Характеристика и методы анализа одноканальных систем массового обслуживания

Размещено на http://allbest.ru

Характеристика и методы анализа одноканальных систем массового обслуживания

Введение

обслуживание массовый очередь

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

Основной задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, в теории СМО возникают задачи оптимизации: каким образом достичь определенного уровня обслуживания (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.

1. Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью м.

Работу одноканальной СМО n=1 можно представить в виде размеченного графа состояний (3.1).

Переходы СМО из одного состояния S₀ в другое S₁ происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью л, а обратный переход - под действием потока обслуживания с интенсивностью м.

;

S₀ - канал обслуживания свободен; S₁ - канал занят обслуживанием;

Рис. 3.1 Размеченный граф состояний одноканальной СМО

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:

Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности р₀(t) состояния S₀:

Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент t=0 находилась в состоянии S₀, тогда р₀(0)=1, р₁(0)=0.

В этом случае решение дифференциального уровнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

Тогда нетрудно получить выражение для вероятности определения вероятности занятости канала:

Вероятность р₀(t) уменьшается с течением времени и в пределе при t>? стремится к величине

а вероятность р₁(t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t>? к величине



Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии

Функции р₀(t) и р₁(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени характерной для рассматриваемой системы.

С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равно 3ф.

Вероятность р₀(t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.

Действительно, р₀(t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем л заявок и из них обслуживается лр₀ заявок.

Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной

В пределе при t>? практически уже при t>3ф значение относительной пропускной способности будет равно



Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t>?, равна:

Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:

а общее число не обслуженных заявок равно

Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

2. Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

В коммерческой деятельности чаще встречаются СМО с ожиданием (очередью).

Рассмотрим простую одноканальную СМО с ограниченной очередью, в которой число мест в очереди т - фиксированная величина. Следовательно, заявка, поступившая в тот момент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, не встает в очередь и .покидает систему.

Граф этой СМО представлен на рис. 3.4 и совпадает с графом рис. 2.1 описывающим процесс «рождения--гибели», с тем отличием, что при наличии только одного канала.

Рис. 3.4. Размеченный граф процесса «рождения - гибели» обслуживания все интенсивности потоков обслуживания равны

Состояния СМО можно представить следующим образом:

S₀ - канал обслуживания свободен,

S, - канал обслуживания занят, но очереди нет,

S₂- канал обслуживания занят, в очереди стоит одна заявка,

S₃- канал обслуживания занят, в очереди стоят две заявки,

S_m+1 - канал обслуживания занят, в очереди все т мест заняты, любая следующая заявка получает отказ.

Для описания случайного процесса СМО можно воспользоваться изложенными ранее правилами и формулами. Напишем выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

p₁ = с * с_о

p₂=с^{2 *} с₀

p_k=с^k * с₀

P_m+1 = p^m=1 * с₀

p₀=[1+с+с²+с³+...+с^m+1]^-1

Выражение для р₀ можно в аанном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит геометрическая прогрессия относительно р, тогда после соответствующих преобразований получаем:

с= (1- с )

(1- с^m+2)

Эта формула справедлива для всех р, отличных от 1, если же р = 1, то р₀ = 1/(т + 2), а все остальные вероятности также равны 1/(т + 2). Если предположить т = 0, то мы переходим от рассмотрения одноканальной СМО с ожиданием к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами в обслуживании. Действительно, выражение для предельной вероятности р₀ в случае т = 0 имеет вид:

p_о ⁼ м / (л+м)

И в случае л ⁼ м имеет величину р₀ = 1 / 2.

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Заявка получает отказ, если она поступает в момент времени, когда СМО уже находится в состоянии S_m+1 и, следовательно, все места в очереди да заняты и один канал обслуживает Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появлением

Состояния S_m+1:

P_отк = p_m+1 = с^m+1 * p₀

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением

Q = 1- p_отк = 1- с^m+1 * p₀

абсолютная пропускная способность равна:

A = Q * л

Среднее число заявок L_оч стоящих в очереди на обслуживание, определяется математическим ожиданием случайной величины к - числа заявок, стоящих в очереди

L_оч-= M(k).

