Помимо данных существует еще ряд параметров, характеризующих всплески, выбросы и колебательные процессы в импульсе.

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой U_m, длительностью _u, периодом повторения Т характеризуется скважностью:

.

Для правильного выбора той или иной системы параметров видеоимпульсов необходимо знать, как связаны между собой временные параметры сигнала и устройства, на которое эти сигналы подаются. Возможны три варианта соотношения времени нарастания _ф импульса и времени нарастания t_н переходной характеристики h(t) устройства

При сигнал на выходе устройства повторяет входной сигнал, не внося заметных искажений в его форму.

При форма импульса, подаваемого на устройство, сглаживается, выброс существенно сглаживается.

При форма импульса существенно искажается, его фронтальная часть практически повторяет форму переходной характеристики устройства.

Спектр импульсного сигнала

Для спектрального анализа импульсных (непериодических) сигналов необходимо использовать интегральное преобразование Фурье:

;

,

где X()- спектр величины импульсного сигнала.

Для импульсных сигналов спектр является непрерывным (сплошным).

Автокорреляционные функции импульсных сигналов также представляют собой импульсные сигналы, поэтому для их спектрального анализа также применяют интегральные преобразования Фурье:

;

,

где - спектральная плотность:

.

Для единичного импульса:

,

где - дельта функция конечной площади ,

автокорреляционная функция имеет вид: , а спектральная плотность:

Для импульса шириной t, аналогично

Таким образом характеристики импульсных процессов вычисляют с помощью интегрального, а не дискретного преобразования Фурье.

Осциллографические методы измерения параметров ИС

Осциллографические методы обеспечивают наиболее полное исследование импульсных сигналов и процессов. Диапазоны измерения измеряемого напряжения, длительности импульсов и частоты повторения в совокупности могут существенно превосходить пределы специализированных устройств.

Схемы, реализующие данные методы достаточно просты:

А - аттенюатор;

З - широкополосная линия задержки.

Схемы осциллографов для измерения параметров ИС: а - одноканальная схема; б - двухканальная схема; в - схема с синхронизацией от исследуемого сигнала; г - схема с пробниками (П) и делительными насадками (Д); д - схема с использованием внутренней синхронизации; е - схема с запуском исследуемого устройства от внутреннего источника сигналов осциллографа

Схемы на существенно отличаются лишь способом подключения осциллографа к измеряемому объекту. Развертка осциллографа запускается опережающим исследуемый сигнал импульсом, жестко связанным с ним по времени.

При запуске самим исследуемым сигналом в тракт исследуемого сигнала обычно включают устройство задержки, достаточно широкополосное, чтобы не исказить сигнал, и позволяющее регулировать задержку, чтобы «вывести» сигнал на экран осциллографа.

В осциллографах с внутренней синхронизацией такое устройство включают внутри прибора.

Также в схемах используют внешние широкополосные аттенюаторы, расширяющие диапазон измеряемых напряжений.

Удобство подключения к исследуемому источнику обеспечивают высокоомные (ненагружающие) пробники с делительными насадками.

Осциллографические методы позволяют проводить измерение мгновенных значений, соответствующих заданным интервалам времени, локальных параметров сигнала (амплитуды, длительности, выброса, неравномерности и т.п.) и интегральных параметров.

В соответствии с требуемыми точностью и производительностью осциллографические методы делят:

1. метод измерения по калиброванным шкалам;

2. компенсационный метод измерения;

3. метод стробирования;

4. метод полуавтоматического (курсорного) отсчета;

5. метод автоматического измерения в программируемом режиме.

Указанные методы относятся к методам отсчета (определения) параметров. При их реализации должны учитываться неизбежные искажения сигналов при их отображении на экране за счет инерционных свойств отклоняющей системы и усилителей, нелинейности в трактах горизонтального и вертикального отклонения осциллографа.

