От теории электрических цепей к общей теории систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова"

Научно-исследовательская работа

По дисциплине: «Теория автоматов»

На тему: «От теории электрических цепей к общей теории систем»

Подготовили студенты группы ДКБ-143б

Лахтюхов Антон и Кулеш Михаил

Руководитель: Бабаш Александр Владимирович

Москва 2015



Резюме

Последние два десятилетия мы стали свидетелями глубоких изменений в составе, функциях и уровне сложности электрических, а также электронных систем, которые работают в области технологий связи. В результате классическая теория RLC-сети, которая была оплотом электротехники, в то время, когда сети RLC были хлебом и маслом инженера-электрика, была и все более и более ей достается статус специализированного раздела среди многих основных дисциплин - теории систем - которая касается систем всех типов независимо от их физической сущности и своего предназначения.

Эта работа представляет краткий обзор развития системной теории, вместе с вставкой некоторых ее главных понятий, методов и проблем. На понятии состояния сосредоточено обсуждение, подчеркивающее роль, которую играют методы пространства состояний. Статья завершается кратким сообщением о некоторых ключевых проблемах системной теории.



Содержание

Резюме

Вступление

1. Методы состояний и пространственные состояния

2. Состояние и система эквивалентности

3. Понятие политики

4. Характеризация, классификация и идентификация систем в верхней части списка главных проблем теории систем

Выводы

Рецензия

Список литературы



Вступление

«От теории электрических цепей к общей теории систем». Л. А. Заде

Прошлые два десятилетия засвидетельствовали развитие классической теории цепей в области науки, чья область применения далеко превышает анализ и синтез RLC-сетей. Изобретение транзистора сопровождаются развитием множества других полупроводниковых приборов, тенденций к микроминиатюризации и интегрировании электроники, проблем, проистекающих из анализа и проектирования крупномасштабных коммуникационных сетей, все более и более важную роль играют изменяющиеся во времени, нелинейные и вероятностные схемы, развитие теорий нейроэлектронных сетей, автоматов и конечных автоматов, прогресс нашего понимания процессов изучения и адаптации, появление информационной теории, теории игр и динамического программирования, и формулировка максимального принципа Понтрягина, все объединилось, чтобы понизить классическую теорию схем к статусу специализированного раздела намного более широкой научной дисциплины-теория систем-которая, как следует из названия, занимается всеми видами систем, а не только электрическими сетями.

Что такое общая теория систем? Каковы её основные проблемы и направления? Каково её отношение к таким относительно устоявшихся областям, как теория электронных схем, теория управления, теория информации, исследование операций и системотехника? Эти некоторые вопросы, которые обсуждались в данной статье, не утверждают, что представленные ответы на них окончательны. Технологический и научный прогресс настолько стремителен, что в эти дни едва ли у любого утверждения, относительно границ, содержания и направления такой новой области как системная теория, может быть долгосрочная действительность.

Очевидный вывод, что теория систем имеет дело с системами, не пролившие много света на нее, так как все отрасли науки связаны с системами того или иного рода. Отличительной характеристикой теории систем является её обобщенность и абстрактность, своя обеспокоенность с математическими свойствами систем, а не их физической формой. Таким образом, для системного теоретика не имеет значения является ли система электрической, механической или химической природы. Какие вопросы являются математическими отношениями между переменными, с точки зрения которых описано поведение системы.

Чтобы лучше понять этот пункт, мы должны исследовать более внимательно понятие системы. Согласно словарю Вебстера, система "... скопление или собрание объектов, объединенных некоторой формой взаимодействия или взаимозависимости". В этом смысле набор частиц, оказывающих притяжение друг на друга представляет собой систему; группу людей, образующих общество или организацию; комплекс взаимосвязанных отраслей промышленности; электрическую сеть; крупномасштабный цифровой компьютер, который представляет собой самую передовую и современную систему, разработанную человеком; и это практически любой мыслимый набор взаимосвязанных сущностей любой природы. Действительно, есть немного понятий в области человеческих знаний, которые так же широки и всепроникающие, как система.

Давно известно, что системы в самых различных физических формах могут регулироваться одинаковыми дифференциальными уравнениями. Например, электрическая сеть может быть охарактеризована теми же уравнениями, как и механическая система, в этом случае оба являются аналогами друг друга. Это, конечно, является принципом аналогового вычисления.

Хотя аналогии между некоторыми типами систем использовались довольно широко в прошлом, одни те же абстрактные "системы" понятий, действующих во многих несвязанных областях науки в различных ипостасях между собой, признались сравнительно недавно. Это было осуществлено, в основном, в течение прошлых двух десятилетий большим прогрессом нашего понимания поведения как неодушевленные и одушевленные системы, в результате которого, с одной стороны, пошел прогресс значительного расширения научной и технологической деятельности, направленной на создание сложных высоконагруженных систем для таких целей как автоматическое управление, распознавание образов, обработка данных, связи и вычислений машины, и, с другой стороны, прогресс по попыткам количественных анализов крайне сложных живых и человеко-машинных систем, которые встречаются в биологии, нейрофизиологии, эконометрики, исследовании операций и других областях.

Именно таким конвергентным событиям, которые привели к концепции теории систем, научная дисциплина посвящена изучению общих свойств систем, независимо от их физической природы. Она является его абстрактностью, чему теория систем обязана своей широкой применимостью, которую мы прогрессируем от частного к общему, от простых коллекций данных до общих теорий.

