Во многих областях науки и техники перед исследователем возникает задача, как на основе денных, полученных на конечном интервале времени или пространства (в непрерывной или дискретной форме), сформировать максимально достоверное представление об исходном образе, с которыми связаны эти данные, т.е. о его основных характеристиках.

Поскольку «спектр» (от лат. spectrum) по определению означает «образ», то оценка спектра по данным конечной протяженности также принадлежит к числу указанных задач. История науки и ее много численные приложения дают нам много примеров использования оценки спектра, в том числе, например, для формирования представлений о строении вещества.

Качество и достоверность оценки спектра оказывают решающее влияние на формирование наших представлений об исходном образе.

Бурное развитие цифровой вычислительной техники значительно расширило сферы приложения спектральных методов к обработке информации, сформировав направление цифрового спектрального анализа, который в свою очередь оказывает стимулирующее влияние на дальнейший прогресс вычислительных методов и средств их реализации.

Спектральное оценивание вот уже в течение нескольких десятилетий относятся к числу традиционных областей исследования статистиков. Появление же два десятилетия назад цифровых алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) значительно расширило роль спектрального оценивания и превратило его из средства узкоспециализированных научных исследований в средство решения многих практических задач. Следствием этого является тот всевозрастающий интерес, который проявляется специалистами по цифровой обработке сигналов к результатам исследований и приложениям методов спектрального оценивания.

Спектральный анализ - это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Методы статистики играют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой или случайный характер. Если бы основные статистические характеристики сигнала были известны точно или же можно было бы без ошибки определить на конечном интервале этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой область точной науки.

Высветить перспективу развития спектрального анализа можно, обратившись к его историческим корням. Дальнейшее представление о путях его становления можно получить, рассматривая некоторые конкретные вопросы спектрального оценивания [11].

1.1 Историческая перспектива

С древних времен у людей возникло представление о циклических, или повторяющихся, процессах, т.е. иными словами, сформировались те фундаментальные понятия, которые лежат в основе современных методов спектрального оценивания. Без выполнения точного математического анализа древние цивилизации не смогли бы составлять календари и измерять время по результатам своих наблюдений периодичностей в длительности суток и года, сезонных изменений, фаз Луны и движения других небесных тел, таких как планеты. В VI веке до нашей эры Пифагор установил соотношение между периодичностью чисто синусоидальных колебаний, соответствующих музыкальным звукам, порождаемым струной постоянного натяжения, и числом, характеризующим длину этой струны. Пифагор считал, что сущность гармоник выражается в числах. Он распространил это эмпирическое соотношение на описание гармонического движения тел, описав его как «музыку сфер».

Математические основы современных методов спектрального оценивания берут свое начало в XVII веке в работах Исаака Ньютона. Именно он был первым, кто применил в 1671 г. слово спектр в качестве научного термина, для описания полосы цветов солнечного света. В своих «Принципах» Ньютон дал первую математическую трактовку периодичности волнового движения, которое экспериментально наблюдал Пифагор.

Решение волнового уравнения для колеблющейся музыкальной струны было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли. Это общее решение имеет вид

(2.1)

где с - физическая количественная характеристика материала струны определяющая скорость бегущих по струне волн. В 1755 г. Леонард Эйлер показал что коэффициенты А_n и В_n ряда, определяемого выражением (2.1) и впоследствии названного рядом Фурье, являются решениями следующих уравнений [11]:

(2.2)

Жозеф Фурье (Jean - Baptiste - Joseph Fourier, 1768 - 1830 г.) - французский математик, отец его был по ремеслу портной. Осиротев весьма рано, Фурье восьми лет отроду получил приют в доме Палле, органиста и учителя музыки при соборе в Оксерре, и у него в пансионе получил первоначальное образование. Здесь он проявил необыкновенные способности, живость и энергию и в особенности пристрастился к изучению математики. В 1789 г. он прибыл в Париж для чтения перед академией своего мемуара о решении численных уравнений. В 1807 г. напечатал свой первый мемуар по теории теплопроводности. Второй мемуар, напечатанный в 1811 г., заключающий теорию распределения тепла в твердых телах, был увенчан большой премией, установленной парижской академией за работы по математическим наукам. В 1808 г. Фурье получил баронское достоинство, в 1817 г. был сделан академиком, а вскоре непременным секретарем академии. Скончался он в 1830 г., через 10 лет ему был воздвигнут монумент в Оксерре. [8]

О Фурье мы, прежде всего, вспоминаем как об авторе «Аналитической теории теплоты» (Theorie analytique de la chaleur, 1822). В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики, относящейся к интегрированию уравнений в частных производных при заданных граничных условиях. Методом Фурье было применение тригонометрических рядов, что уже было предметом дискуссии между Эйлером, Даламбером и Даниилом Бернулли. Фурье полностью разъяснил положение вещей. Он установил, что «произвольную» функцию u(x) (функцию, которую можно изобразить дугой непрерывной кривой или сочетанием таких дуг) можно представить тригонометрическим рядом вида [10]:

(2.3)

Раздел математики, устанавливающий соотношение между функцией u(x) (или ее отсчетами) и коэффициентами А_n и В_n стали называть гармоническим анализом вследствие связи функции с синусными и косинусными членами этой суммы [11].