1.2 Формула исходного сигнала

(1.2.1)

где М=0 , N=1 - выбирается по шифру студенческого билета, соответственно предпоследняя и последняя цифры;

t - время в миллисекундах.

1.3 Дискретизация исходного сигнала

Статистические параметры сигнала (среднее арифметическое значение, среднее квадратическое значение, дисперсия) определяются по формулам:

Среднее арифметическое значение:

(1.2.2)

где Т - количество точек.

Среднее квадратическое значение:

(1.2.3)

Дисперсия:

(1.2.4)

Также вычисление статистических параметров в MathCad возможно с использованием встроенных функций: mean(x), stdev(x), var(x).

Период дискретизации 1 мс и параметры сигнала:

Рисунок 1.3.1 - График исходного сигнала с периодом дискретизации 1 мс

SAR=0,01; SKO=1,536; D=2,36

Период дискретизации 10 мс и параметры сигнала:

Рисунок 1.3.2 - График исходного сигнала с периодом дискретизации 10 мс

SAR=6.165*10^-5; SKO=0,48; D=0,23

Период дискретизации 20 мс и параметры сигнала:

Рисунок 1.3.3 - График исходного сигнала с периодом дискретизации 20 мс

SAR=-5,172*10^-3; SKO=0,337; D=0,114

Период дискретизации 100 мс и параметры сигнала:

Рисунок 1.3.4 - График исходного сигнала с периодом дискретизации 100 мс

SAR=-7,835*10^-4; SKO=0,155; D=0,024

Сравнительный анализ статистических параметров представлен в таблице 1.3.1:

Таблица 1.3.1 - Сравнительный анализ статистических параметров

Суть теоремы Найквиста-Котельникова заключается в том, что для того, чтобы восстановить исходный сигнал без потерь информации, содержащейся в этом сигнале, необходимо дискретизировать этот сигнал с частотой не менее чем в 2 раза большей максимальной частоты в спектре исходного сигнала.

1.4 Теоретические частотные составляющие и их развернутый статистический анализ

Из формулы исходного сигнала можно сделать вывод о том, что в этом сигнале имеются семь частотных составляющих.

Первая частотная составляющая и её параметры:

SAR=8,873·10^-3; SKO=0,354; D=0,125

Вторая частотная составляющая и её параметры:

Рисунок 1.4.2 - Вторая теоретическая частотная составляющая сигнала

SAR=3,1·10^-4; SKO=0,127; D=0,016

Третья частотная составляющая и её параметры:

Рисунок 1.4.3 - Третья теоретическая частотная составляющая сигнала

SAR=-1,258·10^-4; SKO=0,354; D=0,125

Четвертая частотная составляющая и её параметры:

Рисунок 1.4.4 - Четвертая теоретическая частотная составляющая сигнала

SAR=0; SKO=0; D=0

Пятая частотная составляющая и её параметры:

Рисунок 1.4.5 - Пятая теоретическая частотная составляющая сигнала

SAR=-7,175·10^-5; SKO=0,283; D=0,0,08

Шестая частотная составляющая и её параметры:

Рисунок 1.4.6 - Шестая теоретическая частотная составляющая сигнала

SAR=0; SKO=0; D=0

Седьмая частотная составляющая и её параметры:

Рисунок 1.4.7 - Седьмая теоретическая частотная составляющая сигнала

SAR=1,05·10^-3; SKO=1,414; D=1,999

Сложив все составляющие сигнала:

можно заметить, что полученный сигнал ничто иное как полный исходный сигнал:

Рисунок 1.4.8 - График суммы всех частотных составляющих

1.5 Полный гармонический анализ сигнала

Полный гармонический анализ сигнала представлен в приложении А (обработка детерминированного сигнала).

Спектр амплитуд вычисляется по формуле 1.5.1:

, (1.5.1)

где a_k и b_k - косинусоидальная и синусоидальная составляющие соответственно.