Если бы Вас попросили назвать единственного человека, который отвечает за разработку концепции теории систем, то ответом, несомненно, был бы "Норберт Винер", даже при том, что Винер не интересовался теорией систем как таковой, и при этом он не использовал термин "системная теория", используемом в этой статье. Именно Винер, начиная с двадцатых и тридцатых годов, ввел ряд понятий, идей и теорий, которые в совокупности составляют ядро современной теории систем. Среди них, в частности, его представление нелинейных систем с точки зрения ряда Лагерра, полиномы и функции Эрмита, его теорию прогнозирования и фильтрации, его обобщенный гармонический анализ, критерий Пэли-Винера, и Винеровский процесс. Никто иной, как Винер, в конце сороковых годов, положил начало кибернетике - науке о связи и управлении в животном и машине, - у которого системная теория - часть, имеющая дело определенно с системами и их свойствами. Следует отметить, однако, что некоторые из наиболее важных последних разработок в теории систем больше не имеют отпечаток Винера. Это особенно верно для теории систем дискретного состояния, методов пространства состояний для непрерывных систем и теории оптимального управления, которое связано, главным образом, с именами Беллмана и Понтрягина. Мы коснемся этих событий в дальнейшем в статье.

Среди ученых, имеющих дело с живыми системами, был биолог Людвиг фон Берталанфи - который воспринимал сущностное единство системы понятий и методов в различных областях науки, и кто в трудах и лекциях стремился добиться признания "общей теории систем" как отдельной научной дисциплины. Уместно отметить, однако, что работа Берталанфи и его школы, будучи мотивированными в основном на проблемы, возникающие при исследовании биологических систем - гораздо больше эмпирических и качественных, чем работа тех системных теоретиков, которые получили свою подготовку в области точных наук. Фактически, есть довольно широкий промежуток между тем, что могло бы быть расценено в настоящее время как "живые" системные теоретики и "неодушевленные" системные теоретики, и нисколько не бесспорно, что этот промежуток будет намного сужен в ближайшем будущем. Некоторым людям кажется, что этот разрыв отражает фундаментальную неадекватность обычной математики от математики точно определенных точек, функций, множеств вероятностных мер и др. для совладания с аналитикой биологический систем, и, чтобы иметь дело с такими эффективными системами, которые, как правило, на несколько порядков сложнее, чем искусственные системы, нам нужна принципиально другая математика, математика нечетких или облачно количествах, не поддающееся описанию в терминах распределения вероятности. Действительно, потребность в такой математике становится все более и более очевидной даже в сфере неодушевленных систем, поскольку в большинстве практических случаев априорные данные, а также критерии, по которым оценено исполнение искусственной системы, далеки от того, чтобы быть точно уверенным или точно знающим вероятностные распределения.

Теория систем пока еще не является хорошо кристаллизуемым телом концепций и методов, которые отличают его резко от других устоявшихся областей науки. Действительно, существует значительное совпадение и взаимосвязь между теорией систем и теорией схем, теории информации, теории управления, теории сигналов, исследования операций и системного проектирования. Однако, теория систем имеет ярко выраженную индивидуальность, свою собственную, которая, возможно, может более четко определить путем перечисления его основных проблем и сфер. Такой список, представленный ниже, не утверждает, что это окончательные, полные и непротиворечивые предложения. (Во избежание недоразумений, краткие объяснения смысла различных условий приведены в скобках).

Основные проблемы системной теории:

1) Системная характеристика (представление отношений ввода - вывода в математической форме; переход от одного способа представления в другой).

2) Системная классификация (определение, на основе наблюдений входных и выходных сигналов, среди указанного класса систем, к которым относится тестируемая система).

3) Системная идентификация (определение, на основе наблюдения за входом и выходом, за системой в пределах указанного класса систем, которым система при тесте эквивалентна; определение начального или конечного состояния тестируемой системы).

4) Представления сигналов (математическое представление сигнала в виде комбинации элементарных сигналов; математическое описание сигналов).

5) Классификация сигналов (определение одного из указанных классов сигналов или структуры, к которой наблюдаемый сигнал принадлежит).

6) Системный анализ (определение взаимосвязей ввода-вывода системы из знаний межотраслевых связей каждого из его компонентов).

7) Системный синтез (спецификация системы, которая предписала отношения ввода - вывода).

8) Системный контроль и программирование (определение входа к данной системе, которая приводит к указанной или оптимальной работе).

9) Системная оптимизация (определение системы в пределах предписанного класса систем, который является лучшим с точки зрения указанного исполнительного критерия).

10) Обучение и адаптация (проблема проектирования систем, которые способны адаптироваться к изменениям в среде и учиться на опыте).

11) Надежность (проблема синтезирования надежных систем из менее надежных компонентов).

12) Стабильность и управляемость (определение того, является ли данная система стабильной или нестабильной, управляема-при условии соблюдения указанного ограничения-или не управляема).

Основные типы систем:

1) Линейные, нелинейные.

2) Изменяющиеся во времени, зависящие от времени.

3) С дискретным временем (выборка данных), с непрерывным временем.

4) Конечное состояние, дискретное состояние, непрерывное состояние.

5) Детерминированные (неслучайные), вероятностные (стохастические).

6) Дифференциальные (характеризуемый интегро-дифференциальными уравнениями), недифференциальные.

7) Мелкомасштабные, крупномасштабные (большое количество компонентов).

Некоторые известные области, которые могут быть расценены как разделы системной теории:

1) Теория цепей (линейная и нелинейная).

2) Теории управления.

3) Теории сигналов.

4) Теория конечных машин и автоматов.

Комментарий 1: Обратите внимание, что приближения не указаны как отдельная проблема, как это обычно рассматривается в классической теории цепей. Скорее, она рассматривается как нечто, что пронизывает все остальные проблемы.

Комментарий 2: Обратим внимание на то, что теория информаций и теория коммуникаций не могут рассматриваться как ветви теории систем. Теория систем позволяет широко использовать понятия и результаты теории информации, но это не означает, что информационная теория - раздел системной теории, или наоборот. Это же замечание касается и таких теорий, как теория принятия решений (в статистике), динамическое программирование, теория надежности и др.