Несмотря на то, что было указано Эйлером и Бернулли, эта идея была настолько нова и ошеломляюща во времени Фурье, что, согласно преданию, когда он впервые в 1807 г. высказал свои соображения, он встретил энергичную оппозицию со стороны не кого иного, как Лагранжа. Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач. Они и сами по себе привлекают внимание благодаря присущим им свойствам. Исследование этих рядов, проведенное Фурье, отчетливо поставило вопрос о том, что следует понимать под Функцией. Это было одной причин того, что математики девятнадцатого столетия сочли необходимым более тщательно рассмотреть вопросы о строгости математических доказательств и об общих основных математических понятиях [9]. Попытка Фурье доказать возможность разложения в тригонометрический ряд любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных представлению функции тригонометрическими рядами. (П. Дирихле, Н. И. Лобачевский, Б. Риман и др.) [10].

1.2 Классификация радиотехнических сигналов

Термин “сигнал” часто встречается не только в научно-технических вопросах, но и в повседневной жизни. Иногда, не задумываясь о строгости терминологии, мы отождествляем такие понятия, как сигнал, сообщение, информация. Обычно это не приводит к недоразумениям, поскольку “сигнал” происходит от латинского термина “signum” - ”знак”, имеющий широкий смысловой диапазон. Сигналы представляют собой физические средства, передающие сообщения. Поскольку электрические сигналы наиболее удобны, их передача используется во многих сферах деятельности человека [12].

Тем не менее, приступая к систематическому изучению теоретической радиоэлектроники, следует по возможности уточнить содержательный смысл понятия “сигнал”. В соответствии с принятой традицией сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, который служит для отображения, регистрации и передачи сообщений.

Круг вопросов, базирующихся на понятиях “сообщение”, ”информация”, весьма широк. Он является объектом пристального внимания инженеров, математиков, лингвистов, философов.

Приступая к изучению каких-либо объектов или явлений, в науке всегда стремятся провести их предварительную классификацию.

Сигналы можно описать посредством математических моделей. Для того чтобы сделать сигналы объектом теоретического изучения и расчетов, следует указать способ их математического описания, т.е. создать математическую модель исследуемого сигнала. Математической моделью сигнала может быть, например, функциональная зависимость, аргументом которой является время.

Создание модели (в данном случае физического сигнала) - первый существенный шаг на пути систематического изучения свойства явления. Прежде всего, математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электромагнитного поля и т.д.

Существенная сторона абстрактного метода, базирующегося на понятии математической модели, заключена в том, что мы получаем возможность описывать именно те свойства сигналов, которые объективно выступают как определяюще важные. При этом игнорируется большое число второстепенных признаков. Например, в подавляющем большинстве случаев крайне затруднительно подобрать точные функциональные зависимости, которые соответствовали бы электрическим колебаниям, наблюдаемым экспериментально. Поэтому исследователь, руководствуясь всей совокупностью доступных ему сведений, выбирает из наличного арсенала математических моделей сигналов те, которые в конкретной ситуации наилучшим и самым простым образом описывают физический процесс. Итак, выбор модели - процесс в значительной степени творческий.

Зная математические модели сигналов, можно сравнивать эти сигналы между собой, устанавливать их тождество и различие, проводить классификацию.

С информационной точки зрения, детерминированные сигналы не содержат информации, но зато могут служить удобными моделями для изучения временных и спектральных свойств сигналов.

Реальные сигналы, содержащие информацию, выступают как случайные. Но математические модели таких сигналов чрезвычайно сложны и неудобны для изучения временных спектральных свойств сигналов.

Детерминированные сигналы делят на управляющие (низкочастотные) и радиосигналы (высокочастотные колебания). Управляющие сигналы появляются в месте возникновения информации (сигналы различных датчиков) и могут быть разделены на периодические и непериодические. Настоящая работа посвящена моделированию временных и спектральных свойств периодических сигналов.

При анализе периодических сигналов широкое распространение получило представление их по системам ортогональных функций, например, Уолша, Чебышева, Лаггера, синуса и косинуса и других.

Наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций - синусов и косинусов кратных аргументов. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяется лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и по косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и по некоторым другим причинам, гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники.