Рисунок 1.5.1 - Спектр амплитуд

Спектр фаз вычисляется по формуле:

, (1.5.2)

где где a_k и b_k - косинусоидальная и синусоидальная составляющие соответственно.

Рисунок 1.5.2 - Спектр фаз

Коэффициент гармоник определяется по формуле:

(1.5.3)

1.6 Восстановление каждой составляющей сигнала по результатам гармонического анализа

По спектру амплитуд (рисунок 1.5.1) можно определить количество частотных составляющих, из рисунка видно, что их количество равно 6.

Рисунок 1.6.1 - Восстановленная частотная составляющая g17(t) сигнала

Рисунок 1.6.2 - Восстановленная частотная составляющая g174(t) сигнала

Рисунок 1.6.3 - Восстановленная частотная составляющая g227(t) сигнала

Рисунок 1.6.4 - Восстановленная частотная составляющая g227(t) сигнала

Из п.1.4 видно, что восстановленных частотных составляющих на две меньше, чем теоретических. Тем не менее, некоторые из них похожи друг на друга, например первая теоретическая и восстановленная g17(t) частотные составляющие.

1.7 Восстановление сигнала в целом и его статистическая обработка. Оценка точности спектрального анализа

Восстановленный сигнал описывается выражением:

(1.7.1)

Графики исходного x_t и восстановленного f_t сигналов представлены на рисунке 1.7.1 (на интервале t = 0…100 для большей наглядности):

Рисунок 1.7.1 - Графики исходного x_t и восстановленного f_t сигналов

Статистические параметры восстановленного сигнала:

Статистические параметры исходного сигнала:

SAR=0.03227; SKO=1.53621; D=2.35993

Таким образом, можно сказать, что точность гармонического анализа достаточна высока, так как статистические параметры исходного сигнала почти не отличаются от параметров восстановленного сигнала.

1.8 Оценка СКЗ для каждой составляющей сигнала и сигнала в целом по результатам гармонического анализа

Среднее квадратического отклонения для восстановленных частотных составляющих сигнала:

1.9 Корреляционный анализ сигнала для интегрирования с жесткими пределами (до 499)

График корреляционной функции с жесткими пределами представлен на рисунке 1.9.1:

Рисунок 1.9.1 - Корреляционная функция с жесткими пределами до 499

1.10 Корреляционный анализ сигнала для интегрирования с плавающими пределами

График корреляционной функции для интегрирования с плавающими пределами представлен на рисунке 1.10.1:

Рисунок 1.10.1 - Корреляционная функция с плавающими пределами

Сравнив п.1.9 и п.1.10 можно сделать вывод о том, что эти корреляционные функции имеют различный вид.

1.11 Корреляционный анализ каждой составляющей сигнала

Корреляционной анализ следует проводить по формуле 1.11.1:

(1.11.1)

Корреляционный анализ первой составляющей исходного сигнала:

Рисунок 1.11.1 - Корреляционная функция первой составляющей сигнала

Корреляционный анализ второй составляющей исходного сигнала:

Рисунок 1.11.2 - Корреляционная функция второй составляющей сигнала

Корреляционный анализ третьей составляющей исходного сигнала:

Рисунок 1.11.3 - Корреляционная функция третьей составляющей сигнала

Корреляционный анализ четвертой составляющей исходного сигнала:

Рисунок 1.11.4 - Корреляционная функция четвертой составляющей сигнала

Корреляционный анализ пятой составляющей исходного сигнала:

Рисунок 1.11.5 - Корреляционная функция пятой составляющей сигнала

Корреляционный анализ шестой составляющей исходного сигнала:

Рисунок 1.11.6 - Корреляционная функция шестой составляющей сигнала

Корреляционный анализ седьмой составляющей исходного сигнала:

Рисунок 1.11.7 - Корреляционная функция седьмой составляющей сигнала

1.12 Развернутый спектральный анализ сигнала

В теории обработки сигналов, спектральный анализ означает анализ распределения энергии сигнала (например, звукового) по частотам, волновым числам и т. п.