Комментарий 3: Обратите внимание, что нет никакого упоминания в списке инженерных систем и операционных исследований. Мы расцениваем эти области именно как деятельность и управление крупномасштабных человеко-машинных систем, тогда как теория систем на абстрактном уровне имеет дело с общими свойствами систем, независимо от их физической формы или области применения. В этом смысле теория систем является одним из важных исходных понятий и математических методов в системотехнике и операционных исследованиях, но никак не является частью этих областей, равно как и не имеет собственные подразделения.

Было бы бесполезно попытаться сказать что-то (по необходимости кратко и поверхностно) о каждом пункте в вышеупомянутом списке. Вместо этого мы сосредоточим наше внимание всего на нескольких понятиях и проблемах, которые играют особенно важные роли в системной теории и, в некотором смысле, составляют ее отличную идентичность. В основном из-за ограничений пространства, мы не будем даже касаться ряда важных вопросов, таких как процесс разработки учебных и адаптивных систем, анализ крупномасштабных и вероятностных систем, понятие обратной связи и сигнальный граф потока техники и др. В действительности остальная часть статьи посвящена обсуждению понятия методов состояний и пространства состояний, а также краткого изложения характеристик, классификации и идентификации систем. Особое внимание мы уделили понятию “состояние”, так как вряд ли можно получить какую-либо информацию, касающуюся теории систем, не имея ясного понимания понятия состояния и некоторых ее главных значений.

система электрический цепь эквивалентность



1. Методы состояний и пространственные состояния

Это выходит за рамки данной презентации, но это необходимо, чтобы проследить долгую историю эволюции концепции состояний в физических науках. В наших целях это будет достаточно, чтобы заметить, что понятие состояния, по существу, в той же самой форме используется сегодня, как когда-то использовалось Тьюрингом в его классической статье, "О вычислимых числах, с приложением к решению проблем," в которой он ввел то, что известно сегодня как машина Тьюринга.

Грубо говоря, машина Тьюринга является дискретным временем (t= 0, 1, 2, …) - система с конечным числом состояний или внутренних конфигураций, которые поддаются на вход, имеющие форму последовательности символов (обращается от конечного алфавита) напечатанных на ленте, которая может перемещаться в обоих направлениях вдоль ее длины. На выходе машины в момент времени t инструкция для печати конкретного символа в квадрате, отсканированном на машине в момент времени t, движется в одном или другом направлении на одну клетку. Ключевой особенностью машины является то, что на выходе в момент времени t и состояние в момент времени t+1 определяется состоянием входного сигнала в момент времени t. Таким образом, если состояния, вход и выход которых в момент времени t обозначаются , и , соответственно, то работа машины характеризуется:

, , (1)

(2)

где f и g - функции, определенные парами значений и . Обратите внимание, что из (1) и (2) следует, что выходные и входные символы из любого начального времени t0 не определяются состоянием времени t от начального времени t0.

Важный момент о таком представлении, которое не было указано Тьюрингом, является то, что это применимо не только к машине Тьюринга, но в целом, для любой дискретной системы. Кроме того, в настоящее время мы будем видеть, что это - простой вопрос, чтобы продлить (1) и (2) для систем, имеющих континуум состояний (т. е. непрерывные состояния систем).

Характеристика системы с помощью уравнений вида (1) и (2) (на которые мы будем ссылаться как представление Тьюринговой или, альтернативной, в качестве уравнения состояния системы) впоследствии использовалась Шенноном в его эпоху создания статьи о математической теории коммуникации. В частности, Шеннон использовал формулы (1) и (2), чтобы охарактеризовать конечное состояние шумных каналов, которые являются вероятностными системами в том смысле, что и определяют не и , а совместное распределение их вероятностей. Это означает, что система характеризуется (1) и (2), с f и g будучи случайными функциями, или, что эквивалентно, по условию функции распределения: , где для простоты обозначений одна и та же буква используется для обозначения как случайной переменной, так и конкретного значения случайной величины (например, вместо того, чтобы писать для случайной величины и его значение , мы используем тот же символ , для обозначений обоих переменных).

В первую очередь Шеннон использовал Тьюринговое представление, что вызвало широкое применение в области анализа и синтеза дискретных систем. Стоит отметить в этой связи важную работу фон Неймана по вероятностной логике, которая продемонстрировала, что можно построить системы произвольно высокой степени надежности от вероятностных компонентов. Также достойная упоминания, не слишком известная работа Синглтона по теории нелинейных преобразователей, в которых развиты методы для оптимизации исполнения системы с квантованием пространства состояний. Следует отметить, что проблема аппроксимации к системе, имеющей континуум состояний с системой, имеющей конечное или счетное число состояний является основным, как следствие нерешенной проблемы в теории систем. Несколько статей Каплана, которые затрагивают данную проблему, содержат значительные результаты для особого случая дифференциальной системы, подвергнутой нулевому входу. Качественное обсуждение проблемы, связанной с электронным приближением может быть найдено в работе Стебакова.

