Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (национальный исследовательский университет)

Факультет Компьютерных Технологий Управления и Радиоэлектроники

(КТУР)

Кафедра систем управления

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Тема: Анализ системы управления

Руководитель

доц. О.О. Павловская

Автор работы М.А. Дёмов

студент группы КТУР - 374

Челябинск 2015

АННОТАЦИЯ

Дёмов М.А. Анализ системы управления. - Челябинск: ЮУрГУ, КТУР-374, 33 с., 22 илл., библиогр. список - 2 наим.

В рамках курсовой работы проведен комплексный анализ линеаризованной системы автоматического управления.

Расчет включает в себя следующие этапы:

- анализ устойчивости системы прямым методом.

- анализ устойчивости по алгебраическому и частному критериям.

- анализ качества системы в переходном и установившемся режимах.

- синтез системы с пропорциональным регулятором в соответствии с требованиями технического задания.

Проведен синтез системы с пропорциональным П, ПД регулятором в соответствии с требованиями технического задания.

Все расчеты по выполненной курсовой работе произведены в программном пакете MathCAD 14 и Matlab 2013b. Пояснительная записка к курсовой работе оформлена в текстовом редакторе Microsoft Office Word 2013.

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе будем исследовать систему управления осевой подачей по моменту на сверле. Ее принципиальная схема представлена на рисунке 0.1

Рисунок 0.1 - Принципиальная схема системы управления

Объектом управления в данной системе является силовая головка на сверле, регулируемый параметр - ее момент вращения (M).

САУ необходима для управления режимом сверления при изменении условий обработки (вариациях физико-механических свойств обрабатываемого материала, износ сверла, увеличение текущей глубины сверления).

На сверлящем шпинделе 1 силовой головки станка установлен датчик момента 2, который вырабатывает напряжение, пропорциональное действующему моменту на сверле 3. Двигатель постоянного тока 4 через редуктор 5 и ходовой винт 6 передает силовой головке 7 движение осевой подачи. Для управления двигателем 4 используется усилительно-преобразовательный элемент 8, на вход которого воздействует сигнал

где -- заданное напряжение на входе САУ, соответствующее необходимому моменту в определенном масштабе, --напряжение на выходе усилителя 9, пропорциональное фактическому моменту резания. Заготовка 10 устанавливается в патрон станка и при сверлении ей передается вращение от приводного двигателя (на рис. не показан).

Цель работы: провести анализ соответствия системы управления осевой подачи по моменту на сверле требованиями заказчика; проанализировать изменение свойств системы при введении в нее пропорционального регулятора;

определить тип дополнительного регулятора для корректировки параметров системы.

Задачи работы:

- построить функциональную и структурную схемы данной системы, линеаризовать ее и получить математическую модель линейной системы;

- проанализировать данную систему на устойчивость и проверить ее показатели качества на соответствие требованиям ТЗ;

- ввести пропорциональный регулятор, с коэффициентом усиления подобранным таким образом, чтобы точность воспроизведения входного сигнала соответствовала требованиям ТЗ;

- проанализировать полученную систему на устойчивость и проверить ее показатели качества на соответствие требованиям ТЗ.

- ввести дополнительный регулятор в прямую цепь системы, с таким коэффициентом усиления, чтобы обеспечить выполнение второго условия ТЗ.

устойчивость пропорциональный регулятор усиление

1. АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ

1.1 Функциональная схема замкнутой системы

Функциональная схема замкнутой системы управления в прямой цепи содержит последовательно включенные усилительно-преобразовательный элемент (УПЭ), исполнительный механизм (ИМ), объект управления (ОУ), а в обратной связи - датчик обратной связи (ДОС) (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 - Общая функциональная схема системы управления

С учетом конкретных элементов функциональная схема примет вид (рис. 1.2):

Рисунок 1.2 - Функциональная схема системы управления осевой подачей

1.2 Структурная схема системы

Для того чтобы построить структурную схему системы, получим все передаточные функции, причем передаточные функции двигателя постоянного тока, сверлящего шпинделя силовой головки и датчика обратной связи считаются известными:



Ходовой винт представляет собой идеальное интегрирующее звено , Редуктор представляет коэффициент передачи . Т. к. коэффициент передачи исполнительного механизма , следовательно, . Получаем передаточные функции ИМ, ОУ и ДОС:

УПЭ предполагается безынерционным, но с ограниченной зоной линейности (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 - Статическая характеристика УПЭ

Система на данный момент является нелинейной, так как усилитель мощности является нелинейным элементом. Следовательно, нужно провести линеаризацию системы. Пренебрегая наличием нелинейных эффектов, считаем, что усилитель мощности имеет неограниченную зону линейности.