Спектральный анализ по периоду проводится с помощью формулы 1.12.1:

(1.12.12)

На рисунке 1.12.1 изображен график спектрального анализа исследуемого сигнала по периоду:

Рисунок 1.12.1 - Спектральный анализ сигнала по периоду

Спектральная плотность ненормированная определяется по формуле 1.12.2:

(1.12.2)

На рисунке 1.12.2 изображен график спектральной плотности ненормированной: импульсный сигнал дискретизация спектральный

Рисунок 1.12.2 - Спектральная плотность ненормированная

Спектральная плотность мощности определяется по формуле (1.12.3):

(1.12.3)

График спектральной плотности мощности сигнала изображен на рисунке 1.12.3:

Рисунок 1.12.3 - Спектральная плотность мощности сигнала

Анализ сигналов с помощью спектральной плотности отличается непрерывным спектром частот сигнала. В этом отношении спектральная плотность имеет существенное преимущество перед гармоническим анализом с помощью рядов Фурье, который дает дискретный спектр частот. Также, с помощью спектральной плотности можно выявить доминирующие составляющие сигнала.

1.13 Разработать на структурном, функциональном и принципиальном уровне активный ФВЧ второго порядка 40 дБ/дек

Фильтрами называются электронные устройства, предназначенные для выделения или подавления сигналов в определенной полосе частот из сигнала широкого спектрального состава. В реальных фильтрах переходная область характеризуется скоростью спада переходной характеристики и выражается в дб/дек. Фильтры строятся на основе RLC элементов. Скорость спада (подъема) определяет порядок фильтра. Для фильтра 2-го порядка скорость 40 дб/дек. Активными фильтрами называются те, в которых используются усилительные элементы, такие как полевые и биполярные транзисторы.

Схема на ИНУН, реализующая функцию верхних частот Чебышева второго порядка представлена на рисунке 1.13.1[3].

Рисунок 1.13.1 - Схема фильтра верхних частот

Для расчета фильтра верхних частот второго порядка Чебышева, обладающего заданной частотой среза f_c = 279 (кГц), необходимо выполнить следующие действия:

Найдем параметры элементов, входящих в схему: Резисторы R1=R2. Пусть R1=10(кОм) , С2-29в 0.125 (0.05%).

Зададим конденсатор С1=0,47*10^-6(Ф), и С2=0,3*10^-6 (Ф).

Рассчитаем С3 по формуле

(1.13.1)

С3=270*10^-12 (Ф), 10%

Передаточная функция фильтра второго порядка:

(1.13.2)

В качестве усилителя возьмем операционный усилитель типа OP37. Его характеристики представлены в таблице 1.13.1.

Таблица 1.13.1 - Электрические параметры операционного усилителя OP37

Графические зависимости фильтра высоких частот представлены на рисунках 1.13.1 - АЧХ, 1.13.2 - ФЧХ, 1.13.3 - АФХ, 1.13.4 - ЛАЧХ, 1.13.5 - ЛФЧХ,

Рисунок 1.13.1 - АЧХ фильтра второго порядка

Рисунок 1.13.2 - ФЧХ фильтра второго порядка

Рисунок 1.13.3 - АФХ фильтра второго порядка

Рисунок 1.13.4 - ЛАЧХ фильтра второго порядка

Рисунок 1.13.5 - ЛФЧХ фильтра второго порядка

2. Обработка случайного сигнала

2.1 Теоретический вопрос «Нормальный закон распределения»

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса -- распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

(2.1.1)

где м -- среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения;

у -- дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное. Такое распределение зависит от двух параметров -- смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Свойства функции распределения вероятности (2.1.1):

1. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось.

2. Функция f(x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x)>0.

3. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

4. Функция f(x) имеет в точке х = a максимум, равный

5. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

6. Нормальная кривая в точках х = а + имеет перегиб,

На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).