Существует два важных понятия, которые отсутствуют или играют незначительную роль в работах, процитированных выше. Это понятия эквивалентных состояний и эквивалентных автоматов были введены Муром и, в несколько ограниченном виде, Хаффманом. Теория, развитая Муром, составляет вклад основной важности для теории систем дискретного состояния и, более подробно, задач идентификации. До сих пор наше обсуждение понятия состояния было приведено в контексте дискретных систем. В случае дифференциальной системы уравнений состояния (1) и (2) принимают вид:

(3)

(4)

где , и являются векторами, представляющие состояние на входе и на выходе системы в момент времени t. Под тем или иным предлогом, например, уравнения, [особенно для случая, где ] уже давно используются в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитической динамики, астрономической механики, квантовой механики, эконометрики и других областях. Их широкое применение в области автоматического управления было начато в основном в конце сороковых и в начале пятидесятых годах советскими теоретиками управления, в частности А.И. Лурье, М.А. Айзерман, Я.З. Ципкин, А.А. Фельдбаум, А.Я. Лернер, А.М. Летов, Н.Н. Красовский, И.Г. Малкин, Л.С. Портнягин, и многие другие. В Соединенных Штатах, введение понятия состояния и связанных с ними методов в теории оптимизации линейных, а также нелинейных систем связано, прежде всего, с именем Беллмана, чье изобретение динамического программирования внесло, безусловно, самый мощный вклад начиная с начала вариационного исчисления и до решения целой гаммы проблем максимизации и минимизации. Эффективное использование и важный вклад в методы пространства состояний в области автоматического управления также внесли: Кальман, Кальман и Бертрам, Ла-Саль, Ланинг и Баттин (в связи с аналоговым моделированием), Фридланд, и другие. Интересно отметить, что этого не было до 1957 года, однако общий метод для создания уравнений состояния RLC-сетей был описан Башковым. Расширение техники Башкова для нестационарных сетей недавно представил Кинаравала.

Несмотря на широкое использование понятия состояния в современной научной литературе, было бы трудно найти удовлетворительное определение в учебниках или статьях. Причина этому состоит в том, что понятие состояния, по существу, примитивное определение, и как таковое не восприимчиво к точному определению. Однако это можно определить косвенно, начиная с понятия полной характеристики системы. В частности, рассмотрим черный ящик “B” и некоторое первоначальное время t0. Мы предполагаем, что "B" связан с тремя типами функций времени:

1) Управляемая переменная u [т.е., функция времени, значения которых могут быть выбраны по желанию из указанного набора (входное пространство) для всего t?t0];

2) Первоначальная управляемая переменная s [т.е., функция времени, значение которой может быть выбрана по желанию в t=t0 от указанного набора (пространство состояний), но не после];

3) Наблюдаемая переменная y (т.е., функция времени, значения которых могут наблюдаться для t?t0, но в отношении которых никакое прямое управление не может быть осуществлено для t?t0).

Кроме того, мы предполагаем, что это справедливо для всех значений t0.

Если эти предположения будут выполняться, то мы скажем, что "B" полностью характеризуется, если для любого t?t0 значение выхода в момент времени t, у(t), однозначно определяется значением "S" во времени t0 и от значений “u” в закрытом интервале [t0, t]. Символически это выражается:

(5)

где обозначает отрезок времени функции, проходящей между данным сегментом, включая конечные точки t0 и t; s(t0) - это значение, взятое s(t) в момент времени t0 и B(- ; -) - однозначная функция его аргументов. [Обратите внимание, что “B” является функционалом и обычной функцией s(t0); s(t), как правило, вектор с конечным числом компонентов]. Подразумевается, что (5) должно выполняться для всех возможных значений s(t0) и , и что каждой возможной паре ввода - вывода , должно приписываться состояние s(t0) в пространстве состояний “B”.

Если “B” полностью характеризуется, определенными выше условиями, то u(t), y(t) и s(t) являются, соответственно, значениями входа, выхода и состояния пространства “B” на время t. [Диапазон значений s(t) представляет собой пространство состояний “В”. Особое значение s(t), т. е. особое состояние “B”, будем обозначать через q]. Таким образом, вход, выход и состояние “B” устанавливаются одновременно как результат определения полной характеристики “B”.

Интуитивное значение концепции состояния вряд ли хоть немного прояснилось искусственными определениями, набросанными выше. По сути, s(t) представляет собой описание внутреннего состояния “B” в момент времени t. Уравнение (5) означает, что, учитывая начальные значения в момент времени t0, и учитывая входные значения между t0 и t, нам необходимо найти значения “B” на время t, если система полностью характеризуется.

Взяв (5) в качестве отправной точки, довольно просто показать, что (5) может быть заменено эквивалентной парой уравнений:

, (6)

(7)

первая из которых выражает состояние в момент времени t с точки зрения состояния в момент времени и значений ввода между и в том числе в и t, в то время как второе дает выход в момент времени t с точки зрения состояния в момент времени t и входа в момент времени t. Обратите внимание, что эти отношения находятся под влиянием непрерывных аналогов в представлении Тьюринга

(8)

(9)

Будет полезно в этот момент рассмотреть простой иллюстративный пример. Пусть B будет сетью, показанной на рис. 1, в которой и находится входное напряжение, и y будет являться выходным напряжением.

Рис.1 - сеть для наглядного примера.

Легко показать, что состояние этой сети является 2-вектором, s(t), компоненты которого могут быть приняты как v(t) (напряжение C) и i(t) (ток через L). При таком выборе s(t), уравнения состояния могут быть легко настроены проверкой. В матричной форме, они читаются как:

(10)

(11)

где

Интегрируя (10), мы получаем

(12)

(13)

где матрица G, называемая матрицей переходов B, получается обратным преобразованием Лапласа матрицы . В частности,

(14)

где

(15)

Заметим, что (12) выражает s(t) как функцию и . Таким образом, (12) и (13) представляют собой, соответственно, уравнения состояния (6) и (7) для B.

2. Состояние и система эквивалентности

Никто не сможет далеко продвинуться, обсуждая метод пространства состояний без введения двойных понятий эквивалентных состояний и эквивалентных систем.

