких температурах), при сравнительно высоких частотах Скин-эфект приобретает ряд особенностей, благодаря которым он получил название аномального. Поскольку поле на длине свободного пробега электрона неоднородно, ток в данной точке зависит от значения электрического поля не только в этой точке, но и в её окрестности, имеющей размеры порядка l Поэтому при решении уравнений Максвелла вместо закона Ома приходится использовать для вычисления тока кинетическое уравнение Больцмана. Электроны при аномальном Скин-эффекте становятся неравноценными с точки зрения их вклада в электрический ток; при l >> d основной вклад вносят те из них, которые движутся в скин-слое параллельно поверхности металла или под очень небольшими углами к ней и проводят, т. об., больше времени в области сильного поля (эффективные электроны). Затухание электромагнитной волны в поверхностном слое по-прежнему имеет место, но количественные характеристики у аномального Скин-эффекта несколько иные. Поле в скин-слое затухает не экспоненциально (R0/X0=).

В инфракрасной области частот электрон за период изменения поля может не успеть пройти расстояние l. При этом поле на пути электрона за период можно считать однородным. Это приводит опять к закону Ома, и Скин-эффект снова становится нормальным. Т. об., на низких и очень высоких частотах Скин-эффект всегда нормальный. В радиодиапазоне в зависимости от соотношений между / и d могут иметь место нормальный и аномальный Скин-эффект. Всё сказанное справедливо, пока частота со меньше плазменной: w < w0 «(4pne2/m) 1/2 (n - концентрация свободных электронов, е - заряд, m - масса электрона).

Борьба с эффектом.

Скин-эффект часто нежелателен. В проводах переменный ток при сильном Скин-эффект протекает главным образом по поверхностному слою; при этом сечение провода не используется полностью, сопротивление провода и потери мощности в нём при данном токе возрастают. В ферромагнитных пластинах или лентах магнитопроводов трансформаторов, электрических машин и других устройств переменный магнитный поток при сильном Скин-эффекте проходит главным образом по их поверхностному слою; вследствие этого ухудшается использование сечения магнитопровода, возрастают намагничивающий ток и потери в стали. «Вредное» влияние Скин-эффекта ослабляет уменьшением толщины пластин или ленты, а при достаточно высоких частотах - применением магнитопроводов из магнитодиэлектриков.

Магнитодиэлектрики, магнитные материалы, представляющие собой связанную в единый конгломерат смесь ферромагнитного порошка и связки - диэлектрика (например, бакелита, полистирола, резины); в макрообъёмах обладают высоким электрическим сопротивлением, зависящим от количества и типа связки. М. могут быть как магнитно-твёрдыми материалами, так и магнитно-мягкими материалами. Магнитно-мягкие М. вырабатывают в основном из тонких порошков карбонильного железа, молибденового пермаллоя и альсифера с различной связкой. Магнитно-мягкие М. применяют для изготовления сердечников катушек индуктивности, фильтров, дросселей, радиотехнических броневых сердечников, работающих при частотах 104-108 гц.

Также, с увеличением частоты переменного тока скин-эффект проявляется всё более явно, что заставляет учитывать его при конструировании и расчётах электрических схем, работающих с переменным и импульсным током. Например, вместо обычных медных проводов могут применяться медные провода, покрытые тонким слоем серебра. Серебро обладает наибольшей проводимостью среди всех металлов, и тонкий его слой, в котором благодаря скин-эффекту и протекает бомльшая часть тока, оказывает сильное влияние на активное сопротивление проводника. Скин-эффект значительно влияет на характеристики колебательных контуров, такие как добротность. В связи с тем, что ток высокой частоты течёт по тонкому поверхностному слою проводника, активное сопротивление проводника значительно возрастает, что приводит к быстрому затуханию колебаний высокой частоты. Для борьбы со скин-эффектом применяют проводники различного сечения: плоские (в виде лент), трубчатые (полые внутри), наносят на поверхность проводника слой металла с более низким удельным сопротивлением. Например, в ВЧ аппаратуре используют посеребрённые медные контуры, в высоковольтных линиях электропередач применяют провод в медной либо алюминиевой оболочке со стальным сердечником, в высокомощных генераторах переменного тока обмотка изготавливается из трубок, через которые пропускается жидкий водород для охлаждения. Также с целью подавления скин-эффекта используют систему из нескольких переплетённых и изолированных проводов - литцендрат. Все указанные методы борьбы со скин-эффектом малоэффективны для сверхвысокочастотного оборудования. В этом случае применяют колебательные контура особой формы: объёмные резонаторы и специфические линии передач.

Литература

1. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / Никольский В.В. - М.: Наука, 1973. - 607с.

2. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны / Вайнштейн Л.А. - М., 1957.

3. Бройль Л. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах, пер. с франц. / Бройль Л. - М., 1948.

4. Баскаков С.И. Основы электродинамики / Баскаков С.И. - М.: Сов. радио, 1973. - 248с.

Размещено на Allbest.ru