случайная величина к принимает следующие только целочисленные значения:

1 - в очереди стоит одна заявка,

2 - в очереди две заявки,

т-в очереди все места заняты

Вероятности этих значений определяются соответствующими вероятностями состояний, начиная с состояния S₂. Закон распределения дискретной случайной величины к изображается следующим образом:

k	1	2		m
pi	p2	p3		pm+1

Математическое ожидание этой случайной величины равно:

L_оч = 1* p₂ +2* p₃ +...+ m* p_m+1

В общем случае при p ?1 эту сумму можно преобразовать, пользуясь моделями геометрической прогрессии, к более удобному виду:

L_оч = p² * 1- p^m * (m-m*p+1) _* p₀

( 1- p )²

В частном случае при р = 1, когда все вероятности p_k оказываются равными, можно воспользоваться выражением для суммы членов числового ряда

1+2+3+ m = m(m+1)

Тогда получим формулу

L'_оч = m(m+1) _* p₀ = m(m+1) (p=1).

2 2(m+1)

Применяя аналогичные рассуждения и преобразования, можно показать, что среднее время ожидания обслуживания за явки а очереди определяется формулами Литтла

Т_оч = L_оч/А (при р ? 1) и Т¹_оч = L'_оч /А(при р = 1).

Такой результат, когда оказывается, что Т_оч ~ 1/ л, может показаться странным: с увеличением интенсивности потока заявок как будто бы должна возрастать длина очереди и уменьшается среднее время ожидания. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, величина L_оч является функцией от л и м и, во-вторых, рассматриваемая СМО имеет ограниченную длину очереди не более m заявок.

Заявка, поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и, следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно нулю. Это приводит в общем случае (при р ? 1) к уменьшению Т_оч ростом л, поскольку доля таких заявок с ростом л увеличивается.

Если отказаться от ограничения на длину очереди, т.е. устремить m --> >?, то случаи р < 1 и р ?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

р₀=1-р

р₁ =р*(1-р)

p₂=p²(1-p)

p_k=р^k *(1 - р)

При достаточно большом к вероятность p_k стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q = 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А --л Q -- л следовательно, обслуживаются все поступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной:

L_оч = p² 1-p

а среднее время ожидания по формуле Литтла

Т_оч = L_оч/А

В пределе р << 1 получаем Т_оч = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t > ?). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q = 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем с и м, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

В качестве одной из характеристик СМО используют среднее время Т_смо пребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди и среднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: если длина очереди ограничена -- среднее число заявок, находящихся в очереди, равно:

L_смо= m+1 ;2

Т_смо= Lсмо; при p ?1

A тогда среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием) равно:

Т_смо= m+1 при p ?1 2м

3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л и интенсивностью обслуживания µ.

Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных состояний ее бесконечно:

- канал свободен, очереди нет, ;

- канал занят обслуживанием, очереди нет, ;

- канал занят, одна заявка в очереди, ;

- канал занят , заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m>?:

Рис. 3.5 Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью.

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при , что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому , следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность

.

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

;

Среднее число заявок в очереди -

;

Среднее число заявок в системе -

;

Среднее время пребывания заявки в системе -

;

Среднее время пребывания заявки с системе -

.

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при .

Выводы

В этом реферате раскрыты понятия систем массового обслуживания.

Также описаны типичные элементы, из которых состоят системы массового обслуживания (входящий поток, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток).

Необходимо сказать о важности изучения систем массового обслуживания, так как жизненные ситуации, связанные с ними сопровождают нас повсюду.

Используемая литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. -М.: Советское радио, 1972. -552 с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Пер. с англ./Пер. И.И. Грушко; ред. В. И. Нейман. -М.: Машиностроение, 1979. -432 с.

3. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. Учеб-ное пособие для ВУЗов. -М: Высшая школа. 1982. -256 с.

4. Лукин А.И. Системы массового обслуживания. -М.: МО СССР. 1980 -189 с.

5. Новиков О.А., Петухов С.И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. - М: Сов. радио. 1969 -399 с.

6. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. - М: Сов. радио. 1971 -520с.

Размещено на Allbest.ru

...