Предположим, что у нас есть две системы В1 и В2, с Q1, находящемся в состоянии B1, и Q2 в состоянии B2. Как подразумевает термин, Q1 и Q2 - эквивалентные состояния, если для всех возможных входных временных функций U, реакция В1 на U, начиная с состояния Q, такая же, как реакции В2 на U, начиная с состояния Q2. Согласно Муру, B1 и B2, как говорят, эквивалентные системы, если, и только если, к каждому состоянию в B1, существует эквивалентное состояние в В2, и наоборот. В чем значение этого определения? Грубо говоря, это означает, что, если В1 и В2 эквивалентны, то невозможно отличить B1, от B2, наблюдая реакции B1 и B2 для всех возможных входных данных U, если начальные состояния B1 и B2 неизвестны экспериментатору.

Для иллюстрации рассмотрим две простых сети, показанные на рис. 2.

Состояние B1, является вектором с двумя компонентами (которые могут быть определены с токами, протекающими через две индуктивности); состояние В2 скалярно (ток через 2L). Тем не менее, посредством записи состояния уравнения для B1 и B2, легко проверить, что В1, и В2 эквивалентны в смысле, определенном выше, а также в более обычном смысле теории цепей.

С другой стороны, рассматривая сети постоянного сопротивления, показанные на рис. 3. Его входное сопротивление равно единице на всех частотах. Означает ли это, что B1 является эквивалентным к блоку резисторов?

Ответ в теории цепей на этот вопрос будет "ДА", так как в теории цепей две сети определяются эквивалентными, если их соответствующие конечные сопротивления (или проводимости) имеют одинаковые значения на всех частотах. В отличие от этого, системный теоретик сказал бы "нет", так как есть состояния в B1, скажем, состояния (0, 1) (где первый компонент - напряжение C и второй компонент - ток через L), к которым нет эквивалентных состояний в единицах сопротивления. Однако, отметим, что невозбужденном состоянии (основное состояние), В1, который является (0,0), есть эквивалентное основное состояние резистора. Таким образом, мы можем утверждать, что, хотя В1 не эквивалентен единичному резистору, в основном состоянии он эквивалентен единичному резистору. Проще говоря, это означает, что если B изначально не возбуждён, то он будет вести себя как элемент сопротивления. С другой стороны, если В изначально возбужден, то он может не вести себя как элемент сопротивления.

Этот простой пример показывает, что понятие эквивалентности в теории цепей имеет более узкое значение, чем это делает в теории систем. В частности, эквивалентность двух сетей в смысле теории систем предполагает, но не подразумевает, их эквивалентность в смысле теории цепей. В сущности, понятие эквивалентности в теории автоматики соответствует понятию основного состояния эквивалентности в системной теории.

3. Понятие политики

Еще одно важное отличие между теорией цепей и теорией систем проявляется в том, каким образом представляется вход на систему (цепь). Таким образом, в теории цепей принято указывать желаемый вход в сеть как зависимость от времени. Напротив, в теории систем это обычная практика, особенно в делах с проблемами управления, выражать вход скорее в зависимости от состояния системы, а не в зависимости от времени. Во многих отношениях, это более эффективное представление, так как естественно основывать вывод на том, какой вход применить в момент времени t, зная состояние системы в момент времени t. Кроме того, в последнем представлении (вход по состоянию) у нас есть обратная связь, в то время как в предыдущем (вход в терминах времени) у нас нет.

Сказать, что ввод зависит от состояния системы означает, более точно, то, что вход в момент времени t является функцией состояния в момент времени t, т.е.

u(t) = р (s (t))

где р есть функция, определенная на пространстве состояний со значениями в пространстве ввода. Эта функция называется функция политики, или просто политика. В сущности, политика - это функция, которая связывает определенный вход с каждого состояния системы.

Понятие политики играет ключевую роль в теории систем и, особенно, в теории управления. Таким образом, типичная проблема в теории управления включает в себя определение политики для данной системы B, которая является оптимальной с точки зрения производительности заданному критерию для B. В частности, критерий производительности ассоциируется с каждой политикой р числовой Q(р), которая является мерой "качества" р. Тогда проблема в том, чтобы найти политику р, которая максимизирует Q(р). Такая политика называется оптимальной.

Как было указано ранее, наиболее эффективный общий метод для решения проблем такого характера обеспечивается динамическим программированием Беллмана. Основой для динамического программирования является так называемый принцип оптимальности, который на словах Беллмана гласит: "Оптимальная политика имеет свойство, что какие бы не были начальные состояния и первоначальные решения, остальные решения должны составлять оптимальную политику относительно состояния от результата первого решения".

Излишне говорить, что всегда можно прибегнуть к методам перебора, чтобы найти политику р, которая максимизирует Q(р). Большим преимуществом динамического программирования над прямыми методами является то, что он снижает значение оптимальных р к решению последовательности относительно простых максимизаций или минимизаций проблем. В математических терминах, если выигрыш в результате использования оптимальной политики, когда система находится изначально (скажем, при t = 0) в состоянии s(0), обозначается как R(s(0)), то, пользуясь принципом оптимальности, можно получить функциональное уравнение, которому удовлетворяет R. В общем, такие уравнения не могут быть решены в замкнутой форме. Тем не менее, если размерность вектора состояния достаточно мала, скажем, менее четырех или пяти, то, как правило, возможно получить раствор через использование умеренно размера цифрового компьютера. Основное ограничение на применение динамического программирования налагается неспособностью даже крупномасштабных компьютеров обрабатывать задачи, в которых размерность вектора состояния достаточно высока, скажем, порядка 20. Число специальных методов для получения вокруг проблемы размерности недавно были описаны Беллманом.

Основная проблема в теории систем, которая была атакована и с помощью техники динамического программирования, и расширений классических методов исчисления изменений - это так называемое минимальное время или быстродействие проблемы. Эта проблема привлекла большое внимание, так как формулировки так называемого принципа максимума Понтрягина в 1956 году, и в настоящее время являются объектом многочисленных исследований как в Соединенных Штатах, так и в ??Советском Союзе. Говоря в общих чертах, проблема заключается в следующем.