Рисунок 2.1.1 - График плотности нормального распределения

Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.

При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо.

Рисунок 2.1.2 - Изменение графика плотности распределения

При изменении параметра изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью ОХ, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси ОХ и растягивается вдоль нее, а с уменьшением кривая стягивается к прямой х=а.

Рисунок 2.1.3 - Изменение графика плотности распределения от СКО

Функция плотности нормального распределения f(x) с параметрами а=0,  =1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:

Рисунок 2.1.4 - График плотности стандартной случайной величины

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

2.2 Для нормального закона распределения с параметрами X_ср=0,5, у=10 построить в графическом и числовом виде случайный сигнал из 1000 точек

Случайный сигнал задается формулой:

(2.2.1)

График случайного сигнала представлена на рисунке 2.2.1:

Рисунок 2.2.1 - График случайного сигнала

2.3 Описание математической модели случайного сигнала

Учитывая заданные параметры п.2.2 можно записать выражение для плотности нормального распределения вероятностей случайного сигнала:

(2.3.1)

Графики плотности и функции распределения случайного сигнала изображены на рисунках 2.3.1 и 2.3.2 соответственно:

Рисунок 2.3.1 - График плотности распределения вероятности

Рисунок 2.3.2 - График функции распределения вероятности

2.4 Построение гистограммы случайного сигнала

Используя встроенные функции MathCad, можно построить гистграмму случайного сигнала (рисунок 2.4.1).

Рисунок 2.4.1 - Гистограмма случайного сигнала

2.5 Оценка начальных и центральных моментов закона распределения сигнала

Если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения - центральными.

Первый начальный момент (математическое ожидание):

mean(b)=0.937

Второй центральный момент (дисперсия):

var(b)=95.477

Среднее квадратическое отклонение:

stdev(b)=9.771

Третий центральный момент (асимметрия):

skew(b)=-0.069

Четвертый центральный момент (эксцесс):

kurt(b)=-0.058

2.6 Корреляционный анализ случайного сигнала

Корреляционный анализ случайного сигнала для интегрирования с жесткими пределами представлен на рисунке 2.6.1, с плавающими пределами показан на рисунке 2.6.2.

Рисунок 2.6.1 - Корреляционный анализ с жесткими пределами

Рисунок 2.6.2 - Корреляционный анализ с плавающими пределами

2.7 Спектральный анализ случайного сигнала

На рисунках 2.7.1, 2.7.2 и 2.7.3 показаны спектры случайного сигнала.

Рисунок 2.7.1 - Спектральный анализ случайного сигнала по периоду

Рисунок 2.7.2 - Спектральная плотность случайного сигнала

Рисунок 2.7.3 - Спектральная плотность мощности случайного сигнала

Спектр случайного сигнала более однороден по сравнению со спектром детерминированного сигнала, спектральный анализ которого был проведён в п.1.12. Тоже можно сказать и по отношению к гармоническому анализу п. 1.8. Можно выделить лишь одну-две составляющих с большей энергией, т.е. большей амплитудой. Спектр практически сплошной при анализе амплитуд случайного сигнала по периоду.

2.8 Интегральная и дифференциальная функция распределения случайного сигнала

Плотность распределения вероятности P(x) (дифференциальная функция распределения вероятности) связана с интегральной функцией распределения вероятности F(x) следующей зависимостью:

(2.8.1)

На рисунках 2.8.1 и 2.8.2 представлены интегральная и дифференциальная функции распределения.

Рисунок 2.8.1 - Дифференциальная функция распределения

Рисунок 2.8.2 - Интегральная функция распределения

3. Обработка сложного сигнала

3.1 Теория «Спектральная плотность. Теоретические принципы измерения»

Пусть сигнал s(t) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t₁ ,t₂) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T, включающий в себя интервал (t₁ ,t₂) (см. рис.1).