Рисунок 1.4 - Статическая характеристика усилительно-преобразовательного элемента

Усилитель мощности, будет иметь передаточную функцию вида:

(1.1)

По формуле (1.1) находим = = 20.

Линеаризованная система представлена на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Структурная схема линейной системы

Определим размерности элементов системы:

1.3 Анализ устойчивости системы

1.3.1 Анализ по алгебраическому критерию

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были одного знака. Для анализа устойчивости системы воспользуемся критерием Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы можно найти по формуле:

(1.2)

(1.3)

Используя выражения (1.2) и (1.3) запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

s(1+0.1s)(1+0.008s)(1+0.002s)+9,152=

=0.0000016s4+0,001016s3+0,11s2+s +9,152=0

Если хотя бы один аi?0, то система не может быть устойчивой. Так как необходимое условие критерия Гурвица выполняется (знаки всех коэффициентов одинаковы), запишем характеристическое уравнение замкнутой системы [2]:

0.0000016s4+0,001016s3+0,11s2+s +9,152=0

a0 = 0.0000016

a1 = 0.001016

a2 = 0.11

a3 =

a4 = 9,152

Данная система 4 порядка, следовательно, для устойчивости системы достаточно, чтобы ?3>0, где:

= 1(0,001016*0.11 - 0.0000016*1) - 0,0010162*9,152 = 1.0071*10-4

Достаточное условие устойчивости выполняется. Следовательно, замкнутая система устойчива.

1.3.2 Экспериментальное определение устойчивости системы

Воспользуемся для построения переходной характеристики программным пакетом Matlab.

Составим цепь в прикладном пакете Simulink (рис. 1.6):

Рисунок 1.6 - Цепь системы в программе Simulink

После запуска модели, нажав соответствующую кнопку на панели инструментов, можно посмотреть результат моделирования в виртуальном осциллографе. На рис. 1.7 представлено окно осциллографа с полученным переходным процессом апериодического звена.



Рисунок 1.7 - Переходный процесс

Из рисунка 1.7 видно, что система является устойчивой.

1.4 Анализ соответствия исходной системы по требованиям технического задания

По техническому заданию коэффициент ошибки при воспроизведении сигнала с постоянной скоростью , время регулирования tр ?0,20c, время перерегулирования у? 40%

Для проведения анализа на соответствие исходной линеаризованной системы требованиям технического задания необходимо вычислить коэффициент ошибки .

Для вычисления коэффициента ошибки запишем передаточную функцию по ошибке от задающего воздействия [2]:

(1.4)

Согласно методу коэффициентов ошибки функция ошибки по времени:

... , (1.5)

где i - коэффициенты ошибок, i= ?0???,n?.

Для нахождения коэффициентов ошибки разделим полином числителя на полином знаменателя. Исходя из формулы найти требуется только два коэффициента.

После деления уголком числителя на знаменатель выражения (1.4) получим следующие результаты:

(1.6)

где: - коэффициент усиления разомкнутой системы.

превышает допустимое значение. Следовательно, система не удовлетворяет требованию технического задания.

Проверим, удовлетворяет ли система требованиям технического задания в переходном режиме.

Проверим перерегулирование и время регулирования (tр ?0,20, у? 40%). Для этого следует построить переходную характеристику замкнутой системы. Получим передаточную функцию замкнутой системы по выходному сигналу [2].

(1.7)

где: - передаточная функция прямой цепи.

(1.8)

Подставив в (1.7) значения передаточных функций прямой цепи (1.8) и обратной связи (1.3) получаем:

Определим переходную характеристику системы:

(1.9)

Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно 1/S, то изображение переходной функции определяется соотношением в операторной форме:

Для построения переходной характеристики системы необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа [2]:

h(t)= (1.10)

h(t)=

Воспользуемся для построения переходной характеристики программным пакетом Matlab.



Рис. 1.8 Переходная характеристика системы

Перерегулирование у - показывает, на сколько процентов максимальное значение выхода превышает установившееся значение:

(1.11)

где: ,

.

hmax=0,108;

hуст=0,091;

Для определения времени регулирования найдем абсолютную погрешность для 5% от h(t) ошибки и построим коридор на графике.

В точке, когда график переходной функции зайдет в коридор и больше не выйдет из него. Эта координата является временем регулирования.