Дано: 1) Система B характеризуется вектором дифференциального уравнения

x(t) = f(x(t), u(t))

где x(t) и u(t) представляют собой, соответственно, состояние и вход B в момент времени t. (x есть вектор; u является скаляром, и f - функция, удовлетворяющая определенным условиям гладкости.)

2) набор ограничений на U, например, |u(t)| ? 1 для всех t, или |u(t)|? 1 и |u(t)| ? 1 для всех t. 3) указано начальное состояние x(0) = q0 и указано конечное состояние q1.

Найти входное U (удовлетворяющее предписанным ограничениям), который будет принимать B q1 до q2, в кратчайшие сроки. Это, в сущности, и есть проблема минимального времени. В несколько более общей постановке задачи, количество, которое должно быть минимизировано, берется как стоимость принятия системы от q0 до q1, где стоимость выражается интегралом вида

C (u; q0; q1) =

В этом выражении, f0 является заданной функцией, t1 - это время, за которое B достигает состояния q1, и С (u, q0, q1) обозначает стоимость принятия B от q0 до q1, когда входной u используется.

Не трудно понять, почему задача минимального времени (или, более обобщенно, минимальной стоимости) играет такую ??важную роль в системе и, более конкретно, теории управления. Почти каждая встречающаяся проблема управления на практике предполагает принятие данной системы из одного указанного состояния в другое. Минимальное время-проблема лишь ставит вопрос о том, как это может быть сделано в оптимальном режиме.

Различные особые случаи задач минимального времени рассматривались многими исследователями в конце сороковых годов и в начале пятидесятых годов. Что не хватало, так это общей теории. Такая теория была разработана в серии работ Понтрягина, Г. Болтянский, и Гамкрелидзе.

Принцип максимума Понтрягина, по существу, это набор необходимых условий, которым удовлетворяют оптимальному вводу u. Вкратце, пусть ? - решение вариации систем

где [f / x] ' это транспонирование матрицы [ / ], в которой и , соответственно, i-ые и j-ые компоненты f и х в уравнении х=f(x, u). Построить функцию Гамильтона H(x, ?, u) = ? *x (точка перемножения ? и x), с начальными значениями ? в ограниченной неравенством H(x(0), ?(0), u(0))?0. Принцип максимума утверждает, что, если u(t) является оптимальным входом, то u(t) максимизирует Гамильтоновский H(x, ?, u), где x и ? фиксированы для определенного t.

Применение принципа максимума для линейной системы, характеризующейся векторным уравнением

х = Ax + Bu

где А представляет собой постоянную матрицу и В является постоянным вектором, приводит к тому, что оптимальный вход "пиф-паф", то есть, во все времена вход такой же широко-амплитудный, как предельное разрешение. Более конкретно, оптимальный вход в виде

u(t) = sgn(?(t)*B) (20)

где sgn выступает как функция sgn х = 1, если х>0, х = SGN -1, если х <0, и sgn х = 0, если х = 0, и ? является решением сопряженного уравнения

? = - A ' ?, (21)

удовлетворяющее неравенству

? (0)*[Ах(0) + Bu(0)] ? 0 (22)

Это, и другие общие результаты для линейного случая были впервые получены Понтрягиным и его коллегами. Несколько более специализированные результаты были получены независимо Беллманом, Гликсбергом и Гроссом. Главная проблема с принципом максимума, что это дает только необходимые условия. Выражение для u(t), заданное (20), обманчиво простое; в самом деле, для того, чтобы определить u(t), надо сначала найти ?(t), которое удовлетворяет дифференциальному уравнению (21), неравенству (22), и, кроме того, является таким, что B достигает q1, когда подконтрольное u задано (20). Даже тогда, нет никакой гарантии, что u является оптимальным, за исключением того случая, когда, либо начальное состояние, либо конечное состояние совпадает с началом координат. Еще одним недостатком метода является то, что оптимальный вход получают в виде функции времени, а не от состояния системы.

Вряд ли можно ожидать, что максимум или любой другой принцип, для получения полных и простых решений проблемы так же сложен, как проблемы минимального времени для систем нелинейного, непрерывного состояния, непрерывного времени. На самом деле, комплексные решения могут быть и были получены для простых типов систем. Особенно стоит отметить это решение для случая линейной системы c дискретным временем который недавно был получен Дезоером и Вингом. Весьма перспективным для линейных систем с непрерывным временем является техника последовательного приближения Брайсона и Хо. В случае систем, имеющих конечное число состояний, проблема минимального времени может быть решена достаточно легко, даже когда система носит вероятностный характер и конечные состояния изменяются случайным (Марковским) образом.

Тесно связанными с задачей о минимальном времени являются проблемы достижимости и управляемости, которые сводятся к существованию и построению входов, которые приводят данную систему от одного указанного состояния к другому, не обязательно в минимальное время. Значительный вклад в постановке и решении этих проблем для неограниченных линейных систем были сделаны Калманом. Похоже трудно, однако, получить явные необходимые и достаточные условия для достижимости в случае ограниченных, линейных, гораздо менее нелинейных, систем.



4. Характеризация, классификация и идентификация систем в верхней части списка главных проблем теории систем

Наше размещение характеризации, классификации и идентификации систем в верхней части списка главных проблем теории систем (см раздел I) отражает скорее их собственную важность, а не степень научно-исследовательской работы, которая уделяла или уделяет внимание их решению. В самом деле, это только в последнее десятилетие был сделан значительный вклад в постановке, а также решении этих проблем, в частности, в контексте систем конечных состояний. Тем не менее, совершенно определенно, что проблемы центрирования на характеризации, классификации и, особенно, идентификации систем, а также сигналов и моделей, будут играть все более важную роль в теории систем в ближайшие годы.