Рис. 1

Обозначим периодический сигнал, полученный из s(t), в виде s_T(t). Тогда для него можно записать ряд Фурье

где 

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s(t) следует в выражении s_T(t) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n2p /Tбудет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю ( к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным.

При предельном переходе в случае Т=> , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

т.е.

(*)

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности:

(**)

прямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности  определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S(w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].

3.2 Получение сложного сигнала

Для построения сложного сигнала, нужно суммировать детерминированный и случайный сигналы:

(3.2.1)

где x_t - детерминированный сигнал;

b_t - случайный сигнал.

Рисунок 3.2.1 - График сложного сигнала

3.3 Математическая модель сложного сигнала

Математическая модель полученного сложного сигнала представлена ниже:

(3.3.1)

3.4 Построение гистограммы, дифференциальной и интегральной функций сигнала. Оценка статистических моментов сигнала

Гистограмма сложного сигнала представлена на рисунке 3.4.1, его интегральная и дифференциальная функции - на рисунке 3.4.2.

Рисунок 3.4.1 - Гистограмма сложного сигнала

Рисунок 3.4.2 - Дифференциальная и интегральная функции

Первый начальный момент (математическое ожидание):

mean(slog)=0.056

Второй центральный момент (дисперсия):

var(slog)=105.753

Среднее квадратическое отклонение:

stdev(slog)=10.284

Третий центральный момент (асимметрия):

skew(slog)=-0.113

Четвертый центральный момент (эксцесс):

kurt(slog)=-0.172

3.5 Корреляционный анализ сложного сигнала

Корреляционный анализ сложного сигнала для интегрирования с жесткими пределами представлен на рисунке 3.5.1, с плавающими пределами показан на рисунке 3.5.2, взаимная корреляционная функция - на рисунке 3.5.3.

Рисунок 3.5.1 - АКФ с жесткими пределами

Рисунок 3.5.2 - АКФ с плавающими пределами

а)

б)

Рисунок 3.5.3 - Взаимная корреляционная функция детерминированного (а) и случайного (б) сигналов

3.6 Спектральный анализ сложного сигнала

На рисунках 3.6.1, 3.6.2 и 3.6.3 показаны графические результаты спектрального анализа сложного сигнала.

Рисунок 3.6.1 - Спектральный анализ сложного сигнала по периоду

Рисунок 3.6.2 - Спектральная плотность сложного сигнала

Рисунок 3.6.3 - Спектральная плотность мощности сложного сигнала

Полная мощность сложного сигнала определяется ниже:

(3.6.1)

Спектр сложного сигнала более похож на спектр детерминированного сигнала, спектральный анализ которого был проведён в п. 1.12. Однако по отношению к спектру случайного сигнала можно сказать обратное. В спектер сложного сигнала можно выделить несколько составляющих с большей энергией, т.е. большей амплитудой, которые отчетливо видны.

3.7 Центрирование процесса, его спектральный анализ и АКФ

Для центрирования сигнала необходимо вычесть среднее значение сигнала из сложного сигнала. Такое преобразование показано на рисунке 3.7.1.

Рисунок 3.7.1 - Центрированный сигнал

На рисунках 3.7.2 и 3.7.3 представлены результаты корреляционного анализа сложного центрированного сигнала.

Рисунок 3.7.2 - АКФ центрированного сигнала с жесткими пределами

Рисунок 3.7.3 - АКФ центрированного сигнала с плавающими пределами

На рисунках 3.7.4, 3.7.5. и 3.7.6 показаны графические результаты спектрального анализа центрированного сложного сигнала.

Рисунок 3.7.4 - Спектральная плотность амплитуд сложного центрированного сигнала

Рисунок 3.7.5 - Взаимная спектральная плотность центрированного сложного сигнала

Рисунок 3.7.6 - Спектральная плотность мощности сложного центрированного сигнала

3.8 Определение соотношения сигнал/шум

Соотношение сигнал/шум может определяться как отношение дисперсий детерминированного (задание 1) и случайного (задание 2) сигналов:

(3.8.1)

где D1 - дисперсия простого сигнала,

D2 - дисперсия случайного сигнала.