Из рисунка 1.8 видно, что tp=0,56 c.

Время регулирования не удовлетворяет требованиям ТЗ и данную систему следует откорректировать, введением в нее регулятора.

2. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ

2.1 Структурная схема системы с пропорциональным регулятором

Задача системы управления состоит в том, обеспечить быстрые и качественные переходные процессы. Фактически нам нужно скорректировать систему так, чтобы она имела нужные передаточные функции по возмущению выходу и по задающему воздействию.

Простейший регулятор - пропорциональный или П-регулятор - это простой усилитель с передаточной функцией Его выход - это ошибка управления ?(t) , умноженная на коэффициент K. С помощью П-регулятора можно управлять любым устойчивым объектом, однако он дает относительно медленные переходные процессы и ненулевую статическую ошибку.

Составим структурную схему с пропорциональным регулятором ( - коэффициент усиления пропорционального регулятора) (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Общая функциональная схема системы управления

Рисунок 2.2 - Структурная схема системы с пропорциональным регулятором

2.2 Определение коэффициента усиления пропорционального регулятора

Рассмотрим передаточную функцию системы с пропорциональным регулятором. По техническому заданию , следовательно (1.6):

(2.1)

Следовательно, значение коэффициента усиления пропорционального регулятора:

.

Для удобства дальнейших вычислений возьмем

2.3 Анализ устойчивости системы по критерию Найквиста (по ЛЧХ)

Умножим передаточную функцию разомкнутой системы (1.2) на коэффициент пропорционального регулятора и получим передаточную функцию разомкнутой системы с пропорциональным регулятором:

(2.2)

Исследуем разомкнутую систему с пропорциональным регулятором на устойчивость, для этого найдем корни его характеристического уравнения.

Приведем (2.2) к частотной передаточной функции разомкнутой системы с пропорциональным регулятором:

(2.3)

Для построения ЛАЧХ найдем модуль данной функции:

(2.4)

Получим амплитуду передаточной функции (рис 2.3):

(2.5)

Построим ЛАЧХ системы в программе MathCad.

Рисунок 2.3 - ЛАЧХ системы

Полная фазовая характеристика равна сумме фазовых характеристик отдельных звеньев, входящих в произведение:

 (2.6)

где - фазовый сдвиг разомкнутой системы,

n - количество типовых динамических звеньев в системе

Данная система состоит из одного интегрирующего звена и трех апериодических устойчивых. Зависимость фазового сдвига от частоты для интегрирующего звена:

(2.7)

Зависимость фазового сдвига от частоты для апериодического звена:

(2.8)

где: T - Постоянная времени звена.

Подставим значение постоянной времени соответствующего звена, в формулу (2.8). Получившиеся функции, а также функцию интегрирующего звена (2.7) подставим в формулу (2.6) и получим зависимость фазового сдвига от частоты для разомкнутой цепи (2.9) (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 - ЛФЧХ системы

 (2.9)

Увеличим масштаб для проверки правила переходов (рис.2.5).

Рисунок 2.5 - ЛАЧХ и ЛФЧХ в увеличенном масштабе

Проверим устойчивость системы по правилу переходов:

(2.10)

где: l - число правых корней;

- отрицательные или положительные переходы.

В системе не присутствуют правые корни, следовательно, l=0. Как мы видим из рисунка 2.5 отрицательных или положительных переходов нет, следовательно:

2.4 Анализ устойчивости системы по критерию Найквиста (по АФЧХ)

Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы, построив частотную характеристику разомкнутой системы. Избавимся от мнимой единицы в знаменателе функции (2.3), помножив и числитель, и знаменатель на комплексно - сопряженное знаменателю выражение.



Выделим действительную и мнимую часть.

(2.11)

(2.12)

Построим годограф Найквиста используя программу MathCad (рис 2.6).

Рис. 2.6 - Годограф Найквиста

Увеличим масштаб для проверки устойчивости системы (рис 2.7).

Рисунок 2.7 - Увеличенный масштаб АФЧХ

Критерия Найквиста для устойчивости замкнутой системы заключается в том, чтобы годограф Найквиста, дополненный дугой бесконечной длины, начинающейся на вещественной оси, не охватывал особую точку .

Годограф Найквиста не охватывает особую точку . Следовательно, замкнутая система с пропорциональным регулятором устойчива.

2.5 Анализ качества системы

2.5.1 Оценка быстродействия системы по частоте среза

Частота среза - это частота, на которой амплитуда частотной передаточной функции разомкнутой системы равна ноль децибелов.