Проблема характеризации беспокоит в первую очередь с представлением отношений ввода-вывода. Более конкретно, беспокоит и альтернативные способы, в которых могут быть представлены отношения ввода-вывода в конкретной системе (например, с точки зрения дифференциальных уравнений, интегральных операторов, функций частотных характеристик, характерных функций, уравнений состояния и т.д.), и формы, которые эти представления предполагают для различных типов систем (например, непрерывное время, дискретное время, конечным число состояний, вероятность, конечная память, не упреждение, и т.д.). Как правило, отношения ввода-вывода выражаются через конечное или более чем счетное множество линейных операций (с и без памяти) и нелинейных операций (без памяти). Например, Камерон и Мартин и Винера показали, что широкий класс нелинейных систем можно охарактеризовать (основного состояния) отношениями ввода-вывода вида

(23)

где представляет собой результаты функций Эрмита различных порядков в переменные z1, z2, …, которые, в свою очередь, линейно связаны с u(вход) через функции Лагерра. Обратите внимание, что операции, участвующие в этом представлении, являются: 1) линейными с памятью, а именно, отношениями между z и u; 2) нелинейными без памяти, а именно, отношениями между , и z1, z2, …; и 3) линейными без памяти, а именно., суммированными. В связи с этим, следует отметить, что основная идея, представляющая нелинейные отношения ввода-вывода в виде композиции бесконечного числа 1) нелинейных операций без памяти и 2) линейные операций с памятью, не в коем случае не нова. Она была использована достаточно широко Вольтерром и Фреше на рубеже веков.

Ключевая особенность представления Винера - это его ортогональность [означает не связанность различных терминов из (23)] для белых входов шума. Это означает, что коэффициент в (23) может быть приравнена к среднему (ожидаемому) значению произведения и реакции системы на белый шум. Таким образом, нелинейная система может быть идентифицирована, подвергая его входу белого шума, генерации функции , и измерению средних значений произведения . Тем не менее, по различным техническим причинам данный способ идентификации не имеет большой практической ценности.

Проблема классификации системы может быть сформулирована следующим образом. Дан черный ящик B и семейство (не обязательно дискретное) классов систем С1, С2 …, такие, что B принадлежит к одному из этих классов, скажем, , проблема в том, чтобы определить, , учитывая реакции B на различные входы. Как правило, входы о которых идет речь, предполагаются управляемыми экспериментатором. Излишне говорить, что сложнее классифицировать систему, когда это не так.

Довольно важной особой проблемой в классификации является следующее. Пусть известно, что B характеризуется дифференциальным уравнением, и вопрос: что есть его порядок? Здесь C может быть принято, чтобы представлять класс систем, характеризующихся одним дифференциальным уравнением порядка n. Интересное решение этой проблемы было описано Беллманом.

Еще одна практическая проблема возникает в экспериментальном исследовании распространения массовой информации. Предположим, что B представляет собой случайным образом изменяющийся стационарный канал, и проблема заключается в определении, является В линейным или нелинейным. Здесь, у нас есть, но два класса: C1 = класс линейных систем и С2 = класс нелинейных систем. Никаких систематических процедур для решения проблем этого типа не было разработано до сих пор.

Наконец, проблема идентификации систем является одной из самых основных и, как ни парадоксально, наименее изученных проблем в теории систем. Вообще говоря, идентификация системы B включает определение её характеристик путем наблюдения за реакцией B на тестовые входы. Точнее, дан класс систем С (с каждого члена C, полностью охарактеризованного), и проблема заключается в определении системы в C, которая эквивалентна B. Очевидно, задача идентификации может бать рассмотрена как частный случай классификации проблемы, в которой каждый из классов С1, С2, …, имеет только один элемент. Это, однако, не очень полезная точка зрения.

Очевидно, что такие проблемы, как обычное измерение функции передачи, импульсной реакции, коэффициенты в представлении Винера, и т.д., можно рассматривать как специальные случаи задачи идентификации. Так что это проблема нахождения неисправных компонентов в данной системе B, и в этом случае С - это класс всех неисправных версий B.

Осложняющей особенностью многих задач идентификации является отсутствие знаний о начальном состоянии системы при испытании. Другой источник трудностей - это наличие шума в наблюдениях на входе и выходе. По понятным причинам, выявление непрерывного состояния систем непрерывного времени является гораздо менее поддающейся обработке, чем проблема идентификации конечных состояний дискретно-временных систем. Для последних, основная теория, разработанная Муром, обеспечивает очень эффективные алгоритмы в случае небольших систем, то есть систем, в которых число состояний, а также количество уровней входов и выходов достаточно мала. Идентификация крупномасштабных систем требует, среди прочего, развитие алгоритмов, которые минимизируют длительность (или количество шагов в) идентификации входной последовательности. За исключением интересного метода, предложенного Беллманом, который сочетает в себе динамическое программирование с принципом минимакса, в этом направлении до сих пор было сделано мало работы.

Еще одним важным направлением, которое привлекать больше внимания является то, что в идентификации случайно изменяющихся систем. Особый интерес в этой связи представляет работа Кайлата по случайно изменяющимся линейным системам, работу Хофстеттера по каналам конечных состояний, работа Гилберта о функциях Марковского процесса и обобщение Карлайла по некоторым аспектам теории Мура в вероятностных машинах. В целом, однако, общая сумма того что мы знаем об этой проблеме идентификации, далека от составляющих основу эффективных методах для решения реальных задачах идентификации для детерминированной, гораздо менее вероятностной, системы.