Отсюда:

.

3.9 Рекомендации по назначению требований к динамическим характеристикам устройства обработки сложного сигнала

Часто процесс дискретизации сигнала, находящегося первой зоне Найквиста содержит полезную информацию. Следует обратить внимание на то, что без фильтрации на входе идеального устройства дискретизации любой частотный компонент (сигнал или шум), который находится выше верхней частоты Котельникова, будет отображаться в полосу частот полезного сигнала. Поэтому при дискретизации низкочастотного сигнала на входе аналого-цифрового преобразователя для подавления мешающих сигналов всегда используется фильтр нижних частот. Однако, для достижения большего ослабления в полосе затухания, следует применять фильтры высшего порядка, но часто это нецелесообразно, поэтому в настоящее время возможно применение эллиптических фильтров. Но недостаточная крутизна спада ФНЧ может компенсироваться более высокой частотой дискретизации АЦП. Выбрав более высокую частоту дискретизации, можно уменьшить требования к ФНЧ за счет использования быстрого АЦП с более высокой скорость обработки данных, что очень важно для обработки сложного сигнала.

4. БПФ

4.1 Теория «Быстрое преобразование Фурье»

В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея - почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами A, периодами Т и, следовательно, частотами щ). Неоспоримым достоинством ПФ является его гибкость - преобразование может использоваться как для непрерывных функций времени, так и для дискретных. В последнем случае оно называется дискретным ПФ - ДПФ.

Фурье анализ на сегодняшний день, без сомнения самый распространенный инструмент анализа, который применяется во всех отраслях науки и техники. Однако до появления компьютеров дискретное преобразование Фурье (ДПФ) использовалось редко, поскольку вычисление ДПФ 32 отсчетов требует 1024 операции комплексного умножения и сложения, что вручную считать довольно долго. Однако первое упоминание об алгоритме быстрого преобразования Фурье относится к работе Гаусса, в которой он использовал свойства периодичности тригонометрических функций для расчета ДПФ. Однако на эту работу долгое время никто не обращал внимания, до тех пор пока персональные компьютеры не получили широкое распространение.

Первая программная реализация алгоритма БПФ была осуществлена в начале 60-х годов XX века Джоном Кули в вычислительном центре IBM под руководством Джона Тьюки, а в 1965 году ими же была опубликована статья, посвященная алгоритму быстрого преобразования Фурье. С этого момента БПФ становится основным инструментом спектрального анализа сигналов.

Алгоритмы БПФ, которые используют выборки длиной N=2^L называются «алгоритмами БПФ по основанию 2». Данные алгоритмы получили наибольшее распространение, из-за того что в машинной арифметике N=2^L является «круглым» числом.

Наиболее быстрой формой алгоритма БПФ является алгоритм, вычисляющий БПФ вектора данных, результатом которого является вектор С с числом элементов 1+2^m-1, k элемент которого вычисляется выражением.

, (4.1.1)

где n - число элементов вектора V;

i - мнимая единица.

Альтернативой формой данного алгоритма является алгоритм, вычисляющий БПФ для вектора, результатом которого является также вектор С с числом элементов 1+2^m-1, k элемент которого вычисляется выражением.

(4.1.2)

Отличие двух этих форм состоит в нормирующем множителе. Однако при этом вектор V должен иметь 2^m действительных составляющих, где m - целое число.

Обратное БПФ вычисляет функция, результатом которой является вектор с числом элементов 3^m, k элемент которого вычисляется выражением.

(4.1.3)

Этот алгоритм также имеет свою альтернативную форму, вычисляющую обратное БПФ для вектора, результатом которого является также вектор С с числом элементов 3^m, k элемент которого вычисляется выражением.