Таким образом, определить частоту среза можно, выделив на графике ЛАЧХ разомкнутой системы с пропорциональным регулятором точку пересечения графика с осью абсцисс:

(рад/с)

(c)

Следовательно, можно сделать вывод, что если увеличивать частоту среза, то можно увеличить быстродействие системы.

2.5.2 Запасы устойчивости, критический коэффициент усиления системы

Запасы устойчивости определяются двумя величинами:

1) Запас устойчивости по фазе цзап;

2) Запас устойчивости по амплитуде Lзап.

Запас устойчивости по фазе - это дополнительный сдвиг фазы, который необходим для того, чтобы вывести систему на границу устойчивости. Он определяется на частоте среза амплитуды щс.

На рисунке 2.8 видим, что запас устойчивости по фазе составляет:

Рисунок 2.8 - Увеличенный масштаб ЛАЧХ и ЛФЧХ

Запас устойчивости по амплитуде - это дополнительный сдвиг амплитуды, который необходим для того, чтобы вывести систему на границу устойчивости. Он определяется на частоте среза фазы щс, который, как мы видим из рисунка 2.5, равен 1.497. На рисунке 2.9 видим, что запас устойчивости по амплитуде составляет:

Рисунок 2.9 - Увеличенный масштаб ЛАЧХ и ЛФЧХ

Определим критический коэффициент усиления системы через достаточное условие устойчивости по алгебраическому критерию для характеристического уравнения замкнутой системы. С введением пропорционального регулятора порядок полинома характеристического уравнения не меняется. В пункте 1.3 можем заметить, что от изменения коэффициента a4 зависит устойчивость замкнутой системы:

0.

Откуда следует, что

(2.13)

Из пункта 1.3 известны коэффициенты a0, a1, a2, a3.

a0 = 0.0000018

a1 = 0.001118

a2 = 0.111

a3 = 1

Подставим данные коэффициенты в неравенство (2.13):

Заметим, что коэффициент a4 является коэффициентом усиления замкнутой цепи. Если коэффициент a4 лежит в пределах неравенства, достаточное условие устойчивости по Гурвицу выполняется, если неравенство не выполняется, то, следовательно, не выполняется условие устойчивости.

То есть:

2.5.3 Прямые показатели качества

Прямые показатели качества являются:

1) tp - время регулирования;

2) - перерегулирование.

Вспомогательные прямые качества являются:

1) n - число колебаний графика характеристики системы за tp;

2) tн - время установившееся в системе в 1 раз;

3) tmax - время достижения максимального значения системы;

4) ? - декремент затухания

Для определения всех показателей системы запишем передаточную функцию замкнутой системы с пропорциональным регулятором:

Найдем перерегулирование и время регулирования.

Получим передаточную функцию замкнутой системы. Для этого воспользуемся формулой (1.7), где в качестве коэффициента усиления замкнутой системы возьмем значение:

(2.14)

Определим переходную характеристику системы (1.9), подадим единичный ступенчатый сигнал 1/S, тогда изображение переходной функции определяется соотношением в операторной форме: Для построения переходной характеристики системы необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа (1.10). Воспользуемся для построения переходной характеристики программным пакетом Matlab (рис 2.10).

Рисунок 2.10 - Переходная характеристика системы с пропорциональным регулятором.

По рисунку 2.10 определим «границы коридора», время установившееся в системе в 1 раз, время регулирования и число колебаний графика характеристики:

Найдем перерегулирование у:

,

Время достижения первого максимума:

tmax = 0,172 c.

Декремент затухания:

2.5.4 Косвенный частотный ПК (показатель колебательности)

Показатель колебательности определяется по амплитудной частотной характеристике замкнутой системы как отношение ее максимума к значению на нулевой частоте:



Для определения показателя колебательности построим АЧХ.

Для этого найдем модуль передаточной функции замкнутой системы.

Перейдем от операторной формы передаточной функции замкнутой системы (2.14) к частотной:

Построим функцию в MathCad (рис 2.11).

Рис. 2.11 АЧХ замкнутой системы с пропорциональным регулятором

2.6 Анализ системы с пропорциональным регулятором на соответствие ее ТЗ

Проверим коэффициент ошибки при воспроизведении сигнала с постоянной скоростью по формуле (1.7).

Следовательно, условие технического задания на коэффициент ошибки выполняется.