Выводы

Трудно судить предмет как комплекс в теории систем в диапазоне нескольких печатных страниц. Следует подчеркнуть, что наша дискуссия была посвящена лишь некоторым из многих аспектов этой быстро развивающейся научной дисциплины. Будет ли он расти и приобретать самобытность, или он отделится и погрузиться в другие, более изученные отрасли науки? Этот писатель считает, что теория систем здесь, чтобы остаться, и что ближайшие годы станут свидетелями его эволюции в достойную и активную область научной деятельности.



Рецензия

Работу выполнили совместно студенты ДКБ-143б Кулеш Михаил и Лахтюхов Антон. Было проведено исследование общей теории систем и теории электрических цепей на основе статьи Л. А. Заде «От теории электрических цепей к общей теории систем». Проведено исследование преимуществ и недостатков обеих теорий и их сравнение.

В статье озвучены основные проблемы систем, приведены примеры и затронуты различные области наук. Статья опирается на работы многих известных ученых, таких как Тьюринг, Нейман, Мур, и др. Также была проведена характеристика и классификация различных систем. К недостаткам работы можно отнести то, что подробно были проанализированы не все проблемы теории, а лишь часть из них. Также основное внимание статьи уделяется в основном на теорию систем.

Оригинал статьи на английском языке был взят с сайта:

http://www.pdfdrive.net/may-from-circuit-theory-to-system-theory-e583071.html

Уровень данной статьи - Q3.

http://www.scimagojr.com/journalrank.php?category=1701&area=0&year=2014&country=&order=sjr&min=0&min_type=cd&page=3



Список литературы

[1] A. M. Turing, "On computable numbers, with an application to the Entscheidungs problem," Proc. London Math. Soc., ser. 2, vol. 42, pp. 230-265; 1936.

[2] C. E. Shannon, "A mathematical theory of communication," Bell Sys. Tech. J., vol. 27, pp. 379-423, 623-656; 1948.

[3] J. von Neumann, "Probabilisitic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components," in "Automata Studies," Princeton University Press, Princeton, N. J., pp. 43- 98; 1956.

[4] H. E. Singleton, "Theory of Nonlinear Transducers," Res. Lab. of Electronics, Mass. Inst. Tech., Cambridge, RLE Rept. No. 160; August, 1950.

[5] W. Kaplan, "Dynamical systems with indeterminacy," Am. J. Math., vol. 72, pp. 575-594; 1950.

[6] -, "Discrete Models for Nonlinear Systems," presented at AIEE Winter General Mtg., New York, N. Y., February, 1960; Conference Paper 60-109.

[7] S. A. Stebakov, "Synthesis of systems with prescribed e-behavior," Proc. Conf. on Basic Problems in Automatic Control and Regulation, Acad. Sci. USSR, Moscow, 1957; pp. 101-106.

[8] E. F. Moore, "Gedanken-experiments on sequential machines," in "Automata Studies," Princeton University Press, Princeton, N. J., pp. 129-153; 1956.

[9] D. Huffman, "The synthesis of sequential switching circuits," J. Franklin Inst., vol. 257, pp. 161-190; April, 1954.

[10] R. E. Bellman, "Dynamic Programming," Princeton University Press, Princeton, N. J.; 1957.

[11] R. E. Kalman, "Analysis and synthesis of linear systems operating on randomly sampled data," Ph.D. dissertation, Columbia University, New York, N. Y.; August, 1957.

[12] and J. E. Bertram, "General synthesis procedure for computer control of single and multi-loop nonlinear systems," Trans. AIEE, vol. 77 (Application and Industry, pp. 602-609; 1958.

[13] J. P. LaSalle, "The time-optimal control problem," in "Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations," Princeton University Press, Princeton, N. J., vol. 5, pp. 1-24; 1960. [141 J. H. Laning, Jr., and R. H. Battin, "Random Processes in Automatic Control," McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, N. Y.; 1956.

[15] B. Friedland, "Linear modular sequential circuits," IRE TRANS. ON CIRCUIT THEORY, vol. CT-6, pp. 61-68; March, 1959.

[16] T. Bashkow, "The A matrix, new network description," IRE TRANS. ON CIRCUIT THEORY, VOl. CT-4, pp. 117-119; September, 1957.

[17] B. Kinarawala, "Analysis of time-varying networks," 1961 IRE INTERNATIONAL CONVENTION RECORD, pt. 4, pp. 268-276.

[18] R. E. Bellman, "On the Reduction of Dimensionality for Classses of Dynamic Programming Processes," RAND Corp., Santa Monica, Calif., Paper P-2243; March, 1961.

[19] C. A. Desoer, "Pontragin's maximum principle and the principle of optimality," J. Franklin Inst., vol. 271, pp. 361-367; May, 1961.

[20] L. I. Rozonoer, "The maximum principle of L. S. Pontryagin in the theory of optimal systems," Avtomat. I Telemekh., vol. 20, nos. 10-12; October-December, 1959.

[21] L. Berkovitz, "Variational Methods in Problems of Control and Programming," RAND Corp., Santa Monica, Calif., Paper P-2306; May, 1961.

[22] L. S. Pontryagin, "Some mathematical problems arising in connection with the theory of optimal automatic control systems," Proc. Conf. on Basic Problems in Automatic Control and Regulation, Acad. Sci. USSR, Moscow, 1957.

[23] V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, and L. S. Pontryagin, "On the theory of optimal processes," Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 110, no. 5, pp. 7-10; 1956.

[24] , and , "On the theory of optimal processes," Izvest. Akad. Nauk SSSR, vol. 24, pp. 3-42; 1960.

[25] R. E. Bellman, I. Glicksberg, and 0. A. Gross, "Some Aspects of the Mathematical Theory of Control Processes," RAND Corp., Santa Monica, Calif., Rept. R-313; January, 1958.

...