(4.1.4)

Описанные функции используют преимущество комплексно сопряжённой симметрии преобразования Фурье, которое позволяет уменьшить время расчёта за счёт отбрасывания комплексной половины спектра. Вследствие этого результатом БПФ является вектор с вдвое меньшим числом элементов, чем исходный.

БПФ может применяться в следующих случаях:

· анализ гармонических составляющих в сетях питания;

· измерение гармонических составляющих и искажений в системах;

· определение характеристик шумов в источниках постоянного напряжения;

· тестирование импульсного отклика фильтров и систем;

· анализ вибраций и колебаний.

4.2 Спектральный анализ простого, случайного и сложного сигналов

С помощью встроенных в систему MathCad функций БПФ (cfft(x))можно провести спектральный анализ детерминированного (рисунок 4.2.1), случайного (рисунок 4.2.2) и сложного (рисунок 4.2.3) сигналов.

Рисунок 4.2.1 - Спектральный анализ детерминированного сигнала

Рисунок 4.2.2 - Спектральный анализ случайного сигнала

Рисунок 4.2.3 - Спектральный анализ сложного сигнала

5. Оценка точности

5.1 Оценка точности спектрального и гармонического анализа

Оценка точности проводится при восстановлении сигнала гармоническим синтезом.

Для детерминированного сигнала оценка точности представлена на рисунке 5.1.1.

Рисунок 5.1.1 - Оценка точности простого сигнала

Для случайного сигнала оценка точности представлена на рисунке 5.1.2.

Рисунок 5.1.2 - Оценка точности случайного сигнала

Оценка точности сложного сигнала представлена на рисунке 5.1.3.

Рисунок 5.1.3 - Оценка точности сложного сигнала

Далее следует провести оценку точности спектрального анализа с помощью встроенной функции в MathCad - icfft, обратное БПФ.

На рисунке 5.1.4 представлена оценка точности спектрального анализа детерминированного сигнала.

Рисунок 5.1.4 - Оценка точности спектрального анализа детерминированного сигнала

Оценка точности спектрального анализа случайного сигнала представлена на рисунке 5.1.5.

Рисунок 5.1.5 - Оценка точности спектрального анализа случайного сигнала

На рисунке 5.1.6 представлена оценка точности спектрального анализа сложного сигнала.

Рисунок 5.1.6 - Оценка точности спектрального анализа сложного сигнала

Заключение

В данной курсовой работе были обработаны три различных сигнала: детерминированный, случайный и сложный, который был получен в результате суммирования первых двух сигналов. Определены их статистические параметры.

По результатам гармонического анализа восстановлены первоначальные сигналы и проведена статистическая обработка каждого из восстановленных сигналов. Оценена точность спектрального анализа. Проведен гармонический анализ сигналов.

Проведен корреляционный анализ и развернутый спектральный анализ сигналов. Результаты корреляционного анализа сравнены с результатами гармонического анализа.

Проведен спектральный анализ детерминированного, случайного и сложного сигналов с помощью встроенных в систему МathCad функций БПФ.

По результатам заданий 1, 2, 3 и 4 и по математическим моделям сигналов оценена точность спектрального и гармонического анализа.

Список использованных источников

1. Айфичер, Э.С. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е изд.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 992 с.

2. Блейхут, Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 448 с.

3. Грязнов, М.И. Измерение параметров импульсов / М.И. Грязнов, М.Л. Гуревич, Ю.А. Рябинин. - М.: Радио и связь, 1991. - 216 с.

4. Кестер, У. Проектирование систем цифровой и смешанной обработки сигналов: Пер. с англ. - М.: Техносфера, 2010. - 337 с.

5. Мирский, Г.Я. Радиоэлектронные измерения, 2-е изд. - М.: «Энергия», 1969. - 528 с.

6. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2003. - 604 с.

Размещено на Allbest.ru