Исходя из пункта 2.5.3 перерегулирование и время регулирования:

Данные показатели намного больше показателей ТЗ и не соответствуют основным требованиям к системе. Невозможно добиться полного выполнения технического задания введением одного пропорционального регулятора.

3. ИЗМЕНЕНИЕ ТИПА РЕГУЛЯТОРА

3.1 Обоснование типа регулятора и выбор его параметров

Для корректировки передаточной функции замкнутой системы введем в систему дифференциальный регулятор прямо параллельно пропорциональному регулятору. Получим, таким образом, ПД-регулятор. Его внедрение оставляет неизменным коэффициент ошибки [1].

Рисунок 3.1 Структурная схема системы с ПД-регулятором

Найдем каким требованиям должен удовлетворять коэффициент K для того что бы система оставалась устойчивой. Проведем анализ устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица, который использует характеристическое уравнение замкнутой системы.

1 + Wр = 0. (3.1)

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы.

(3.2)

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы по формуле (3.1), используя значение передаточной функции разомкнутой системы (3.2).

Приведем к общему знаменателю.

Так как дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, получим уравнение:

Раскроем скобки и преобразуем до вида полинома.

a0 = 0.0000016

a1 = 0.001016

a2 = 0.11

a3 =

a4 = 40,27

Для того что бы выполнялось необходимое условие устойчивости необходимо что бы все коэффициенты , следовательно:

Данная система 4 порядка, следовательно, для устойчивости системы достаточно, чтобы ?3>0.

Решив уравнение, получим:

К = -7,514 и К = 0,1

Следовательно:

Примем коэффициент К = 0,2.

Получим передаточную функцию замкнутой системы по выходному сигналу:

(3.3)

где - передаточная функция прямой цепи.

Определим переходную характеристику, то есть реакцию системы на единичный ступенчатый сигнал.

В операторной форме:

Воспользуемся для построения переходной характеристики программным пакетом Matlab.

Рисунок 3.2 - Переходная характеристика системы с ПД регулятором

3.2 Анализ системы с новым типом регулятора на соответствие ее требованиям ТЗ

Рассчитаем данные показатели исходной системы.

Так как при введении ПД регулятора коэффициент ошибки при воспроизведении сигнала с постоянной скоростью не меняется, то считаем, что это требование ТЗ выполняется.

Перерегулирование найдем по формуле (1.11).

 (1.11)

где: ,

hmax=0,104;.

Определим время регулирования для погрешности 5% от h(t). Для этого найдем абсолютную погрешность ошибки и построим «коридор».

Как видим, из рисунка 3.2 время регулирования составляет:

Рассчитанные показатели данной системы с введенным ПД регулятором удовлетворяют основные требования к системе, следует считать, что условия ТЗ выполнены.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе курсовой работы были построены структурная и функциональная схемы нелинейной и линеаризованной системы управления, была получена математическая модель этой системы, с помощью которой удалось исследовать систему на устойчивость и проанализировать ее показатели качества. В результате анализа показателей качества было установлено, что несмотря на устойчивость системы, она не соответствует требованиям технического задания по значению относительной ошибки при воспроизведении сигнала и времени регулирования.

Для того, чтобы получить систему, соответствующую техническому заданию, был введен пропорциональный регулятор с коэффициентом усиления 4.4. Система была заново исследована на устойчивость, были найдены ее новые показатели качества.

Система осталась устойчива, однако, несмотря на то, что удалось получить коэффициент ошибки при воспроизведение сигнала с постоянной скоростью, требуемую техническим заданием, введение такого усилителя привело к резкому увеличению времени регулирования и перерегулирования до 61,4%.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что пропорциональный регулятор значительно уменьшает относительную ошибку, но также значительно увеличивает перерегулирование и времени регулирования. Поэтому для корректировки этой характеристики был введен дифференциальный регулятор, коэффициент усиления которого был найден исходя из алгебраического условия Гурвица.

При проверке параметров системы с дифференциальным регулятором были получены значения перерегулирования и времени регулирования, которое удовлетворяет техническому заданию. Следовательно, можно сделать вывод о том, что введя регуляторы в систему, изначально не соответствующей заданию, мы добились параметров, отвечающих заданию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Макаров И. М. Линейные автоматические системы / Макаров И. М., Менский Б. М. - 2-е изд. - М.: Машиностроение, 1982. - 504 с.

2. Дорф Р., Современные системы управления / Дорф Р., Пер. с англ. Б. И. Копылова. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 832 с.

Размещено на Allbest.ur

...