Если такой сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала представляют его спектр. Спектральная диаграмма периодического сигнала - это графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы, т.е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, которые полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала [2].

1.3 Спектральный синтез и анализ периодического сигнала

Спектральный анализ заключается в том, что любое периодическое колебание сложной формы заменяется суммой конечного или бесконечного числа синусоидальных колебаний с соответствующими амплитудами, частотами и фазами.

По определению, периодический сигнал тот, мгновенные значения которого повторяются через интервалы времени Т, называемые периодом, на всей бесконечной оси времени:

s(t) = s (t nT), n = 0,1,2,3, ...

Простейшим периодическим сигналом является гармонический:

s(t) =А cos (t + ), (2.4)

параметрами которого являются амплитуда А, круговая частота и начальная фаза .

Частотное или спектральное представление гармонического сигнала (спектр) содержит единственную составляющую (линию) величиной А на частоте .

Сложный периодический сигнал, описываемый гладкой или кусочно-непрерывной функцией с конечным числом разрывов первого рода и абсолютно интегрируемый на периоде Т, т.е.

, (2.5)

может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье по системе ортогональных функций синуса и косинуса кратных аргументов:

s(t) =+а₁ cos₁ t + b₁sin₁ t + а₂ cos2₁ t + b₂sin2₁t + …+

+ а_n cosn₁ t + b_nsin n₁ t = +=

= +, (2.6)

где - постоянная составляющая сигнала;

- амплитуды косинусных составляющих;

- амплитуды синусных составляющих;

- амплитуда n-ной гармоники;

- начальная фаза n-ной гармоники.

Часто используется комплексная форма записи ряда Фурье

, (2.7)

где - комплексная амплитуда n-ной гармоники;

причем

, (2.8)

Графическое представление амплитуд А_n и фаз _n в выбранном масштабе вдоль частотной оси принято называть соответственно спектрами амплитуд и фаз периодического сигнала.

Спектры амплитуд и фаз имеют дискретный (линейчатый) характер, каждая спектральная составляющая отделена от другой частотным интервалом ₁. Общий вид спектров амплитуд и фаз периодического сигнала приведен на рисунке 2.1, а, б соответственно. Количество спектральных составляющих теоретически бесконечно, однако с ростом номера гармоники их амплитуды убывают не медленнее, чем по закону 1/n, где n - номер гармоники [4].

 А_n

0 ₁ 2₁ 3₁ 4₁ 5₁ n₁

a

_n

0 ₁ 3₁ 5₁ n₁

б

Рисунок 2.1 - Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала

Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейчатых цепей на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с заданными амплитудами фазами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения формы обычно необходимо суммировать большое число гармоник [1].

Рассмотрим несколько примеров спектрального анализа периодических колебаний, часто используемых в различных устройствах.

1.3.1 Пример прямоугольного колебания

Подобное колебание, часто называемое меандром, находит особенно широкое применение в измерительной технике.

В соответствии с рисунком 2.2 при таком выборе отсчета времени функция является нечетной.

Рисунок 2.2 - Периодическое колебание прямоугольной формы

Запишем ряд Фурье:

, (2.9)

На рисунке 2.3 изображены суммы 1, 3, и 5-ой гармоник. С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функции е(t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс [2]. В разрабатываемой АОС число гармоник ограничено пятью.

Рисунок 2.3 - Суммирование (а),б 1,3 и 5-й гармоник колебания,

показанного на рисунке 2.1.2

1.3.2 Пример периодического колебания треугольной формы

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

, (2.9)

На рисунке 2.4 изображено периодическое колебание треугольной формы.

Рисунок 2.4 - Периодическое колебание треугольной формы

На рисунке 2.5 изображены нечетные гармоники и их сумма.

Рисунок 2.5 - Сумма первых пяти гармоник треугольного сигнала

1.3.3 Пример периодического колебания пилообразной формы

С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье содержит для нее только синусоидальные члены. Выражение ряда для этого сигнала:

, (2.10)

е

Е

-T -T/2 0 T/2 T t

Рисунок 2.6 - Колебание пилообразной формы

Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону 1/n, где n=1,2,3... На рисунке 2.7 показан график суммы первых пяти гармоник.

Рисунок 2.7 - Сумма первых пяти гармоник пилообразного колебания

1.4 Обоснование необходимости создания программного продукта

Вычисление коэффициентов ряда Фурье с помощью прямых расчетов или графических методов - трудоемкое дело. Поэтому неоценимую помощь обучаемому и преподавателю могла бы оказать автоматизированная обучающая система, которая позволяет быстро и наглядно производить синтез и анализ по Фурье.

2 . Постановка задачи

2.1 Цель работы

2.2 Функции автоматизированной системы